2019高中数学第二章推理与证明2-1-1合情推理学案苏教版选修2_2

2019高中数学第二章推理与证明2-1-1合情推理学案苏教

版选修2_2

从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为________．任何推理都包含________和________两个部分，________是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；________是根据________推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．2．归纳推理

(1)从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为________．其思维过程大致为________→________→____________.

(2)归纳推理的特点

①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所________．

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为________的工具．

③归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们________．

预习交流1

做一做：由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：__________________________________________.

3．类比推理

根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为________，简称________．其思维过程大致为________→________→__________.

预习交流2

做一做：对于平面几何中的命题：夹在两平行线之间的平行线段

相等，在立体几何中，类比上述命题，可得命题为________________．4．合情推理

合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．________和________都是数学活动中常用的合情推理．

预习交流3

预习导引

1．推理前提结论前提结论前提

2．(1)归纳推理实验、观察概括、推广猜测一般性结论

(2)①包容的范围②数学证明③发现问题和提出问题

预习交流1：提示：凸n边形的内角和是(n－2)×180°

3．类比推理类比法观察、比较联想、类推猜测新的结论

预习交流2：提示：夹在两平行平面之间的平行线段相等

4．归纳推理类比推理

预习交流3：提示：合情推理有如下特点：

(1)在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；

(2)证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向；

(3)一般来说，合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠．

一、归纳推理

根据下列条件写出数列的前4项，并归纳猜想它们的通项公式：

(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；

(2)a1＝1，an＋1＝an(n∈N*)．

思路分析：本题可利用归纳推理求出数列的通项公式．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，在得出前几项结果后，要注意统一形式，以便寻找规律，然后归纳猜想出结论．

1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 041，…，则72 011的末两位数字为__________．

2．(2012陕西高考)观察下列不等式

1＋＜，

1＋＋＜，

1＋＋＋＜，

……

照此规律，第五个不等式为____________________．

3．(2012山东省实验中学诊断，文14)若f(n)为n2＋1的各位数字之和，如142＋1＝197,1＋9＋7＝17，则f(14)＝17，记f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，f3(n)＝f(f2(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，则f2 012(8)＝__________.

归纳推理的一般步骤是：

(1)通过观察个别情况，发现某些相同性质；

(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性的命题(猜想)．

二、类比推理

在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．

思路分析：两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.

已知△ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，用S△ABC 表示△ABC的面积，则S△ABC＝r(a＋b＋c)．类比这一结论有：若三棱锥A－BCD的内切球半径为R，则三棱锥体积VA－BCD＝________.

(1)类比定义：本类型题解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．

(2)类比性质(定理)：本类型题解决的关键是要理解已知性质(定理)的内涵及应用环境、使用方法，通过研究已知性质(定理)，刻画新性质(定理)的“面貌”．

(3)类比方法(公式)：本类型题解决的关键在于从解题方法(或公式)中，获得使用方法(或公式)的启示或推导方法(或公式)的手段，从而指导解决新问题．

(4)类比范例：对有些提供范例的推理题，解答时可根据所给的信息与所求问题的相似性，运用类比的方法仿照范例，使问题得到解决．

1．在△ABC中，D为BC的中点，则＝(＋)，将命题类比到四面

体中去得到一个类比命题：_______________________________________________________AD AB AC

_______________________________________________________ _________________.

2．若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则数列bn＝(n∈N*)也是等差数列．

类比上述性质，相应地：

若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn＞0，则数列dn＝______(n∈N*)也是等比数列．

3．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝__________，当n＞4时，f(n)＝__________(用n表示)．4．(2012山东济宁邹城二中月考，文13)给出下列命题：

命题1：点(1,1)是直线y＝x与双曲线y＝的一个交点；

命题2：点(2,4)是直线y＝2x与双曲线y＝的一个交点；

命题3：点(3,9)是直线y＝3x与双曲线y＝的一个交点；

……

请观察上面命题，猜想出命题n(n为正整数)为______________________________．

5．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图表示的“分裂”．记53的“分裂”中的最小数为a，而52的“分裂”中最大数为b，则a＋b＝__________.

6．(2012湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则

(1)4位回文数有________个；

答案：

活动与探究1：解：(1)当n＝1时，a1＝0.由an＋1＝an＋(2n －1)(n∈N*)，

得a2＝a1＋1＝1，

a3＝a2＋3＝4，

a4＝a3＋5＝9.

由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，

可归纳出an ＝(n －1)2.

(2)当n ＝1时，a1＝1，由an ＋1＝an(n∈N*)得a2＝a1＝，a3

＝a2＝，a4＝a3＝.由a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，可归纳猜想(n∈N*)．112212312112

n n a -= 迁移与应用：

1．43 解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16

807，76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且

周期T ＝4.又2 011＝4×502＋3，所以72 011的末两位数字与73的

末两位数字相同，为43.

2．1＋＋＋＋＋＜ 解析：由前几个不等式可知1＋＋＋＋…＋

＜.

所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋＜.

3．5 解析：∵82＋1＝65,6＋5＝11，∴f(8)＝11，f1(8)＝f(8)

＝11.又∵112＋1＝122,1＋2＋2＝5，

∴f2(8)＝f(f1(8))＝f(11)＝5.又52＋1＝26，2＋6＝8，∴f3(8)

＝f(f2(8))＝f(5)＝8，…，同理有f4(8)＝11，f5(8)＝5，f6(8)＝

8，…，∴fk(8)的值呈周期性出现，周期为 3.∴f2 012(8)＝f2(8)

＝5.

活动与探究2：1∶8

迁移与应用：

13R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD) 解析：内切圆半径r 内

切球半径R ，

三角形的周长：a ＋b ＋c 三棱锥各面的面积和：S△ABC＋S△ACD

＋S△BCD＋S△ABD，

三角形面积公式系数三棱锥体积公式系数.

∴类比得三棱锥体积

VA －BCD ＝R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．

(证明时，三角形的结论可用等面积法，三棱锥的结论可用等体

积法)

当堂检测

1．在四面体A －BCD 中，G 是△BCD 的重心，则＝(＋＋) 解析：

平面中线段的中点类比到空间四面体中面的重心，顶点与中点的连线

类比顶点和重心的连线．AG AB AC AD

2． 解析：等差数列中，由a1＋an ＝a2＋an －1＝…，得bn ＝

＝＝＝＝a1＋(n －1)，仍为等差数列．

而等比数列中，由c1cn ＝c2cn －1＝…，得dn ＝＝＝，仍为等比

1

21n c q -=

3．5 (n ＋1)(n －2) 解析：如图可得f(4)＝5.

∵f(3)＝2，f(4)＝5＝f(3)＋3，f(5)＝9＝f(4)＋4，f(6)＝14

＝f(5)＋5，

…

∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．

∴f(n)＝f(n －1)＋n －1，

累加，得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n －1)

＝2＋3＋4＋…＋(n －1)

＝(n ＋1)(n －2)．

4．点(n ，n2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝的一个交点 解析：由

已知交点依次写为(1,12)，(2,22)，(3,32)，∴命题n 中交点为(n ，n2)．直线中系数依次为1,2,3，…，∴命题n 中直线的系数为n.双

曲线中系数依次为13,23，33，…，∴命题n 中双曲线系数为n3，∴

命题n 为：点(n ，n2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝的一个交点．

5．30 解析：∵22的“分裂”中有连续2个从1开始的奇数，

32的“分裂”中有连续3个从1开始的奇数，42的“分裂”中有连

续4个从1开始的奇数，∴52的“分裂”中有连续5个从1开始的

奇数，即，∴b＝9.

又∵23,33,43的“分裂”依次是从3开始的连续奇数，∴53的

“分裂”的第一个数为21，即a ＝21.

∴a＋b ＝30.

6．(1)90 (2)9×10n 解析：(1)2位回文数均是不为0的自然

数，故有9个；而对于3位回文数，首、末均相同且不为0，故有9

种，而对于中间一数可含有0，故有10种，因此3位回文数有90种；对于4位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，对于中间两数

则可含有0，故有10种，因此也有90种；(2)经归纳可得2n ＋1位

回文数有9×10n个．