第1.1节 复数分析

复变函数论

数学与信息科学学院罗仕乐

复变函数论

第一章复数与复变函数

第二章解析函数

第三章复变函数的积分

第四章解析函数的幂级数表示

第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点第六章残数理论及其应用

第七章保形变换

第一章复数与复变函数

§1 复数

§2 复平面上的点集

§3 复变函数

§4 复球面与无穷远点

§1.复数 )

,(,R y x iy x z ∈+=的数,称为复数.x,y 分别称为复数z 的实部与虚部,记为 Rez=x, Imz=y. 形如

两个复数

2

22111,iy x z iy x z +=+=相等当且仅当实部与虚部对应相等. 复数

iy x z iy x z -=+=与是互为共轭复数.

设

,

,222111iy x z iy x z +=+=则复数的四则运算定义为:

)

()(1221212121y x y x i y y x x z z ++-=?22

2221122222212121y x y x y x i y x y y x x z z +-+++=).

0(2≠z

全体复数并引进了上述运算后称为复数域.

)

()(212121y y i x x z z ±+±=±

一个复数与平面的点一一对应. 表示复数的平面称为复平面或z 平面. 在复平面上,从原点o 到点z 所引的向量 →

oz 与这个复数z 一一对应.

复数的加减法与向量的加减法是一致的.

→

oz .

||2

2y x z +=z

z z z z ?==2

|||,||||

||||||,||||,|||y x z z y z x +≤≤≤向量 的长度称为复数z 的模.记为|z|. 即 显然

|

|||||2

|

|||y x z y x +≤≤+|

||||||||,|||||21212121z z z z z z z z -≤-+≤+更进一步有,

等号成立当且仅当两个复数表示的向量共线且同向. θ

.

tan x

y

=θ.

Argz =θ

实轴正向到非零复数z=x+iy 所对应的向量间的夹角 满足 称为复数z 的辐角(Argument),记为

π2π

π<<-z arg ).

,2,1,0(,

2arg ±±=+==k k z Argz πθ任一非零复数z 有无穷多个辐角(相差 的整数倍). 的一个确定值,称为Argz 的主值,或称为z 的主辐角.

以argz 表示其中满足

Z=0时,辐角无意义.

)

0(arg ≠z z x

y

Arc tan x

y arctan

)2

arctan 2(π

π

<<-x y ????

?

?

?

??????

<=-<<-≥<+>=>=)

0,0()0,0(,)

0,0(,)0,0(2)0(arg y x y x x y arctg y x x y arctg y x x x

y arctg z ππππ与反正切 的主值

有如下关系: (通过画图来理解)

还可用复数的模与辐角来表示非零复数z:

)

sin (cos θθi r z +=.(复数的三角形式)

θθθ

sin cos i e i +=θ

i re

z =模为1的复数称为单位复数.又

(Euler 公式).则

(指数形式)

由指数形式,有

.,

)

(2

121)

(21212121θθθθ-+==i i e r r z z e

r r z z

.)(,||||||212

12121Argz Argz z z Arg z z z z -==.

2arg arg )arg(,2arg arg )arg(2212

1

12121ππk z z z z k z z z z +-=++=所以, |z 1z 2|=|z 1||z 2|, Arg(z 1z 2)=Argz 1+Argz 2.

或表为

k 1,k 2为适当整数.

例1 设 2

31i z -=,求|z|及Argz.

例2 将复数 )0(sin cos 1π

.12321||2

2

=???

? ??-+??? ??=z .

3

)3arctan(arctan arg π

-=-==x y z .

23

π

k Argz +-

=解:

.

2

sin 2)cos 1(2sin )cos 1(||2

2

?

???=-=+-=z .

2

)2arctan(cot cos 1sin arctan ?

π???θ-==-=.

2

sin

2||2

?

πθ

?

-==i

i e

e z z 解： 所以,复数指数形式为

)0(≠=r re

z i θ

).

sin (cos θθθ

n i n r e

r z n

in n n +==.

sin cos )sin (cos θθθθn i n i n

+=+).

1,......,2,1,0(,2-==+n k e

r z n

k i

n

n

π

θn

r

设 .则z 的正整数幂为

当r=1时,即为德摩弗(De Moivre)公式:

Z 的n 次方根

共有n 个,它们沿中心在原点,半径为

的圆周均匀分布(圆内接正n 边形的n 个顶点.

θ

i re

iy x z =+=.

θ

i re

iy x z -=-=).0(,,,

,221

2121212121≠=???

? ??=+=+=-

----

----

------z z

z z z z z z z z z z z z z i

z z z z

z z z z z 2Im ,

2

Re ,

||2

-=

+==).

Re(2||||||212

22

12

21z z z z z z ++=+,其共轭复数 所以有

用复数的指数形式是很方便的.

.

例3 将复数

3

2

)

3

sin

3

(cos

)

5

sin

5

(cos

?

-

?

?

+

?

=

i

i

z

化为指数形式和三角形式.

3

3

2

5

3

2

)

(

)

(

)

3

sin

3

(cos

)

5

sin

5

(cos

i

i

e

e

i

i

z

?

?

-

=

?

-

?

?

+

?

=

.

19

9

10

i

i

i

e

e

e?

?

?

=

=

-

).

19

sin(

)

19

cos(?

?i

z+

=

解:

三角形式为

即为指数形式。

高中数学_数系的扩充和复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思

数系的扩充和复数的概念教学设计 【学习目标】 1．知识与技能： 了解引进复数的必要性；理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律．理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)． 2过程与方法： 通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识． 3．情感、态度与价值观： 通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数学扩充过程中的作用，以及书与现实世界的联系。 【教学目的】 （1）了解引进复数的必要性，理解并掌握复数的有关概念； （2）教学同时传授学生转化的数学思想； （3）教会学生提出问题、解决问题，学会学习。 【教学重点】 复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等。 【教学难点】 虚数单位i的引进及复数的概念。 【教学方法】 采用了预习准备；引导探索，多媒体演示，练习多种手法相结合的教学方法 【授课形式】新授课（1课时） 【教学过程】 引入新课 请同学们回答以下问题： (1)在自然数集N中，方程x＋4＝0有解吗？ (2)在整数集Z中，方程3x－2＝0有解吗？ (3)在有理数集Q中，方程x2－2＝0有解吗？ 活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，最后师生总结． 活动成果：问题(1)在自然数集中，方程x＋4＝0无解，为此引进负数，自然数→整数；

问题(2)在整数集中，方程3x－2＝0无解，为此引进分数，整数→有理数； 问题(3)在有理数集中，方程x2－2＝0无解，为此引进无理数，有理数→实数． 数集的每一次扩充，对数学本身来说，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，如分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾． 提出问题：从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充？每一次扩充的主要原因是什么？每一次扩充的共同特征是什么？ 活动设计：先让学生独立思考，然后小组讨论，师生共同归纳总结． 活动成果：扩充原因：①满足解决实际问题的需要；②满足数学自身完善和发展的需要．扩充特征：①引入新的数；②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律． 设计意图 回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程，帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征． 探究新知 提出问题：方程x2＋1＝0在R上有解吗？如何对实数集进行扩充，使方程x2＋1＝0在新的数集中有解？ 活动设计：小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成． 学情预测：学生讨论可能没有统一结果，无法描述． 类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点，在实数集中方程x2＋1＝0无解，需要引进“新数”扩充实数集．让我们设想引入一个新数i，使i满足两个条件：(1)i是方程x2＋1＝0的根，即i2＝－1；(2)新数i与实数之间满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律． 设计意图 面对新问题的需要，感到扩充实数集的必要性，通过类比，猜想增添的新数需满足的条件． 提出问题：同学们设想，实数a与新数i相加，实数b与新数i相乘，结果如何表达？实数a与实数b和新数i相乘的结果相加，如何表示？ 活动设计：学生动手操作，尝试写出新数与实数加法和乘法的运算，然后教师引导，更正不正确的写法，统一新数的特点，为引出复数的概念做铺垫．

高中数学_数系的扩充和复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思

《数系的扩充与复数的概念》教学设计 §3.1.1 数系的扩充和复数的概念 一、学习目标： 1.在问题的情境中让学生了解把实数系扩充到复数系的过程. 2.理解复数的有关概念以及复数相等的充要条件，掌握复数的代数形式 二、重点、难点： 重点：复数的概念与复数的代数形式，复数的分类. 难点：复数的概念及分类,复数相等. 三、学习过程： 1.复习回顾 问题1：你知道的数集有哪些？分别用什么符号表示？它们有什么关系？ 2. 3.问题2：方程012=+x 在实数集中无解。联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想 一种方法，使这个方程有解吗？ 结论：引入一个新数 ，规定（1） （2） 【复数的概念及代数形式】 练习1.指出下列复数的实部与虚部。 （1）2+3i （2）1-2i （3）5i -4（4）2i （5）-3i （6）8i （7）10 （8）-8 （9）0 问题3：你认为应怎样定义两个复数相等？ 【复数相等的充要条件】 问题4：复数),(R b a bi a z ∈+=在什么条件下是实数？ 【复数的分类】 练习2.下列各数是否是虚数，并说出各数的实部与虚部. i 3-1 i 7 1 31+ i ）（π-1 85-i

问题5.两个复数能否比较大小？ 4、例题巩固 例1.实数m 取什么值时，复数i m m z )1(1-++=是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。 变式：将复数改为i m m m z )1(1-++=应注意什么？ 方法小结： 例2. 下列命题中正确的有_____ （1）若C z ∈,则02≥z （2） i yi x +=+1(x,y 为实数)的充要条件是 1==y x （3）1＋ai 是一个虚数（4）若a ＝0，则a ＋bi 为纯虚数 方法小结： 例3.已知i xyi y x 222 2=+-，求实数y x ,的值。 变式1：已知0222=+-xyi y x ，求实数y x ,的值。 变式2：若0)1(2>-+i x x ，则=x 方法小结 5、课堂小结 6、作业布置（课本55页A 组1、2题） 《数系扩充和复数的概念》学情分析 在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各 种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成 发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另 一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思 维习惯。

第四章 级数(答案)

复变函数练习题 第四章 级数 系 专业 班 姓名 学号 §1 复数项级数 §2 幂级数 23521 24221 1(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1() 2!4!2!1() 2!! n n n n n n z z z z z z z z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞ 一些重要的级数 一、选择题： 1．下列级数中绝对收敛的是 [ ] （Ａ）11(1)n i n n ∞ =+∑ （Ｂ）1 (1)[]2n n n i n ∞ =-+∑ (Ｃ) 2ln n n i n ∞ =∑ （Ｄ）1(1)2n n n n i ∞ =-∑ 2．若幂级数 n n n c z ∞ =∑在12z i =+处收敛，那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ] （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定 () 122i Abel += >，由定理易得 3．幂级数1 (1)1n n n z n ∞ +=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] （Ａ） ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ） 1ln 1z + （D ） 1 ln 1z - ' 100 '110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n n n n n n z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z ∞∞+==∞∞++==????-=-=?? ?++?????????? --==+ ???+++???? ∑∑∑∑?? 二、填空题： 1．设(1)2 n n i α-=+，则lim n n α→∞ = 0 。 2．设幂级数 n n n c z ∞=∑的收敛半径为R ，那么幂级数0 (21)n n n n c z ∞ =-∑的收敛半径为 2 R

《复数》知识点汇总

《复数》知识点汇总 一、选择题 1．设3i z i +=，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-3 【答案】D 【解析】 因为z=3i i +13i =-∴z 的虚部为-3，选D. 2．已知复数21i z =-+，则（ ） A ．2z = B ．z 的实部为1 C ．z 的虚部为1- D ．z 的共轭复数为1i + 【答案】C 【解析】 分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()()()()21211112i i z i i i ----= ==---+--， 则z =，选项A 错误； z 的实部为1-，选项B 错误； z 的虚部为1-，选项C 正确； z 的共轭复数为1z i =-+，选项D 错误. 本题选择C 选项. 点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( ) A ．1 B ．2 C D ．3 【答案】D 【解析】 因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D. 4．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2i B ．1-2i C ．12i -+ D ．12i -- 【答案】B

【解析】 试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故 ，则12i z =-，选 B. 【考点】注意共轭复数的概念 【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一. 5．若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==- C ．2,1b c =-=- D ．2,3b c =-= 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b 的方程组102220 b c b -++=???=??，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】 由题意12+是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0 ∴2﹣2+b 2+bi +c ＝0，即() 12220b c b i -+++= ∴102220b c b -++=???=?? ，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ． 【点睛】 本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题 6．已知复数z 23(13)i -，则|z |＝( ) A ．14 B ．12 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：因为23(3)33(13)2232(3) i i i i i i i i +++-+===----，因此|z |＝12

巧计 f 或 fe结尾的名词如何变复数

巧计f 或fe结尾的名词如何变复数 树叶半数自己黄， 妻子拿刀去割狼， 架后窜出一只狼， 就像强盗逃命忙。 leaf（树叶），half（一半），self（自己），wife（妻子），knife（刀子），shelf（架子），wolf（狼），thief（窃贼，强盗），life（生命）这9个名词变复数时，都要把f 或fe变成ve，再+s。其余的以-f（e）结尾的名词都是直接+s。 看似难背单词也能轻松记住 fragrant――芳香的 分析：fr――“飞人”的拼音首字母；ag――“阿哥”的拼音首字母； r――外形像小草；ant――蚂蚁。 记忆：飞人让阿哥用一棵芳香的小草来喂养蚂蚁。 frustrate――挫败 分析：fr――“飞人”的拼音首字母；us――我们；tr――“铁人”的拼音首字母； ate――吃（eat）的过去式。 记忆：飞人帮助我们挫败了铁人想要吃掉我们的阴谋。 gangster――歹徒 分析：gang――“港”的拼音；st――“石头”的拼音首字母；er――“儿”的拼音。 记忆：在香港遇到一个歹徒拿石头威胁我的儿子，结果被我打跑了。 garlic――大蒜 分析：“咖喱”的谐音。 记忆：大蒜的味道跟咖喱味有些相似。 generosity――慷慨 分析：gen――“跟”的拼音；er――“儿”的拼音；o――外形想鸡蛋； sity――城市（city）的近似拼写。 记忆：我跟儿子挑了一筐鸡蛋到城市去卖，碰到个慷慨的人，把我们的鸡蛋都买走了。 ginger――姜 分析：g――“哥”的拼音首字母；inger――手指（finger）的近似拼写。 记忆：哥哥在切姜的时候，手指不小心切破了。

4.1.1 复数项级数和复数序列

第四章 级 数 第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是： ,...,...,,222111n n n ib a z ib a z ib a z +=+=+=在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。 设0z 是一个复常数。如果任给 0>ε，可以找到一个正数N ， 使得当n>N 时 ε<-||0z z n , 那么我们说}{n z 收敛或有极限0z ，或者说}{n z 是收敛序列，并 且收敛于0z ，记作 0lim z z n n =+∞→。 如果序列}{n z 不收敛，则称}{n z 发散，或者说它是发散序列。 令ib a z +=0，其中a 和b 是实数。由不等式 ||||||||||0b b a a z z b b a a n n n n n -+-≤-≤--及 容易看出，0lim z z n n =+∞ →等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞ →+∞→ 因此，有下面的注解： 注解1、序列 }{n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列} {n a 收敛（于a ）以及序列}{n b 收敛（于b ）。 注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列}{n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z

的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n>N 时，n z 在这个邻域内。 注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。 复数项级数就是 ......21++++n z z z 或记为∑∞+=1n n z ，或∑n z ，其中n z 是复数。定义其部分和序列为： n n z z z +++=...21σ 如果序列 }{n σ收敛，那么我们说级数∑n z 收敛；如果}{n σ的极限是 σ，那么说∑n z 的和是σ，或者说∑n z 收敛于σ， 记作 σ=∑∞+=1n n z ， 如果序列}{n σ发散，那么我们说级数∑n z 发散。 注解1、对于一个复数序列 }{n z ，我们可以作一个复数项级数如下 ...)(...)()(123121+-++-+-+-n n z z z z z z z 则序列}{n z 的敛散性和此级数的敛散性相同。

浅谈对老子的道的理解和分析

浅谈对老子的道的理解和分析（大学毕业论文） 摘要 老子是中国古代伟大的哲学家和思想家，他创立的道家学派，而道家思想同儒家思想一样，成为了支撑中华民族几千年文化、思想发展的脊梁。老子思想的核心内容就是“道”，所以，本文主要叙述了道的特征，揭示了道的本质，并阐明了道的内涵，对老子的“道”进行了系统全面的分析。 然而，自从“道”这个概念问世以来，两千多年过去了，对它的理解和争论就从来没有停止过，所以，在这里，作者也提出了自己的观点。作者认为：老子之“道”，来源于自然，是一种无名无形的特殊物质，是天地之根，万物之本，并作为规律承载着万物运行，作为准则指导人们的日常生活。“道”创造了万物，又引导万物运行；万物源于“道”，又依道而行。所以，老子告诉我们，无论作任何事情都要唯“道”是从，“无为而治”。 老子的“道”是伟大的，它不仅道出了世事变迁、沧海桑田的规律，也道出了人世间永恒不变的真理。因此，学会了“道”，我们就学会了天地万物，学会了人生。 关键词 老子；道；自然；无；有；德；无为 一、前言 开篇之前理应介绍一下“老子”，“老子”不仅是人名，也是书名。作为一个人，他给我们的印象是很模糊的，生卒年不详，唯一可以确信的只有司马迁的《史记?老子韩非子列传》中的一句话：

老子者，楚苦县厉乡曲里人也。姓李氏，名耳，字聃，周守藏室之吏也。 由此，我们知道，老子是春秋时期楚国苦县厉乡曲仁里人，名叫李耳，或者叫李聃。不过，他为什么又被人称为“老子”呢？史书上没有交代，可能是他享年较高，又很有学问，所以，人们便称他为“老子”。 老子无疑是当时的饱学之士，在周朝曾出任过“守藏室之吏”一职，这个职位相当于今天的国家图书馆的馆长，而在今天，这个职位一般都是由学术界的领袖或者名流来担任的。《史记》中记载了孔子曾问礼于老子，问礼的结果是孔子对老子佩服得五体投地，很多人认为这是假的，不过，我觉得司马迁不会欺骗我们。老子虽然很有学问，却以不求闻达为宗旨，这种专心于学问又甘于平淡的精神着实令我们钦佩。 后来，老子对统治者的荒淫和腐败产生了厌恶之情，于是就辞掉了“守藏室之吏”的职务。据说他骑着一头青牛向西域走去，路过函谷关时，关令尹喜久闻他的大名，便盛宴款待了他，当然这一顿饭不能白吃，老子留下了“言道德之意五千余言”（《史记?老子韩非子列传》）的《老子》当作饭钱。于是，便有了《老子》一书，也就是《道德经》。老子出关以后的事情就更无从可考了，也许，活的比较逍遥自在吧。 流传至今的《老子》有众多版本，各种版本的篇章结构既有一致之处，也有不同之处。一致之处是都分为上下两篇，但是上下两篇的顺序却不同，一种是以王弼的通行本为代表的“道”上“德”下的结构，一种是1973年长沙马王堆汉墓出土的帛书本为代表的“德”上“道”下的结构，另外，1993年出土的郭店楚墓楚简本《老子》却没有分道经和德经两篇，并且章次和今本也大不相应。所以，参之以《韩非子》注解的顺序。我们可以推想：《老子》最早可能是德篇在前，道篇在后，而且不分章节，到了两汉之

高一数学《复数重点与难点分析》知识点

高一数学《复数重点与难点分析》知识 点 课 件www.5yk https://www.wendangku.net/doc/20334393.html, 复数是高中代数的重要内容，在高考试题中约占8%-10%，一般的出一道基础题和一道中档题，经常与三角、解析几何、方程、不等式等知识综合.本章主要内容是复数的概念，复数的代数、几何、三角表示方法以及复数的运算.方程、方程组，数形结合，分域讨论，等价转化的数学思想与方法在本章中有突出的体现.而复数是代数，三角，解析几何知识，相互转化的枢纽，这对拓宽学生思路，提高学生解综合习题能力是有益的.数、式的运算和解方程，方程组，不等式是学好本章必须具有的基本技能.简化运算的意识也应进一步加强. 在本章学习结束时，应该明确对二次三项式的因式分解和解一元二次方程与二项方程可以画上圆满的句号了，对向量的运算、曲线的复数形式的方程、复数集中的数列等边缘性的知识还有待于进一步的研究. 1.知识网络图 复数知识点网络图 2.复数中的难点

复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明. 复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练. 复数的辐角主值的求法. 利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会. 3.复数中的重点 理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点. 熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容. 复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容. 复数集中一元二次方程和二项方程的解法.

专项 复数中较难类型题30道

专项3 复数中较难类型题30道 复数这一章节，历来是只要上过高中数学的学生都应该、而且必须要做对的一个送分题，一般是高考数学试卷中的第一题或者是第二道题，因其题型单一、知识点单一，一直以来题型固定而被视为比集合还要简单的内容，但即使是如此，每年这一道题的正答率却并非很高，看来还是有不少同学在这道题上失分的！最近几年以来，这道题正在试图打破常规，试图突破复数本身的限制，寻求与其他章节进行简单的关联，这对于同学们来水可能会有些不适应，因此，给大家的复习建议就是在掌握好复数的一些基本问题、基本内容之后，应该有意识、适当的做一些有一定难度的试题，以防高考出现了稍微难一些的复数类型题的时候不至于感到意外，以至于马失前蹄。 关于复数的基本内容和知识点，应搞清楚以下几个问题： 1. 复数的基本形式：z a bi =+，它是无法比较大小的，a 叫做实部，b 叫做虚部，可以看出来，虚部不是虚数，而 是一个实数，一定要注意。i 是虚数单位，2i =-1。如果两个复数相等，那么必定要求他们的实部与实部相等，同时要求虚部与虚部相等。 2. 复数的大小叫做模长，||z =它的虚部要为零；如果说一个复数是一个纯虚数，那么它的实部必须为零。 3. 共轭复数：若z a bi =+，那么它的共轭复数是z a bi =-，即与原来复数的虚部互为相反数。一个复数和它的共 轭复数具有相同的模长。 4. 复平面：复平面是用来表达复数的，跟坐标系基本类似，只不过直角坐标系里的x 轴，在复平面内叫做实轴，用以 表达a ，直角坐标系里的y 轴，在复平面内叫做虚轴，单位是i ，用以表达b ，因此，z a bi =+在复平面内就是表示起点为原点，终点为(,)a b 的一条有向线段，这一点也与向量是相通的。 5. 复数的除法，即分式型的复数相关问题是常考不衰的，只要是这种类型的，我们都要把分子分母同时乘以分母的共 轭复数，整理成z a bi =+的形式，再解决其他问题。 1.在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限. 2.若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．1- B ．0 C ．1 D ．1-或1 . 3.投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n,则复数（m+ni ）(n-mi)为实数的概率为( ) A 、 13 B 、14 C 、16 D 、112 . 4.已知复数12z i =-，那么1z =( ) A.55+ B. 55 - C. 1255i + D. 1255i -.

复变函数论 第四章 复级数

第四章 复级数 §1.级数的基本性质 教学目的与要求:了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛一致收敛等概念,掌握解析函数项级数的性质. 重点: 解析函数项级数. 难点：一致收敛的函数项级数;解析函数项级数. 课时：2学时 1.复数项级数 定义4.1 复数项级数就是 其中为复数 定义4.2 对于复数项级数，设 若存在，则称级数收敛，否则为发散. 据此定义，我们立即推出：若级数收敛，则 其次，由复数的性质易于推得 定理4.1 设 其中均为实数，则级数收敛的充要条件为基数与均收敛，复数项级数具有与实数项级数完全相同的性质，不再一一给出. 定理4.2（柯西收敛准则）级数收敛的充要条件是，使及，均有定义4.3 若级数收敛，则称级数为绝对收敛. 由关系式及 及定理4.1即可推得. 定理4.3 级数绝对收敛的充要条件为：级数及绝对收敛. 再由定理4.2可知：绝对收敛级数必为.收敛级数. 例1.对于级数当时，由于 ， 而当时，，于是 因此级数收敛且有， 显然，当时，级数亦为绝对收敛的级数. 2.复函数项级数 定义4.4设函数在复平面点集上有定义，则称级数 为定义在上的复函数项级数. 定义4.5 设函数在上有定义，如果，级数均收敛于，则称级数收敛于，

或者说级数和函数记作 定义4.6 如果，使得当时，对任一，均有 则称级数在一致收敛于. 与定理4.2类似地我们有 定理4.4 级数在上一致收敛的充要条件是： ，使当时，对任一及均有 由此我们即得一种常用的一致收敛的判别法： 定理4.5 魏尔斯特拉斯-判别法设在点集上有定义 为一收敛正项级数，若在上成立则级数 在上一致收敛于，则在上一致收敛. 与实数项级数一样，不难证明以下定理： 定理4.6 设在复平面点集上连续，级数在上一致收敛于，则在上连续. 定理4.7 设在简单曲线上连续，级数在上一致收敛于，则. 对于复函数项级数的逐项求导问题，我们考虑解析函数项级数，首先，引入一个新概念. 定义4.7 设函数在区域内解析,如果级数在内任一有界闭区域上一致收敛于函数,则称级数在内闭一致收敛于. 由此,我们有下列重要的魏尔斯特拉斯定理. 定理设函数在区域内解析,级数在内中闭一致收敛于函数,则在内解析,且在内成立 证明: ,取,使得.在内任作一条简单闭曲线,根据定理及柯西定理推得.因而由莫勒拉定理知在内解析,再由的任意性即得在内解析. 其次,设的边界,由已知条件得在上一致收敛于,从而 在上一致收敛于,根据定理,我们有 即 于是定理结论成立. 作业:第178页 1. §2幂级数 教学目的与要求:了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法.掌握幂级数在收敛圆内一些基本性质及幂级数在收敛圆周上的性质. 重点: 幂级数收敛半径的求法; 幂级数在收敛圆内一些基本性质. 难点：幂级数在收敛圆周上的性质.

第三章 数系的扩充与复数的引入教材分析

《第三章数系的扩充与复数的引入》教材分析 数系的扩充与复数的引入是选修1－2与选修2－2的内容，是高中生的共同数学基础之一．数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时了数学产生、发展的客观需求，复数的引入襀了中学阶段数系的又一次扩充． 《课标》将复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．这部分内容的学习，有助于学生体会理论产生与发展的过程，认识到数学产生和发展既有来自外部的动力，也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观；有助于发展学生的全新意识和创新能力．复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 本章内容分为2节，教学时间约4课时． 第一节数系的扩充和复数的概念 本节的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义（几何表示和向量表示）． ●教学目标 （1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． （2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件． （3）了解复数的代数表示法及其几何意义． ●教学重点 （1）数系的扩充过程． （2）复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件． （3）复数的几何意义． ●教学难点 （1）虚数单位i的引进． （2）复数的几何意义． ●教学时数 本节教学，建议用2课时．第1课时处理数系的扩充和复数的概念；第2课时研究复数的几何意义． ●课标对本节内容的处理特点 数系的扩充和复数的概念，《课标》与《大纲》教学内容相同，但在处理方式和目标定位上存在差异： （1）《课标》将复数作为数系扩充的结果引入．《大纲》教科书先安排复数的概念，再研究复数的运算，最后介绍数系的扩充．《课标》实验教科书在介绍数系扩充的思想方法的基础上引入复数的概念，力求还原复数的发现与建构过程． （2）《课标》强调在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．从这上点上看，《课标》要求提高了． （3）在复数的代数表示法及其几何意义上，《课标》的教学定位是“了解”，而《大纲》

第四章 解析函数的幂级数表示法解剖

第四章 解析函数的幂级数表示法 级数也是研究解析函数的一个重要工具，这部分内容大都是数学分析中的内容的平移推广。 第一节 复级数的基本性质（1） 教学课题：第一节 复级数的基本性质（1） 教学目的：1、理解复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理； 2、掌握复级数的绝对收敛性的概念及其判别法； 3、切实了解复函数项级数收敛与一致收敛的定义； 4、掌握柯西—一致收敛准则和优级数准则； 5、掌握复连续函数项级数的性质，并充分了解复函数级数的内闭一致收敛性。 6、了解关于解析函数项级数的威尔斯特拉斯定理。 教学重点：复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理； 教学难点：复函数级数的内闭一致收敛性。 教学方法：启发式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：复级数也是研究解析函数的一种重要工具，它是我们根据原来函数项级数的内闭一致收敛对级数进行分析性质的研究。 教学过程： 1、复数项级数和复数序列： 1.1复数序列及其敛散性 复数序列就是： ,...,...,,222111n n n ib a z ib a z ib a z +=+=+=在这里， n z 是复数， , Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为 } {n z 。按照 |} {|n z 是有界或无界序列，我们也称 } {n z 为有 界或无界序列。 设0z 是一个复常数。如果任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时 ε <-||0z z n ,

那么我们说}{n z 收敛或有极限0z ，或者说}{n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作 lim z z n n =+∞ →。 如果序列}{n z 不收敛，则称}{n z 发散，或者说它是发散序列。 令ib a z +=0，其中a 和b 是实数。由不等式 ||||||||||0b b a a z z b b a a n n n n n -+-≤-≤--及 容易看出，0lim z z n n =+∞ →等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞ →+∞ → 因此，有下面的注解： 注解1、序列}{n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列}{n a 收敛（于a ）以及序列}{n b 收敛（于b ）。 注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列}{n z 收敛于0z ，或者说有极限点0 z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n>N 时，n z 在这个邻域内。 注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。 1.2 复数项级数及其敛散性 复数项级数就是 ......21++++n z z z 或记为∑∞+=1 n n z ，或∑n z ，其中n z 是复数。定义其部分和序列为： n n z z z +++=...21σ 如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数∑n z 收敛；如果 {}n σ的极限是σ， 那么说∑n z 的和是σ， 或者说 ∑n z 收敛于σ，记作 σ =∑∞ +=1 n n z ，

英语学科分析

中考及高考考什么 中考考察内容 一、学会使用1500-1600单词和200-300短语和固定搭配。 二、语法：（总共14个项目：九大词类+构词法+句子）。具体如下： (一)名词 1.可数名词及其单复数； 2.不可数名词 3.专有名词 4.名词所有格 (二)代词 1.人称代词 2.物主代词 3.反身代词 4.指示代词 5.不定代词 6.疑问代词 (三)数词 1.基数词 2.序数词 (四)介词和介词短语 (五)连词 (六)形容词（比较级、最高级） (七)副词（比较级、最高级） (八)冠词 (九)动词 1.动词基本形式

2.系动词 3.及物动词和不及物动词 4.助动词 5.情态动词 6.时态： 1)一般现在时 2)现在进行时 3)一般过去时 4)一般将来时 5)过去进行时 6)现在完成时 7.被动语态： 1)一般现在时 2)一般过去时 3)一般将来时 8.非谓语动词（动词不定式做宾语、宾补、目的状语） 9.动词短语 (十)构词法：前缀和后缀、转化、合成 (十一)句子种类： 1.陈述句：肯定句、否定句 2.疑问句：一般疑问句、特殊疑问句、选择疑问句 3.祈使句 4.感叹句：What引导的感叹句、How引导的感叹句(十二)简单句的基本句型 1.主语+系动词+表语 2.主语+不及物动词 3.主语+及物动词+宾语

4.主语+及物动词+间接宾语+直接宾语 5.主语+及物动词+宾语+宾语补足语 (十三)并列复合句 (十四)主从复合句 1.宾语从句 2.状语从句 3.定语从句（能辨认出由that，which，who引导的限定性定语从句，并能 理解句子意思） 中考试卷结构 一、题型结构 二、难度结构 试题按其难度分容易题，中等题、难题。分值之比为5:3:2

高中数学_复数的概念与运算教学设计学情分析教材分析课后反思

复数的概念与运算教学设计 [考纲要求] 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件. 2.掌握复数的代数表示法及其几何意义. 3.能熟练进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义 一：知识点回顾 1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部． 若_____，则a ＋b i 为实数， 若_____，则a ＋b i 为虚数， 若____________，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?__________ (a ，b ，c ，d ∈R)． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?_______________ (a ，b ，c ，d ∈R)． (4)复数的模：向量OZ → 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，即|z |＝|a ＋b i|＝_______ 2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 对应复平面内的点_________也对应平面向量____________． 3．复数代数形式的四则运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R. z 1±z 2＝(a ＋b i)±(c ＋d i)＝_______________. z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝____________________. z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2 i(c ＋d i ≠0)． (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图4-4-1所示给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝_________，Z 1Z 2→ ＝_________.

高中数学_3.1数系的扩充与复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思

《数系的扩充与复数的概念》 这节课是数系扩充引入复数的概念的新授课，以学生探究为主，教师精准点拨为辅,顺利完成了本节的教学任务，再现了数系扩充的 历史。强调了知识的生成和建构，在授课过程中注重数学核心素养的渗透。教师的基本功扎实，能较好地起到示范的作用，总的来说,宋 昆鹏老师的这节课上得非常成功。 在授课过程中主要从以下几个方面组织教学活动; 1、设置情境，再现历史 问题1 将10分成两部分，使两者的乘积为40．一段简短的开场白很自然地过渡到研究数的问题。一方面展示数学家卡尔丹的风采，激发学生的学习兴趣；另一方面，引领学生重温历史，感悟数学发现并不神秘，数学家也是从常规问题入手． 问题2 有没有两个数之和为10呢？有没有两个数之积为40呢？那为什么刚才的问题无解呢？充分暴露数学家的思维过程，一方面让学生体验数学家的科研精神，另一方面让学生处于“愤悱”状态．问题3 实数集中有没有这两个数？打破原有认知平衡，形成认知冲突，让学生感受到数已经不够用了，体现学习新知识的必要性．2、设计问题，追溯历史 问题4 数集经历了哪几次扩充？ 问题5 每一次扩充分别解决了哪些问题？ 学生通过小组合作交流、回忆、思考每次数集扩充的必要性，解决了哪些问题，即数集为什么要扩充？通过板书：

让学生感受到这些数的产生不是从天而降，是数学内部发展的需要，也是社会发展的需要． 问题6 这几次扩充有什么共同的特点？ 一方面培养学生的观察、概括与表达能力；另一方面通过对前几次数集扩充的梳理，为数系的再一次扩充以及如何扩充打好了坚实的基础，让学生感受到数系扩充的合理性，并能提炼出数系扩充的一般原则．由此，突破本节课的一个难点． 3、借鉴历史，生成理论 引入i 顺理成章，继而抽象概括出复数的代数形式i(,)a b a b +∈R ，培养学生抽象概括能力．紧接着抛出问题“ i(,)a b a b +∈R 一定是虚数吗？”引导学生自然而然地想到要对复数进行分类，从而深化对复数概念的理解，攻克本节课的重点． 4、精选例题，学以致用 例1．请你说出下列集合之间的关系：N ，Z ，Q ，R ，C ． 例2．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． 4，23i -，0，1 4i 2 3 -+ ，5i +，6i ，22i 例3．实数m 取什么值时，复数(1)(1)i z m m m =-+-是：（1）实数？ （2） 自然数集 负整数 引入 无理数 引入 分数 引入 整数集 有理数集 实数集 ＋ × 乘方 ＋ × 乘方 － ＋ × 乘方 － ÷ ＋ × 乘方 － ÷ 开方

复数30道精选选择题练习

复数30道精选选择题练习 一、单选题 1．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i 1i 2i a -=-+，则a ＝（ ） A ．2 B ．1 C ．-2 D ．-1 2．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ） A ．17i - B ．16i - C ．16i -- D ．17i -- 3．设21i z i +=-，则z 的虚部为（ ） A ．12 B ．12- C ． 32 D ．32 - 43 =（ ） A ．i - B ．i C ．i D ．i - 5．若复数z 满足213z z i -=+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 6．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．8 7．设a +∈R ，复数()()() 2 4 2 121i i z ai ++=-，若1z =，则a =（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 8．已知i 是虚数单位，2i z i ?=+，则复数z 的共轭复数的模是（ ） A ．5 B C D ．3 9．复数22 (1)1i i -+=-（ ） A ．1+i B ．-1+i C ．1-i D ．-1-i 10．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ） A ．5 B C ．2 D 11．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．1

第四章 解析函数的级数展开习题及其解答

第四章 解析函数的级数展开习题及其解答 4.1 判断级数的收敛性，绝对收敛性. 1) 2) 解 1) 由实数项级数收敛的狄离赫利判别法可知与均收敛.故由复数项级 数收敛充要条件知.但.而发散，所以非绝对收敛. 2)因，而收敛，即收敛，于是收敛，且为绝对收敛. 注 由此两题可见，对于复数项级数，绝对收敛收敛；而收敛≠＞绝对收敛.2)可作为此种情况的例子. 4.2 幂级数能否在处收敛，而在=3处发散？说明理由. 答 不可能.因为若在处发散，则由Abel 定理，在一切满足的处 级数均为收敛，显见，=3满足此不等式故不可能在=3处发散. 4.3 求极限，其中 ，并由此判断复数项级数的敛散性. 解 设.注意. 所以 将 代入得 由复数项级数收敛的定义可知，收敛于.即 ∑∞ =1i k n n ∑∞ =12 i k n n 2sin i 2cos i π π+= ∑∑∞=∞=?????? ??????+=∴112sin i 2cos i n n n n n n n n ππ ∑ ∞ =1 2cos n n n π∑∞ =12 sin n n n π ∑∞ =1i n n n n n n 1i =∑∞=11n n ∑∞=1i n n n 2 21i n n n =∑∞=121n n ∑∞=12i n n n ∑∞=12i n n n ?∑∞ =-0 )2(n n n z a 0=z z 0=z 2 202=-<-z z z z n n S +∞→lim k n k n S ∑=??? ??+=12i 1∑∞ =??? ??+12i 1k k 2i 1+=α1 22<=α()()ααααααααααα-- -=--=+++==--=∑111111 1 1 n n n n k k n S αα αααα-=??????---=++∞→+∞→111lim lim 1n n n n S ( )01+∞ →+→n n α2i 1+= αi lim =+∞ →n n S ∑ ∞ =??? ??+121k k i i i 2i 11=??? ??+∑∞ =k k

复数项级数2010118

第四章 解析函数的级数表示 前面我们用微分、积分可以研究解析函数的性质；实际上级数也是研究解析函数的一种有效的工具.在本章,我们将讨论复数项级数，讨论复变函数项级数；重点利用解析函数的级数（泰勒级数与洛朗级数）表示导出解析函数的一些良好的性质. §4.1 复数项级数 教学目的：1．理解复数序列与复数项级数的定义； 2.掌握复数项级数的基本性质以及复数序列(级数)与实 数列(级数)敛散性的关系，能正确判断复数项级数的敛散 性． 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： §4.1.1复数序列的极限 通常, 把按照自然数的顺序排列的一列复数, ,…, ,…, 称为复数列, 简记为{}n z ．其中称为通项． 【定义】※设{}n z 是一个复数列, 为一个复常数, 若对 0ε?>,0N ?>（正整数）, 使得当n N >时, 总有0n z z ε-<， 则称 {}n z 当n →∞时收敛于(或{}n z 收敛(于), 而称为{}n z 当n →∞ 时的极限, 记为 0lim n n z z →∞ =．若不存在, 则称{}n z 发散或{}n z 不 收敛． 注:定义的几何意义: 0lim n n z z →∞ =等价于任给的一个邻域, 在此邻域之外至多含 有{}n z 的有限项

（如图4.1(a)）； 从上述两个定义 不难看出, 复数序 列的极限与实数列的极限, 在形式上是完全相似的． 因此, 类似于实数列极限的有关结果, 我们还可平行地给出复数列极限的相应结果,如极限的四则运算法则, 收敛数列的有界性, 数列收敛的柯西准则等. 【定理4.1】（复数列与实数列收敛的关系） 记n n n z x iy =+, 1n =,,…000z x iy =+, 则 0lim n n z z →∞=00 lim lim n n n n x x y y →∞→∞=???=??． 证：此命题注意到下面的不等式立即可得 0n x x -，0000n n n n y y z z x x y y -≤-≤-+-． 例1 求下列极限 (1) sin )n n i n →∞ ； (2)1 lim(2)2n n n i →∞+； (3)lim lim(cos sin )in n n e n i n →∞ →∞ =+． 解 (1) 因lim 1n =, sin lim 0n n n →∞=, 所以 sin )1n n i n →∞ =． (2)因1lim 02n n →∞=, lim 2n n →∞ =+∞不存在, 所以1lim(2)2 n n n i →∞+不存在． (3) 因cos sin in e n i n =+, 而lim cos n n →∞ 与lim sin n n →∞ 均不存在, 所以 l i m in n e →∞ 不存在．