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圆的有关概念及性质

圆的有关概念及性质

［知识要点及解题方法指导］

（一）圆的有关概念及性质

圆：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

圆内：圆的内部可以看做是到圆心的距离小于半径的点的集合。

圆外：圆的外部可以看做是到圆心的距离大于半径的点的集合。

弦：连结圆上任意两个点的线段叫做弦。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。

同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，同圆或等圆的半径相等。

等弧：同圆或等圆中能够互相重合的弧叫做等弧。

对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆还是以圆心为对称中心的中心对称图形。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。

（二）点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系

，

距

R

，半

r（）

（三）垂直于弦的直径

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

与圆有关的角

［知识要点及解题方法指导］

（四）与圆有关的角

弧的度数：将顶点在圆心的周角等分成360份，则每一份的圆心角叫1°的角，°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。

圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角，圆心角与它所对的弧的度数相等。

圆周角：（1）顶点在圆上，角的两边与圆相交的角叫圆周角。

（2）圆周角等于它同弧上圆心角的一半。

（3）同弧或等弧所对的圆周角相等，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

（4）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

（5）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么，这个三角形是直角三角形。

圆与三角形

圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

（1）经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，三角形叫圆的内接三角形。

（2）和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的外切三角形。

（3）三角形有且只有一个外接圆和一个内切圆，它们的圆心叫做三角形的外心和内心。

1．（1）已知，如图①，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．求证：AE=CF；

（2）已知，如图②，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A．连接CO交⊙O于点D，CO 的延长线交⊙O于点E．连接BE、BD，∠ABD=30°，求∠EBO和∠C的度数．

2．如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AB=6，PA=5．

求：（1）⊙O的半径；分析：

（2）sin∠BAC的值．

3．如图，半圆的直径AB=10，点C在半圆上，BC=6．

（1）求弦AC的长；

（2）若P为AB的中点，PE⊥AB交AC于点E，求PE的长．

4．如图，已知点E在△ABC的边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，且AD平分∠BAC．求证：AC⊥BC．

5．如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P=30°，连接AO、

AB、AC．求证：△ACB≌△APO．

6．如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，

求证：MO∥BC．

7．如图，A、B、C三点在⊙O上，=，∠1=∠2．

（1）判断OA与BC的位置关系，并说明理由；

（2）求证：四边形OABC是菱形；

（3）过A作⊙O的切线交CB的延长线于P，且OA=4，求△APB的周长．

8．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，连BC．若∠P=30°，求∠B 的度数．

9．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB上的一点O为圆心分别与均AC，BC相切于点D、E．

①求⊙O的半径；

②求sin∠BOC的值．