角平分线四大模型(完整版)

角平分线四大模型

模型一：

这个模型的基本思想是过角平分线上一点P 作角两边的垂线。如图中PA ⊥OA ，PB ⊥OB 。容易通过全等得到PA=PB （角平分线性质）。

注意：题目一般只有一条垂线，需要自行补出另一条垂线。甚至只给你一条角平分线，自行添加两条垂线。

例题1：AF 是△ABC 的角平分线。P 是AF 上任意一点。过点P 作AB 平行线交BC 于点D ，作AC 的平行线交BC 与点E 。证明：点F 到DP 的距离与点F 到EP 的距离相等。

拓展，如果点P 在AF 延长线上，结论是否依然成立？

例题2：如图正方形ABCD 的边长为4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值是__2√2__

E

模型二：

这个模型的基础是，在角平分线上任意找一点P ，过点P 作角平分线的垂线交角的两条边与A 、B 。这样就构造出了一个等腰三角形AOB ，即OA=OB 。这个模型还可以得到P 是AB 中点。

注意：这个模型与一之间的区别在于垂直

的位置。并且辅助线的添加方法一般是延长一段与角平分线垂直的线段。如图中的PB 。

例题1：如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD 垂直AD 于点D ，H 是BC 的中点。

求证：DH=1/2（AB-AC ）

提示：要使用到三角形中位线的性质，即三角形中位线是对应边的一半。

模型三：

这个模型的基础是在角的两边分别截取OA=OB ，然后在对角线上取任意一点P ，连接AP ，BP 。容易证得△APO ≌△BPO 。

注意：一般这样的模型最容易被孩子忽略，因为这个模型里没有的角度，因而对于孩子而言添出PB 这条辅助线是有难度的。添加这条辅助线的基本思想是在ON 上截

取OB ，使得AP=BP 。从而构造出一个轴对称。这样的模型一般会出现在截长补短里。

B

B

N

例题1：在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD 是△ABC 的角平分线，则AC ，CD ，AB 三条线段之间的数量关系为_AC+CD=AB __ 模型四：

这个模型是在角平分线上任意找一个点P 。分别过点P 作ON ，OM 的平行线PA ，PB 。通过角平分线和平行线就可以构成两组等腰三角形OAP 和OBP ，还能知道四边形OBPA 是一个平行四边形。

例题1：矩形ABCD ，即∠ABC=90°，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ，G 是EF 的中点，求∠BDG 的度数。（提示连BG ，去证明△BEG 和△DGC 全等）。

C

O

专题16 角平分线四大模型(解析版)

中考常考几何模型 专题16 角平分线四大模型 1、角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。 结论：PB=PA。 2、截取构造对称全等 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON上截取 OB=OA，连接 PB。结论：△OPB≌△OPA。 3、角平分线+垂线构造等腰三角形 如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于 P 点，延长 AP 于点 B。 结论：△AOB 是等腰三角形。 4、角平分线+平行线 如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。结论：△POQ 是等腰三角形。

模型精练： 1．（2019?东平县二模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（） A．40°B．45°C．50°D．60° 【点睛】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠F AP，即可得出答案 【解析】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD＝x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，

∴PF＝PM， ∵∠BPC＝40°， ∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°， ∴∠CAF＝100°， 在Rt△PF A和Rt△PMA中， {PA=PA PM=PF， ∴Rt△PF A≌Rt△PMA（HL）， ∴∠F AP＝∠P AC＝50°． 故选：C． 2．（2019?桂平市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么点D到直线AB的距离是（） A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm 【点睛】先求出CD的长，过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得DE＝CD，从而得解． 【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

几何证明角平分线模型(高级)

几何证明——角平分线模型(高级) 【经典例题】 例1、已知如图，ABC ?中，BC AC =，AD 平分CAB ∠，若ο 100=∠C ，求证：CD AD AB +=。 例2、如图，已知在ABC ?中，ο 60=∠B ，ABC ?的角平分线CE AD ,相交于点O ，求证：AC CD AE =+。 E O B 例3、如图，BD 平分ABC ∠，?=∠45ADB ，BC AE ⊥，求AED ∠. A B C D 例4、已知，如图ABC ?中，AD 为ABC ?的角平分线，求证：BD AC DC AB ?=?．

例5、如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB AC BC ，，的垂线，垂足分别为F E D ，，，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ；如果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线。 A B C N M P D E F 例6、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，DC AB =，?=∠80ABC ，E 是腰CD 上一点，连接BE 、AC 、 AE ，若?=∠60ACB ，?=∠50EBC ，求EAC ∠的度数． B C E 例7、已知：ABC ?中，BC AB <，AC 的中点为M ，AC MN ⊥交ABC ∠的角平分线于N ． （1）如图1，若?=∠60ABC ，求证：BN BC BA 3= +；

（2）如图2，若?=∠120ABC ，则BA 、BC 、BN 之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明． A C 【提升训练】 1、在ABC ?中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-． B 2、如图，在ABC ?中，A ∠等于ο 60，BE 平分CD ABC ,∠平分ACB ∠，求证：EH DH =。 3、如图所示，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证：2AB AC AM +=。

角平分线常用模型

每日一题：三角形中角平分线的基本模型 武穴市百汇学校徐国纲 在初中阶段，角平分线问题涉及角度的计算和证明。经过总结归纳，有相当部分可以转化为基本模型，掌握这些模型，可以为我们迅速找到解题思路，形成良好的数学思维习惯奠定基础。下面举例说明。 【模型一】角平分线+垂直一边 若PA⊥OM于点A，如图a，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”，显然这个基本图形中可以利用角平分线的性质定理，也可以得到一组全等三角形； 【模型二】角平分线+斜线 若点A是射线OM上任意一点，如图b，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA。可记为“图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。 【模型三】角平分线+垂线 若AP⊥OP于点P，如图c，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”，实际上这是“两线合一”的一种情形，这个图形中隐含着全等和等腰三角形； 【模型四】角平分线+平行线 若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图d，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”，这个基本图形使用频率那是相当的高，切记。 【模型五】角平分线+对角互补 若∠A+∠C=180°，BD是∠ABC的平分线，则AD=CD． 【模型六】夹角模型 ①BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=90°+1 2 ∠A． ②BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=1 2 ∠A．

BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线，则：∠D=90°-1 2 ∠B．

角平分线四大模型(完整版)

角平分线四大模型 模型一： 这个模型的基本思想是过角平分线上一点P 作角两边的垂线。如图中PA ⊥OA ，PB ⊥OB 。容易通过全等得到PA=PB （角平分线性质）。 注意：题目一般只有一条垂线，需要自行补出另一条垂线。甚至只给你一条角平分线，自行添加两条垂线。 例题1：AF 是△ABC 的角平分线。P 是AF 上任意一点。过点P 作AB 平行线交BC 于点D ，作AC 的平行线交BC 与点E 。证明：点F 到DP 的距离与点F 到EP 的距离相等。 拓展，如果点P 在AF 延长线上，结论是否依然成立？ 例题2：如图正方形ABCD 的边长为4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值是__2√2__ E

模型二： 这个模型的基础是，在角平分线上任意找一点P ，过点P 作角平分线的垂线交角的两条边与A 、B 。这样就构造出了一个等腰三角形AOB ，即OA=OB 。这个模型还可以得到P 是AB 中点。 注意：这个模型与一之间的区别在于垂直 的位置。并且辅助线的添加方法一般是延长一段与角平分线垂直的线段。如图中的PB 。 例题1：如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD 垂直AD 于点D ，H 是BC 的中点。 求证：DH=1/2（AB-AC ） 提示：要使用到三角形中位线的性质，即三角形中位线是对应边的一半。 模型三： 这个模型的基础是在角的两边分别截取OA=OB ，然后在对角线上取任意一点P ，连接AP ，BP 。容易证得△APO ≌△BPO 。 注意：一般这样的模型最容易被孩子忽略，因为这个模型里没有的角度，因而对于孩子而言添出PB 这条辅助线是有难度的。添加这条辅助线的基本思想是在ON 上截 取OB ，使得AP=BP 。从而构造出一个轴对称。这样的模型一般会出现在截长补短里。 B B N

角平分线模型的构造

支付宝首页搜索“ 933314”领红包，每 天都能领。付款前记得用红包 第二讲角平分线模型的构造 3月 角平分线 (l)定义：如图2-1，如果∠AOB ＝∠BOC ，那么∠AOC=2∠AOB=2∠BOC ，像OB 这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线． (2)角平分线的性质定理 ①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角， ②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． (3)角平分线的判定定理 ①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线， ②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上， 与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型， 已知P 是∠MON 平分线上一点， (l)若PA ⊥OM 于点A ，如图2-2(a)，可以过P 点作PB ⊥ON 于点B ，则PB=PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”． (a) O (b) (2)若点A 是射线OM 上任意一点，如图2-2(b)，可以在ON 上截取OB=OA ，连接PB ，构造△OPB ∽△OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对 折看，对称以后关系现”． (3)若AP ⊥OP 于点P ，如图2-2(c)，可以延长AP 交ON 于点B ，构造△AOB 是等腰三角形，P 是底边AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”． (c) O (d) O (4)若过P 点作PQ ∥ON 交OM 于点Q ，如图2-2(d)，可以构造△POQ 是等腰三角形，可记为“角平分线十平行线，等腰三角形必呈现”． 例1 (1)如图2-3(a)，在△ABC 中，∠C=90。，AD 平分∠CAB ，BC=6cm ，BD=4cm ，那么点D 到直线AB 的距离是（ ）cm. 图2-3 （a ） (2)如图2-3(b)，已知：∠1=∠2，∠3=∠4， 求证：AP 平分∠BAC ． 图2-3（b ）

初中数学常见模型之角平分线四大模型

角平分线四大模型 模型1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。 结论：PB=PA 。 模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 模型实例 （1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D 到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。 求证：AP 平分∠BAC 。 热搜精练 1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。 2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。 N M O A B P 2图4321A C P B D A B C 图1A B D C

模型2 截取构造对称全等 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。 结论：△OPB ≌△OPA 。 模型分析 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 模型实例 （1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点 A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由； （2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。 热搜精练 1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。 求线段BC 的长。 A B D C P P O N M B A 图2D P A B C D C 1图P B A A B C D

角平分线四大模型

角平分线四大模型 模型1 角平分线的点向两边作垂线 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA 模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口 模型实例 （1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离是 解答：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB,∴CD＝DE. ∵CB＝6,BD＝4,∴DE＝CD＝2，即点D到直线AB的距离是2. （2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC 证明：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F， ∵∠1＝∠2，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4, ∴PE＝PF，∴PD＝PF 又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定） 练习 1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC,BD平分∠ABC ， 求证：∠BAD＋∠BCD＝180°

证明：作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°, ∵BD平分∠ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC,∴∠FAD＝∠C ∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180° 2.如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP ＝ . 解答：如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M ∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP,∠DCP＝∠ACP， PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质) ∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80° ∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM ∴AP是∠FAC的角平分线，∴∠CAP＝∠PAF＝50° 模型2 截取构造对称全等 如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接PB，则△OPB ≌△OPA

几何证明——角平分线模型中级

B B B D A B C 几何证明——角平分线模型(中级) 【知识要点】 １、角平分线： （1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（作用：证明两条线段相等）； （2）逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（作用：证明两角相等或一 条射线是一个角的角平分线）。 2、角平分线常见用法（或辅助线作法）： ①垂两边：如图1，已知BP 平分ABC ∠，过点P 作PA AB ⊥，PC BC ⊥，则PA PC =。 ②截两边：如图2，已知BP 平分MBN ∠，点A BM 上，在BN 上截取BC BA =，则ABP ?≌CBP ?。 ③角平分线+平行线→等腰三角形： 如图3，已知BP 平分ABC ∠，//PA AC ，则AB AP =； 如图4，已知BP 平分ABC ∠，//EF PB ，则BE BF =。 (1) (2) (3) (4) ④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）： 如图5，已知AD 平分BAC ∠，且AD BC ⊥，则AB AC =，BD CD =。 （5） 3、角平分线比例定理 如图6，AD 为ABC ?的角平分线，则 AB BD AC CD =或AB AC BD CD = 。 （6） 【经典例题】 例1、已知如图，ABC ?中，BC AC =，AD 平分CAB ∠，若ο 90=∠C ，求证：CD AC AB +=； C

例2、如图，在ABC Rt ?中，ο 90=∠ACB ，AB CD ⊥于D ，AF 平分CAB ∠交CD 于E ，交CB 于F ， 且AB EG //交CB 于G 。试求：CF 与GB 的大小关系如何？ E C A B D F G 例3、已知如图，ABC ?中，BC AC =，AD 平分CAB ∠，若ο 108=∠C ，求证：BD AC AB +=； 例4、如图：已知I 是ABC ?的内心，//DI AB 交BC 于点D ，//EI AC 交BC 于E 。求证：DIE ?的周长等于BC 。 A B C I D E 例5、如图：已知在ABC ?中，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线交于点D ，DE ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：FC BE EF -=。

角平分线的四大模型(Word版)

角平分线四大模型 模型一：角平分线上的点向两边作垂线 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点 B,则PB=PA. 模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 例1：（1）如图①，在△ABC,∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是___cm (2)如图②，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC. 练习1 如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC. 求证：∠BAD+∠C=180° 练习2 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）

模型二：截取构造对称全等 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上 截取OB=OA，连接PB，则△OPB△OPA. 模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 例2：(1)如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由． (2)如图②所示．AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC -PB与AC-AB的大小，并说明理由． 练习 3 已知：△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。 练习4 已知,如图AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD. 练习5 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.

角平分线模型的构造

第二讲角平分线模型的构造3月 角平分线 (I)定义：如图2-1，如果/ AOB = / BOC，那么/ A0C=2 / AOB=2 / BOC，像OB 这样，从一个角的 顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫 作这个角的角平分线. ⑷若过P点作PQ// ON交OM于点Q,如图2-2(d)， 可以构造厶POQ是等腰三角形，可记为“角平分线 十平行线，等腰三角形必呈现” ? 例1 (1)如图2-3(a),在厶ABC 中，/ C=90。，AD 平分 / CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D 到直线AB的距离是( )cm. (2)角平分线的性质定理 ①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个 角分成两个相等的角， ②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相 等. (3)角平分线的判定定理 ①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重 合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这 个角的平分线， ②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个 角的平分线上， 与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的 四大基本模型， 已知P是/ MON平分线上一点， (I)若PA丄OM于点A，如图2-2(a)，可以过P点作 PB丄ON于点B，贝U PB=PA.可记为“图中有角平 分线，可向两边作垂线” 图2-3 (a) ⑵如图2-3(b)，已知：/仁/2，Z 3=Z4, 求 证：AP平分/ BAC . ⑵若点A是射线OM上任意一点，如图2-2(b)，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△ OPB OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”. ⑶若AP丄OP于点P,如图2-2(c)，可以延长AP 交ON于点B，构造△ AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合 、亠、亠K ” (b)

角平分线的几种辅助线作法与三种模型精编版

1 一、角平分线的三种“模型” 模型一：角平分线+平行线→等腰三角形 如图1，过∠AOB 平分线OC 上的一点P ，作PE ∥OB ，交OA 于点E ，则EO=EP. A A A E P C E C D F E P O B B C O F B 图1 图2 图3 例1 如图2，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形 如图3，过∠AOB 平分线OC 上的一点P ，作EF ⊥OC ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，则OE=OF ，PE=PF. 例2 如图4，BD 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BD ，垂足为D ，求证：∠BAD=∠DAC+∠C. 模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，沿角平分线AD 将△ABD 往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD ≌△AB /D.此翻折 相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题. D A E A P / B C D B / B C 图5 图6 例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点.求证： PB+PC>AB+AC. 二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线，构造三角形 1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1 ()2 BE AC AB =- 2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ． 2 1F E D C B A A B D C E F 图

角平分线+平行应用模型的构造

角平分线+平行应用模型的构造 一、近几年中考题往往由平行线，角平分线来推证同一三角形两个角相等，从而推证两边相等。或者由其中两个条件推证另一个条件 已知：如图7－9，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论． 1、如图,AC和BD相交于O，且AB∥DC，OA=OB, 求证：OC=OD. O D C B A 2．如图，△ABC中，AM，CM分别是角平分线，过M作DE∥AC 求证：AD+CE=DE 3．如图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，CE∥AO交OB于E CE=20cm，求CD的长。 4．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC， 5．则图中等腰三角形的个数（） （A）1个（B）3个（C）4个（D）5个 A E B C D 第16题

E F C B A D 5如右图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF 等于（ ） Ａ．5 Ｂ．4 C ． 3 D ．2 6、如图，四边形ABCD 中，AD∥BC ，∠ABD =30o ，AB=AD ，DC ⊥BC 于点C ，若BD =2，求CD 的长。 二 由平行线想到全等三角形和等腰三角形。 例. 如图，已知，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。并证明这个命题（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知：EG ∥AF,_______,_________. 求证：___________. 证明: G F E D C B A 1、已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，D 点在AB 上，E 点在AC 的延长线上，且BD=CE ，连接DE ，交BC 于F.求证：DF=EF. C 第6题 F E C D B A

角平分线的几种辅助线作法与三种模型

角平分线的几种辅助线 作法与三种模型 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

一、角平分线的三种“模型” 模型一：角平分线+平行线→等腰三角形 如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥OB，交OA于点E，则EO=EP. AAA EPCEC DFEP OBBCOFB 图1图2图3 例1如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形 如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作 EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF， PE=PF. 例2如图4，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD， 垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C. 模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题. D AE AP /BC DB/BC

图5图6 例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点.求证：PB+PC>AB+AC. 二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线，构造三角形 1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1 ()2 BE AC AB =- 2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ ECD ． 二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段 1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。 求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。 三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段 1、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠2 2、2、如图2，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ． 2 1F E D C B A N P E D C B A 2 1 P F E C B A A G C H D E F 图2 A B D C E F 图

2第二章 角平分线四大模型(1)(1)

N M O A B P 2图4 321A C P B D A B C 图1A B D C A B D C P 第二章 角平分线四大模型 模型1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作 PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。 结论：PB=PA 。 模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 模型实例 （1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D 到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。 求证：AP 平分∠BAC 。 热搜精练 1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。 2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

P O N M B A 图2D P A B C D C 1图P B A A B C D A B C D E D C B A 模型2 截取构造对称全等 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。 结论：△OPB ≌△OPA 。 模型分析 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 模型实例 （1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点 A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由； （2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。 热搜精练 1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。 求线段BC 的长。 2．已知，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。 求证：BC=AB+CD 。 3．如图所示，在△ABC 中，∠A=100°，∠A=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延 长BD 至E ，DE=AD 。求证：BC=AB+CE 。

巧借三角形的两条内(外)角平分线夹角的模型解决问题

B B E C B A 巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型解决问题 新北实验中学 严云霞 【基本模型】 三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系 模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）； 模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）； 模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）； 【分析】三个结论的证明 例1、 如图1，△ABC 中，BD 、CD 为两个内角平分线， 试说明：∠D=90°+2 1 ∠A 。 （方法一）解：∵BD 、CD 为角平分线 ∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝2 1 ∠ACB 。 在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ） ＝180°－21 （∠ABC ＋∠ACB ） ＝180°－21 （180°－∠A ） ＝180°－21×180°＋21 ∠A ＝90°＋2 1 ∠A （方法二）解：连接AD 并延长交BC 于点E 解：∵BD 、CD 为角平分线 ∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝2 1 ∠ACB 。 ∵∠BDE 是△ABD 的外角 ∴∠BDE ＝∠BAD+∠ABD =∠BAD+2 1 ∠ABC

同理可得∠CDE ＝∠CAD+2 1 ∠ACB 又∵∠BDC ＝∠BDE+∠CDE ∴∠BDC ＝∠BAD+21∠ABC+∠CAD+21 ∠ACB ＝∠BAC+21 （∠ABC+∠ACB ） ＝∠BAC+21 （180°－∠BAC ） ＝90°＋2 1 ∠BAC 例２、如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线， 试说明：∠D=90°－2 1 ∠A 。 解：∵BD 、CD 为角平分线 ∴∠CBD=21 ∠CBE ∠BCD ＝2 1 ∠BCF 又∵∠CBE 、∠BCD 为△ABC 的外角 ∴∠CBE ＝∠A ＋∠ACB ∠BCF ＝∠A ＋∠ABC ∴∠CBE ＋∠BCF ＝∠A ＋∠ACB ＋∠A ＋∠ABC ＝∠A ＋180° 在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ） ＝180°－（21∠CBE ＋21 ∠BCF ） ＝180°－21 （∠CBE ＋∠BCF ） ＝180°－21 （∠A ＋180°） ＝90°－2 1 ∠A 【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。 例３：如图，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，CD 为∠ＡＣＥ的平分线， 试说明：∠D ＝2 1 ∠A ； 解：∵BD 为角平分线， ∴∠CBD ＝2 1 ∠ABC ， 又∵CD 为∠ACE 的平分线 ∴∠DCE=2 1 ∠ACE ，

沪科版九年级下册第05讲—角平分线四大模型

角平分线的定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个叫分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边距离相等 角平分线的判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上模型一：双垂直模型基础 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 【例】已知： 4 3 ,2 1∠ = ∠ ∠ = ∠，求证：AP平分BAC ∠ 解答：可证

双垂直模型进阶 【例1】已知：如图，在四边形中，CD AD AB BC =>,，BD 平分ABC ∠，求证：BAD ∠ 180=∠+C 解答： ①方法一：双垂模型 ②方法二：双等模型 可证 【例2】如图，正方形ABCD 的边长为4，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若点Q P ,分别是AD 和AE 上的动点，则PQ DQ +的最小值是

解答： ①方法一：双垂模型 ②方法二：双等模型【将军饮马+垂线段最短】 得证22 模型二：单垂模型基础 有垂直于角平分线的线，果断延长，就会得到一个等腰三角形 【例】如图，在ABC ?中，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足为D ，求证：C ∠+∠=∠12

解答：可证 单垂模型进阶

【例1】已知：如图，在ABC ?中， AC AB BAC ==∠,90 ，BE 平分ABC ∠，BE CE ⊥，求证： BD CE 21 = 解答：可证 【例2】如图，AD CD AC AB CAD BAD ⊥>∠=∠,,于点D ，H 是BC 的中点，求证： ) (21 AC AB DH -= 解答：可证

模型三：双等模型基础 如图所示，OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，C 为OP 上一点，连接AC ，在射线ON 上截取OA OB =，连接BC ，易证：BOC AOC ??? 【例】如图所示，在ABC ?中，AB AC >，AD 是内角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，求证：AB AC PB PC -<-

角平分线的几种辅助线作法与三种模型

一、角平分线的三种“模型” 模型一：角平分线+平行线→等腰三角形 如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥O B，交OA于点E，则EO=EP. AAA EPCEC DFEP OBBCOFB 图1图2图3 例1 如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形 如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作 EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF， PE=PF. 例2 如图4，BD是∠ABC的平分线， AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C. 模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于

在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题. D A E AP / BC DB /BC 图5图6 例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点. 求证：PB+PC>AB+AC. 二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线，构造三角形 1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1()2 BE AC AB =- 2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ ECD ． 二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段 1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。 2 1F E D C B A N P E D C B A A B D C E F 图

角平分线模型精华篇

角平分线模型精华篇

角平分线有关的辅助线 角平分线是天然的涉及对称的模型，通常有下列四种作辅助线的方法： （1）角平分线+两边垂线→全等三角形： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等； 已知：AD平分∠BAC，CD⊥AC，垂足为C，过点D作DB⊥AB，垂足为B； 辅助线：过点D作DB⊥AB，垂足为B； 结论：①△ACD≌△ABD；② CD= DB （角分线垂两边，对称全等必呈现） （2）角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现：遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 已知：OP平分∠AOB，MP⊥OP，垂足为P，延长MP交OB于点N； 结论：①△OPM≌△OPN ； ②△OMN为等腰三角形； ③P是MN的中点（三线合一）； （3）在角的两边上截取相等的线段，构造全等三角形： 已知：OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点；

辅助线：在OA上取一点E，在OB取一点F，使得OE=OF，并连接DE， 结论：△OED≌△OFD ； （4）作平行线 ①以角分线上一点作角的另一边的平行线，则△OAB等腰三角形； ②过一边上的点作角平分线的平行线与另一边 的反向延长线相交，则△ODH等腰三角形；已知：OP平分∠MON，AB∥ON，已知：OC平分∠AOD，DH∥OC， 结论：△OAB等腰三角形结论：△ODH等腰三角形 一、角平分线模型应用 1.角平分线+两边垂线→全等三角形 辅助线：过点G作GE 射线AC 已知：AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AC，DB ⊥AB， 求证：CD=DB

证明：∵AD 是∠BAC 的角平分线， ∴∠1=∠2， ∵CD ⊥AC ，DB ⊥AB ， ∴∠ACD=∠ABD=90°， 在△ACD 和△ABD 中， ∴△ACD ≌△ABD （AAS ） ∴CD=BD 例1：已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP 平分∠BAC ． 例2：如图，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，过D 作DE ⊥AB 、DF ⊥AC ， 垂足分别为E 、F ．求证：BE=CF ． ??? ??AD =AD 90=ABD ∠=ACD ∠2 ∠=1∠

第1讲角平分线四大模型

N M O A B P 2 图4 321A C P B D A B C 图1A B D C A B D C P 第1讲 角平分线四大模型 模型1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。 结论：PB=PA 。 模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 模型实例 （1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D 到直线AB 的距离 是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。 求证：AP 平分∠BAC 。 热搜精练 1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。 2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

P O N M B A 图2D P A B C D C 1图P B A A B C D A B C D E D C B A 模型2 截取构造对称全等 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。 结论：△OPB ≌△OPA 。 模型分析 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 模型实例 （1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较 PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由； （2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。 热搜精练 1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。 求线段BC 的长。 2．已知，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。 求证：BC=AB+CD 。 3．如图所示，在△ABC 中，∠A=100°，∠A=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，DE=AD 。求 证：BC=AB+CE 。

全等三角形之角平分线模型

角平分线模型 【理论准备1】： 已知：∠AOB ． 求作：∠AOB 的平分线． 作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ． （2）分别以M 、N 为圆心，大于?MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ． （3）作射线OC ，射线OC 即为所求． 【理论依据】：三边对应相等的三角戏是全等三角形（SSS ）、全等三角形对应角相等 C O B Ｂ Ｎ Ｍ Ｂ Ｃ Ｏ

【理论准备2】： 角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【几何语言】：∵ OC 为∠AOB 的角平分线，D 为OC 上一点DE ⊥OA ，DF ⊥OB ∴ DE=DF 【理论准备3】： 角平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【几何语言】：∵ DE ⊥OA ，DF ⊥OB 且DE=DF ∴ OD 为∠AOB 的角平分线 【说明】：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 D F E O C B A D F E O C B A

【例题1】 证明：三角形三个内角的角平分线交于一点． 【跟踪训练】 1. 如图，△ABC 的∠B 、∠C 的外角平分线交于点D ．求证：AD 是∠BAC 的平分线． A B C D 2. 如图，△ABC 的外角一平分线CP 和内角平分线BP 相交于点P ，若∠BAC=80°，则 ∠CAP=________. A B P C D 3. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB ，DE=3cm ，BD=5cm ，则BC=__________． I F E D C B A 第19题 第 C A E D B B E F A C