课题_数列知识在物理中的应用
方法概述
数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，能达到打通关卡、长驱直入地解决问题的目的．中学物理《考试大纲》中对学生应用数学方法解决物理问题的能力作出了明确的要求，要求考生有“应用数学处理物理问题”的能力．对这一能力的考查在历年高考试题中也层出不穷，如2009年高考北京理综卷第20题、宁夏理综卷第18题、江苏物理卷第15题；2008年高考四川理综卷第24题、延考区理综卷第25题、上海物理卷第23题、北京理综卷第24题等．
所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测．可以说，任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程．本专题中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比)数列求和法等．
一、极值法
数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等．
1．利用三角函数求极值 y ＝a cos θ＋b sin θ
＝a 2＋b 2(a a 2＋b 2cos θ＋b
a 2＋
b 2sin θ)
令sin φ＝a a 2＋b 2，cos φ＝b
a 2＋
b 2
则有：y ＝a 2＋b 2(sin φcos θ＋cos φsin θ)
＝a 2＋b 2sin (φ＋θ)
所以当φ＋θ＝π
2
时，y 有最大值，且y max ＝a 2＋b 2．
2．利用二次函数求极值
二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2
＋b a x ＋b 24a 2)＋c －b 24a ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 2
4a (其中a 、b 、c
为实常数)，当x ＝－b
2a 时，有极值y m ＝4ac －b 24a
(若二次项系数a >0，y 有极小值；若a <0，
y 有极大值)．
3．均值不等式
对于两个大于零的变量a 、b ，若其和a ＋b 为一定值p ，则当a ＝b 时，其积ab 取得极大值 p 2
4
；对于三个大于零的变量a 、b 、c ，若其和a ＋b ＋c 为一定值q ，则当a ＝b ＝c 时，
其积abc 取得极大值 q 3
27
．
二、几何法
利用几何方法求解物理问题时，常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识，如：带电粒子在有界磁场中的运动类问题，物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等．与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用，尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多，此类问题的难点往往在圆心与半径的确定上，确定方法有以下几种．
1．依切线的性质确定．从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点作
切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径．
2．依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，且平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)确定．如图8－1所示．
图8－1
由EB 2
＝CE ·ED
＝CE ·(2R －CE )
得：R ＝EB 22CE ＋CE
2
也可由勾股定理得： R 2＝(R －CE )2＋EB 2
解得：R ＝EB 22CE ＋CE
2
．
以上两种求半径的方法常用于求解“带电粒子在匀强磁场中的运动”这类习题中． 三、图象法
中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当地引入物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化．图象法是历年高考的热点，因而在复习中要密切关注图象，掌握图象的识别、绘制等方法．
1．物理图象的分类
整个高中教材中有很多不同类型的图象，按图形形状的不同可分为以下几类．
(1)直线型：如匀速直线运动的s －t 图象、匀变速直线运动的v －t 图象、定值电阻的U －I 图象等．
(2)正弦曲线型：如简谐振动的x －t 图象、简谐波的y －x 图象、正弦式交变电流的e －t 图象、正弦式振荡电流的i －t 图象及电荷量的q －t 图象等．
(3)其他型：如共振曲线的A －f 图象、分子力与分子间距离的f －r 图象等． 下面我们对高中物理中接触到的典型物理图象作一综合回顾，以期对物理图象有个较为
图
象
(1)利用图象解题可使解题过程更简化，思路更清晰．
利用图象法解题不仅思路清晰，而且在很多情况下可使解题过程得到简化，起到比解析法更巧妙、更灵活的独特效果．甚至在有些情况下运用解析法可能无能为力，但是运用图象法则会使你豁然开朗，如求解变力分析中的极值类问题等．
(2)利用图象描述物理过程更直观．
从物理图象上可以比较直观地观察出物理过程的动态特征．
(3)利用物理图象分析物理实验．
运用图象处理实验数据是物理实验中常用的一种方法，这是因为它除了具有简明、直观、便于比较和减少偶然误差的特点外，还可以由图象求解第三个相关物理量，尤其是无法从实验中直接得到的结论．
3．对图象意义的理解
(1)首先应明确所给的图象是什么图象，即认清图象中比纵横轴所代表的物理量及它们的“函数关系”，特别是对那些图形相似、容易混淆的图象，更要注意区分．例如振动图象与波动图象、运动学中的s－t图象和v－t图象、电磁振荡中的i－t图象和q－t图象等．
(2)要注意理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义．
①点：图线上的每一个点对应研究对象的一个状态．要特别注意“起点”、“终点”、“拐点”、“交点”，它们往往对应着一个特殊状态．如有的速度图象中，拐点可能表示速度由增大(减小)变为减小(增大)，即加速度的方向发生变化的时刻，而速度图线与时间轴的交点则代表速度的方向发生变化的时刻．
②线：注意观察图线是直线、曲线还是折线等，从而弄清图象所反映的两个物理量之间的关系．
③斜率：表示纵横坐标上两物理量的比值．常有一个重要的物理量与之对应，用于求解定量计算中所对应的物理量的大小以及定性分析变化的快慢．如 v －t 图象的斜率表示加速度．
④截距：表示纵横坐标两物理量在“边界”条件下物理量的大小．由此往往可得到一个很有意义的物理量．如电源的U －I 图象反映了U ＝E －Ir 的函数关系，两截距点分别为(0，
E )和????E r ，0．
⑤面积：有些物理图象的图线与横轴所围的面积往往代表一个物理量的大小．如v －t 图象中面积表示位移．
4．运用图象解答物理问题的步骤 (1)看清纵横坐标分别表示的物理量．
(2)看图象本身，识别两物理量的变化趋势，从而分析具体的物理过程．
(3)看两相关量的变化范围及给出的相关条件，明确图线与坐标轴的交点、图线斜率、图线与坐标轴围成的“面积”的物理意义．
四、数学归纳法
在解决某些物理过程中比较复杂的具体问题时，常从特殊情况出发，类推出一般情况下的猜想，然后用数学归纳法加以证明，从而确定我们的猜想是正确的．利用数学归纳法解题要注意书写上的规范，以便找出其中的规律．
五、微元法
利用微分思想的分析方法称为微元法．它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分，再从中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象的变化规律的一种思想方法．微元法解题的思维过程如下．
(1)隔离选择恰当的微元作为研究对象．微元可以是一小段线段、圆弧或一小块面积，也可以是一个小体积、小质量或一小段时间等，但必须具有整体对象的基本特征．
(2)将微元模型化(如视为点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动等)，并运用相关的物理规律求解这个微元与所求物体之间的关联．
(3)将一个微元的解答结果推广到其他微元，并充分利用各微元间的对称关系、矢量方向关系、近似极限关系等，对各微元的求解结果进行叠加，以求得整体量的合理解答．
六、三角函数法
三角函数反映了三角形的边、角之间的关系，在物理解题中有较广泛的应用．例如：讨论三个共点的平衡力组成的力的三角形时，常用正弦定理求力的大小；用函数的单调变化的临界状态来求取某个物理量的极值；用三角函数的“和积公式”将结论进行化简等．
七、数列法
凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，而是一种变化了的重复．随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化．该类问题求解的基本思路为：
(1)逐个分析开始的几个物理过程；
(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)； (3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解．
无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用．
等差：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)
2d (d 为公差)．
等比：S n ＝a 1(1－q n )
1－q
(q 为公比)．
八、比例法
比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化．应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，要清楚公式的物理意义和每个量在公式中的作用，以及所要讨论的比例关系是否成立．同时要注意以下几点．
(1)比例条件是否满足．物理过程中的变量往往有多个，讨论某两个量间的比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例．
(2)比例是否符合物理意义．不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注
意每个物理量的意义．(如不能根据R ＝U
I
认定电阻与电压成正比)
(3)比例是否存在．讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不
变量．如果该条件不成立，比例也不能成立．(如在串联电路中，不能认为P ＝U 2
R
中P 与R
成反比，因为R 变化的同时，U 也随之变化而并非常量)
许多物理量都是用比值法来定义的，常称之为“比值定义”．如密度ρ＝m
V
，导体的电阻
R ＝U I ，电容器的电容 C ＝Q U ，接触面间的动摩擦因数μ＝f F N ，电场强度E ＝F
q 等．它们的共
同特征是：被定义的物理量是反映物体或物质的属性和特征的，它和定义式中相比的物理量无关．对此，学生很容易把它当做一个数学比例式来处理而忽略了其物理意义，也就是说教学中还要防止数学知识在物理应用中的负迁移．
数学是“物理学家的思想工具”，它使物理学家能“有条理地思考”并能想象出更多的东西．可以说，正是有了数学与物理学的有机结合，才使物理学日臻完善．物理学的严格定量化，使得数学方法成为物理解题中一个不可或缺的工具．
热点、重点、难点
●例1 如图8－2甲所示，一薄木板放在正方形水平桌面上，木板的两端与桌面的两端对齐，一小木块放在木板的正中间．木块和木板的质量均为m ，木块与木板之间、木板与桌面之间的动摩擦因数都为μ．现突然以一水平外力F 将薄木板抽出，要使小木块不从桌面上掉下，则水平外力F 至少应为________．(假设木板抽动过程中始终保持水平，且在竖直方向上的压力全部作用在水平桌面上)
图8－2甲
A ．2μmg
B ．4μmg
C ．6μmg
D ．8μmg
【解析】解法一 F 越大，木块与木板分离时的速度、位移越小，木块越不可能从桌面滑下．设拉力为F 0时，木块恰好能滑至桌面的边缘，再设木块与木板分离的时刻为t 1，在0～t 1 时间内有：
12·(F 0－μmg －2μmg )m ·t 12－12μgt 12＝L 2 对t 1时间后木块滑行的过程，有： v 122μg ＝(μgt 1)22μg ＝L 2－12μgt 12 解得：F 0＝6μmg ．
解法二 F 越大，木块与木板分离时的速度、位移越小，木块越不可能从桌面滑出．若木块不从桌面滑出，则其v －t 图象如图8－2乙中OBC 所示，其中OB 的斜率为μg ，BC 的斜率为－μg ，t 1＝t 2
图8－2乙
有：S △OBC ＝????12·μgt 12×2≤L 2
设拉力为F 时，木板的v －t 图象为图7－2乙中的直线OA ，则S △OAB ＝L
2
即12(v 2－v 1)·t 1＝L 2
其中v 1＝μgt 1，v 2＝F －3μmg
m
·t 1
解得：F ≥6μmg
即拉力至少为6μmg ． [答案] C
【点评】对于两物体间的多过程运动问题，在明确物理过程的基础上，画出物体各自的运动图象，这样两物体的运动特点就很明显了．利用图线与坐标轴所夹面积的关系明确物体间的位移关系，可省略一些物理量的计算，从而快速、简捷地解答问题，同类题可见专题一能力演练第3题．
●例2 如图8－3 甲所示，在竖直平面内的直角坐标系中，一个质量为m 的质点在外力F 的作用下从坐标原点O 由静止沿直线ON 斜向下运动，直线ON 与y 轴负方向成θ角(θ＜π
4
)，则F 的大小至少为________；若F ＝mg tan θ，则质点的机械能大小的变化情况是__________________________．
[2008年高考·上海物理卷]
图8－3甲
【解析】 该质点在重力和外力F 的作用下从静止开始做直线运动，说明质点做匀加速直线运动，如图8－3乙所示，当F 的方向为a 方向(垂直于ON )时，F 最小为mg sin θ；若F ＝mg tan θ，即F 可能为b 方向或c 方向，故除重力外的力F 对质点可能做正功，也可能做负功，所以质点的机械能增加、减少都有可能．
图8－3乙
[答案] mg sin θ 增加、减少都有可能 【点评】运用平行四边形(三角形)定则分析物体受力的变化情况(或用相似三角形比较受力)是一种常用的方法，同类题可见专题一同类拓展2和例题4．
●例3 总质量为80 kg 的跳伞运动员从离地500 m 的直升机上跳下，经过2 s 拉开绳
索开启降落伞，图8－4是跳伞过程中的v －t 图象，试根据图象求：(取g ＝10 m/s 2)
图8－4
(1)t ＝1 s 时运动员的加速度和所受阻力的大小．
(2)估算14 s 内运动员下落的高度及克服阻力做的功． (3)估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间． [2008年高考·上海物理卷]
【解析】(1)从图象中可以看出，在t ＝2 s 内运动员做匀加速运动，其加速度的大小为：a ＝v t t ＝16
2
m/s 2＝8 m/s 2
设此过程中运动员受到的阻力大小为f ，根据牛顿第二定律，有：mg －f ＝ma 得：f ＝m (g －a )＝80×(10－8) N ＝160 N ．
(2)v －t 图象与t 轴所包围的面积表示位移，由图象可知14 s 内该面积包含的格子为39格
所以h ＝39×2×2 m ＝156 m
根据动能定理，有：mgh －W f ＝1
2
m v 2
所以W f ＝mgh －1
2m v 2
＝(80×10×156－1
2
×80×62) J
≈1.23×105
J ．
(3)14 s 后运动员做匀速运动的时间为：
t ′＝H －h v ＝500－1566
s ≈57 s
运动员从飞机上跳下到着地所需要的总时间为： t 总＝t ＋t ′＝(14＋57) s ≈71 s ．
[答案] (1)160 N (2)1.23×105 J (3)71 s
【点评】对于本题，应明确v －t 图象中“面积”的含义，在数小方格个数时需注意合理取舍，即大于半格的算1个，小于半格的舍去．
●例4 如图8－5甲所示，一质量m ＝1 kg 的木板静止在光滑水平地面上．开始时，木板右端与墙相距L ＝0.08 m ，一质量m ＝1 kg 的小物块以初速度v 0＝2 m/s 滑上木板左端．木板的长度可保证物块在运动过程中不与墙接触．物块与木板之间的动摩擦因数μ＝0.1，木板
与墙碰撞后以与碰撞前瞬时等大的速度反弹．取g ＝10 m/s 2
，求：
图8－5甲
(1)从物块滑上木板到两者达到共同速度时，木板与墙碰撞的次数及所用的时间． (2)达到共同速度时木板右端与墙之间的距离．
【解析】解法一 物块滑上木板后，在摩擦力的作用下，木板从静止开始做匀加速运动．设木板的加速度大小为a ，经历时间T 后与墙第一次碰撞，碰撞时的速度为v 1，则有：
μmg ＝ma
L ＝12aT 2
v 1＝aT
可得：a ＝1 m/s 2，T ＝0.4 s ，v 1＝0.4 m/s 物块与木板达到共同速度之前，在每两次碰撞之间，木板受到物块对它的摩擦力作用而做加速度恒定的运动，因而木板与墙相碰后将返回至初态，所用时间为T ．设在物块与木板达到共同速度v 之前木板共经历了n 次碰撞，则有：
v ＝v 0－(2nT ＋Δt )a ＝a ·Δt
式中Δt 是碰撞n 次后木板从起始位置至达到共同速度所需要的时间 上式可改写为：2v ＝v 0－2nTa
由于木板的速率只能在0到v 1之间，故有： 0≤v 0－2nTa ≤2v 1 解得：1.5≤n ≤2.5
由于n 是整数，故n ＝2 解得：v ＝0.2 m/s ，Δt ＝0.2 s
从开始到物块与木板达到共同速度所用的时间为： t ＝4T ＋Δt ＝1.8 s ．
(2)物块与木板达到共同速度时，木板右端与墙之间的距离为：s ＝L －1
2
a ·Δt 2
解得：s ＝0.06 m
解法二 (1)物块滑上木板后，在摩擦力的作用下，木板做匀加速运动的加速度a 1＝μg ＝1 m/s ，方向向右
物块做减速运动的加速度a 2＝μg ＝1 m/s ，方向向左 可作出物块、木板的v －t 图象如图8－5乙所示
由图可知，木板在0.4 s 、1.2 s 时刻两次与墙碰撞，在t ＝1.8 s 时刻物块与木板达到共同速度．
(2)由图8－5乙可知，在t ＝1.8 s 时刻木板的位移为： s ＝1
2
×a 1×0.22＝0.02 m 木板右端距墙壁的距离Δs ＝L －s ＝0.06 m ．
图8－5乙
[答案] (1)1.8 s (2)0.06 m 【点评】本题的两种解题方法都是在清晰地理解物理过程的前提下巧妙地应用数学方法解析的，专题一例4中的解法二也是典型地利用图象来确定物理过程的．
●例5 图8－6所示为一个内外半径分别为R 1和R 2的圆环状均匀带电平面，其单位面积的带电量为σ．取环面中心O 为原点，以垂直于环面的轴线为x 轴．设轴上任意点P 到O 点的距离为x ，P 点的电场强度大小为E ．下面给出E 的四个表达式(式中k 为静电力常量)，其中只有一个是合理的．你可能不会求解此处的场强E ，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性作出判断．根据你的判断，E 的合理表达式应为[2009年高考·北京理
综卷]( )
图8－6
A ．E ＝2πkσ?
?
???
R 1x 2＋R 12－R 2x 2＋R 22x
B ．E ＝2πkσ?
?
???1x 2＋R 12－1x 2＋R 22x C ．E ＝2πkσ?
?
???
R 1x 2＋R 12＋R 2x 2
＋R 22 D ．E ＝2πkσ?
?
?
??1x 2＋R 12＋1x 2＋R 22x 【解析】A 选项表达式可变形为：
E ＝2πkσ? ?????R 11＋(R 1x )2－R 21＋(R 2x )2，对于这一表达式，当R 1＝0时，E ＝－2πkσR 21＋(R 2x
)
2，随x 的增大，E 的绝对值增大，这与客观事实不符合，故A 错误，对于C 选项中的表达式，当x ＝0时，E ＝4πkσ，而事实由对称性知应该为E ＝0，故C 错误．对于D 选项，
E ＝2πkσ
?
?????11＋(R 1x )2＋11＋(R 2x )2 同样E 随x 增大而增大，当x ＝∞时E >0，这与事实不符合，故D 错误，只有B 可能正确．
[答案] B
【点评】本例与2008年高考北京理综卷第20题相似，给出某一规律的公式，要求证它的正确性，这类试题应引起足够的重视．
●例6 如图8－7所示，一轻绳吊着一根粗细均匀的棒，棒下端离地面高为H ，上端套着一个细环．棒和环的质量均为m ，相互间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg (k ＞1)．断开轻绳，棒和环自由下落．假设棒足够长，与地面发生碰撞时触地时间极短，无动能损失．棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计．求：
图8－7
(1)棒第一次与地面碰撞后弹起上升的过程中，环的加速度． (2)从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程s ．
(3)从断开轻绳到棒和环都静止的过程中，摩擦力对环和棒做的总功W ．
[2007年高考·江苏物理卷]
【解析】(1)设棒第一次上升的过程中环的加速度为a 环，由牛顿第二定律有：
a 环＝kmg －mg m
＝(k －1)g ，方向竖直向上．
(2)棒第一次落地前瞬间的速度大小为：v 1＝2gH 设棒弹起后的加速度为a 棒，由牛顿第二定律有：
a 棒＝－kmg ＋mg
m
＝－(k ＋1)g
故棒第一次弹起的最大高度为：
H 1＝－v 122a 棒＝H
k ＋1
路程s ＝H ＋2H 1＝k ＋3
k ＋1
H ．
(3)解法一 设棒第一次弹起经过t 1时间后与环达到共同速度v 1′ 环的速度v 1′＝－v 1＋a 环t 1 棒的速度v 1′＝v 1＋a 棒t 1
解得：t 1＝1k 2H
g
v 1′＝－2gH
k
环的位移h 环1＝－v 1t 1＋1
2a 环t 12＝－k ＋1k
2H
棒的位移h 棒1＝v 1t 1＋1
2a 棒t 12＝k －1k
2H
x 1＝h 环1－h 棒1
解得：x 1＝－2H
k
棒、环一起下落至地，有：v 22－v 1′2＝2gh 棒1
解得：v 2＝2gH
k
同理，环第二次相对棒的位移为：
x 2＝h 环2－h 棒2＝－2H
k
2
……
x n ＝－2H k
n
故环相对棒的总位移x ＝x 1＋x 2＋…＋x n ＝－2H
k －1
所以W ＝kmgx ＝－2kmgH
k －1
．
解法二 经过足够长的时间棒和环最终静止，设这一过程中它们相对滑动的总路程为l ，由能量的转化和守恒定律有：
mgH ＋mg (H ＋l )＝kmgl
解得：l ＝2H
k －1
故摩擦力对环和棒做的总功为：
W ＝－kmgl ＝－2kmgH
k －1
．
[答案] (1)(k －1)g ，方向竖直向上 (2)k ＋3
k ＋1
H
(3)－
2kmgH
k －1 【点评】 ①高考压轴题中常涉及多个物体多次相互作用的问题，求解这类题往往需要应用数学的递推公式或数列求和知识．
②一对滑动摩擦力做功的总和W ＝－f ·s 总，s 总为相对滑动的总路程． ③对于涉及两个对象的运动过程，规定统一的正方向也很重要．
●例7 如图8－8所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l 、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为α，条形匀强磁场的宽度为d ，磁感应强度大小为B ，方向与导轨平面垂直．长度为2d 的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“
”形装置，总质量为m ，置于导轨上．导体棒中通以大小恒为I 的电流
(由外接恒流源产生，图中未画出)．线框的边长为d (d 图8－8 (1)装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q ． (2)线框第一次穿越磁场区域所需的时间t 1． (3)经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离x m ． [2009年高考·江苏物理卷] 【解析】(1)设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框上的安培力做功为W ，由动能定理得： mg sin α·4d ＋W －BIld ＝0 且Q ＝－W 解得：Q ＝4mgd sin α－BIld ． (2)设线框刚离开磁场下边界时的速度为v 1，则接着向下运动2d ，由动能定理得：mg sin α·2d －BIld ＝0－1 2 m v 12 线框在穿越磁场中运动时受到的合力F ＝mg sin α－F ′ 感应电动势E ＝Bd v 感应电流I ′＝E R 安培力F ′＝BI ′d 由牛顿第二定律，在t 到(t ＋Δt )时间内，有Δv ＝F m Δt 则 Δv ＝∑[g sin α－B 2d 2v mR ]Δt 有v 1＝gt 1sin α－2B 2d 3 mR 解得：t 1＝2m (BIld －2mgd sin α)＋ 2B 2d 3 R mg sin α ． (3)经过足够长时间后，线框在磁场下边界与最大距离x m 之间往复运动，由动能定理得： mg sin α·x m －BIl (x m －d )＝0 解得：x m＝BIld BIl－mg sin α ．[答案] (1)4mgd sin α－BIld (2)2m(BIld－2mgd sin α)＋ 2B2d3 R mg sin α (3)BIld BIl－mg sin α 能力演练 一、选择题(10×4分) 1．图示是用来监测在核电站工作的人员受到辐射情况的胸章，通过照相底片被射线感光的区域，可以判断工作人员受到何种辐射．当胸章上1 mm铝片和3 mm铝片下的照相底片被感光，而铅片下的照相底片未被感光时，则工作人员可能受到了辐射的射线是() A．α和βB．α和γ C．β和γD．α、β和γ 【解析】α粒子的穿透能力很弱，一张普通的纸就能把它挡住，题中无法说明辐射中不含α射线，能穿透1 mm、3 mm铝片而不能穿透5 mm铅片的是β射线，若存在γ射线，则5 mm 厚的铅片也能被穿透，故A正确． [答案] A 2．在电磁波发射技术中，使电磁波随各种信号而改变的技术叫调制，调制分调幅和调频两种．在图甲中有A、B两幅图．在收音机电路中天线接收下来的电信号既有高频成分又有低频成分，经放大后送到下一级，需要把高频成分和低频成分分开，只让低频成分输入下一级，如果采用如图乙所示的电路，图乙中虚线框a和b内只用一个电容器或电感器．以下关于电磁波的发射和接收的说法中，正确的是() A．在电磁波的发射技术中，甲图中A是调幅波 B．在电磁波的发射技术中，甲图中B是调幅波 C．在图乙中a是电容器，用来通高频阻低频，b是电感器，用来阻高频通低频 D．在图乙中a是电感器，用来阻交流通直流，b是电容器，用来阻高频通低频 【解析】A图象中高频振荡的振幅随信号而变，为调幅波，B图象中高频振荡的频率随信号而变，为调频波，A正确，检波电路的作用为通低频阻高频，故a为电容较小的高频旁路电容器，b为高频扼流圈，C正确． [答案] AC 3．如图所示，绝热汽缸固定在水平地面上，汽缸内用绝热活塞封闭着一定质量的理想气体，开始时活塞静止在图示位置，现用力使活塞缓慢向右移动一段距离，则在此过程中() A ．外界对汽缸内气体做正功 B ．缸内气体的内能减小 C ．缸内气体在单位时间内作用于活塞单位面积冲量增大 D ．在单位时间内缸内气体分子与活塞碰撞的次数增加 【解析】体积膨胀，气体对外做功，内能减小，温度降低，选项A 错误、B 正确，由体积增大，温度降低知单位时间内气体对活塞的碰撞次数减少，压强减小，选项C 、D 错误． [答案] B 4．两物体甲和乙在同一直线上运动，它们在0～0.4 s 时间内的v －t 图象如图所示．若仅在两物体之间存在相互作用，则物体甲与乙的质量之比和图中时间t 1分别为[2009年高考·全国理综卷Ⅱ]( ) A ．1 3和0.30 s B ．3和0.30 s C ．1 3 和0.28 s D ．3和0.28 s 【解析】根据图象的特点可知甲做匀加速运动，乙做匀减速运动，根据a ＝Δv Δt ，得两物 体加速度大小的关系为3a 甲＝a 乙，根据牛顿第二定律有F m 甲＝13·F m 乙，得m 甲m 乙 ＝3，由a 乙＝10 m/s 2 ＝10.4－t 1 ，可解得t 1＝0.3 s ，B 正确． [答案] B 5．某物体的v －t 图象如图所示，在下列给出的两段时间内，合外力的功和冲量都相同的是( ) A ．0～t 1和t 2～t 4 B ．t 1～t 2和t 3～t 4 C ．0～t 2和t 2～t 4 D ．0～t 1和t 3～t 4 【解析】0～t 1合外力做功为1 2m v 20 ，合外力冲量为m v 0，t 2～t 4合外力做功和合外力冲量 都为0，A 错误；t 3～t 4时间内合外力做功为－12 m v 2 0，合外力冲量为m v 0，t 1～t 2合外力做功 为－12m v 20 ，合外力的冲量－m v 0,0～t 2时间内，合外力做功和合外力冲量都为0．故C 正确． [答案] C 6．一列简谐横波沿x 轴正向传播，t ＝0时刻波形如图所示，从图示时刻起经0.5 s 时间处于x ＝2的质点P 刚好第二次出现波峰，下列说法正确的是( ) A ．t ＝0时刻，P 质点的速度方向指向y 轴正方向 B ．Q 质点开始振动时，P 质点正在波峰 C ．t ＝0.5 s 时刻，质点P 的加速度方向指向y 轴正方向 D ．t ＝0.5 s 时刻，Q 质点第一次出现波峰 【解析】t 0＝0时刻P 质点正向上振动，A 正确．又由题意知，t ＝0.5 s ＝5 4 T ，得T ＝0.4 s ，PQ ＝8 m ＝2λ，故Q 开始振动时P 处于平衡位置向上振动，B 错误．t ＝0.5 s 时刻，P 的 位移为正，加速度方向为负，C 错误；经过t ＝0.5 s ，波传播s ＝v t ＝4 0.4 ×0.5＝5 m ，Q 正处 于波峰，D 正确． [答案] AD 7．如图所示，把一个带电小球A 固定在光滑的水平绝缘桌面上，在桌面的另一处放置带电小球B ．现给小球B 一个垂直AB 连线方向的速度v 0，使其在水平桌面上运动，则下列说法中正确的是( ) A ．若A 、 B 带同种电荷，B 球一定做速度增大的曲线运动 B ．若A 、B 带同种电荷，B 球一定做加速度增大的曲线运动 C ．若A 、B 带同种电荷，B 球一定向电势较低处运动 D ．若A 、B 带异种电荷，B 球可能做速度和加速度大小都不变的曲线运动 【解析】若A 、B 带同种电荷，库仑力对B 球做正功，B 球做速度增大的曲线运动，B 的电势能减小，又由于AB 间距增大，故B 的加速度减小，若A 、B 为异种电荷，当m v 02r ＝kq A q B r 2 时，B 球做匀速圆周运动，速度和加速度的大小都不变，D 正确． [答案] AD 8．某一空间存在着磁感应强度为B 且大小不变、方向随时间t 做周期性变化的匀强磁场(如图甲所示)，规定垂直纸面向里的磁场方向为正．为了使静止于该磁场中的带正电的粒子能按a →b →c →d →e →f 的顺序做横“∞”字曲线运动(即如图乙所示的轨迹)，下列办法可行的是(粒子只受磁场力的作用，其他力不计)( ) A ．若粒子的初始位置在a 处，在t ＝3T 8时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度 B ．若粒子的初始位置在f 处，在t ＝T 2时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度 C ．若粒子的初始位置在e 处，在t ＝11 8T 时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度 D ．若粒子的初始位置在b 处，在t ＝T 2 时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度 【解析】要使粒子的运动轨迹如图乙所示，粒子做圆周运动的轨迹的周期应为T 0＝ 2πm qB ＝T 2 ，结合左手定则可知，选项A 、D 正确． [答案] AD 9．水力采煤是利用高速水流冲击煤层而进行的，煤层受到3.6×106 N/m 2的压强冲击即可破碎，若水流沿水平方向冲击煤层，不考虑水的反向溅射作用，则冲击煤层的水流速度至少应为( ) A ．30 m/s B ．40 m/s C ．45 m/s D ．60 m/s 【解析】建立如图所示模型，设水柱面积为S ，由动量定理： F ·Δt ＝0－(ρS ·v 0·Δt )×(－v 0) 可得压强：p ＝F S ＝ρv 2 故使煤层破碎的速度至少应为v 0＝ p ρ ＝60 m/s ． [答案] D 10．如图甲所示，传送带通过滑道将长为L 、质量为m 的匀质物块以初速度v 0向右送上水平台面，物块前端在台面上滑动s 距离停下来．已知滑道上的摩擦不计，物块与台面间的动摩擦因数为μ而且s >L ，则物块的初速度v 0为( ) 甲 A ．2μgL B ．2μgs －μgL C ．2μgs D ．2μgs ＋μgL 【解析】 物块位移在由0增大到L 的过程中，对台面的压力随位移由0均匀的增加至mg ，故整个过的摩擦力的大小随位移变化的图象如图乙所示，图中梯形“面积”即为物块克服摩擦力所做的功． 乙 由动能定理得：12μmg (s －L ＋s )＝1 2 m v 02 可解得v 0＝2μgs －μgL ． [答案] B 二、非选择题(共60分) 11．(6分)某实验小组拟用如图甲所示的装置研究滑块的运动．实验器材有滑块、钩码、 纸带、米尺、带滑轮的木板以及由漏斗和细线组成的单摆等．实验中，滑块在钩码的作用下拖动纸带做匀加速直线运动，同时单摆沿垂直于纸带运动的方向摆动，漏斗漏出的有色液体在纸带上留下的痕迹记录了漏斗在不同时刻的位置．[2008年高考·重庆理综卷] (1)在图乙中，从________纸带可看出滑块的加速度和速度的方向一致． (2)用该方法测量滑块加速度的误差主要来源有：____________________、____________________．(写出2个即可) 【解析】要使速度和加速度的方向相同，则必须选纸带B，因为B中相等的时间内纸带运动的距离越来越大． [答案] (1)B(2分) (2)摆长测量漏斗的重心变化(或液体痕迹偏粗、阻力变化等)(每空2分) 12．(9分)用高电阻放电法测电容的实验，是通过对高阻值电阻放电的方法，测出电容器的充电电压为U时，所带的电荷量为Q，从而再求出待测电容器的电容C．某同学的实验情况如下： A．按图甲所示的电路连接好实验电路； B．接通开关S，调节电阻箱R的阻值，使小量程电流表的指针偏转接近满刻度，记下这时电流表的示数I0＝490 μA 及电压表的示数U0＝6.2 V，I0和U0分别是电容器放电的初始电流和电压； C．断开开关S，同时开始计时，每隔5 s或10 s测一次电流I的值，将测得数据填入预先设计的表格中，根据表格中的数据(10组)在以时间t为横坐标、电流I为纵坐标的坐标纸上描点，即图乙中用“×”表示的点． (1)实验中，电阻箱所用的阻值R＝________Ω． (2)试根据上述实验结果，在图乙中作出电容器放电的I－t图象． (3)经估算，该电容器两端的电压为U0时所带的电荷量Q0约为______C；该电容器的电容C约为______F． 【解析】由ΔQ＝I·Δt知，电荷量为I－t图象与坐标轴所包围的面积，计面积时可数格数(四舍五入)． [答案] (1)1.3×104(3分)(2)用平滑曲线连接(2分) (3)(8.0～9.0)×10－3(1.29～1.45)×10－3(每空2分) 13．(10分)质量为60 kg的消防队员从一根竖直的轻绳上由静止滑下，经2.5 s落地．轻绳受到的拉力变化情况如图甲所示，取g＝10 m/s2．在消防队员下滑的过程中 (1)其最大速度和落地速度各是多大？ (2)在图乙中画出其v－t图象． (3)其克服摩擦力做的功是多少？ 【解析】(1)设该队员先在t 1＝1 s 的时间内以加速度a 1匀加速下滑，然后在t 2＝1.5 s 的时间内以加速度a 2匀减速下滑 第1 s 内由牛顿第二定律得： mg －F 1＝ma 1 (1分) 最大速度v m ＝a 1t 1 (1分) 代入数据解得：v m ＝4 m/s (1分) 后1.5 s 内由牛顿第二定律得： F 2－mg ＝ma 2 该队员落地时的速度v ＝v m －a 2t 2 (1分) 代入数据解得：v ＝1 m/s ． (2)图象如图丙所示． (2分) (3)该队员在第1 s 内下滑的高度h 1＝1 2 a 1t 12 (1分) 该队员在后1.5 s 内下滑的高度h 2＝v m t 2－1 2 a 2t 22 (1分) 由动能定理得： mg (h 1＋h 2)－W f ＝1 2 m v 2 (1分) 代入数据解得：W f ＝3420 J ． (1分) 丙 [答案] (1)最大速度为4 m/s ，落地速度为1 m/s (2)如图丙所示 (3)3420 J 14．(11分)A 、B 两小球由柔软的细线相连，线长L ＝6 m ，现将A 、B 球先后以相同的初速度v 0＝4.5 m/s 从同一地点水平抛出(先A 、后B )，相隔时间t 0＝0.8 s ．取g ＝10 m/s 2，问： (1)B 球抛出后经过多长时间细线刚好被拉直？(线拉直时，两球都未落地) (2)细线刚被拉直时，A 、B 两球的水平位移(相对抛出点)各为多大？ 【解析】(1)A 球先抛出，0.8 s 时间内 水平位移s 0＝v 0t 0＝4.5×0.8 m ＝3.6 m (1分) 竖直位移：h 0＝12gt 2＝1 2 ×10×0.82 m ＝3.2 m (1分) A 、 B 球都抛出后，若A 球以B 球为参照物，则水平方向相对速度为：v ABx ＝0，竖直方向上A 相对B 的速度为： v ABy ＝gt 0＝8 m/s (1分) 设B 球抛出后经过时间t 线被拉直，则有： (h 0＋v ABy ·t )2＋s 02＝L 2 (2分) 解得：t ＝0.2 s ． (1分) (2)至线拉直A 球运动的总时间： t A ＝t 0＋t ＝1 s (2分) 故A 球的水平位移s A ＝v 0t A ＝4.5 m (2分) B 球的水平位移s B ＝v 0t ＝0.9 m (1分) [答案] (1)0.2 s (2)4.5 m 0.9 m 15．(12分)光滑平行的金属导轨MN 和PQ 的间距L ＝1.0 m ，它们与水平面之间的夹角α＝30°，匀强磁场的磁感应强度B ＝2.0 T ，方向垂直于导轨平面向上，M 、P 间连接有阻值R ＝2.0 Ω 的电阻，其他电阻不计，质量m ＝2.0 kg 的金属杆ab 垂直于导轨放置，如图甲所示．用恒力F 沿导轨平面向上拉金属杆ab ，使其由静止开始运动，其v －t 图象如图乙所示．取g ＝10 m/s 2，设导轨足够长． (1)求恒力F 的大小． (2)金属杆的速度为2.0 m/s 时，加速度为多大？ (3)根据v －t 图象估算在前0.8 s 内电阻上产生的热量． 【解析】(1)由图乙知，杆运动的最大速度v m ＝4 m/s (2分) 此时有：F ＝mg sin α＋F 安 ＝mg sin α＋B 2L 2v m R (1分) 代入数据得：F ＝18 N ． (1分) (2)对杆进行受力分析，如图丙所示，由牛顿第二定律可得： 丙 F －F 安－mg sin α＝ma (1分) a ＝F －B 2L 2v R －mg sin α m 代入数据得：a ＝2.0 m/s 2． (1分) (3)由图乙可知，0.8 s 末金属杆的速度v 1＝2.2 m/s (1分) 前 0.8 s 内图线与t 轴所包围的小方格的个数约为27，面积为27×0.2×0.2＝1.08，即前0.8 s 内金属杆的位移为： s ＝1.08 m (2分) 由能的转化与守恒定律得： Q ＝Fs －mgs sin α－1 2 m v 12 (2分) 代入数据得：Q ＝3.80 J ． (1分) [答案] (1)18 N (2)2.0 m/s 2 (3)3.80 J 16．(12分)为研究静电除尘，有人设计了一个盒状容器，容器侧面是绝缘的透明有机玻璃，它的上下底面是面积S ＝0.04 m 2的金属板，间距L ＝0.05 m ，当连接到U ＝2500 V 的高压电源正负两极时，能在两金属板间产生一个匀强电场，如图所示．现把一定量均匀分布的烟尘颗粒密闭在容器内，每1 m 3 有烟尘颗粒1×1013个，假设这些颗粒都处于静止状态， 每个颗粒的带电荷量q ＝＋1.0×10－17 C ，质量m ＝2.0×10－ 15 kg ，不考虑烟尘颗粒之间的相互作用和空气阻力，并忽略烟尘颗粒所受的重力．问合上开关后： (1)经过多长时间烟尘颗粒可以被全部吸附？ (2)除尘过程中电场力对烟尘颗粒共做了多少功？ (3)经过多长时间容器中烟尘颗粒的总动能达到最大？ 【解析】(1)由题意可知，只要位于上板表面的烟尘能被吸附到下板，烟尘即被认为全 部吸收．设经过时间t 烟尘颗粒可以被全部吸附，烟尘所受的电场力F ＝qU L (1分) L ＝12at 2＝12·F m t 2＝qUt 2 2mL (2分) 得：t ＝2m qU L ＝0.02 s ． (1分) (2)由于板间烟尘颗粒均匀分布，可以认为烟尘的质心位于板间中点位置，因此，除尘过程中电场力对烟尘所做的总功为： W ＝12 NSLqU ＝2.5×10－ 4 J ． (3分) (3)设烟尘颗粒下落的距离为x ，则板内烟尘的总动能为： E k ＝12m v 2·NS (L －x )＝qU L x ·NS (L －x ) (1分) 当x ＝L 2时，E k 达最大 (1分) 又x ＝1 2 at 12 (1分) 所以t 1＝2x a ＝m qU L ＝0.014 s ． (2分) [答案] (1)0.02 s (2)2.5×10－ 4 J (3)0.014 s 数列 一、知识梳理 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式：如果数列 {}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =. 3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式 ①n n a a a S +++= 21； ②?? ?≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如:.,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使 +∈≤N n M a n ,. ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得 M a n >. 等差数列 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式 ⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差. ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S += 或d n n na S n )1(2 1 1-+=. 3.等差中项 如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 即：A 是a 与b 的等差中项?b a A +=2?a ，A ，b 成等差数列. 4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1 （+∈N n ，d 是常数）?{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )?{}n a 是等差数列. 5.等差数列的常用性质 ⑴数列 {}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd . ⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a ) ⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+； ⑸若等差数列 {}n a 的前n 项和n S ，则? ?? ???n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则n n a a S S nd S S 1 , +==-奇偶奇偶 ； 《数列》知识点归纳及例题分析 一、数列的概念： 1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系：???≥-==-) 2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意：强调2,1≥=n n 分开，注意下标；n a 与n S 之间的互化（求通 项） 例2：已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2,11 ,32n n n S n ，求n a . 3.数列的函数性质： （1）单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法 （2）最大（小）项问题： 单调性法；图像法 （3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系） 例3：已知数列}{n a 满足????? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531 =a ，求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处） 例题： 例4（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1 a n －1 (n ≥2，n ∈N * )，数列{b n }满足b n ＝1a n －1 (n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 ∵a n ＝2－1 a n －1 (n ≥2，n ∈N * )，b n ＝1 a n －1 . ∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1 a n －1－1 ＝ 1? ?? ??2－1a n －1－1 －1 a n －1－1 ＝a n －1 a n －1－1－1a n －1－1 ＝1. ∴数列{b n }是以－5 2 为首项，1为公差的等差数列． 初中物理知识在实际生活中的一些应用 寨里中学刘善锋 物理是一门历史悠久的自然学科，物理科学作为自然科学的重要分支，不仅对物质文明的进步和人类对自然界认识的加深起了重要的推动作用，而且对人类的思维发展也产生了重要的影响。从亚里士多德时代的自然哲学，到牛顿时代的经典力学，直至现代物理中的相对论和量子力学等，都是物理学家的科学素质、科学精神以及科学思维的有形体现。随着科技的发展、社会的进步，物理已渗入到人类生活的各个领域。 新课程标准告诉我们“义务教育阶段的物理课程应贴近学生生活，符合学生认知特点，激发并保持学生的学习兴趣，通过探索物理现象，揭示隐藏其中的物理规律，并将其应用于生产生活实际，培养学生终身的探索乐趣、良好的思维习惯和初步的科学实践能力。”在生活中，我们会接触到各种各样的物体，为了更好的了解和使用它们，就要用到相关的物理知识。用身边的事例去解释和总结物理规律，学生易于接受和理解。只要时时留意，经常总结，就会不断发现有利于物理教学的事例，从而丰富我们的课堂，活跃教学气氛，简化物理概念和规律。 物理学存在于物理学家的身边。勤于观察的意大利物理学家伽利略，在比萨大教堂做礼拜时，悬挂在教堂半空中的铜吊灯的摆动引起了他极大的兴趣，后来反复观察，反复研究，发现了摆的等时性原理；勇于实践的美国物理学家富兰克林，为认清“天神发怒”的本质，在一个电闪雷鸣、风雨交加的日子，冒着生命危险，利用一个带铁丝的风筝将“上帝之火”请下凡间，由此发明了避雷针；古希腊阿基米德发现阿基米德原理；牛顿从苹果落地发现了万有引力定律；德国物理学家伦琴发现X射线……研究身边的琐事并因此成名的物理学家的事例不胜枚举。 物理学也存在于同学们身边。学习了电学知识后，同学们发现电在我们生活中起着举足轻重的作用。电灯、电视机、电饭煲、电褥子、电磁炉等，在很多家庭中都是必需品。当某个时候突然停电时，我们会变得手足无措。没有了电视，我们会觉得生活很单调;没有了电灯，我们会觉得回到了点煤油灯的时代。特别是现在的孩子，每次遇到这种情况，他们都会感叹电在现代文明中的重要作用。 于是，同学们自发的对家庭中涉及到电的物体进行了探究。经过一段时间的努力，他们得出各种各样的结论。在交流的基础上，各小组进行了汇总，得出几方面的结论： 一、在家庭线路安装方面 1.电表箱中电能表的选择，220V 20A的规格满足了大多数家庭用电器总功率 过大的要求。 2.电线的选择，2.5平方毫米的铜导线允许通过的最大电流23A，即与电能表 相匹配，又满足了大功率用电器对导线的安全要求。 3.闸刀开关中的保险丝，熔点低，电阻大。当线路中出现短路或过载时能自 动熔断，起到保护电路的作用。 4.漏电断路器，比闸刀开关更先进一些，除了对短路和过载起作用外，对于 意外的漏电和触电事故能起到自动跳闸的作用，更好的保障我们的人身安全。 5.三孔插座中的地线，可以把漏电电流及时的导入大地，避免了因用电器漏 电造成的人身触电事故。洗衣机、空调和其它大功率用电器的电源线都是三线 插头，就是为了和地线配套使用。 二、厨房中的电器 1.电饭煲利用电流的热效应，把电能转化为热能，它的热效率较低。 2.电磁炉能把电能转化为电磁能，电磁能转化为电能，电能再转化为热能。 等差数列 一、数列 定义：有序的一列数 表示方法：1）最常见的枚举法：1,2,3,4,5,6…… 2）★★★通项公式：()n a f n =，理解：数列是一种特殊的函数，特殊在定义域上，定义 域n 是从1开始的自然数，所以说，数列又可以从函数解析式的角度来分析数列特征 3）递推关系：1 ()n n a f a +=，理解：递推公式是最直观的，比如说等差数列就是后一项和前一项的 差相等，但是递推公式不利于分析数列的性质，比如想知道第100项是多少，就需要由递推公式去推出通项公 式 4）求和公式：n S ，理解：n S 和n a 的关系11 (2) (1)n n S S n S n --≥??=?（记⑤） ★★★难点：递推公式?通项公式 通项公式?求和公式 ☆☆☆一般考察思路：/n n a S ?递推公式?通项公式n S ??不等式（中间截取一段或者几段） 二、等差数列 1. 递推公式：1n n a a d +=+（d 可以是0） ()n m a a n m d =+- 2. 通项公式：1(1)()n a a n d f n =+-=（可以把这个式子看成一个关于n 的一次函数（记①）） 1(dn a d =+-）（一次项系数为d （记②），这个式子递增递减的变化取决于公差d （记③）） 3. 求和公式： 1()2 n n a a n S += （把n a 的式子代入）1(1) 2 n n na d -=+ （更常用） 21=()22d d n a n +-（可看成二次函数，无常数项。二次项系数为2 d ，决定开口方向。（记④） ?从函数的角度看一个数列的n S 有没有最大值和最小值是由d 的正负决定的） 考点1：由数列函数性质速算通项公式和求和公式 例题1.已知一个等差数列{}n a ，2 5a =，57a =，求通项公式 解析：1）通常解法：求通项公式，求1a 求d 52233a a d -= = ，1133a =，1132211 (1)(1)=3333 n a a n d n n =+-=+-?+ 2）口算解法：把n a 看成一个函数1(n a dn a d =+-）（由②，只需要记住一次项系数为d ） 所以23n a n = +一个数，然后代入2a ，解得那个数是113 例题2．1）已知数列{}n a 的通项公式是25n a n =+，求n S 解析：由①知，通项公式为关于n 的一次函数，则n a 是等差数列 常规解法：21221(1) 7,9,2,7262 n n n a a d a a S n n n -===-==+ ?=+ 口算解法：（函数的角度）由②，知道2d =，由④知，2 2 n d S n =+一个数n ?2=n +一个数n ? 想求得这个数只需要代入一个n S 即可，21171S a ===+一个数1?，可知，这个数为6 所以26n S n n =+ 2）已知数列{}n a 的前n 项和为23n S n n =-，求{}n a 的通项公式 解析：由④，n S 是没有常数项的二次函数，所以{}n a 是等差数列 由口算解法，可知6n a n =+一个数，由112S a ==，64n a n =- 数列在生活中的应用 在实际生活和经济活动中、很多问题都与数列密切相关。如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析、从而予以解决。与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用! 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、日用之繁、无处不用数学。这是对数学与生活关系的精彩描述。 首先, 我重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。 （一）按揭货款中的数列问题 随着中央推行积极的财政政策、购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出、极大地刺激了人们的消费欲望、扩大了内需、有效地拉动了经济增长。 众所周知、按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。这个等额数是如何得来的、此外若干月后、还应归还银行多少本金、这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这一问题的解决办法。 若贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有: a1=a0(1+p)-a, a2=a1(1+p)-a, a3=a2(1+p)-a, ...... an+1=an(1+p)-a,.........................(*) 将（*）变形、得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p. 由此可见、{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项、1+p为公比的等比数列。日常生活中一切有关按揭货款的问题、均可根据此式计算。 （二）有关数列的其他经济应用问题 数列知识除在个人投资理财方面有较为广泛的应用外、在企业经营管理上也是不可或缺的。一定做过大量的应用题吧！虽然这些应用题是从实际生活中抽象出的略高于生活的问题、但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活密切关系的一类问题。因此、解答应用问题有助于我们对数学在日常生活中广泛应用的理解和认识。 (三)数列在艺术中的广泛应用 数学方法在物理学中的应用（一） 物理学中的数学方法是物理思维和数学思维高度融合的产物,借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性,能达到打通关卡、快速简捷地解决问题的目的。高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用,借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。可以说任何物理试题的求解过程实质上都是一个将物理问题转化为数学问题,然后经过求解再次还原为物理结论的过程。复习中应加强基本的运算能力的培养,同时要注意三角函数的运用,对于图象的运用要重视从图象中获取信息能力的培养与训练。在解决带电粒子运动的问题时,要注意几何知识、参数方程等数学方法的应用。在解决力学问题时,要注意极值法、微元法、数列法、分类讨论法等数学方法的应用。 一、极值法 数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等。 1．利用三角函数求极值 y ＝acos θ＋bsin θ ＝ ( + ) 令sin φ＝ ，cos φ＝ 则有：y ＝ (sin φcos θ＋cos φsin θ) ＝sin (φ＋θ) 所以当φ＋θ＝π2 时，y 有最大值，且y max ＝． 典例：在倾角θ= 30°的斜面上,放置一个重量为200 N 的物体,物体与斜面间的动摩擦因数为μ= 3 3,要使物体沿斜面匀速向上移动,所加的力至少要多大?方向如何? 【解析】设所加的外力F 与斜面夹角为α,物体受力情况如图所示。 由于物体做匀速直线运动,根据共点力的平衡条件,有 F cos α- mg sin θ-f = 0 N +F sin α - mg cos θ = 0 而f =μN 解得:F =α μαθμθsin cos cos (sin ++mg 因为θ已知,故分子为定值,分母是变量为α的三角函数 y=cos + = ( cos + sin ) = (sin cos + cos sin ) = sin(+ ) 其中 sin = ，cos = ，即 tan = 。 当+ = 90 时，即 = 90 - 时，y 取最大值 。 F 最小值为 ,由于 = ，即 tan = ，所以 = 60。 带入数据得 Fmin = 100 N,此时 = 30 。 【名师点睛】根据对物体的受力情况分析,然后根据物理规律写出相关物理量的方程,解出所求量的表达式,进而结合三角函数的公式求极值,这是利用三角函数求极值的常用方法,这也是数学中方程思想和函数思想在物理解题中的重要应用。 2．利用二次函数求极值 二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b a x ＋b 24a 2)＋c －b 24a ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 2 4a (其中a 、b 、c 为实常数)，当x ＝－b 2a 时，有极值y m ＝4ac －b 24a (若二次项系数a >0，y 有极小值；若a <0，y 有极大值)。 典例：在“十”字交叉互通的两条水平直行道路上,分别有甲、乙两辆汽车运动,以“十”字中心为原点,沿直道建立xOy 坐标系。在t = 0 时刻,甲车坐标为(1,0),以速度v 0=k m/s 沿 -x 轴方向做匀速直线运 《高等数学》知识在物理学中的应用举例 一 导数与微分的应用 分析 利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题。求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量求变化率。在此基础上，灵活运用各类导数和微分公式解决具体问题。 例 1 如图，曲柄,r OA =以均匀角速度ω饶定点O 转动.此曲柄借连杆AB 使滑块B 沿直线Ox 运动.求连杆上C 点的轨道方程及速度.设,a CB AC == ,?=∠AOB .ψ=∠ABO y 解 1) 如图，点C 的坐标为： ψ?cos cos a r x +=， (1) .sin ψa y = (2) 由三角形的正弦定理，有 ,sin 2sin ? ψa r = o x 故得 .2sin 2sin r y r a == ψ? (3) 由(1)得 r y a x r a x 2 2cos cos --= -=ψ? (4) 由,1cos sin )4()3(2222=+=+??得 ,12422 222222=---++r y a x y a x r y 化简整理,得C 点的轨道方程为: .)3()(422222222r a y x y a x -++=- 2) 要求C 点的速度,首先对(1),(2)分别求导,得 ,sin cos 2cos sin ψψ?ω?ωr r x --=' ,2 cos ? ωr y =' 其中.?ω'= 又因为,sin 2sin ψ?a r = 对该式两边分别求导,得 .cos 2cos ψ ? ωψa r = ' 所以C 点的速度 2 2 y x V '+'=4 cos )sin cos 2cos sin (2222 ?ωψψ?ω?ωr r r + --= .)sin(cos sin 4cos cos 22ψ?ψ??ψ ω ++= r 例2 若一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为),2sin 1(T t c a π-=式中c 及 T 为常数,已知升降机的初速度为零,试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程. 解: 由题设及加速度的微分形式dt dv a = ,有 ,)2sin 1(dt T t c dv π-= 对等式两边同时积分 ? ?-=v t dt T t c dv 0 ,)2sin 1(π 得: ,2cos 2D T t T c ct v ++=ππ 其中D 为常数. 由初始条件:,0,0==t v 得,2c T D π - =于是 )].12(cos 2[-+ =T t T t c v ππ 又因为,dt ds v = 得 ,)]12(cos 2[dt T t T t c ds -+ =ππ 对等式两边同时积分,可得: )].2sin 2(221[2t T t T T t c s -+=πππ 数列 基础知识梳理 一、数列 1、数列的定义 数列是按照一定顺序排列着的一列数，在函数的意义下，数列是某一定义域为正整数或它 的有限子集｛1,2,3,4，……,n｝的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值， 其图像是无限个或有限个孤立的点，数列的一般形式为印，a2,a3,|l（,a n ,通常简记为｛a n｝，其中a n是数列的第n项，也叫通项。 1）｛a n｝与a n是不同的概念，｛a n｝表示数列a1l a2,a3^|,an^L而a.表示的是这个数 列的第n项 2）数列与集合的区别 集合中元素性质：确定性，无序性，互异性； 数列中数的性质：确定性，有序性，可重复性。 2、数列的通项公式 当一个数列｛a n｝的第n项a n与项数n之间的函数关系可以用一个公式a^ f n来表示，就把这个公式叫数列｛a n｝的通项公式，可根据数列的通项公式算出数列的各项，也可判断给定的数是否为数列｛a n｝中的项或可确定是第几项。但不是所有数列都可以写出通项公式，数列的通项公式也不唯一。 3、数列的表示方法 数列看成一个特殊的函数，所有从函数的观点出发，数列的表示方法有以下三种: 1）解析法：通项公式和递推公式两种； 2）列表法 3）图像法（数列的图像是一系列孤立的点）4、数列的分类 （1）有穷数列和无穷数列 （2）单调数列，搬动数列，常数列 5、a n与S n的关系 S（ n =1） n 一IS n —Sn4（n^2） 6、等差数列 1）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数， 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 定义的表示为：a n -a n 一1 = d （n ?二 N *,n 丄2）或者 a n ： -a n = d （n ?二 N *） 公差d 可正可负或为零，为零时，数列为常数列。 2）等差数列的通项公式 a n =印 n -1 d, a .二 a m n -m d d = a n ~am (n = m) n —m 3）等差数列的增减性 d .0=等差数列「aj 为递增数列； d ：：0=等差数列「a/为递减数列； d=0=等差数列CaJ 为常数列。 4 ）等差中项 a +b 任意两个数a,b 有且仅有一个等差中项 ，即。 2 A 二~~ = a,A,b 三个数构成等差数列。 2 5）等差数列前n 项和公式（倒序相加法） n & a n S i ； 2 n （n —1） 5 d. 2 + x , n （n T ） d 2 『 d 第二个公式 q = na 1 d 可整理成 S n n …I 印 n 2 2 I 2丿 pl pl A 二一启二印-一则S n =An 2 ? B n , S n 可看成是关于n 的二次函数（常数项为 2 2 那么可以得出一下结论： （1） 当d -0是,S n 有最小值；当d ：：：0是,S n 有最大值； （2） ｛ a n ｝是等差数列二 S n 二 An 2 ? Bn. 对于第二个公式要求 a n ，a m 是数列中的项即可，也可表示为 n -1 北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案 北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案 知识网络： 目标认知 考试大纲要求： 1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用； 2.掌握常见的求数列通项的一般方法； 3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质，并能解决简单的实际问题. 4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题. 重点： 1.掌握常见的求数列通项的一般方法； 3.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题 难点： 用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题. 知识要点梳理 知识点一：通项与前n项和的关系 任意数列的前n项和； 注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行： （1）求， （2）求出当n≥2时的， （3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有 成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式. 知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法1.迭加累加法： ， 则，，…， 2.迭乘累乘法： ， 则，，…， 知识点三：数列应用问题 1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型. 2.建立数学模型的一般方法步骤. ①认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ⑴明确问题属于哪类应用问题； ⑵弄清题目中的主要已知事项； ⑶明确所求的结论是什么. ②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达. ③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如 数列在生活中的应用 摘要： 数学是一门源于生活又用于生活的科学，数学研究是亘古以来人类社会生活中不可缺少的一部分。数列计算是数学学习中一个十分重要的分支，并且由于数列的研究与计算同社会经济、资源生活有着紧密的联系，使得对于数列研究的重视热情逐渐高涨，加之具有的灵活多变的计算，趣味横生的问题等，都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。 关键词：数列应用分期付款资源利用 众所周知，数列是数学知识中的一个重要环节，以具体问题为基础，进行答案的解析是数列学习中的一个重要部分，这就注定了数列是以解决实际问题为目的而存在的。数列在经济生活和资源计算等领域，有着广泛的使用，在解决投资分配、汇率计算、资源利用分配等方面问题中有着无可比拟的优势。本文将在简述数列广泛应用的基础上，具体分析数列在以上几个生活领域中的应用情况。 一、例述数列在生活中的应用 数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并影响着人们的生活。以生活中的一个常见问题为例： 在对某地超市进行统计调查后发现，每天购买甲乙两种蔬菜的人数约为200人，且第一天购买甲种蔬菜的第二天会有20%购买乙种蔬菜，第一天购买乙种蔬菜的第二天会有30%购买甲种蔬菜，则据此推算超市应当如何安排甲乙两种蔬菜的进货量。 解决方案:设第n天购买甲乙两种蔬菜的人数分别为An、Bn，则： An+1=0.8An+0.3Bn; Bn+1=0.2An+0.7Bn; 由于An+Bn=200，则可推算得An+1=0.8An+0.3（200-An） =60+0.5An； 则An+1-120=0.5（An-120）； 可得，{An-120}是以A1-120为首项，0.5为公比的等比数列； 假设，第一天购买甲种蔬菜的有a人，则 An=0.5^（n-1）*（a-120）+120 当n趋近于无穷时，易得，An趋近于120且与a的值无关。 则可知，购买甲种蔬菜的人数稳定在120人，购买一种蔬菜的人数稳定在80人。 上述例题，以生活中常见的一类问题为原型，通过理论求解达到了解决实际问题的目的，这是数列在生活中应用的冰山一角。 二、银行储蓄与分期付款中的数列应用 储蓄与贷款与国计民生、社会生活发展息息相关，大到支援国家建设，小到个人家庭的财政支出管理，处处都嵌套着数列的应用。 在人们日常的生活规划中，为未来进行资金储备的零存整取的存储模式是银行储蓄中常见的一种金融计算方式。下面将以某一常见模式为例，进行数列在储蓄领域应用的解析。 设储户每期存入银行的金额为M，利率设为p，储户连续存入n期，那么到第n期期末时，本金数额为nM，在这个过程中，第一期存款利率为pMn，第二期的存款利率为PM(n-1)以此类推，到了第（n-1）期时存款利率为2pM，第n 期存款利率为pM。对上述各阶段的利息求和可得： Sn=Mp+2Mp+……+Mp(n-1)+Mpn =Mp(1+2+……+n-1+n) =1/2n(n+1)Mp 期间，纳税金额为：1/2n(n+1)Mp*20%=1/10n(n+1)Mp 最后，实际取出金额为：nA*1/2n(n+1)Mp-1/10n(n+1)Mp =M[n+2/5n(n+1)p] 这是学生在练习中接触到的一种银行金融储蓄计算方式，是数列应用深入生活，影响生活方面的直接体现。随着社会经济的发展，人们的理财观念也渐渐发生了转变，小额贷款成为了社会生活中的一个热门话题。这就是数列在生活中的 数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界 项， 即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由10 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶 奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ，有 初中应用物理知识大全 厨房中的物理 我们认真观察厨房里燃料、炊具，做饭、做菜等全部过程，回忆厨房中发生的一系列变化，会看到有关的物理现象。利用物理知识解释这些现象如下： 一、与电学知识有关的现象 1、电饭堡煮饭、电炒锅煮菜、电水壶烧开水是利用电能转化为内能，都是利用热传递煮饭、煮菜、烧开水的。 2、排气扇（抽油烟机）利用电能转化为机械能，利用空气对流进行空气变换。 3、电饭煲、电炒锅、电水壶的三脚插头，插入三孔插座，防止用电器漏电和触电事故的发生。 4、微波炉加热均匀，热效率高，卫生无污染。加热原理是利用电能转化为电磁能，再将电磁能转化为内能。 5、厨房中的电灯，利用电流的热效应工作，将电能转化为内能和光能。 6、厨房的炉灶（蜂窝煤灶，液化气灶，煤灶，柴灶）是将化学能转化为内能，即燃料燃烧放出热量。 二、与力学知识有关的现象 1、电水壶的壶嘴与壶肚构成连通器，水面总是相平的。 2、菜刀的刀刃薄是为了减小受力面积，增大压强。 3、菜刀的刀刃有油，为的是在切菜时，使接触面光滑，减小摩擦。 4、菜刀柄、锅铲柄、电水壶把手有凸凹花纹，使接触面粗糙，增大摩擦。 5、火铲送煤时，是利用煤的惯性将煤送入火炉。 6、往保温瓶里倒开水，根据声音知水量高低。由于水量增多，空气柱的长度减小，振动频率增大，音调升高。 7、磨菜刀时要不断浇水，是因为菜刀与石头摩擦做功产生热使刀的内能增加，温度升高，刀口硬度变小，刀口不利；浇水是利用热传递使菜刀内能减小，温度降低，不会升至过高。 三、与热学知识有关的现象 （一）与热学中的热膨胀和热传递有关的现象 1、使用炉灶烧水或炒菜，要使锅底放在火苗的外焰，不要让锅底压住火头，可使锅的温度升高快，是因为火苗的外焰温度高。 2、锅铲、汤勺、漏勺、铝锅等炊具的柄用木料制成，是因为木料是热的不良导体，以便在烹任过程中不烫手。 3、炉灶上方安装排风扇，是为了加快空气对流，使厨房油烟及时排出去，避免污染空间。 4、滚烫的砂锅放在湿地上易破裂。这是因为砂锅是热的不良导体，烫砂锅放在湿地上时，砂锅外壁迅速放热收缩 数学基础知识例题 数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案 例1. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 例2. 解：∵1--=n n n S S a ,∴ n n n S S 221=--,∴12 211 =---n n n n S S 设n n n S b 2 = 则{}n b 是公差为1的等差数列,∴11-+=n b b n 又∵2 3 22111=== a S b , ∴ 21 2 +=n S n n ,∴12)12(-+=n n n S ,∴当2n ≥时 212)32(--+=-=n n n n n S S a ∴????+=-2 2 )32(3n n n a (1)(2)n n =≥,1 2)12(-+=n n n S 例3 解：1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有11 1 -+-=n n a n n a ∵11=a ,∴312=a ,31423?=a ,3142534??=a ,3 1 4253645???=a , ∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=???-+????--=n n n n n n n a n ΛΛ,∴122+==n n a n S n n . 例4.解：)111(2)1(23211+-=+=++++= n n n n n a n Λ∴12)111(2)111()3 1 21()211(2+= +-=??????+-++-+-=n n n n n S n Λ 例5.A 例6. 解:1324321-+++++=n n nx x x x S ΛΛ①()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132ΛΛ② ①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211ΛΛ， 当1≠x 时,()()x nx x n x nx nx x nx x x S x n n n n n n n n -++-=-+--=---=-++1111111111∴()() 21111x nx x n S n n n -++-=+; 当1=x 时，()2 14321n n n S n +=++++=ΛΛ 例7.C 例8.192 例9.C 例10. 解：14582 54 54255358-=-? =?==a a a q a a 另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴25482-?=a ∴14588-=a 例11.D 例12.C 例13.解：12311=-==S a , 当2n ≥时,56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ,1=n 时亦满足 ∴ 56-=n a n , ∴首项11=a 且 )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成等差数列且公差为6、首项11=a 、通项公式为56-=n a n 例14. 解一：设首项为1a ，公差为d 则???? ????? = ??+??++=?+1732225662256)(635421112121 11d a d d a d a 5=?d 解二：??? ??==+2732354 奇偶偶奇S S S S ???==?162192奇偶S S 由 d S S 6=-奇偶5=?d 例15. 解：∵109181a a a a =，∴205 100 110918=== a a a a 例16. 解题思路分析： 法一：利用基本元素分析法 设{a n }首项为a 1，公差为d ，则71151 76772 151415752 S a d S a d ?? =+=?????=+=??∴ 121a d =-??=? ∴ (1)22n n n S -=-+∴ 15 2222 n S n n n -=-+=-此式为n 的一次函数 ∴ {n S n }为等差数列∴ 21944n T n n =- 法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2 +Bn ∴ 2 72 157******** S A B S A B ?=?+=??=?+=?? 解之得：12 5 2 A B ?=????=-??∴ 21522n S n n =-，下略 注：法二利用了等差数列前n 项和的性质 例17.解：设原来三个数为2,,aq aq a 则必有 )32(22-+=aq a aq ①,)32()4(22-=-aq a aq ② 由①： a a q 24+=代入②得：2=a 或9 5 =a 从而5=q 或13 ∴原来三个数为2,10,50或9 338 ,926,92 例18.70 例19. 解题思路分析： ∵ {a n }为等差数列∴ {b n }为等比数列 ∴ b 1b 3=b 22,∴ b 23=81,∴ b 2=21,∴ 1312178 14 b b b b ? +=????=??,∴ 13218b b =???=??或 12182b b ?=?? ?=? ∴ 13212()24n n n b --== 或 1251 428n n n b --=?= ∵ 1 ()2n a n b =,∴ 12 log n n a b =,∴ a n =2n -3 或 a n =-2n +5 例20. 2392 n n + 数列应用题专题训练 高三数学备课组 以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。 一、储蓄问题 对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2)存几年。 单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr)。 复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。 例1、（储蓄问题）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式： (1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n·6.5%)计本利(n为年数)； (2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n·a计算本利(n为年数)。 问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？ 分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。 解：若不计复利，5年的零存整取本利是 2000(1+5×0.065)+2000(1+4×0.065)+…+2000(1+0.065)=11950； 若计复利，则 2000(1+5%)5+2000(1+5%)4+…+2000(1+5%)≈11860元。 所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。 二、等差、等比数列问题 等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。 例2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。若交付150元以后的第 数列知识在日常生活中的应用例谈 发表时间：2012-03-26T09:56:05.130Z 来源：《现代教育科研论坛》2012年第2期供稿作者：李健 [导读] 数列知识有着广泛的应用，如生物种群数量变化，银行中的利息计算，人口增长，粮食增长、住房建设等等问题 李健（贵阳市第二十五中学贵州贵阳 550000） 数列知识有着广泛的应用，如生物种群数量变化，银行中的利息计算，人口增长，粮食增长、住房建设等等问题，都会用到高中的数列知识。本文举例说明，有助于学生认识和理解数列知识。 例1：在植物组织培养过程中，某细胞在培养基中按照1个分裂为2个，2个分裂为4个，依次分裂下去进行增加，而且每15分钟分裂一次。那么，1小时后，这种细胞会增加到多少个？ 解析：这是生物学上的一个比较常见的问题（细菌的分裂已是如此）。应用数列知识我们很快就会求得。 显然，a1＝2，q＝2，n＝4，那么a4＝a1 ×qn-1＝2×23=16（个） 例2：某房地产公司推出的售房有两套方案：一种是分期付款的方案，当年要求买房户首付3万元，然后从第二年起连续十年，每年付款8000元；另一种方案是一次性付款，优惠价为9万元，若一买房户有现金9万元可以用于购房，又考虑到另有一项投资年收益率为5%，他该采用哪种方案购房更合算？请说明理由．(参考数据1.059≈1.551，1.0510≈1.628) 解析：如果分期付款，到第十一年付清后看其是否有结余，设首次付款后第n年的结余数为an， ∵a1=(9－3)×(1＋0.5%)－0.8=6×1.05－0.8 a2=(6×1.05－0.8)×1.05－0.8=6×1.052－0.8×(1＋1.05) …… a10=6×1.0510－0.8(1＋1.05＋…＋1.059) =6×1.0510－0.8× =6×1.0510－16×(1.0510－1) =16－10×1.0510 ≈16－16.28=－0.28(万元) 所以一次性付款合算． 例3：假如某市2010年新建住房面积为4000平方米，其中，250平方米为中低价房，预计在今后若干年内该市每年新建住房面积平均不上一年增长8%，加50平方米，问到哪一年底该市历年新建的中低价房的累计面积将首次不少于4750平方米？ 解析：设中低价房的面积构成数列{ an},由题意可以知道，an 为等差数列，a1=250，d=50 sn =250×n +[n(n-1)/2] ×50=25n2 +225n 令25n2 +225n≥4750，解之得到：n≥10或者n≤-19（不符合题意，舍去） 由此可知，要到2020年底该市历年新建的中低价房的累计面积将首次不少于4750平方米。 这里仅仅是举例说明了数列知识在实际生活中的应用的几个小问题，而数列知识在我们生活中的应用还有很多很多，希望大家注意收集这方面的问题，进行分析和综合归纳。为此，特举3例让大家练习。 学生练习： 1.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（）。 A．511个 B．512个 C．1023个 D．1024个 2.某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元。 （1）问第几年开始获利？ （2）若干年后，有两种处理方案： （3）年平均获利最大时，以26万元出售该渔船； （4）总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船。 问哪种方案合算。 3.用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元再加上余款利息，签订购房合同后一年付款一次，再过一年又付款一次等等。商定年利息为10%，那么5年房主该付多少款项？购房款全部付清后，房主实际付了多少万元？数列复习知识点总结
数列知识点归纳及例题分析
物理知识在实际生活中的一些应用
超全数列基本知识点复习讲义
高考数学题型全归纳：数列在生活中的应用(含答案)
数学方法在物理学中的应用一)
《高等数学》知识在物理学中的应用举例
最新数列基础知识
北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案
数列在生活中的应用
高中数学数列知识点总结
(整理)初中应用物理知识大全
(完整版)高中数学数列基础知识与典型例题
数列应用题专题训练
数列知识在日常生活中的应用例谈