(完整版)数学本科毕业论文1

定积分中的几何直观方法与不等式的证明

摘要：一些高指数的不等式，如果借助算术—几何均值不等式或者通过分解因式再进行放缩的话，一般都要分与进行讨论证明，往往证明起来很麻烦，若借助数学分析中的定积分来进行证明的话，会大大简化其证明工序，也很简单，灵活的选取合适的初等函数进行定积分，再求和会得到意想不到的效果。

关键词：高指数；不等式；算术—几何均值；定积分；数列

1 引言

文[1]中给出了一个不等式： 11

2(11)21n

i n n i

=+-<<-∑

（） （1）

田寅生对（1）进行了指数推广，其结果是 命题1【2】 设且，，，则有

1111111[(1)1]1111n

p

p p k n n p k

p p --=+-<<-+---∑

（2）

文[2]的证明方法是借助于算术—几何均值不等式，分与进行讨论证明，读者不难看出，不仅过程繁琐，而且对其证明思路难以把握。文[3] 中

利用微分中值定理给出了它的另一种证法。 文[4]借助定积分的方法，给出了一种很自然的证明【4】：

命题1的证明【4】 当，时，对于，有，即

，

两边取积分，得

1

111

11(1)k k k p p p k

k k dx dx dx k x k

+++<<+?

??， （3）

即得

11111[(1)](1)1p p

p p

k k k p k

--<+-<+- （4）

对（3）两边分别求和，即得

111

1111[(1)1]1111n

p

p p k n n p k p p --=+-<<-+---∑

（5）

命题1得证。

该证明方法简单自然，几何意义直观。不等式（3）的几何意义是：如图1，以为边的曲边梯形的面积介于两个矩形的面积之间，根据定积分的几何意义，即知上面不等式中三部分分别代表了它们的面积。

（图1）

在文[5]中，又把（1）式推广为： 命题2【５】 已知为等差数列且，公差，则

1111

1221

()()n

n i n i a a a a a d d a +=-<<-+∑

（6）

其证明方法与文[1]本质上是一样的。本文将借鉴[4]中方法，即利用定积分的几何直观方法，把有关结果作进一步的推广。

２ 主要结果

下面借鉴文[4]中定积分的的方法，把命题2推广为 定理1 设为等差数列且，公差，，，，则

1111111111111()()(1)(1)n

p p p p

n n p p

i i

a a a a d p a d p a ----+=-<<-+--∑ （7）

为证明定理1，先证明下面的引理 引理1 设为等差数列且，公差，，，，则

1111111()(1)p p

k k p p

k k

a a a d p a --++<-<- （8）

证明 因为数列是等差数列，且，所以该数列是一个单调递增的正数列，又因为，不妨令，则有 即

（9） 对（9）两端在上取积分，有

1

1111

11k k k k

k k a a a p p p a a a k k

dx dx dx a x a ++++<

?? （10）

即

1111111()1p p

k k

p p

k k d

a a d a p a --++<-<- （11）

由（11），即得

1111111()(1)p p

k k

p p

k k a a a d p a --++<-<- 定理1的证明 由引理1可得

（12）

对（12）式的两边同时求和，得

1

1

11111111()(1)n n p p

k k p

k k k a a a d p ----+==+<--∑∑ 即

111111111()(1)n

p p

n p p

k k

a a a a d p --+=-<--∑ 故有

111111

111()(1)n

p p

n p p

k k a a a d p a --+=<-+-∑ 同理，由

（13）

对式（13）的两边同时求和，可得到

1111111()(1)n

p p

n p i i

a a d p a --+=-<-∑

故定理1得证。

引理1的证明中几何意义十分明显，参见下面的图2。

（图2）

如果注意到函数（）是下凸函数，利用关于下凸函数图像的下列两条几何性质：

性质1 任意两点间的弧段总在这两点连线的上方；

性质2 曲线总在它的任一切线的上方。

那么可以对引理1中的不等式（8）进一步精细化，得到

定理2 设为等差数列且，公差，，，，则

1111111

111111()()2(1)2p p p

k k k p p p p k k k k d a a a a p d p a a a ---+++++<-<--- （14）

证明 因为（）是下凸函数，由上述两条性质，得

11111()()

()'()()()()()k k k k k k k k k

f a f a f a f a x a f x f a x a a a +++++-+-<<+

--

即得

111111111111()()p p

p k k k k k p p p k k k k

a a a x a x a a p x a a a -+++++-

--<<+--

（15）

对（15）两端在上积分，得（14）成立。

定理2证明的几何意义，可参考下面图3。

（图3）

推论1 当，时，有

111111111(1)[(1)][](1)(1)2(1)

p p p

p p p p

k k k k p k k k ---++<+-<--+-+ 该结果显然比（4）式更为精细。

３ 应用例子

例1【１】 试求11

1

123

1000,000

x =+

+++

的整数部分．

解 由（1）式，得 于是可以判断，故。

例2【１】 试求的值，式中

111

10,00010,0011,000,000

x =

+++

． 解 由命题1，可得 所以。

例3 设3331111232010

x =+

+++ ，求不超过的最大整数． 解 对本问题，如果运用命题1或命题2将无法计算，我们运用定理1便会迎刃而解，（），令数列的通项公式为，，， 由定理1，可得

11113

3

11(2011

1)20101111113

3

x --??-<<-+ ??

?-- 即

所以。

例4 设3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

27

29

31

2003

s =+

+

++

，求的近似值（绝对误

差不超过）．

解 记数列是以为首项，公差的等差数列，那，这里，由定理1，得

222211113

3

3

3

23

111(2005

27

)(2003

27

)222(1)

2(1)

27

3

3

s --

-

-

-<<

-+

--

即

由绝对误差不超过0.06，而14.512-14.454=0.058<0.06，故s 可以取14.454到14.512任何一个数即可，不妨取s=14.49。

4 其它应用

在文[6]中，作者给出了二次根式的一个不等式： 命题3【６】 设,则

y x p p y p x p +++≥+++ （16）

当且仅当x=0或y=0时，（1）的等号成立。

原证比较简短，但我们更关心的是不等式（16）是如何得到的，换言之，这类不等式具有什么样的几何意义？

考虑函数与，，则由，得 即

p x p y p y x p -+≤

+-++ （17）

由于不等式（16）与（17）等价，而不等式（17）具有鲜明的几何意义，

它的左右两端分别代表两个曲边梯形的面积 （如图4）

（图4）

事实上，许多重要不等式都具有类似的几何意义，如不等式 （） （18）

就可以利用

()?

?

?≤+≤+x

x

x dt dt t dt t 0

002

111

11

（19）

来认识其几何意义。

由此可知，通过对一些简单的不等式积分，可能获得另一个不是十分明显的不等式。

下面例子选自《高等数学附册·学习辅导与习题选解》一书，我们将用利用定积分的几何直观方法进行新的证明，并改进其结果。

命题4【7】 设，证明

（20）

文献[7]关于不等式（20）的证明思路是：

1

11000(1)1111p

p

p p p dx x x dx dx x x x =-=-+++??? 而，故有，因此

由此可知（20）式左侧的不等式成立，至于（20）式右侧的不等式，那是显然的。

另证 因为（）是下凸函数，函数在点的切线方程为，根据下凸函数的

几何性质，有

（21）

当，时，有，将（21）中的换成，得

（22） 再对（22）两端在上积分，立得结论成立。

下面改进不等式（20）两端的常数，将得到如下更加精细的结果： 推论2 设，则

103211

max[,]114(1)12(1)

p p p dx p p x p +<<-++++?

证明 考虑函数在点的切线方程为，而函数的两个端点、的连线方程为，根据下凸函数的几何性质，有

（23）

将（23）中的换成，得

（24）

再对（24）两端在上积分，得

103211

14(1)12(1)

p p dx p x p +<<-+++? 再结合命题4所证，故得

103211

max[

,]114(1)12(1)

p p p dx p p x p +<<-++++?。 参考文献：

[1] 徐利治，王兴华. 数学分析的方法及例题选讲[M]. 北京: 高等教育出版社, 1984 [2] 田寅生. 一个不等式的指数推广及应用[J]. 中学数学月刊，2003（9）

[3] 刘玉琏等. 数学分析讲义练习题选解(第一版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 1996 [4] 胡付高. 一个不等式的简证及其几何直观[J]. 中学数学,2004（2） [5] 田寅生. 一个不等式的推广、加强及应用[J]. 数学通报, 2004（2） [6] 赵思林. 关于二次根式的一个不等式及应用[J]. 中学数学, 2007（9）

[7] 同济大学应用数学系. 高等数学附册, 学习辅导与习题选解[M]. 北京: 高等教育出版社, 1983