极坐标下推导柯西黎曼方程

圆的极坐标方程

2012—2013学年下学期高二文数学案第4周 第三节 圆的极坐标方程（第1课时） 学习目标：1．掌握极坐标方程的意义；2．理解圆的极坐标方程的推导和应用； 3．对不同位置的圆的极坐标方程的理解 学习重点：圆的极坐标方程的求法 学习难点：圆的极坐标方程的推导和应用 学习过程： 一、复习引入 问题1.直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 问题2.直角坐标系的建立可以求曲线的方程，极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 二、新知探究 1.引例：如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为(,0)(0)a a >， 你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：cos O M O A θ=，即：=2cos a ρθ ①， 可以验证点(0,)2 O π、(2,0)A a 满足①式.等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条 件.反之，适合等式①的点都在这个圆上. 2.定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 三、例题展示 类型一：圆心在极点的圆 例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？ 类型二：圆心在极轴上且过极点的圆 例2：求圆心坐标为(,0)(0)C a a >、半径为a 的圆的极坐标方程？ 类型三：圆心在点?? ? ??2,πa 处且过极点的圆

例3：求圆心在?? ? ??2,πa （a>0）、半径为a 的圆的极坐标方程？ 变式训练：求下列圆的极坐标方程 （1） 圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程； （2） 圆心为2π（，） ，半径为2的圆的极坐标方程； （3） 圆心在3(2,)2 A π处并且过极点的圆的方程。 类型四：直角坐标方程和极坐标方程的互化 例4．（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程， （2）化极坐标方程sin 2ρθ= 为直角坐标方程。 变式训练：化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状。 （1）cos 2ρθ= （2）=2cos ρθ （3）2cos 22ρθ = （4）11cos ρθ=- 四、课堂练习： 1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（ ） A.2cos 4πρθ??=- ??? B.2sin 4πρθ??=- ??? C.()2cos 1ρθ=- D.2sin(1)ρθ=- 2.将下列直角坐标方程化为极坐标方程 (1) 22230x y x y + -+= (2) 210x y -+= (3) 22x y +=９ (4) x =３ 3.说明下列极坐标方程表示什么曲线 （1）π ρθ＝２cos(-) 4（2）πρθ＝cos(-)3（3）sin ρθ＝3 (4) ρ＝６

圆的极坐标方程教学案例

师：在平面直角坐标系中，平面曲线C 可以用方程f (x ,y )=0表示，曲线与方程满足如下关系： ①曲线C 的点的坐标都是方程f (x ,y )=0 的解； ②以方程 f (x ,y )=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点． 师：那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程f (ρ,θ )=0表示呢？我们一起来探讨一下下面的问题。 探究：如图，半径为a 的圆的圆心坐标 为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任 意一点的极坐标(ρ,θ)满足的条件吗？ (多媒体演示,学生思考，互相讨论) 师：大家先回忆一下我们在直角坐标系 中求曲线方程的一般步骤。 生众：建系→设点→列式→化简→结论 师：其实，采用相同的办法，我们可以求极坐标系中曲线的方程。我们可以以点O 为极点，Ox 为极轴建立如右图所示的极坐标系， 设圆与极轴的另一个交点为A ，那么=||OA ？ 生众：2a 师： 设),(θρM 为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则⊥OM ？ 生众：AM 师：在AMO RT ?中，=||OM ？ ，即=ρ ？ 生众：ρ=||OM ，θθρcos 2cos a OA =?= ······① 师：注意，我们可以可以验证，点O （0,0） ，A （2a ，0） 的坐标满足等式①，也就是说等式①就是圆上任意一点的极坐标),(θρ满足的条件。， 师：像这样（1）曲线C 的点的极坐标都是方程f (ρ,θ )=0的解； （2）以方程f (ρ,θ )=0的解为坐标的点都在曲线C 上． 那么方程f (ρ,θ )=0 叫做曲线C 的极坐标方程 【设计意图】由直角坐标系中求曲线的方程的一般步骤类比出求曲线的极坐标方程的一般步骤，从而得到如何求曲线极坐标方程的思路。由上述例子得到曲线的极坐标方程的定义，层层递进，有利于我们对知识点的理解。 （教师板书） 曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程． 师：那么，在极坐标系中，求曲线的极坐标方程的一般步骤是什么？

拉普拉斯方程

拉普拉斯方程 拉普拉斯方程 拉普拉斯方程，又名调和方程，是一砍。因为由法 国数学家首先提出而得名。求解拉普 拉斯方程栯、和等领域经常遇到的 一类重要的数学问領，因为这种方程以的形式描写了、和等物理对象（一般统称为“保守场”栖“有势场”）的性质。三维情况下＠拉普拉斯方程可由下面的形式描 述，闠题归结为求解对实自变量x、y、z二阶的实函数 φ ：: + + = 0. 上面的方程常常简写作：: \nabla^2 \varphi = 0 或: \operatorname\,\operatorname\,\varphi = 0, 其中div表示的（结果是一个），grad 表示标量场的（结果是一个矢量场），或者简写作 : \Delta \varphi = 0 其中Δ称为 . 拉普拉斯方 程的解称为。如果等号右边是一个给定的函数f( , y, z)，即：: \Delta \varphi = f 则该方程称为。拉 普拉斯方程和泊松方程是最简单?? 。偏微 分算子\nabla^2或\Delta（可以在任意维空间中定义这样的算 堐）称为，英文是Laplace operator 或简称作 Laplacian。拉普拉斯方程的可归结为求解在区 域D内定义的函数φ，使得\varphi在D的边界上等于某给定 的函数。为方便堙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其?一个例

子——作为背景进行介绍：固定区域边界上砄温度（是边界上各点位置坐标的函数 ，直到区域内部热传导使温度 分布达堰稳定，这个温度分布场就是相应的狄頌克雷问题的解。拉普拉斯方程的不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ ??D的边界法向的。从物理 的角度看，这种边界条件给堺的是矢量场的势分布在区域边界处的堲知效果（对热传导问题而言，这种效栜便是边界热流密度）。拉普拉斯方稠的解称为，此函数在方程成立的区域内是。任意两个函数，如果它们都满足拉栮拉斯方程（或任意线性微分方程），蠙两个函数之和（或任意形式的线性组堈）同样满足前述方程。这种非常有用砄性质称为。可以根据该原理将复杂问题的已知砀单组合起来，构造适用面更广的。 二维拉普拉斯方程 两个自变量的拉普拉斯方程具有以丠形式：:\varphi_ + \varphi_ = 0.\, 解析函数 的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。栢言之，若z = x + iy，并且:f(z) = u(x,y) + iv(x,y),\, 那么f(z)是解析函数的是它满足下列柯西-黎曼方程：:u_x = v_y, \quad v_x = -u_y.\, 上述方程继续求导就得到:u_ = (-v_x)_y = -(v_y)_x = -(u_x)_x.\, 所以u 满足拉普拉斯方程。类似的计算可推堗v 同样满足拉普拉斯方程。反之，给定一个由解析函数（或至尠在某点及其邻域内解析的函数）f(z)的堞部确定的调

圆的极坐标方程

圆的极坐标方程 1.曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (p, 0) =0,并且坐标适合方程f (p, 0) =0的点都在曲线C上，那么方程f (p, 0) =0叫做曲线C的极坐标方程. 2.圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表 (2) 一般情形：设圆心C ( po, 0o),半径为r, M (p, 0)为圆上任意一点，则| CM|=r, https://www.wendangku.net/doc/21967930.html,= | 0— 0o| ,根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为p — 2popcos (0 — 00) + po— r2 = 0.

o

1. 极坐标方程p = 4表示的曲线是（） A.过（4, 0）点，且垂直于极轴的直銭 ?过（2, 0）点，且垂直于极轴的直线 C.以（4, 0）为圆心，半径为4的圆D ?以极点为圆心，半径为4的圆 解析：选 D.由极 坐标方程的定义可知，极坐标方暗4表示以极点为圆心，以4为 半径的圆. 2. 圆心在（1, 0）且过极点的圆的极坐标（） A. p= 1 B p= cos 0 C p=2cos°D ? p=2sin8 解析：选C.经过极点0且半径为3的圆的极坐标方程为p=2acos0,因圆心在 （1 , 0）,所以半径为1,所以极坐标方程为p-2cos0,故选C. 2 所以 P 2= 22p COS 0+ 22 p sin 0, 即 x 2 + y^=2 2x+ 2y ? 2 2 2 2 ］ _ 化简整理得X — 2 + y — 2 =,表不圆.选D ? 4 4 4 4.极坐标方程p=2cos8表示的曲线所围成的面积为 __________ ? 解析：由p = 2cos 8 = 2xlxcos 8知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1, 所以面积S=irr =冗? 答案：u 圆的极坐标方程 3TT 求圆心在C 2, 2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点 是否在这个圆上. ［解］如图，由题意知，圆经过极点0, 0A 为其一条直径，设M （p, 0）为圆上 除点0, A 以外的任意一点，贝IJ | 0A| -2r ,连接AM,则0M 丄MA. 3.极坐标方p=cos4 —°表示的曲线是（） -rr-i ?椭 A.双曲线 B 闾 C.抛物线 解析：选D.p TT cos K 4 —0 IT =cos cos 0+sin A D ?圆 K 4 sin 0 = 2 2 COS 0 + 2 2 sin 0, 5TT —2, sin 6

圆的极坐标方程教案

三 简单曲线的极坐标方程 课 题: 1、圆的极坐标方程 教学目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点：极坐标方程的意义 教学方法：启发诱导，讲练结合。 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 问题情境 1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？ 2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义 3、求曲线方程的步骤 4、极坐标与直角坐标的互化关系式: 二、讲解新课： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程 0),(=θρf 的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 例1、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系； ②设点；M （ρ，θ） ③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝r ④证明或说明. 变式练习：求下列圆的极坐标方程

复变函数论期中--复习材料简答

注：期中考范围从第一章到第三章 第一章考核目标 掌握复数和复变函数的基本概念，理解复平面上一些点集的定义；掌握复数的三种表示；区别辐角与主辐角；熟练掌握复数的四则运算，乘方、开方运算。 第一章练习题 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg a r c t a n 8π- 3. 复数2 2) 3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 16i e θ 4. 方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连接点 12i -+ 和 2i - 的线段的垂直平分线 5. 设35,arg()4 z iz π ==，则=z 45i e π 6. 对于映射i z ω=，圆周||1z i -=的像曲线为连接点 (0,0) 和 (1,0) 的线段的垂直平分线 7. Im{ln(34)}i -= 4a r c t a n 3 - 8. 24 1lim (12)z i z z →+++= 72i -+ 9. 10)3131( i i -+的实部是__12- ____，虚部是___32 _____，辐角主值是_2 3 π_____. 10. 复数tan ( )2 z i π θθπ=-<<的三角表示式是 sec [cos()sin()22i ππθθθ-+-] 第二章考核目标

充分理解解析函数的定义；切实掌握柯西－黎曼条件及相关定理；充分掌握解析函数的等价刻画定理；了解若干初等解析函数，并能区分数学分析中相应初等函数间的异同 第二章练习题 1. 设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2 32 3(i f 27 (1)4 i - 2. 函数()f z 在点z 可导是()f z 在点z 解析的 必要 条件 3. 函数()Im()Re()f z z z z =-仅在点=z （0，-1） 处可导 4. 方程01=--z e 的全部解为 2,0,1,z k i k π==± 5. i i -+1)1(的值为 _______ln 224 [cos(ln 2)sin(ln 2)],0,1,44 k e k π π ππ ++-++-+=± ____ 主值为 _ln 24 [cos(ln 2)sin(ln 2)],0,1,44 e k πππ + -++-+=± _. 6. 若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a 2 7. 证明函数5 4,0, ()||0,0,z z f z z z ?≠?=??=? 在原点不可微但在原点满足C._R.条件。 8. 设23()+2f z x y i =，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值. 答：)(z f 在23x y =上可导，且()2f z x '=，无处解析。 9. 1） 叙述两点复指数函数和实指数函数不同之处。 2） 叙述刻画解析函数的等价条件（至少两个）。 3） 写出区域D 内解析函数()f z 的边界值表示其各阶导数内部值的积分公式。

复变函数柯西积分总结

第三章复变函数的积分 能力要求 ●会通过转化成两个实变函数第一型曲线积分的方法来计算复变函数的积分。 ●知道复变函数积分的四条性质，特别注意前三条线性性质。 ●知道在什么时候可以用实变函数中的牛顿——莱布尼茨公式计算复变函数 积分。 ●会用柯西积分公式和高阶导数公式(n=1,2,……) 计算积分。 ●会用复合闭路原理和闭路变形原理简化积分计算。 ●会判定一个复变函数是不是某一区域D内的调和函数。 ●会用偏积分法和不定积分法求共轭调和函数。 重点知识点讲解 一、复变函数积分的基本计算法 复变函数的积分是转化成实变函数的第一型曲线积分来计算的，因此我们要先回顾第一型曲线积分的计算步骤。 例题：沿计算积分的值 第一步：化参数 积分路径是一条抛物线，它在复平面上的方程是，则。 第二步：把原积分式中的x、y和dz都代掉。注意积分上下限的变化。 二、积分的性质 最重要的是积分的线性性质（书P74性质前三条），第四条估值不等式能力要求稍高。 三、用性质、定理计算积分

、定理回顾 柯西-古萨基本定理 如果函数在单连通域B 内处处解析，那么函数沿B 内任何一条封闭曲线C 域B 内处处解析，那么函数沿B 内任何一条封闭曲线C 的积分为零。 关键词：处处解析 封闭曲线 积分为零 注意：该定理中的C 可以不是简单曲线。 闭路变形原理 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中曲线不经过函数不解析的点。 关键词：解析函数 连续变形 不经过不解析点 基本定理的推广——复合闭路定理 设C 为多连通域D 内的一条简单闭曲线，C1，C2，……，Cn 是在C 内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以C ，C1，C2，……，Cn 为边界的区域全含于D 。如果在D 内解析，那么 i)，其中C 及C k 均取正方向； ii) 积分路径为C 及C k 所组成的符合闭路，C 取逆时针，C k 取顺时针。 复合闭路定理告诉了我们被积函数在积分路径所围区域内存在奇点的情况下积分的计算方法：围绕每个奇点画一个小圆作为积分路径，把原积分拆成多个积分的和。虽然书上那一部分要求我们用73页上的那个结果，但其实我们完全可以用后面的柯西积分公式和高阶导数公式来解决，那是更具一般性的。 柯西积分公式 如果在区域D 内处处解析，C 为D 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内处解析，C 为D 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D ，为C 内的任一点，那么 |?-=C dz z z z f i z f 0 0)(21)(π 关键词：处处解析 正向简单闭曲线 柯西积分公式的功效是把一个复变函数的积分和它在积分路径所围区域内

直线与圆的极坐标方程教学案

§1.3 直线与圆的极坐标方程 撰稿人：李林源 审稿人：马 龙 授课人：__________ 授课时间:__________学生编号：____________ 姓名：_______________ 【学习目标】 1.知识与技能：能在极坐标中表示直线和圆的极坐标方程； 2.过程与方法：掌握极坐标系点的正确表示，理解极坐标方程的意义； 3.情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 【重点难点】 重点：直线和圆的极坐标方程的求法 难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解 【自主探究】 探究1:直角坐标系建立可以描述点的位置；极坐标也有同样作用？ 探究2:直角坐标系的建立可以求曲线的方程； 极坐标系的建立是否可以求曲线的方程？ 学生回顾 1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？ 2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义; 3、求曲线方程的步骤; 【合作探究】 探究1：以极点O 为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上。 因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程5=ρ来表示。 探究2：过极点，倾斜角是6π的射线和直线的极坐标方程？ 探究3：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 定义：一般地，如果一条曲线可以用含这两个变量θρ,的方程来表示，同时曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf ，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。

例1、【课本P13页例5】求经过点)0,3(A 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程。 教师分析：设动点的极坐标抓住几何图形特征建立关系式。 变式训练：已知点P 的极坐标为),1(π，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。 答案：cos 1ρθ=- 例2、【课本P13页例6】求经过点A(2,0)、倾斜角为6π的直线的极坐标方程。 分析：设动点的极坐标，在三角形OAM 中利用正弦定理可解。 反思归纳：以上题目均为求直线的极坐标方程，方法是设动点的极坐标，抓住几何图形特征建立ρ与θ的关系式。 例3、【课本P14页例8】求圆心在（a,0）(a>0)、半径为a 的圆的极坐标方程。 学生练习，准对问题讲评。 变式训练：求圆心在)2 ,3(π A 且过极点的圆A 的极坐标方程。 【运用探究】 课本P13页练习中1、2、3 小结：本节课学习了以下内容： 1．如何求直线和圆的极坐标方程 。 2．极坐标系中曲线与方程的关系和直角坐标系中曲线与方程的关系是一致的。 3、掌握求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤。 【延伸探究】 课本P18页A 组 4、8 B 组1 【教学反思】

第一讲 复变函数积分的概念与柯西—古萨定理

工程数学II 课程教案 授课时间：第 周 周 第 节 课时安排 课次__ 授课方式（请打√）：理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 综合课□ 其他□ 授课题目（教学章、节或主题）： §3.1 复变函数积分的概念；§3.2 柯西—古萨基本定理． 教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1．熟练掌握复积分计算的一般方法； 2．理解复积分的概念及性质；熟悉柯西—古萨基本定理． 教学重点及难点： 重点：复积分的概念及性质；复积分计算的一般方法． 难点：柯西—古萨基本定理． 教学基本内容（要体现出教学方法及手段）： §3.1复变函数积分的概念 一、积分的定义 1.有向曲线: 设C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C 理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A 到B 作为曲线C 的正向, 那么B 到A 就是曲线C 的负向, . C - 记为 关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向. 简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C 的正向是指当曲线上的点P 顺此方向前进时, 邻近P 点的曲线的内部始终位于P 点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向. 2.积分的定义: () , w f z D C =设函数定义在区域内为区域 D 内起点为 A 终点为 ,B 的一条光滑的有向曲线 , C n 把曲线任意分成个弧段设分点为 011,,,,,,,k k n A z z z z z B -==

1 (1,2,,) k k z z k n -= 在每个弧段11 1 ()()(),n n n k k k k k k k S f z z f z ζζ-=== ?-= ??∑ ∑ 作和式 11 , , k k k k k k z z z s z z --?=-?=这里的长度1 max{},k k n s δ≤≤=?记 n 当无限增加且 0 δ→, 时 , k n C S ζ如果不论对的分法及的取法如何有唯,一极限 那么 称 这极限值为 () , f z C 函数沿曲线的积分记为 1 ()d lim ().n k k C n k f z z f z ζ→∞ ==??∑ ? 关于定义的说明: (1) , C 如果是闭曲线那么沿此闭曲线的积分()d .C f z z ? 记为 (2) , ()C x a x b f z ≤≤如果是轴上的区间而(),u x =这个积分定义就是一元实 变函数.定积分的定义 二、积分存在的条件及其计算法 1. 存在的条件 () ,f z C 如果是连续函数而是光滑曲线时 ()d .C f z z ?积分一定存在 证 C 设光滑曲线由参数方程给出()()(), z z t x t i y t t αβ==+≤≤，正方向 为参数增加的方向, ,A B αβ参数及对应于起点及终点 ()0,,z t t αβ'≠<<并且 ()(,)(,) ,f z u x y i v x y D =+如果在内处处连续 (,) (,) u x y v x y D 那么和在内 ,均为连续函数 o x y

圆的极坐标方程

圆的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表 圆心位置极坐标方程图形 圆心在极点(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心在点(r，0) ρ＝2r cos θ (－ π 2 ≤ θ< π 2 ) 圆心在点(r， π 2 ) ρ＝2r sin θ (0≤θ<π) 圆心在点(r，π) ρ＝－2r cos θ ( π 2 ≤θ< 3π 2 ) 圆心在点(r， 3π 2 ) ρ＝－2r sin θ (－π<θ≤0) (2)00|CM|＝r，∠COM＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.

1．极坐标方程ρ＝4表示的曲线是( ) A ．过(4，0)点，且垂直于极轴的直线 B ．过(2，0)点，且垂直于极轴的直线 C ．以(4，0)为圆心，半径为4的圆 D ．以极点为圆心，半径为4的圆 解析：选D.由极坐标方程的定义可知，极坐标方程ρ＝4表示以极点为圆心，以4为半径的圆． 2．圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝2cos θ D ．ρ＝2sin θ 解析：选C.经过极点O 且半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ，因圆心在(1，0)，所以半径为1，所以极坐标方程为ρ＝2cos θ，故选C. 3．极坐标方程ρ＝cos ? ?? ??π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 解析：选D.ρ＝cos ? ????π4－θ＝cos π4cos θ＋sin π4sin θ＝22cos θ＋22sin θ， 所以ρ2 ＝22ρcos θ＋2 2ρsin θ， 即x 2 ＋y 2＝ 22x ＋22 y . 化简整理得? ? ???x －242＋? ????y －242＝14，表示圆．选D. 4．极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线所围成的面积为________． 解析：由ρ＝2cos θ＝2×1×cos θ知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1， 所以面积S ＝πr 2 ＝π. 答案：π 圆的极坐标方程 求圆心在C ? ????2， 3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点? ????－2，sin 5π6是否在这个圆上． [解] 如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ， A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .

数学家黎曼

波恩哈德·黎曼 格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼[1]（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826年9月17日－1866年7月20日）德国数学家[1]，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一。 生平 他出生于汉诺威王国（今德国下萨克森）的小镇布列 斯伦茨（Breselenz）。他的父亲弗雷德里希·波恩哈德·黎 曼是当地的路德会牧师。他在六个孩子中排行第二。 1840年，黎曼搬到汉诺威和祖母生活并进入中学学习。 1842年祖母去世后，他搬到吕讷堡的约翰纽姆 （Johanneum）。1846年，按照父亲的意愿，黎曼进入 哥廷根大学学习哲学和神学。在此期间他去听了一些 数学讲座，包括高斯关于最小二乘法的讲座。在得到 父亲的允许后，他改学数学。 1847年春，黎曼转到柏林大学，投入雅可比、狄利克 雷和斯坦纳门下。两年后他回到哥廷根。 1854年他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设” 的演讲，开创了黎曼几何学，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。他在1857年升为哥廷根大学的编外教授，并在1859年狄利克雷去世后成为正教授。 1862年，他与爱丽丝·科赫（Elise Koch）结婚。 1866年，他在第三次去意大利的的途中因肺结核在塞拉斯卡（Selasca）去世。 贡献 他对数学分析和微分几何做出了重要贡献，对微分方程也有很大贡献。 他引入三角级数理论，从而指出积分论的方向，并奠定了近代解析数论的基础，提出一系列问题；他最初引入黎曼曲面这一概念，对近代拓扑学影响很大；在代数函数论方面，如黎曼-诺赫定理也很重要。在微分几何方面，继高斯之后建立黎曼几何学。 他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，柯西-黎曼方程，黎曼思路回环矩阵中。 黎曼猜想 黎曼猜想由德国数学家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年提出。它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题。多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。 黎曼猜想： 黎曼ζ函数，。非平凡零点(在此情况下是指s 不为-2、-4、-6等点的值)的实数部份是?。

椭圆的极坐标方程及其应用

椭圆的极坐标方程及其应用 如图，倾斜角为θ且过椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，椭圆 C 的离心率为e ，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ，并证明: 22 11 PF QF + 为定值 改为：抛物线2 2(0)y px p => 呢？ 例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3 2，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的 直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =u u u r u u u r ，求k 。 练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C ：2 2 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =u u u r u u u r ，求椭圆C 的离心率； 例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最值． 练习2. （05年全国Ⅱ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12 2 2 =+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=?MF PF FN MF FQ PF 且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： | |1 ||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值. Q y O x P 2F A y O x B F

柯西-黎曼的四种不同形式

1 研究柯西-黎曼不同形式的目的 1.1 柯西-黎曼定义 在一对实值函数),(y x u 和),(y x v 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程： u v x y ??= ?? (1) u v y x ??=-?? (2) 柯西-黎曼方程是函数在一点可微的必要条件。 通常，u 和v 取为一个复函数的实部和虚部：),(),()(y x iv y x u iy x f +=+。假设u 和v 在开集C 上连续可微。则iv u f +=是全纯的，当且仅当u 和v 的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1)和(2) [1]。 1.2 柯西-黎曼不同形式 形式一：在复变函数中，设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，则柯西-黎曼方程形式是 y v x u ??=??， x v y u ??-=??， 简称..R C -方程，是它的实形式[1] 。 形式二：设函数)sin (cos ),(),()(θθi R y x iv y x u z f +=+=是)sin (cos ??i r z +=在D 区域的解析函数，..R C -也可写成 ,1???=??u r v u ? ??- =??u r r v 1， 称之为它的极坐标形式[1] 。 形式三：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，iy x z +=,iy x z -=_ 则 )(21 ),(21_ _z z i y z z x -=+=

于是有 ).2,2( ),()(_ _i z z z z f y x f z f -+===ω z 和_ z 视为独立变量且为函数，最终形式为 0_ =??z f ， 称之为它的复形式[1] 。 形式四：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，其可写成 (,)0gradu gradv gradu gradv =??? =?? 的形式，称之为它梯度形式[1] 。 分析出了柯西-黎曼方程的四种不同形式，为我们进一步探讨复变函数中柯西-黎曼方程的应用奠定坚实的基础[2]。 2 研究柯西--黎曼方程的应用的目的 在复变函数中，柯西-黎曼方程具有很强的应用性。利用柯西-黎曼方程判断一个复变函数的解析性，是非常简单的事。反过来用解析性的定义来判断一个复变函数的解析性就非常繁琐的事。同时已知一解析函数的实部（或虚部），利用柯西-黎曼方程还可以还可以求出此函数的虚部（或实部），从而得到函数的表达式。 定理一 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内一点 iy x +可导的充要条件是),(y x u 和),(y x v 在点),(y x 可微，并且在该点满足柯西-黎曼方程 y v x u ??=??，x v y u ??- =??[4] 。 定理二 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内解析的充要条件是：),(y x u 和),(y x v 在D 内可微，并且满足柯西-黎曼方程 y v x u ??=??，x v y u ??- =??[4] 。

5. 圆的极坐标方程(教师版)

5 圆的极坐标方程 主备： 审核： 学习目标： 1. 能写出不同位置的圆的极坐标方程，已知圆的极坐标方程，能在极坐标系中画出圆的图形； 2. 会将圆的极坐标方程与圆的直角坐标方程互化. 学习重点：圆的极坐标方程的求法. 学习难点：一般形式下圆的极坐标方程的推导. 学习过程： 一、课前准备 阅读教材1213P P -的内容，并思考下面的问题： 1．直角坐标系中，单位圆221x y +=在极坐标系中如何表示？ 答：1ρ= 2．极坐标系中，圆心在极点，半径等于2的圆，能否用方程表示？ 答：可以，可以表示为2ρ=. 二、新课导学： （一）新知： 1. 已知圆C 的半径为a ，圆心在不同的位置上，试求出圆的极坐标方程. 图3 图2 图1 C C O P x O P x O x P 设圆上的动点P 的坐标为(,)ρθ， （1）图1中，动点P 不论运动到什么位置，到极点的距离始终是a ，所以圆的极坐标方程是：a ρ=. （2）图2中，设圆与极轴交于点A ，在直角三角形O P A 中，cos 2a ρθ= ，即 2cos a ρθ=，即为所求圆的极坐标方程. （3）图3中，设圆与垂直于极轴的直线交于点B ，则P B O θ∠=，在直角三角形PBO 中， sin 2PBO a ρ ∠=，即2sin a ρθ=，即为所求圆的极坐标方程. 按照上面的思路，写出下面两种情况的圆的极坐标方程：

图5 图4 （4）图4中，设直线O C 与圆交于点A ，则32 POA π θ∠=-， 在R t P O A ?中，3cos()22a ρπθ- =，化简得2sin a ρθ=-，即为所求圆的方程. （5）图4中，设极轴的延长线与圆交于点A ，则P O A πθ∠=-， 在R t P O A ?中，cos()2a ρπθ-=，化简得2cos a ρθ=-，即为所求圆的方程. （二）典型例题： 【例1】已知圆心在)0,(a M ，半径为R ，试写出圆的极坐标方程． 【解析】设圆上动点P 的坐标为(,)ρθ，如图 ，在OPM ?中，||OP ρ=，||PM R =，||OM a =， P O M θ∠=，由余弦定理可得： 222 cos 2a R a ρθρ +-=， 即 0cos 2222=-+-R a a θρρ.即为所求圆的极坐标方程. 动动手：在圆心的极坐标为)0,4(A ，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹. 【解析】如图，设弦O P 的中点为(,)M ρθ，连M A ， 在R t A M O ?中，cos 4 ρθ= ，所以，所求方程为 4cos ρθ=. 【例2】（1）化在直角坐标方程082 2 =-+y y x 为极坐标方程， （2）化极坐标方程)3 cos(6π θρ- = 为直角坐标方程. 【解析】(1)由互化公式cos sin x y ρθρθ=??=? ，得： 2222 cos sin 8sin 0ρθρθρθ+-=，因为ρ不恒为0，所以8sin ρθ=. (2) 将)3 cos(6π θρ- =展开，得6cos cos 6sin sin 3 3 π π ρθθ=+， P O y x M M A x P

圆的极坐标方程教学案例

《圆的极坐标方程》案例 一、教学目标： 知识目标：认识曲线的极坐标方程的条件，比较与曲线的直角坐标方程的区别与联系，掌握各种圆的极坐标方程，能 根据圆的极坐标方程画出其对应的图形 能力目标：通过求圆的极坐标方程，培养学生的转化能力和全面分析问题 的能力，帮助学生进一步认识极坐标系的作用。 情感目标：通过求圆的极坐标方程．培养学生数与形相互联系，对立统一的辩证唯物主义观。 M.

x C(a,0) O 它们的互化公式是什么 生3：直角坐标化为极坐标 )0(tan ,222≠=+=x x y y x θρ 极坐标化为直角坐标θρθρsin ,cos ==y x 师：这些是我们上一节课所学习的极坐标知识。在前面我们已经学习了简单曲线的直角坐标方程。这一节课开始，我们将共同来探讨简单曲线的极坐标方程。 【设计意图】由极坐标系的定义、极坐标的表示以及极坐标与直角坐标的互化导入新课，一方面是对已经学习的知识点的复习巩固，另一方面是因为这部分的知识与新课内容有很大的联系，除了能自然地过渡到新课内容，还有利于新知识的学习。 2、共探新知 师：在平面直角坐标系中，平面曲线C 可以用方程f (x ,y )=0表示，曲线与方程满足如下关系： ①曲线C 的点的坐标都是方程f (x ,y )=0 的解； ②以方程 f (x ,y )=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点． 师：那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程f (ρ,θ )=0表示呢我们一起来探讨一下下面的问 探究：如图，半径为a 的圆的圆 心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等 式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件吗 (多媒体演示,学生思考，互相讨论) 师：大家先回忆一下我们在直角坐标系中求曲线方程的一般步骤。

柯西--黎曼方程的应用

柯西--黎曼方程的应用 在复变函数中，柯西--黎曼方程具有很强的应用性。利用柯西--黎曼方程判断一个复变函数的解析性，是非常简单的。而利用解析性的定义来判断一个复变函数的解析性就非常麻烦。已知一解析函数的实部（或虚部），利用柯西--黎曼方程还可以还可以求出此函数的虚部（或实部）， 从而得到函数的表达式。 定理一 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内一点iy x +可导的充要条件是),(y x u 和),(y x v 在点),(y x 可微，并且在该点满足柯西--黎曼方程 y v x u ??=??， x v y u ??-=??。 定理二 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内解析的充要条件是：),(y x u 和),(y x v 在D 内可微，并且满足柯西--黎曼方程 y v x u ??=??， x v y u ??-=??。 利用定理一可以判断函数在一点的可导性，而利用定理二可以判断函数在一个区域内的可导性，即解析性。 定义一 如果实二元函数),(y x ?在区域D 内满足02 222=??+??y x ??，则称),(y x ?为在区域D 内的调和函数。 定理三 任何在区域D 内解析的函数，其实部和虚部均为D 内的调和函数，且满足柯西--黎曼方程y v x u ??=??，x v y u ??-=??。 以下通过例题讲述柯西--黎曼方程的应用方法。 例1 判断下列函数在何处可导，在何处解析： （1）z w =； （2）)sin (cos )(y i y e z f x +=； （3）)Re(z z w =。 解 （1） x u =，y v -=，1=??x u ，0=??y u ，0=??x v ，1-=??y v y v x u ??≠??，柯西--黎曼方程不满足，故z w =在复平面内处处不可导且处处不解析。 （2）y e u x cos =，y e v x sin =，

1.3.1圆的极坐标方程(教学设计)

1.3.1圆的极坐标方程（教学设计） 教学目标： 1、掌握极坐标方程的意义 2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点：极坐标方程的意义 教学过程： 一、复习回顾： 1、曲线与方程。 2、圆的标准方程。 3、圆的一般方程。 4、极坐标与直角坐标的互化。 平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： ???==θρθρsin cos y x ?? ???≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 5、正弦定理。 6、余弦定理。 二、师生互动，新课讲解： 1、引例．如图，在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为 (a ,0)(a >0)，你能用一个等式表示圆上任意一点， 的极坐标(ρ,θ)满足的条件？ 解：设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ， 则有：OM=OAcos θ，即：ρ＝2acos θ ①， 2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？ 可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之，适合等式①的点都在这个圆上. 3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点在曲 线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程 的曲线。 例1（课本P 例1）、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系， 可以使圆的极坐标方程更简单？ ①建系； ②设点；M （ρ，θ） ③列式；OM ＝r ， 即：ρ＝ r

④证明或说明. ()()12343,0,,,,,,22 . 1C a C a C a C a πππ???? ? ?????变式训练分别写出以为圆心，且经过极点的圆的极坐标方程： 答案：(1)ρ＝2acos θ (2) ρ＝2asin θ (3) ρ＝-2acos θ (2) ρ＝-2asin θ 例2.求圆心在(ρ0，θ0 )，半径为r 的圆的方程 2变已知一个圆的方程是ρ＝θ-5sin θ求圆心坐标.和半径。 222225sin cos 5sin 55(()2522 5 (,),5 22x y y x y ρθθρρθρθ-+=--++=-＝两边同乘以得 ＝－即化为直角坐标为 　即所以圆心为解半径是： 38cos O C ON ON ρθ例：从极点作圆：＝的弦，求的中点的轨迹方程。 (4,0), 4, , 4cos C r OC CM M ON CM ON M ρθ ==∴⊥如图，圆的圆心半径连结，是弦的中点, 所以，动点的轨迹方程是＝解： [解] 在圆周上任取一点P (如图) 设其极坐标为(ρ，θ)． 由余弦定理知： CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos ∠COP ， 故其极坐标方程为 r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)． 1 10(cos sin )10cos(), 26(5,),5,6π ρθθθπ -?=+-解：原式可化为 ＝所以圆心为半径为