结构动力学习题解答(一二章)
第一章 单自由度系统
1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、 牛顿第二定律法
适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；
（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m &&
,得到系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法
适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；
（2） 利用动量距定理J ∑=M θ
&&,得到系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法：
适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程
θθ
??-
???L
L dt )(&=0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法
适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即
0)
(=+dt
U T d ，进一步得到系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。
（2）由对数衰减率定义 )ln(
1
+=i i
A A δ， 进一步推导有 2
12ζ
πζδ-=
，
因为ζ较小， 所以有
π
δζ2=
。 方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。 （1）通过实验，绘出系统的幅频曲线， 如下图：
单自由度系统的幅频曲线
（2）分析以上幅频曲线图，得到：
4/22/max 2,1ζββ==；
于是
2
21)21(n ωζω-=；
进一步
222)21(n ωζω+=；
最后
()n n ωωωωωζ2/2/12?=-=；
1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法。
方法一：幅频（相频）曲线法 当单自由度系统在正弦激励t F ωsin 0作用下其稳态响应为：
)sin(αω-=t A x ,
其中： (
)()2
2
2
2
2
20
20
414ω
ζ
ωω
ωω+-=
+-=
st
n
x n m
F A ； (1)
()()21/2arctan ωωζα-= (2)
从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（1），（2）式求得阻尼比ζ。 方法二：功率法：
（1） 单自由度系统在t F ωsin 0作用下的振动过程中，在一个周期内， 弹性力作功为 0=c W 、 阻尼力做功为 2A W c d πω-=、 激振力做作功为 απsin 0F W f -=；
（2） 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零， 即： c W +d W +0=f W ；
于是 παsin 0F -02=A c πω 进一步得： ωαc F A sin 0=； （3） 当ωω=n 时，1sin =α，
则 ζ2max st x A =，
得 ζβ21max =, max 2βζ=。
1.4 求图1-35中标出参数的系统的固有频率。 （1）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为k 1
刚度为 3248L EI
k =； 等效刚度为k;有1k 3
1214848111l k EI EIk k k k +=
???
?
??+=
则固有频率为：(
)
m
l k EI EIl m
k 3
13
4848+==
ω； 图1-33（a ） （2）此系统相当于两个弹簧串联, 等效刚度为: 3148l
EI
k k +=则固有频率为: 3
3148ml EI
l k m
k +==
ω 图1-33（b ）
(3)系统的等效刚度为
11
33
33
EI EI
k k k
l l
=+=+
则系统的固有频率为
ω==图1-33（c）
（4）
由动量距定理()θ&&0
I
F
m=
∑得：
（l
k
l
l
k
l
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
?
?
+
?
?θ
θ）=θ&&
2
2
1
ml
得：0
2
1=
+θ
θ
m
k
&&，
则
m
k
2
1
=
ω。
图1-33（d）
1.5 求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮A半径R,重物B的重量为P/2,弹簧刚度为k.
解：以θ为广义坐标，则
系统的动能为
()2
2
2
1
2
1
θ&
&I
x
m
T
T
T+
=
+
=）
（
轮子
重物
()2
2
2
2
2
4
4
)
2
1
(
2
1
2
2
1
x
g
P
x
g
P
R
x
R
g
P
x
g
P
&
&
&
&+
=
?
?
?
?
?
+
=）
（
2
2
x
g
P
&
=
系统的势能能为：
2
2
1
kx
Px
U
U
U+
=
+
=
弹簧
重物
；
拉格朗日函数为
L=T-U ;
由拉格朗日方程0
)
(=
?
?
-
?
?
?
x
L
x
L
dt&
得
=
+kx
x
g
P
&&
则，
0ω=
P
kg 所以：系统的固有频率为
P
kg 1.6求图1-35所示系统的固有频率。图中磙子半径为R ，质量为M ，作纯滚动。弹簧刚度
为K 。
解：磙子作平面运动，
其动能T=T 平动 +T 转动 。2
2221;2
11;222T Mx x
MR x T I R R =??????== ? ? ?????
??&&&平动转动
2
224
34121x M x M x M T &&&=+=
； 而势能
22
1
Kx U =
； 系统机械能
C Kx x M U T =+=
+22
2
143&; 由
()0=+U T t
d d
得系统运动微分方程 02
3
=+Kx x M &&； 得系统的固有频率
M
K
n 32=
ω ； 1.7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A 的质量为m A ，半径为r A ，齿轮B 的质量为m B ，半径为r B,杆AC 的扭转刚度为K A , ,杆BD 的扭转刚度为K B ,
解：由齿轮转速之间的关系B B A A r r ωω= 得角速度 A B A B r r ωω=；转角A B A B r r
??=；
系统的动能为：222
1
21B B A A B A J J T T T ωω+=
+= ()22222241221221A A B A B B B A A A r m m r m r m T ωωω+=???
? ??+
???? ??=
图1-36
系统的势能为：
()
2
2
2222221212121A B A B A B B A A B B A A r r K K K K K K U ????????
? ?
?+=+=+=; 系统的机械能为
()C r r K K r m m U T A B A B
A A A
B A =???
? ??+++=+2
2
2222141??&； 由
()0=+U T t
d d
得系统运动微分方程 ()021222=???
?
?
?+++A B A B
A A A
B A r r K K r m m ??&&； 因此系统的固有频率为：
()()
B A B A B A A
A B A B A B A n m m r r K K r r m m r r K K +???
? ?
?+=
+???
? ?
?+=
222
22212ω；
1.8已知图１－３７所示振动系统中，匀质杆长为L ，质量为m ，两弹簧刚度皆为K ，阻尼系
数为C ，求当初始条件00
0==θθ&时 （１）t F t f ωsin )(=的稳态解；
（２）t t t f )()(δ=的解；解：利用动量矩定理建立系统运动微分方程
θθθθ2
2
2
22)(22??
? ??-+??? ??-??? ??-=L K L t f L K L C J &&& ；而 ?
?
-
-
===2
2
22
2
2
2
12L L
L
L mL dr L m r dm r J ；得 )(663222t Lf KL CL mL =++θθθ
&&&； 化简得
)(6
63t f mL
m K m C =++
θθθ&&& (1) （１） 求t F t f ωsin )(=的稳态解； 将t F t f ωsin )(=代入方程（1）得
t F mL
m K m C ωθθθsin 6
63=++
&&& (2)
令;6;6;322mL
F h m K m C n n ===
ω 得 t h n n ωθωθθ
sin 22=++&&& （3） 设方程（3）的稳态解为
)sin(αω-=t A x （4） 将（4）式代入方程（3）可以求得：
()
(
)
2
2
2
22
2
2
22
9664ω
ω
ω
ω
ω
C m K L F
n h
A n
+-=
+-=
；
2
2
2632ω
ωω
ωω
αm K C arctg
n arctg
n -=-= ；
（２） 求)()(t t f δ=的解； 将)()(t t f δ=代入方程（1）得
)(6
63t mL
m K m C δθθθ=++
&&& （5） 令;6
;6;322mL
h m K m C n n ===
ω 得 )(22t h n n δθωθθ
=++&&& （6） 方程（6）成为求有阻尼的单自由度系统对于脉冲激励)(t h δ的响应。由方程（6）可以得到初始加速度
)(0
t h δθ=&&； 然后积分求初始速度
h t d t h t d t h t d ====?
?
?
+
+
+
00
00
00
0)()(δδθθ&&& ； 再积分求初位移
0)00
00
0====?
?
+
+
t d h t d θθ&&； 这样方程（6）的解就是系统对于初始条件0θ&&、0θ&和0
θ的瞬态响应 ()?ω+=-t Ae x d t n sin ；
将其代入方程（6）可以求得：
;0;==
?ωd m h A
最后得
()()t e m h t Ae x d t n d
d t n ωω?ωsin sin --=
+=
1.9图１－３８所示盒内有一弹簧振子，其质量为m ，阻尼为C ，刚度为K ，处于静止状态，方盒距地面高度为H ，求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。 解：因为在自由落体过程中弹簧无变形，所以振子与盒子之间无相对位移。在粘地瞬间， 由机械能守恒定理 202
1
mV mgH =
的振子的初速度gH V 20=； 底版与地面粘住后，弹簧振子的振动是对于初速度 gH V 20=的主动隔振
系统的运动微分方程为：
0=++Kx x C x m &&& ；
或 ;0=++
x m
K x m C x &&& 或 ;022=++x x n x n ω&&&
系统的运动方程是对于初始条件的响应：()?ω+=-t Ae x d t n sin ；
d d d n gH x
x x x A ωωωζω202
02
0==???
? ??++=&& ； 00
00
=+=x x x arctg
n d ζωω?& ；
();sin 2t gH
x d d
ωω=
1.10汽车以速度V 在水平路面行使。其单自由度模型如图。设m 、k 、c 已知。路面波动情
况可以用正弦函数y=hsin(at)表示。求：（1）建立汽车上下振动的数学模型；（2）汽车振动的稳态解。 解：（1）建立汽车上下振动的数学模型；由题意可以列出其运动方程：
)()(11y y c y y k y m &&&&----=其中：y 表示路面波动情况；y 1将其整理为：
11y c ky ky y c y m &&&&+=++将)sin(at h y =代入得
)sin()cos(at kh at ach ky y c y m +=++&&& 图１－３９
(2)汽车振动的稳态解:
设稳态响应为：)sin(a t A y -=ω
代入系统运动微分方程（1）可解得：
h c m k c k A 2
2222
2)(2ω
ωω+-+=； ))(tan(2
223
ω
ωωc m k k mc acr a +-=； 1.11.若电磁激振力可写为t H t F 02sin )(ω=，求将其作用在参数为m 、 k 、 c 的弹簧振子上的稳态响应。
解：首先将此激振力按照傅里叶级数展开：
∑∞
=++=1
))sin()cos((2)(i i i t i b t i a a t F ωω
其中：dt t i t F T a T i ?=0)cos()(2ω； ?=T
i dt t i t F T b 0
)sin()(2ω
因为)(sin )(02
t H t F ω=是偶函数，所以0=i b 。
于是
)2cos(2
2)(0t H
H t F ω-=
而
)2/2sin(2)(0πω+--=
a t A k
H
t x ； 式中
2
2
2
02
16)4(2ωωωn m
H A n +-=
；
2
0242arctan
ωωω
-=n n a ；
m
k m c n n ==
2
,2ω 1.12.若流体的阻尼力可写为3x b F d &-=,求其等效粘性阻尼。 解：（1）流体的阻尼力为3x b F d &-= ；
（2）设位移为 )cos(αω-=t A x ，而 t d x dx &=；
（3）流体的阻尼力的元功为 )(3
t d x x
b dx F dW d d &&--==； （4）流体的阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：
πωωω4344
34
3)]cos([A b dt a t A b dt x b dx x b dx F W d -=--=-=-==????&&
（5）粘性阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：2
cA πω- （6）等效粘性阻尼：取n ωω=，令=-
πω43
4
3A b n 2A c eq n πω- 可得：22
4
3A b c n eq ω=
第二章 两个自由度系统
2.1 求如图2-11所示系统的固有频率和固有振型，并画出振型。 解：（1）系统的振动微分方程
)(2111x x k kx x m ---=&&
2
122)(kx x x k x m ---=&&即 02211=-+kx kx x m &&；
02212=+-kx kx x m &&； （1） 图 2-11
（2）系统的特征方程 根据微分方程理论，设方程组（1）的解为：
)sin(11αω+=t A x ；)sin(22αω+=t A x （2）
将表达式（2）代入方程组（1）得：
0)sin()2(2112=+-+-αωωt kA kA A m
0)sin()2(2122=++--αωωt kA kA A m （3）
因为)sin(αω+t 不可能总为零，所以只有前面的系数为零：
;
0)2(;0)2(22
1212=-+-=--A m k kA kA A m k ωω；
即
?
?????=????????????
??----00222122
A A m k k
k
m k ωω； （4）
（３） 系统的频率方程 若系统振动，则方程有非零解，那么方程组的系数行
列式等于零，即：
0222
2
=----ω
ωm k k
k
m k ； 展开得
0342
242=+-k mk m ωω ； （5） 系统的固有频率为：
m K /1=ω ； 2;ω= （6）
（４） 系统的固有振型 将1ω，2ω代入系统的特征方程（4）式中的任一式，得系统的固有振型，即各阶振幅比为：
;11)
1(2
)
1(1)
1(==A A γ
;11
)2(2
)
2(1)
2(-==
A A γ
（7）
系统各阶振型如图所示：其中（a ）是一阶振型，（b ）是二阶振型。
+1 +1 +1
（a ） (b)
-1
（５） 系统的主振动 系统的 第一主振动为
)sin(
)sin(;)sin(
)sin(1)1(
1)1
(11)1(2)1(21)1(111)1(1)1(1αγαωααω+=+=+=+=t m
k
A t A x t m
k
A t A x
系统的第一主振动为
)3sin(
)sin(;)3sin(
)sin(1)2(1)2(12)2(2)2(21)2(112)2(1)2(1αγαωααω+=+=+=+=t m
k
A t A x t m
k
A t A x
2.2确定图2-12所示系统的固有频率和固有振型。
解：（1）系统的动能
2
2122212
1)(21)2(21u m u m u m u m T &&&&+=+=u 2
（2）系统的势能因为弹簧上端A 、B 两点的位移
;2
;222
1211u u u u u u u B A +=+-
=所以系统的势能为2212211)2
(2)22(2u u K u u u K
V +++-=)25(4
2
22121u u u u K +-=
; 图2-12 (3)系统的Lagrange 函数
)25(4
212
221212221u u u u K u m u m V T L +--+
=-=&& （4）系统的运动微分方程 由Lagrange 方程
()
2,10==??-???
? ????j u l
u L t d d
j j &
可得
;022;022********=+-
=-+
u K Ku K u m u K
Ku u m &&&& 即
;0022
22522121?
?????=??????
????
?
?????--
+????????????u u K K K K u u m m &&&& （６） 系统的特征方程 设系统的运动微分方程的解为
)sin(,)sin(2211αωαω+=+=t A u t A u 代入系统的运动微分方程得系统的特征方程
;022;
022********
=???
?
?+-+-=-??? ?
?+-A K m
KA K A K A K m ωω
即
;002222522122
???
???=???????????
?????????? ??+---??? ??+-A A K m K K K m ωω （7）系统的频率方程 系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零
;022225222
=??? ?
?+---?
?? ??+-K m K K K m ωω 即
;02742242=+-K Km m ωω
解得
系统的固有频率
m
K
m
K
18
.1;6.021==ωω ； （７） 系统的固有振型 将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得
系统的固有振型
;67.11
;
28.01
)
2()2(2
)
2(1)
1()1(2
)
1(1-==
==
γγA A A A
（8）系统的主振动
)6.0sin(28..0)sin(;)6
.0sin()sin(1)1(111)1(2)1(21)1(111)1(1)1(1ααωααω+=+=+=+=t m
k
A t A u t m
k
A t A u
)18
.1sin(67.1)sin(;)18
.1sin()sin(1)2(111)2(2)2(21)2(111)2(1)2(1ααωααω+-=+=+=+=t m
k
A t A u t m
k
A t A u
2.3一均质细杆在其端点由两个线性弹簧支撑（图2-13），杆的质量为m ，两弹簧的刚度分
别为2K 和K 。
（1）写出用杆端铅直位移u1和u2
（2）写出它的两个固有频率；
（3）画出它的两个固有振型；
解：(1)
均质杆的运动微分方程 C 的位移为 ();2
1
21u u u C +=
均质杆绕质心C 的转角为 ;sin 1
221
L
u u L u u -≈-=-? 图2-13 均质杆的运动微分方程 ;2
;
)2(2121u KL
L Ku J u u K u m C c -=+-=?&&&& 即 212
1221212
12;
)2(2
)(u KL L Ku L u u mL u u K u u m -=++-=+&&&&&&&& 即
()();26;)2(2)(21212121u u K u u m u u K u u m -=++-=+&&&&&&&& 即 ;0612;0242
1212121=+-+=+++Ku Ku u m u m Ku Ku u m u m &&&&&&&& （1）
（2）系统的特征方程
设运动微分方程（1）的解为 )sin(11αω+=t A u 、)sin(22αω+=t A u ，代入方程（1）
;
0612;024212212212212=+--=++--KA KA A m A m KA KA A m A m ωωωω
即
;00612242122
22
?
??
???=?????????????
?----A A m K K m m K m K ωωωω
（4） 系统的频率方程 系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零
;0612242
22
2
=----ω
ωωωm K K
m m K m K 即
;024122242=+-K Km m ωω
解得
系统的两个固有频率
066.3;612.121==ωω；
（5） 系统的固有振型 将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得
系统的两阶固有振型 ;67371;731
)2()2(2)2(1)
1()1(2
)
1(1-====
γ
γA A A A （8）系统的两阶主振动
)
612.1sin(33.2)sin(;)612.1sin()sin(1)
1(1
11)
1(2
)1(2
1)1(111)1(1)1(1ααωααω+=
+=
+=+=t A t A u t A t A u
)
066.3sin(81.1)sin(;)066.3sin()sin(1)
2(1
11)2(2
)2(2
1)2(111)2(1)2(1ααωααω+-=
+=
+=+=t A t A u t A t A u
2.4确定图2-14所示系统的固有频率和固有振型，并画出固有振型。 解：（1）系统运动微分方程
;
)(2;
)(22122121u u K u m u u K u m --=-=&&&&即 2k
;
022;022*******=+-=-+Ku KKu u m Ku Ku u m &&&& （1）
（2）系统特征方程 图2-14
设运动微分方程（1）的解为
)sin(11αω+=t A u
和 )sin(22αω+=t A u ， 代入方程（1）
()();
022;02
2
1
21
2
=-+-=--A m K KA KA A m K ωω 即
;00222122?
?????=??????????????----A A m K K
K
m K ωω
（3）系统频率方程
系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零
;0222
2=----ωωm K K
K
m K
即
;0324=-ωωK m
解得
m
K
3;021=
=ωω; （4）系统的固有振型 将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得
系统的两阶固有振型
;2
11
;
11
)
2()2(2
)
2(1)
1()1(2
)
1(1-
==
==
γγA A A A
+1 +1 +1
-1/2
2.5图2-15所示的均质细杆悬挂成一摆，杆的质量为m ，长为L ，悬线长为L/2，求该系统的固有频率和固有振型。 解：（1）求均质细杆质心的坐标和质心的速度 ()()2121cos cos 2,sin sin 2θθθθ+=+=
L y L
x c c ；
1θ L/2 ()()
22112211sin sin 2
,cos cos 2θθθθθθθθ&&
&&&&+-=+=
L y L x c c ； 2θ C
（2）求系统的Lagrange 函数
()
()2122
22cos cos 2
12121θθθ++++=
-=mgL J y x m V T L C C C &&& ；图2-15 ()()
()21222212122212cos cos 2
124cos 28θθθθθθθθθ+++-++=mgL mL mL &&&&& ； （3）求系统的运动微分方程 由Lagrange 方程
()
2,10==??-???? ?
???j l L t d d j j θθ& 可得
;0234
;02442
22121
22
1
2
=++=++θθθθθθL mg mL mL L mg mL mL &&&&&&&&
即 ;002002
34
4421
2122
22???
???=???????
???
?
?????+???????????
?????
??θθθθmgL mgL
mL mL mL mL &&&& （4）系统特征方程
设运动微分方程（1）的解为 )sin(11αωθ+=t A 和)sin(22αωθ+=t A ，代入方程（1）
;0)3
2(4;
04)42(22212222
2122=-+-=--A mL L mg A mL A mL A mL L mg ωωωω 即 ;00)32(44)42(2122222
222???
???=???????????
???
?
???----A A mL L mg mL mL mL L mg ωωωω （3）系统频率方程
系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零
2222
22
22()244
0;()423
L mL mL mg mL L mL mg ωω
ωω--=--
即 ;012142242=+-g g L ωω 解得系统的两个固有频率
;6
.3;21L
g
L
g ==
ωω； （4）系统的固有振型 将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得 系统的两阶固有振型
;11
131
;
11
)
2()2(2
)
2(1)
1()1(2
)
1(1-
==
==
γγA A A A
+1 +1 +1
-13/11 2.6两层楼用集中质量表示如图2-16所示的系统。其中2121m
m =
；212
1
k k =；证明该系统的固有频率和固有振型为：1;2;2;2)2(2
)
2(1)1(2)1(1
11
2111-====x x x x m k m k ωω ； 解：(1)系统振动微分方程
02221122221211111=++=++x k x k x m x k x k x m &&&& （1）
系统特征方程{
(
)
222
2212121211211
=-+=+-A m k A k A k A m k
ωω （2）
（3）系统频率方程 因为考虑系统振动的情况 ，所以要求方程（2）有非零解。而方程（2）
有非零解的充要条件是其系数行列式等于零：02
2
2212
121
211=--m K K K m K ωω即12
11m k ω-）（22
22m k ω-）02112=-k k
（4）系统固有频率 K2 根据已知条件 111k k =，11221k k k -==， 121223k k k k =+=，2121m m =
，2121
k k =; 图2-16 12122
3k k k k =+=，2121m m =，212
1
k k =;
代入（3）式得
0252
11114
2=???
? ??+???? ??-m k m k ωω ， 11122m k =
ω ,1
122
2m k =ω ； （6） 系统固有振型：
将系统固有频率 代入系统特征方程（2）得系统固有振型
22
11
111
112
12
)1(2
)1(1=--=
-=
k k k k m k A A ω；
121
11
11
12212
)2(2
)
2(1-=--=
-=
k k k k m k A A ω；
（7） 系统的主振动：
2)1(2
)
1(1)1(2
)1(1==
A A x x ；
1)2(2
)
2(1)2(2
)2(1-==
A A x x ；
证毕。
2．7 如图2-17所示的系统，设激振力为简谐形式，求系统的稳态响应。
图2-17 解: (1)建立系统运动微分方程
根据牛顿第二定律，分别对1m 和2m 列出振动微分方程：
)()()(122222121111=-+=-++x x k x m t f x x k x k x m &&&& （1-1）
即：
)sin )(22122222212111=+-=-++x k x k x m t e m x k x k k x m &&&&ωω （1-2）
(2求系统的稳态响应：设系统的稳态响应为 )
sin()
sin(222111a t A x t A x -=-=ωαω （1-3）
即
t
D t D x t C t C x ωωωωcos sin cos sin 212211+=+= （1-4）
将表达式（1-4）代入式（1-2），根据两个方程中包含t ωsin 的系数和为零及包含t ωcos 的系数和为零，可得如下方程组：
;
0)(;)(222212
121212121=-++-=-++-D k C k k m e m D k C k k m ωωω
即
;
0;0)(2222122212=+-=+-+-D k C k D k m C k ω （1-5）
求解方程组（1-5）得：0
22==D C
;
0;;
)
(222
22212
122
214
212
212222121222142122221==-+--=
-+---=
D C k m k k k m k m m m ek m D k m k k k m k m m m m k e m C ω
ωωωωωωωωωω
（1-6）
所以在公式 )sin(,)sin(222111a t A x t A x -=-=ωαω中有
;
0;;
)
(212
22212
122
214
212
222222121222142122221==-+--=
-+---=ααω
ωωωωωωωωωωk m k k k m k m m m ek m A k m k k k m k m m m m k e m A
（1-7）
2.8在如图2-18所示的系统中，一水平力Fsin(ωt)作用于质量块M 上，求使M 不动的条件。
解：（1）系统有两个自由度，选广义坐标为x,φ （2）系统的动能
φ1)(212121222&&&&l m X m X M T ++=
（3）系统的势能
)cos (22
1
2φ-+=
l mgl kx U （4）Lagrange 函数 ? L U T L -= 图2-18 m φφφφcos cos 2
1x m)(M 212222mgl mgl kx x ml ml L +---++=
&&&& （5）对Lagrange 函数求导
;sin sin ;cos )(;cos ;2;cos )()(;cos )(22φφφφφφφφφφ
φφφφmgl x ml L x ml ml L dt d x ml ml L kx x L ml x m M x L dt d ml x m M x L -=??-=??-=??-=??-+=??-+=??&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（6）Lagrange 方程
0)(sin )(=??-??=??-??φφ
ωL L dt d t F x L
x
L dt d &&
得
sin sin cos sin 2cos )(2=+--=+-+φφφφφωφφmgl x ml x ml ml t
F kx ml x m M &&&&&&&&&&
因为振动为微幅振动，所以
φφφφ≈-≈sin ,1cos 2
（8） 解方程：
设t A x ωsin =，t B ωφsin =代入方程并整理得：
2)1()(2
2
2
2
2
222=+-+-=+-++-Bmgl mlAB Aml Bml F Ak ml B m M A ωωωφωω
因为M 不动，所以A=0。而B 不能等于零，故，
022=-ml mgl ω，
解得
l
g
=
ω；
2.9在图2-19所示的系统中，轴的弯曲刚度为EJ ，圆盘质量为m ，它对其一条直径的转动惯量为I=mR 2/4，其中R=L/4。设轴在它的静平衡位置时是水平的，且忽略轴的质量。求系统的运动微分方程和固有频率。
解：（1）系统自由度、广义坐标：
结构动力学试卷B卷答案
华中科技大学土木工程与力学学院 《结构动力学》考试卷（B卷、闭卷） 2013～2014学年度第一学期成绩 学号专业班级姓名 一、简答题（每题5分、共25分） 1、刚度法和柔度法所建立的体系运动方程间有何联系？各在什么情况下使用方便？ 答：从位移协调的角度建立振动方程的方法为柔度法。从力系平衡的角度建立的振动方程的方法为刚度法。这两种方法在本质上是一致的，有着相同的前提条件。在便于求出刚度系数的体系中用刚度法方便。同理，在便于求出柔度系数的体系中用柔度法方便。在超静定结构中，一般用刚度法方便，静定结构中用柔度法方便。 2、什么叫动力系数，动力系数大小与哪些因素有关？单自由度体系位移动力系数与内力动力系数是否一样？ 答：动力系数是指最大动位移[y(t)]max与最大静位移yst的比值，其与体系的自振频率和荷载频率θ有关。当单自由度体系中的荷载作用在质量处才有位移动力系数与内力动力系数一样的结果。 3、什么叫临界阻尼？怎样量测体系振动过程中的阻尼比？若要避开共振应采取何种措施？ 答：当阻尼增大到体系在自由反应中不再引起振动，这时的阻尼称为临界阻尼。根据公式即测出第k次振幅和第k+n次振幅即可测出阻尼比。 措施：○1可改变自振频率，如改变质量、刚度等。○2改变荷载的频率。○3可改变阻尼的大小，使之避开共振。 4、振型正交的物理意义是什么？振型正交有何应用？频率相等的两个主振型互相正交吗？ 答：物理意义：第k主振型的惯性力与第i主振型的位移做的功和第i主振型的惯性力与第k主振型的静位移做的功相等，即功的互等定理。 作用：○1判断主振型的形状特点。○2利用正交关系来确定位移展开公式中的系数。 5、应用能量法求频率时，所设的位移函数应满足什么条件？其计算的第一频率与精确解相比是偏高还是偏低？什么情况下用能量法可得到精确解？ 答：所设位移函数要满足位移边界条件，同时要尽可能与真实情况相符。第一频率与精确解相比偏高。如果所假设的位移形状系数与主振型的刚好一致，则可以得到精确解。
结构力学考试答案
结构力学考试答案 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
结构力学 一、填空题(每题2分，共10题) 1. 刚结点的特点是被连接的杆件在连接处既不能 ，又不能 ；既可以传递 ，也可以传递 。 相对移动；相对转动；力；力矩 2. 从几何组成角度看，静定结构和超静定结构都是 体系，前者 多余约束，而后者 多余约束。 杆件；板壳；实体；杆件 3. 图示体系的计算自由度=W -12 。 4. 在图示结构中，=K M ， 侧受拉。 75；右侧（内侧） 5. 拱是杆轴线为 ，且在竖向荷载作用下能产生 的结构。答案：曲线；水平推力 6. 图示桁架中，有 10 根零杆。 7. 如图所示结构，支座A 转动角度θ，则=AB M 0 ，=VC F 0 。 8. 使结构产生位移的外界因素，主要有 、 和 三个方面。 9. 图示超静定梁A 支座发生位移时， CD 杆件内力为零。 10. 图示单跨超静定梁的杆端弯矩=AB M ；=BA M ；杆端剪力=QAB F ；=QBA F 。答案：?-l i 6；?-l i 6；?212l i ；?212l i 二、单项选择题(每题2分，共10题) 1. 图示的体系是（ A ）。 A. 无多余约束的几何不变体系 B. 有多余约束的几何不变体系 C. 几何常变体系 D. 几何瞬变体系
2. 图示的体系是（ A ）。 A. 无多余约束的几何不变体系 B. 有多余约束的几何不变体系 C. 几何常变体系 D. 几何瞬变体系 3. 图示结构中，改变B 点支座链杆的方向（不能通过铰A ）时，对该梁的影响是（ D ）。 A. 全部内力没有变化 B. 弯矩有变化 C. 剪力有变化 D. 轴力有变化 4. 图示结构中，QBA F 为（ D ）。 A. -1kN B. 1kN C. D. 5. 图示圆弧三铰拱在静水压力q 作用下，K 截面的内力为（ D ）。 A. 0≠K M ，0=QK F ，0≠NK F B. 0=K M ，0≠QK F ，0≠NK F C. 0≠K M ，0≠QK F ，0≠NK F D. 0=K M ，0=QK F ，qr F NK -= 6. 如图所示拱结构，NDE F 为（ B ）。 A. 70kN B. 80kN C. 75kN D. 64kN 7. 如图所示，若增加桁架的高度，其他条件不变时，对杆1和杆2内力的影响是（ C ）。 A. 1N F ，2N F 均减小 B. 1N F ，2N F 均不变 C. 1N F 减小，2N F 不变 D. 1N F 增大，2N F 不变 8. 图示桁架中，B 支座的反力HB F 等于（ D ）。 A. 0 B. P F 3- C. P F 5.3 D. P F 5 9. 如图所示伸臂梁，温度升高21t t >，则C 点和D 点的位移（ D ）。 A. 都向下 B. 都向上 C. C 点向上，D 点向下 D. C 点向下，D 点向上 10. 将桁架各杆抗拉（压）刚度EA 都乘以n /1，则在荷载作用下各结点位移 （ A ）。
结构力学试题及答案
、选择题（每小题3分，共18分） 1?图示体系的几何组成为： （ ） A. 几何不变，无多余联系； B. 几何不变，有多余联系； C.瞬 变； 4?图示桁架的零杆数目为：（ ） A. 6； B. 7 ； C. 8 ； D. 9。 5?图a 结构的最后弯矩图为：（ ） A.图 b ； B .图 c ； C .图 d ; B. 动 C. 会产生 体位 移； D. 3?在径向均布荷载作用下， 三铰拱的合理轴线为: A.圆弧线； B ?抛物线； C ?悬链线；D.正弦曲 D .都不 支 A.内力；
6.力法方程是沿基本未 A .力的平衡方程； C. 位移协调方程；D ?力的平衡及位 移为零方程。 :■、填空题（每题 3分，共9分） 1. 从几何组成上讲，静定和超静定结构都是 _______________________________ 体系， 前者 ___________ 多余约束而后者 ______________________ 多余约束。 2. 图b 是图a 结构 _______________ 截面的 ____________ 影响线。 3. __________________________________________________ 图示结构AB 杆B 端的转动 刚度为 ____________________________________________________ ,分配系数为 ________ , 传递系数为 ___________ 。 灯订，衷 i 三、简答题（每题 5分，共10分） 1. 静定结构内力分析情况与杆件截面的几何性质、材料物理性质是否相关? 为什么？ 2. 影响线横坐标和纵坐标的物理意义是什么？ 四、计算分析题，写出主要解题步骤 （4小题,共63分） 1?作图示体系的几何组成分析（说明理由） ，并求指定杆1和2的轴力。（本题16分） M/4 SI El M/4 3M4 量方向 移为零 知 B .位
结构力学期末考试题库
一、判断题(共223小题） 1。结构的类型若按几何特征可分为平面结构和空间结构。(A) 2、狭义结构力学的研究对象是板、壳结构(B)。 3 单铰相当于两个约束。(A) 4、单刚节点相当于三个约束。(A) 5、静定结构可由静力平衡方程确定全部约束力和内力。A 6、超静定结构可由静力平衡方程确定全部约束力和内力B。 7 无多余约束的几何不变体系是静定结构。A 8 三刚片规则中三铰共线为可变体系。B 9 两刚片用一个单铰和一个不通过该铰的链杆组成的体系为静定结构。A 10 两刚片用一个单铰和一个不通过该铰的链杆组成的体系为超静定结构B。 11链杆相当于两个约束。B 12 平面上的自由点的自由度为2 A 13 平面上的自由刚体的自由度为3 A 14 铰结点的特征是所联结各杆可以绕结点中心自由转动。A 15 有多余约束的几何不变体系是超静定结构。A 16 无多余约束的几何可变体系是超静定结构。B 17、无多余约束的几何可变体系是静定结构。B 18刚结点的特征是当结构发生变形时汇交于该点的各杆端间相对转角为零。A 19 三刚片规则中三铰共线为瞬变体系。A 20三个本身无多余约束的刚片用三个不共线的单铰两两相连，则组成的体系为静定结构。A 21 一个刚结点相当于3个约束。 22 一个连接3个刚片的复铰相当于2个单铰。A 23 一个铰结三角形可以作为一个刚片。A 24 一个铰结平行四边形可以作为一个刚片。B 25 一根曲杆可以作为一个刚片。A 26 一个连接４个刚片的复铰相当于2个单铰．B 27 任意体系加上或减去二元体，改变体系原有几何组成性质。B 28 平面几何不变体系的计算自由度一定等于零。B 29 平面几何可变体系的计算自由度一定等于零。B 30 三刚片体系中若有1对平行链杆，其他2铰的连线与该对链杆不平行，则该体系为几何不变体系。A 31 三刚片体系中，若有三对平行链杆，那么该体系仍有可能是几何不变的。B 32 三刚片体系中，若有２对平行链杆，那么该体系仍有可能是几何不变的。A 33 一个单铰相当于一个约束。B 34 进行体系的几何组成分析时，若体系通过三根支座链杆与基础相连，可以只分析体系内部。B 35 三刚片体系中，若有两个虚铰在无穷远处，则该体系一定为几何可变。B 36 有多余约束的体系为静定结构。B 37 静定结构一定几何不变。A 38 超静定结构一定几何不变．A 39 几何不变体系一定是静定结构。B 40几何不变体系一定是超静定结构。B 41力是物体间相互的机械作用。A 42 力的合成遵循平行四边形法则。A 43 力的合成遵循三角形法则。A 44 力偶没有合力。A 45 力偶只能用力偶来平衡。A 46 力偶可以和一个力平衡。B 47 力偶对物体既有转动效应，又有移动效应。B 48 固定铰支座使结构在支承处不能移动也不能转动。B 49 可动铰支座使结构在支承处能够转动，但不能沿链杆方向移动。A 50 结点法求解桁架内力应按照结构几何组成相反顺序来求解。A 51 将一个已知力分解为两个力可得到无数解答。A 52 作用力和反作用力是作用在同一物体上的两个力。B 53 作用力和反作用力是作用在不同物体上的两个力。A 54 两个力在同一轴上的投影相等，此两力必相等 B 55 力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩A 56 力偶在坐标轴上的投影的代数和等于零A 57 一个固定铰支座相当于两个约束。A 58三个本身无多余约束的刚片用三个不共线的单铰两两相连，则组成的体系为超静定结构B 59 桁架是“只受结点荷载作用的直杆、铰结体系”。A 60桁架结构的内力有轴力。A 61 拱的合理拱轴线均为二次抛物线。B 62无铰拱属于超静定结构。A 63 三铰刚架和三铰拱都属于推力结构。A 64 简支刚架属于推力结构。B 65 三铰拱属于静定结构。A 66 相同竖向载荷作用下，同跨度拱的弯矩比代梁的弯矩大得多。B 67 桁架结构中，杆的内力有轴力和剪力。B 68 竖向载荷作用下，简支梁不会产生水平支反力．A 69 竖向载荷作用下，拱不会产生水平支反力。B 70 竖向载荷作用下，拱的水平推力与拱高成正比。B
结构力学期末试题及答案
结构力学期末试题及答案 一、 选择题：（共10题，每题2分，共20分） 如图所示体系的几何组成为 。 （A ）几何不变体系，无多余约束 （B ）几何不变体系，有多余约束 （C ）几何瞬变体系 （D ）几何常变体系 第1题 2.图示外伸梁，跨中截面C 的弯矩为（ ） A.7kN m ? B.10kN m ? C ．14kN m ? D ．17kN m ? 第2题 3.在竖向荷载作用下，三铰拱（ ） A.有水平推力 B.无水平推力 C.受力与同跨度、同荷载作用下的简支梁完全相同 D.截面弯矩比同跨度、同荷载作用下的简支梁的弯矩要大 4.在线弹性体系的四个互等定理中，最基本的是（ ） A.位移互等定理 B.反力互等定理 C.位移反力互等定理 D.虚功互等定理 5.比较图(a)与图(b)所示结构的内力与变形，叙述正确的为（ ） A.内力相同，变形不相同 B.内力相同，变形相同 C.内力不相同，变形不相同 D.内力不相同，变形相同
第5题 6.静定结构在支座移动时，会产生（ ） A.内力 B.应力 C. 刚体位移 D.变形 。 7.图示对称刚架，在反对称荷载作用下，求解时取半刚架为（ ） A.图（a ） B.图（b ） C.图（c ） D.图（d ） 题7图 图（a ） 图（b ） 图（c ） 图（d ） 8.位移法典型方程中系数k ij =k ji 反映了（ ） A.位移互等定理 B.反力互等定理 C.变形协调 D.位移反力互等定理 9.图示结构，各柱EI=常数，用位移法计算时，基本未知量数目是（ ） A .2 B .4 C .6 D .8 第9题 第10题 10.FP=1在图示梁AE 上移动，K 截面弯矩影响线上竖标等于零的部分为（ ） A ．DE 、AB 段 B ．CD 、DE 段 C ．AB 、BC 段 D ．BC 、CD 段 二、填空题：（共10题，每题2分，共20分） 1.两刚片用一个铰和_________________相联，组成无多余约束的几何不变体系。 2.所示三铰拱的水平推力FH 等于_______________。 q q (a) (b)
(完整版)结构动力学历年试题
结构动力学历年试题（简答题） 1.根据荷载随时间的变化规律，动力荷载可以划分为哪几类？每一类荷载包括哪几种，请 简述每一种荷载的特点。P2 2.通过与静力问题的对比，试说明结构动力计算的特点。P3 3.动力自由度数目计算类 4.什么叫有势力？它有何种性质。P14 5.广义力是标量还是矢量？它与广义坐标的乘积是哪个物理量的量纲？P16 6.什么是振型的正交性？它的成立条件是什么？P105 7.在研究结构的动力反应时，重力的影响如何考虑？这样处理的前提条件是什么？P32 8.对于一种逐步积分计算方法，其优劣性应从哪些方面加以判断？P132 9.在对结构动力反应进行计算的思路上，数值积分方法与精确积分方法的差异主要表现在 哪里？第五章课件 10.利用Rayleigh法求解得到的振型体系的基本振型和频率及高阶振型和频率与各自的精确 解相比有何特点？造成这种现象的原因何在？P209 11.根据荷载是否预先确定，动荷载可以分为哪两类？它们各自具有怎样的特点？P1 12.坐标耦联的产生与什么有关，与什么无关？P96 13.动力反应的数值分析方法是一种近似的计算分析方法，这种近似性表现在哪些方面？ P132及其课件 14.请给出度哈姆积分的物理意义？P81 15.结构地震反应分析的反应谱方法的基本原理是什么？P84总结 16.某人用逐步积分计算方法计算的结构位移，得到如下的位移时程的计算结果：。。。 17.按照是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可以分为哪两类？这两类的优劣性应该 如何进行判断？P132 18.根据荷载随时间的变化规律，动力荷载可以划分为哪几类？每一类荷载又包括哪些类型， 每种类型请给出一种实例。P2 19.请分别给出自振频率与振型的物理意义？P103 20.振型叠加法的基本思想是什么？该方法的理论基础是什么？P111参考25题 21.在振型叠加法的求解过程中，只需要取有限项的低阶振型进行分析，即高阶振型的影响 可以不考虑，这样处理的物理基础是什么？P115 22.我们需要用数值积分方法求解一座大型的高坝结构的地震反应时程，动力自由度的总数 为25000个，我们如何缩短计算所耗费的机时？P103 23.什么是结构的动力自由度？动力自由度与静力自由度的区别何在？P11及卷子上答案 24.一台转动机械从启动到工作转速正好要经过系统的固有频率（又称为转子的临界转速）， 为减小共振，便于转子顺利通过临界转速，通常采用什么措施比较直接有效？简要说明理由。详解见卷子上答案 25.简述用振型叠加法求解多自由度体系动力响应的基本原理及使用条件分别是什么？若 振型叠加法不适用，可采用何种普遍适用的方法计算体系响应？详解见卷子上答案 26.振型函数边界条件。。。 27.集中质量和一致质量有限元的差异和优缺点，采用这两种有限元模型给出的自振频率与 实际结构自振频率相比有何种关系？P242及卷子上答案 28.人站在桥上可以感觉到桥面的震动，简述当车辆行驶在桥上和驶离桥面的主要振型特征 有何不同？ 29.简述用Duhamel积分法求体系动力响应的基本原理，以及积分表达式中的t和τ有何差
结构力学试题及答案
、选择题（每小题3分，共18分） 1?图示体系的几何组成为：（） A.几何不变，无多余联系； B.几何不变，有多余联系； C.瞬 变； 2?静定结构在支座移动时，会产生：（） A.内力； B.应力； C.刚体位移； D.变形 3?在径向均布荷（） A.圆弧线； 载作用下， B .抛物线 铰拱的合理轴线为: C .悬链线；D.正弦曲线。 4?图示桁架的零A. 6； B. 7杆数目为： ； C. 8 ； ( ) D. 9 。 D.常变。
5?图a结构的最后弯矩图为：（） A.图b ; B .图c；C .图d; D .都不对。 6?力法方程是沿基本未知量方向的：（） A.力的平衡方程； B.位移为零方程； C.位移协调方程；D ?力的平衡及位移为零方程。 :■、填空题（每题3分，共9分） 1.从几何组成上讲，静定和超静定结构都是_______________________________ 体系， 前者__________ 多余约束而后者______________________ 多余约束。 2.图b是图a结构_______________ 截面的 ____________ 影响线。 彳、亡A 卜 1 B K D —i |i li 11 行）f- 3._________________________________________________ 图示结构AB杆B端的转动刚度为_________________________________________________ ,分配系数为________ , 传递系数为 ___________ 。 三、简答题（每题5分，共10分） 1.静定结构内力分析情况与杆件截面的几何性质、材料物理性质是否相关？为什么？ 2.影响线横坐标和纵坐标的物理意义是什么？
结构动力学分析
结构动力学分析 1静力分析与动力学分析的区别 静力分析是分析结构在承受稳定载荷作用下的受力特性。结构动力分析是分析结构在承受随时间变化的载荷作用下的动力学特性。 2动力学特性 动力学特性通常有下面几种类型： 2.1振动特性 即结构的振动形式和振动频率。 2.2随时间变化载荷的效应 例如，对结构位移和应力的效应。 2.3周期（振动）或随机载荷的效应 3四种动力学分析及举例 3.1模态分析 用于确定结构的振动特性，即固有频率和振型。在承受动态载荷的结构设计中，固有频率和振型是重要的参数。模态分析也是其他动力学分析前期必须完成的环节。 举例：如何避免汽车尾气排气管装配体的固有频率与发动机的固有频率相同？ 3.2瞬态分析 用于确定结构在受到冲击载荷时的受力特性。 举例：怎样确保桥墩在受到撞击时的安全？ 3.3谐响应分析 用于确定结构对稳态简谐载荷的响应。 举例：如何确定压缩机、电动机、泵、涡轮机械等旋转引起的轴承、支座、固定装置、部件应力？ 3.4谱分析 用于确定结构在受到动载荷或随机载荷时的受力特性。 举例：如何确定房屋和桥梁承受地震载荷时的受力？ 4四种动力学分析基本原理 4.1模态分析理论的基本假设 线性假设：结构的动态特性是线性的，即任何输入组合所引起的输出等于各自输出的组 合，其动力学特性可用一组线性二阶微分方程来描述。任何非线性特性，如塑性、接触单元
等，即使定义了也将被忽略。 时不变性假设：结构的动态特性不随时间而变化，微分方程的系数是与时间无关的常数。 可观测性假设：系统动态特性所需要的全部数据都是可测量的。 遵循Maxwell互易性定理：在结构的i点输入所引起的j响应，等于在j点的相同 输入所引起的i点响应。此假设使结构的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵和频响矩阵都成了对称矩阵。 4.2谐响应分析基本原理 谐响应分析是一种线性分析，非线性特性被忽略。 输入：已知大小和频率的谐波载荷（力、压力和强迫位移）；同一频率的多种载荷，可以是相同或不相同的。 输出：位移、应力、应变等。 已知动力学运动方程： [M]{u}+[C]{u}+[K]{u}={F(t)} 其中，[M] 为质量矩阵，[C]为阻尼矩阵，[K]为刚度矩阵，{u}为节点位移向量，{F(t)}载荷为时间的任意函数。对简谐运动而言，{u}和{F(t)}均为简谐形式。 4.3瞬态分析基本原理 瞬态分析也叫时间历程分析。载荷和时间的相关性使得惯性力和阻尼作用比较重要，如果惯性力和阻尼作用不重要，就可以用静力学分析代替瞬态分析。 输入：结构在稳态载荷、瞬态载荷和简谐载荷的随意组合作用下随时间变化的载荷。 输出：随时间变化的位移、应力、应变等。 瞬态动力学的基本运动方程： [M]{u}+[C]{u}+[K]{u}={F(t)} 其中，[M] 为质量矩阵，[C]为阻尼矩阵，[K]为刚度矩阵，{u}为节点位移向量，{F(t)}载荷为时间的任意函数。 4.4谱分析基本原理 谱分析模态分析的扩展，是将模态分析的结果与一个已知的谱联系起来计算结构的位移和应力。 主要用于分析承受地震或其他随机载荷的建筑物及桥梁结构等。
结构力学试题及答案汇总(完整版)
. ... . 院（系） 建筑工程系 学号 三 明 学院 姓名 . 密封 线 内 不 要 答 题 密封……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………结构力学试题答案汇总 一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 图 示 体 系 的 几 何 组 成 为 ： （ A ） A. 几 何 不 变 ， 无 多 余 联 系 ； B. 几 何 不 变 ， 有 多 余 联 系 ； C. 瞬 变 ； D. 常 变 。 （第1题） （第4题） 2. 静 定 结 构 在 支 座 移 动 时 ， 会 产 生 ： （ C ） A. 力 ； B. 应 力 ； C. 刚 体 位 移 ； D. 变 形 。 3. 在 径 向 均 布 荷 载 作 用 下 ， 三 铰 拱 的 合 理 轴 线 为： （ B ） A ．圆 弧 线 ； B ．抛 物 线 ； C ．悬 链 线 ； D ．正 弦 曲 线 。 4. 图 示 桁 架 的 零 杆 数 目 为 ： （ D ） A. 6； B. 7； C. 8； D. 9。 5. 图 a 结 构 的 最 后 弯 矩 图 为 ： （ A ） A ．图 b ； B ．图 c ； C ．图 d ； D ．都不 对 。 6. 力 法 方 程 是 沿 基 本 未 知 量 方 向 的 ： （ C ） A ．力 的 平 衡 方 程 ； B ．位 移 为 零 方 程 ； C ．位 移 协 调 方 程 ； D ．力 的 平 衡 及 位 移 为 零 方 程 。
. ... . 二、填空题（每题3分,共9分） 1.从 几 何 组 成 上 讲 ， 静 定 和 超 静 定 结 构 都 是___几何不变____ 体 系 ， 前 者___无__多 余 约 束 而 后 者____有___多 余 约 束 。 2. 图 b 是 图 a 结 构 ___B__ 截 面 的 __剪力__ 影 响 线 。 3. 图 示 结 构 AB 杆 B 端 的 转 动 刚 度 为 ___i___, 分 配 系 数 为 ____1/8 ____, 传 递 系 数 为 ___-1__。 三、简答题（每题5分，共10分） 1.静定结构内力分析情况与杆件截面的几何性质、材料物理性质是否相关？ 为什么？ 答：因为静定结构内力可仅由平衡方程求得，因此与杆件截面的几何性质无关， 与材料物理性质也无关。 2.影响线横坐标和纵坐标的物理意义是什么？ 答：横坐标是单位移动荷载作用位置，纵坐标是单位移动荷载作用在此位置时物 理量的影响系数值。 四、计算分析题，写出主要解题步骤(4小题,共63分) 1.作图示体系的几何组成分析（说明理由），并求指定杆1和2的轴力。（本题16分） （本题16分）1.因为w=0 所以本体系为无多约束的几何不变体系。（4分） F N1=- F P （6分）； F N2=P F 3 10（6分）。 2.作 图 示 结 构 的 M 图 。（本题15分）
结构动力学概念题
概念题 1.1 结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？ 答：主要区别表现在：(1) 在动力分析中要计入惯性力，静力分析中无惯性力；(2) 在动力分析中，结构的内力、位移等是时间的函数，静力分析中则是不随时间变化的量；(3) 动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法一般与荷载类型无关。 1.2 什么是动力自由度，确定体系动力自由度的目的是什么？ 答：确定体系在振动过程中任一时刻体系全部质量位置或变形形态所需要的独立参数的个数，称为体系的动力自由度（质点处的基本位移未知量）。 确定动力自由度的目的是：(1) 根据自由度的数目确定所需建立的方程个数（运动方程数=自由度数），自由度不同所用的分析方法也不同；(2) 因为结构的动力响应（动力内力和动位移）与结构的动力特性有密切关系，而动力特性又与质量的可能位置有关。 1.3 结构动力自由度与体系几何分析中的自由度有何区别？ 答：二者的区别是：几何组成分析中的自由度是确定刚体系位置所需独立参数的数目，分析的目的是要确定体系能否发生刚体运动。结构动力分析自由度是确定结构上各质量位置所需的独立参数数目，分析的目的是要确定结构振动形状。 1.4 结构的动力特性一般指什么？ 答：结构的动力特性是指：频率（周期）、振型和阻尼。动力特性是结构固有的，这是因为它们是由体系的基本参数（质量、刚度）所确定的、表征结构动力响应特性的量。动力特性不同，在振动中的响应特点亦不同。 1.5 什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么是等效粘滞阻尼？ 答：振动过程的能量耗散称为阻尼。 产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力等等。当然，也包括结构中安装的各种阻尼器、耗能器。阻尼力是根据所假设的阻尼理论作用于质量上用于代替能量耗散的一种假想力。粘滞阻尼理论假定阻尼力与质量的速度成比例。 粘滞阻尼理论的优点是便于求解，但其缺点是与往往实际不符，为扬长避短，按能量等效原则将实际的阻尼耗能换算成粘滞阻尼理论的相关参数，这种阻尼假设称为等效粘滞阻尼。 1.6 采用集中质量法、广义位移法（坐标法）和有限元法都可使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们采用的手法有何不同？ 答：集中质量法：将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个或某些位置上，认为其他地方没有质量。质量集中后，结构杆件仍具有可变形性质，称为“无重杆”。 广义坐标法：在数学中常采用级数展开法求解微分方程，在结构动力分析中，也可采用相同的方法求解，这就是广义坐标法的理论依据。所假设的形状曲线数目代表在这个理想化形式中所考虑的自由度个数。考虑了质点间均匀分布质量的影响（形状函数），一般来说，对于一个给定自由度数目的动力分析，用理想化的形状函数法比用集中质量法更为精确。 有限元法：有限元法可以看成是广义坐标法的一种特殊的应用。一般的广义坐标中，广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，并且在广义坐标中，形状函数是针对整个结构定义的。而有限元法则采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，且形函数是定义
结构动力学例题复习题
第十六章结构动力学 【例16-1】不计杆件分布质量和轴向变形，确定图16-6 所示刚架的动力自由度。 图16-6 【解】各刚架的自由度确定如图中所示。这里要注意以下两点： 1．在确定刚架的自由度时，引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变的假定。根据这个假定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质量的位置，则刚架的自由度数目即等于所加链杆数目。 2．集中质量的质点数并不一定等于体系的自由度数，而根据自由度的定义及问题的具体情形确定。
【例16-2】 试用柔度法建立图16-7a 所示单自由度体系，受均布动荷载)t (q 作用的运动方程。 【解】本题特点是，动荷载不是作用在质量上的集中荷载。对于非质量处的集中动荷载的情况，在建立运动方程时，一般采用柔度法较为方便。 设图a 质量任一时刻沿自由度方向的位移为y （向下为正）。把惯性力I 、阻尼力R 及动荷载)(t P ，均看作是一个静荷载，则在其作用下体系在质量处的位移y ，由叠加原理（见图b 、c 、d 及e ），则 )(R I y P D I P +δ+?=?+?+?= 式中，)t (q EI 38454P =?，EI 483 =δ。将它们代入上式，并注意到y m I -=，y c R -=，得 )(48)(38453 4y c y m EI t q EI y --+= 图16-7 经整理后可得 )(t P ky y c y m E =++ 式中，3EI 481k =δ= ，)(8 5)(t q k t P P E =?= )(t P E 称为等效动荷载或等效干扰力。其含义为：)(t P E 直接作用于质量上所产生的位移和 实际动荷载引起的位移相等。图a 的相当体系如图f 所示。 【例16-3】 图16-8a 为刚性外伸梁，C 处为弹性支座,其刚度系数为k ，梁端点A 、D 处分别有m 和 3 m 质量，端点D 处装有阻尼器c ，同时梁BD 段受有均布动荷载)t (q 作用，试建立刚性梁的运动方程。 【解】 因为梁是刚性的，这个体系仅有一个自由度，故它的动力响应可由一个运动方程来表达，方程可以用直接平衡法来建立。 这个单自由度体系可能产生的位移形式如图b 所示，可以用铰B 的运动)t (α作为基本
结构力学试题及答案
结构力学复习题 一、填空题。 1、在梁、刚架、拱、桁架四种常见结构中，主要受弯的是 和 ，主要承受轴力的是 和 。 2、选取结构计算简图时，一般要进行杆件简化、 简化、 简化和 简化。 3、分析平面杆件体系的几何组成常用的规律是两刚片法则、 和二元体法则。 4、建筑物中用以支承荷载的骨架部分称为 ，分为 、 和 三大类。 5、一个简单铰相当于 个约束。 6、静定多跨梁包括 部分和 部分，内力计算从 部分开始。 7、刚结点的特点是，各杆件在连接处既无相对 也无相对 ，可以传递 和 。 8、平面内一根链杆自由运动时的自由度等于 。 二、判断改错题。 1、三刚片用三个铰两两相联必成为几何不变体系。（ ） 2、对静定结构，支座移动或温度改变会产生内力。（ ） 3、力法的基本体系必须是静定的。（ ） 4、任何三铰拱的合理拱轴都是二次抛物线。（ ） 5、图乘法可以用来计算曲杆。（ ） 6、静定结构的影响线全部都由直线段组成。（ ） 7、多跨静定梁若附属部分受力，则只有附属部分产生内力。（ ） 8、功的互等定理成立的条件是小变形和线弹性。（ ） 9、力法方程中，主系数恒为正，副系数可为正、负或零。（ ） 三、选择题。 1、图示结构中当改变B 点链杆方向（不能通过A 铰）时，对该梁的影响是（ ） A 、全部内力没有变化 B 、弯矩有变化 C 、剪力有变化 D 、轴力有变化 2、图示桁架中的零杆为（ ） A 、DC, EC, DE, DF , EF B 、DE, DF , EF C 、AF , BF , DE, DF , EF D 、DC, EC, AF, BF 3、右图所示刚架中A A 、P B 、2P - C 、P -
结构力学试题及参考答案
《结构力学》作业参考答案 一、判断题（将判断结果填入括弧内，以 √表示正确 ，以 × 表示错误。） 1．图示桁架结构中有3个杆件轴力为0 。（×） 2．图示悬臂梁截面A 的弯矩值是ql 2。 (×) l l 3．静定多跨梁中基本部分、附属部分的划分与所承受的荷载无关。（√ ） 4．一般来说静定多跨梁的计算是先计算基本部分后计算附属部分。（× ） 5．用平衡条件能求出全部内力的结构是静定结构。（ √ ） 6．求桁架内力时截面法所截取的隔离体包含两个或两个以上的结点。（√ ） 7．超静定结构的力法基本结构不是唯一的。（√） 8．在桁架结构中，杆件内力不是只有轴力。（×） 9．超静定结构由于支座位移可以产生内力。 （√ ） 10．超静定结构的内力与材料的性质无关。（× ） 11．力法典型方程的等号右端项不一定为0。 （√ ） 12．计算超静定结构的位移时，虚设力状态可以在力法的基本结构上设。（√） 13．用力矩分配法计算结构时，汇交于每一结点各杆端分配系数总和为1，则表明分配系 数的计算无错误。 （× ） 14．力矩分配法适用于所有超静定结构的计算。（×） 15．当AB 杆件刚度系数i S AB 3 时，杆件的B 端为定向支座。 (×)
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号填在题干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分。） 1．图示简支梁中间截面的弯矩为（ A ） q l A ． 82ql B ． 42ql C ． 22 ql D ． 2ql 2．超静定结构在荷载作用下产生的内力与刚度（B ） A ． 无关 B ． 相对值有关 C ． 绝对值有关 D ． 相对值绝对值都有关 3．超静定结构的超静定次数等于结构中（B ） A ．约束的数目 B ．多余约束的数目 C ．结点数 D ．杆件数 4．力法典型方程是根据以下哪个条件得到的（C ）。 A ．结构的平衡条件 B ．结构的物理条件 C ．多余约束处的位移协调条件 D ．同时满足A 、B 两个条件 5． 图示对称结构作用反对称荷载，杆件EI 为常量，利用对称性简化后的一半结构为（A ）。 6．超静定结构产生内力的原因有（D ） A ．荷载作用与温度变化 B ．支座位移 C ．制造误差 D ．以上四种原因
结构动力学分析
MIDAS/GEN六层框架结构的动力分析 工程概况 建筑地点：北京市 建筑类型：六层综合办公楼，框架填充墙结构。 地质条件：根据设计任务说明地震设防烈度为8度。 柱网与层高：本办公楼采用柱距为6.0m的内廊式小柱网，边跨为6.0m，中间跨为2.7m，层高取首层为4.5m,其余为3.3m，如下图所示： 框架结构的计算简图：
典型结构单元 梁、柱、板截面尺寸的初步确定： 1、梁截面高度一般取梁跨度的1/12至1/8。本方案取1/10×6000=600mm，截面宽度取600×1/2=250mm，可得梁的截面初步定为b×h=250*600。楼板取120mm，楼梯板及休息平台板为100mm,平台梁250×400。 2、框架柱的截面尺寸 梁截面尺寸（mm） 柱截面尺寸（mm）
结构动力学分析用来求解随时间变化的载荷对结构或部件的影响。与静力分析不同，动力分析要考虑随时间变化的力载荷以及它对阻尼和惯性的影响。MIDAS/GEN可进行的结构动力学分析类型包括:瞬态动力学分析、模态分析、屈曲分析、动力非线性分析等。本文将以一个六层框架结构为例对结构进行模态分析和谱分析。 一．模态分析 模态分析是用于确定设计中的结构或机器部件的振动特性。它也是其他更详细动力学分析的起点，例如瞬态动力学分析和谱分析等，可以通过模态分析确定结构部件的频率响应和模态。一般对于动力加载条件下的结构设计而言，频率响应和模态是非常重要的参数，即使在谱分析及瞬态分析中也是需要的。 1.1动力学求解方法 MIDAS目前提供了三种特征值分析方法，它们是子空间法、分块Lanczos 算法、多重Ritz向量法。本文采用子空间法进行计算求解。子空间法使用迭代技术，求出结构的前r阶振型，它内部使用广义Jacobi迭代算法。由于该方法采用了完整的质量和刚度矩阵，因此精度很高，但计算速度较慢，特别适用于大型对称特征值求解问题。分块Lanczos法特征值求解器采用Lanczos算法，Lanczos算法是用一组向量来实现递归计算。这种方法和子空间法一样精确，但速度较快。多重Ritz向量法以变分原理为基础，直接迭加法求出的是和激发荷载向量直接相关的振型，其收敛具有严格的理论基础，在物理和、力学的微分方程中占有很重要的位置，得到广泛的应用。 1.2本工程模态分析结果 1.2.1自振周期与振型: 使用MIDAS/GEN中的模态分析计算结构的自振周期和振型。模态分析所使用的方法是子空间迭代法。高层建筑结构振型多，分布规律很难掌握，扭转振动会对结构产生教大影响，因此不能简单的取前几阶进行计算。规范中规定对于高层结构一般取3}5阶振型。为使高层建筑的分析精度有所改进，其组合的 振型个数适当增加。考虑到MIDAS/GEN软件的强大快速的数据处理能力和精度的要求，本文取30阶振型。从国内高层建筑结构设计经验来看，建议基本自振周期按以下的几个公式估计，其中N为地面以上建筑物结构层数。经验公式表达简单，使用方便，但比较粗糙，而且只有基本周期，但经常用于对理论计算值的计算与评价。 框架:T1=(0.08~0.1) N 框架一剪力墙:T1=(0.06~0.09) N 钢结构:T1=0.1N 本工程得经过MIDAS/GEN的计算得到固有周期、固有频率、振型参与质 量等的数值结果;X方向振型参与达到总质量的95.57%, Y方向振型参与达到 总质量的94.83%，经过整理取前十阶列表可得到表1
湖南大学结构力学考试及答案
结构力学 试 题 一．是非题（将判断结果填入括弧：以O 表示正确，X 表示错误）（本大题分4小题，共 11分） 1 . (本小题 3分) 图示结构中DE 杆的轴力F NDE =F P /3。（ ）. 2 . (本小题 4分) 用力法解超静定结构时，只能采用多余约束力作为基本未知量。 （ ） 3 . (本小题 2分) 力矩分配中的传递系数等于传递弯矩与分配弯矩之比，它与外因无关。（ ） 4 . (本小题 2分) 用位移法解超静定结构时，基本结构超静定次数一定比原结构高。 （ ） 二．选择题（将选中答案的字母填入括弧内）（本大题分5小题，共21分） 1 （本小题6分） 图示结构EI=常数，截面A 右侧的弯矩为：（ ） A ．2/M ； B ．M ； C ．0； D. )2/(EI M 。 2
2. （本小题4分） 图示桁架下弦承载，下面画出的杆件内力影响线，此杆件是：（ ） Ａ.ch ; ; ; . 3. (本小题 4分) 图a 结构的最后弯矩图为： A. 图b; B. 图c; C. 图d; D.都不对。（ ） ( a) (b) (c) (d) 4. (本小题 4分) 用图乘法求位移的必要条件之一是： A.单位荷载下的弯矩图为一直线； B.结构可分为等截面直杆段； C.所有杆件EI 为常数且相同； D.结构必须是静定的。 ( ) 5. （本小题3分） 图示梁A 点的竖向位移为（向下为正）：( ) Ａ．F P l 3 /(24EI ); B . F P l 3 /(!6EI ); C . 5F P l 3 /(96EI ); D. 5F P l 3 /(48EI ). F P
《结构动力学》课程作业解析
研究生课程考核试卷 （适用于课程论文、提交报告） 科目：结构动力学大作业教师： 姓名：学号： 专业：岩土工程类别：专硕 上课时间：2015年9 月至2015 年11 月 考生成绩： 卷面成绩平时成绩课程综合成绩阅卷评语： 阅卷教师(签名)
重庆大学研究生院制 土木工程学院2015级硕士研究生考试试题 1 题目及要求 1、按规范要求设计一个3跨3层钢筋混凝土平面框架结构（部分要求如附件名单所示；未作规定部分自定）。根据所设计的结构参数，求该结构的一致质量矩阵、一致刚度矩阵； 2、至少采用两种方法求该框架结构的频率和振型； 3、输入地震波（地震波要求如附件名单所示），采用时程分析法，利用有限元软件或自编程序求出该框架结构各层的线性位移时程反应。
2 框架设计 2.1 初选截面尺寸 取所设计框架为3层3跨，跨度均为4.5m ，层高均为3.9m 。由于基础顶面离室内地面为1m ，故框架平面图中底层层高取 4.9m 。梁、柱混凝土均采用C30， 214.3/c f N mm =，423.010/E N mm =?，容重为325/kN m 。 估计梁、柱截面尺寸如下： （1）梁： 梁高b h 一般取跨度的 112 1 8 ，取梁高b h =500mm ； 取梁宽300b b mm =； 所以梁的截面尺寸为：300500mm mm ? （2）柱： 框架柱的截面尺寸根据柱的轴压比限值，按下列公式计算： ①柱组合的轴压力设计值...E N F g n β= 其中：β：考虑地震作用组合后柱轴压力增大系数； F ：按简支状态计算柱的负荷面积； E g ：折算在单位建筑面积上的重力荷载代表值，可近似取为 21214/KN m ； n ：验算截面以上的楼层层数。 ②c N c N A u f ≥ 其中：N u ：框架柱轴压比限值；8度（0.2g ），查抗震规范轴压比限值0.75N u =； c f ：混凝土轴心抗压强度设计值，混凝土采用30C ，2 14.3/c f N mm =。
结构动力学习题解答(一二章)
第一章 单自由度系统 1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力； （2） 利用牛顿第二定律∑=F x m ,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法 适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析； （2） 利用动量距定理J ∑=M θ ,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法： 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程 θθ ??- ???L L dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 4、 能量守恒定理法 适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 0) (=+dt U T d ，进一步得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。 （2）由对数衰减率定义 )ln( 1 +=i i A A δ， 进一步推导有 2 12ζ πζδ-= ，