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2017届高三数学(文)二轮复习(通用版)教师用书：题型专题(十二) 数列 Word版含答案

题型专题(十二) 数列

[师说考点]

1．等差数列的通项公式及前n 项和公式 a n ＝a 1＋(n －1)d ；

S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d .

2．等比数列的通项公式及前n 项和公式 a n ＝a 1q n －

1(q ≠0)；

S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q

1－q

(q ≠1)．

[典例] (1)(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5

＝0，则S 6＝________.

[解析] ∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×（6－1）

2d ＝6.

[答案] 6

(2)(2016·全国乙卷)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝1

，a n b n

＋1

＋b n ＋1＝nb n .

①求{a n }的通项公式； ②求{b n }的前n 项和．

[解] ①由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝1

，得a 1＝2.

所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1. ②由①知a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n

3，

因此{b n }是首项为1，公比为1

3的等比数列．

记{b n }的前n 项和为S n ，

则S n ＝

1－???

?13n

1－13

＝32－1

2×3n －1.

[类题通法]

1．等差(比)数列的基本运算

在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (或q )的方程组求解，但要注意消元法及整体代换，以减少计算量．

2．判断和证明数列是等差(比)数列的2种方法

(1)定义法：对于n ≥1的任意自然数，验证a n ＋1－a n ????

或a n ＋1a n 为与正整数n 无关的一常数．

(2)中项公式法：

①若2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等差数列；

②若a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *

，n ≥2)，则{a n }为等比数列．

[演练冲关]

1．若等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＋2a 2＝3，a 23＝4a 2a 6，则a 4＝( ) A.38 B.245 C.316 D.916

解析：选C 由题意，得?

????a 1＋2a 1q ＝3，（a 1q 2）2＝4a 1q ·a 1q 5

，解得???

a 1＝32

，

q ＝12.

所以a 4＝a 1q 3

＝32×????123＝3

2．(2016·郑州质检)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( )

A.215

B.225

C.235

D.24

解析：选D ∵2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，∴数列{na n }是以a 1＝1为首项，2a 2－a 1

＝5为公差的等差数列，∴20a 20＝1＋5×19＝96，∴a 20＝24

3．(2016·广西质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝9，a 1，a 3，a 7成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若a n ≠a 1(当n ≥2时)，数列{b n }满足b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .

解：(1)a 23＝a 1a 7，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，

化简得d ＝1

a 1或d ＝0.

当d ＝12a 1时，S 3＝3a 1＋3×22×12a 1＝9

2a 1＝9，得a 1＝2，d ＝1，

∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)＝n ＋1，即a n ＝n ＋1；

当d ＝0时，由S 3＝9，得a 1＝3，即有a n ＝3. (2)由题意可知b n ＝2a n ＝2n ＋

1，

∴b 1＝4，b n ＋1

b n

＝2.

∴{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列， ∴T n ＝4（1－2n ）1－2＝2n ＋2

－4.

[师说考点]

n 10100( )

A ．100

B ．99

C ．98

D ．97

[解析] 选C 法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝9

(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.

又∵a 10＝8，∴????

?a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴?

????a 1＝－1，d ＝1.

∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝9

(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.

在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5. 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C.

(2)(2016·昆明七校联考)在数列{a n }中，a 1＝5，(a n ＋1－2)(a n －2)＝3(n ∈N *)，则该数列的前2 016项的和是________．

[解析] 依题意得(a n ＋1－2)(a n －2)＝3，(a n ＋2－2)·(a n ＋1－2)＝3，因此a n ＋2－2＝a n －2，即a n ＋2＝a n ，所以数列{a n }是以2为周期的数列．又a 1＝5，因此(a 2－2)(a 1－2)＝3(a 2－2)＝

3，故a 2＝3，a 1＋a 2＝8.注意到2 016＝2×1 008，因此该数列的前2 016项的和等于1 008(a 1＋a 2)＝8 064.

[答案] 8 064

[类题通法]

等差(比)数列性质应用策略

(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解；

(2)数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如周期性、单调性(如本例(2)及[演练冲关]2)．

[演练冲关]

1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 解析：选D 由题意得S 11＝11（a 1＋a 11）

＝11a 6＝22，即a 6＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝3a 6

＝3×2＝6，故选D.

2．(2016·沈阳模拟)设等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n >0成立的最大的自然数n 是( )

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

解析：选A 由题可得{a n }的公差d ＝3－7

4－2＝－2，a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，可见{a n }

是递减数列，且a 5>0>a 6，a 5＋a 6＝0，于是S 9＝2a 52×9>0，S 10＝a 5＋a 62×10＝0，S 11＝2a 6

2×

11<0，从而该题选A.

[师说考点]

数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、错位相减法、裂(拆)项相消法、分组法、倒序相加法和并项法等．

[典例] (2016·全国甲卷)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.

[解] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，

由题意有?????2a 1＋5d ＝4，

a 1＋5d ＝3，解得?????a 1＝1，

d ＝2

所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋3

. (2)由(1)知，b n ＝??

2n ＋35.

当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋3

5＜2，b n ＝1；

当n ＝4，5时，2≤2n ＋3

5＜3，b n ＝2；

当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋3

5＜4，b n ＝3；

当n ＝9，10时，4≤2n ＋3

＜5，b n ＝4.

所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.

[类题通法]

1．分组求和的常见方法 (1)根据等差、等比数列分组． (2)根据正号、负号分组． 2．裂项相消的规律

(1)裂项系数取决于前后两项分母的差． (2)裂项相消后前、后保留的项数一样多． 3．错位相减法的关注点

(1)适用题型：等差数列{a n }与等比数列{b n }对应项相乘({a n ·b n })型数列求和． (2)步骤：

①求和时先乘以数列{b n }的公比． ②把两个和的形式错位相减． ③整理结果形式．

[演练冲关]

1．若a n ＝(－1)n (4n －3)，则数列{a n }的前2n 项和T 2n 为________．

解析：因为a n ＝(－1)n (4n －3)，所以T 2n ＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋(－17＋21)＋…＋[－(8n －7)＋(8n －3)]＝4×n ＝4n .

答案：4n

2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n 4

，n ∈N *.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝4 a n －4a n ，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋3n 4－（n －1）2＋3（n －1）4＝n ＋1

因为a 1＝1也适合上式，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1

(2)由(1)知，a n ＝n ＋12，故b n ＝4 a n －4a n ＝4n ＋1

2－4·n ＋12＝2n ＋1

－2(n ＋1)．

记数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋

1)－2(2＋3＋…＋n ＋1)．

记A ＝22＋23＋…＋2n ＋

1，B ＝2(2＋3＋…＋n ＋1)，

则A ＝4（1－2n ）1－2

＝2n ＋2

－4，

B ＝2(2＋3＋…＋n ＋1)＝2·n （2＋n ＋1）2＝n 2

＋3n .

故数列{b n }的前n 项和T n ＝2n ＋

2－4－n 2－3n .

3．(2016·广西质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3

2a n －1(n ∈N *)．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1

b n －1b n .

解：(1)当n ＝1时，a 1＝3

2a 1－1，∴a 1＝2，

当n ≥2时，∵S n ＝3

2a n －1，①

S n －1＝3

a n －1－1(n ≥2)，②

①－②得：a n ＝????32a n －1－????3

2a n －1－1，即a n ＝3a n －1，

∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＝2×3n －

(2)由(1)得b n ＝2log 3a n

2＋1＝2n －1，

∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n ＝11×3＋13×5＋…＋1（2n －3）（2n －1）＝12(1－13＋13－15＋…＋

12n －3－1

2n －1)＝n －12n －1

数列与其他知识的交汇

数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化为特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、不等式等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．

[典例] (1)(2016·西安质检)对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：

数列{x n 1n n ＋1y ＝f (x )的图象上，则x 1＋x 2＋…＋x 2 015＝( )

A ．7 554

B ．7 549

C ．7 546

D ．7 539

[解析] 选A ∵数列{x n }满足x 1＝1，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，∴x n ＋1＝f (x n )，

∴由图表可得x 2＝f (x 1)＝3，x 3＝f (x 2)＝5，x 4＝f (x 3)＝6，x 5＝f (x 4)＝1，…，∴数列{x n }是周期为4的周期数列，∴x 1＋x 2＋…＋x 2 015＝503(x 1＋x 2＋x 3＋x 4)＋x 1＋x 2＋x 3＝503×15＋9＝7 554.故选A.

(2)设数列{a n }满足a 2＋a 4＝10，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有向量＝(1，

2)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.

[解析] ∵P n (n ，a n )，∴P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)， ∴

＝(1，a n ＋1－a n )＝(1，2)，

∴a n ＋1－a n ＝2，

∴{a n }是公差d 为2的等差数列．

又由a 2＋a 4＝2a 1＋4d ＝2a 1＋4×2＝10，解得a 1＝1， ∴S n ＝n ＋n （n －1）2×2＝n 2.

[答案] n 2

[类题通法]

(1)第(1)题是函数与数列的交汇，第(2)题是平面向量与数列的交汇；

(2)解答此类问题的一般思路为利用已知条件结合函数、平面向量的知识转化为数列的问题进行求解．

[演练冲关]