第五章 第二节等差数列 (2)
课时提升作业(三十五)
一、填空题
1.(2013·苏州模拟)已知数列{a
n
}是等差数列,O为坐标原点,平面内三点A,B,C共线,且错误！
未找到引用源。=a
1 006OB
错误！未找到引用源。+a
1 007
OC
错误！未找到引用源。,则数列{a
n
}
的前2 012项的和S
2 012
= .
2.某火箭在点火后某秒钟通过的路程为2km,此后每秒钟通过的路程增加2km,若从这一秒钟起通过240km的高度,火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间
是秒.
3.在等差数列{a
n }中,a
1
=1,a
7
=4,数列{b
n
}是等比数列,且b
1
=6,b
2
=a
3
,则满足b
n
a
26
<1的最小正整
数n为.
4.已知数列{a
n }为等差数列,公差为d,若错误！未找到引用源。<-1,且它们的前n项和S
n
有
最大值,则使得S
n
<0的n的最小值为.
5.在1到104之间所有形如2n和3n(n∈N*)的数,它们各自之和的差的绝对值为.
6.(能力挑战题)甲、乙两间工厂的月产值在2012年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同.则甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小关系是.
7.设曲线y=x n(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a
n
,则数列{错误！未找到引用源。}
的前n项和S
n
等于.
8.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
9.设数列{a
n }中,a
1
=2,a
n+1
=a
n
+n+1,则通项a
n
= .
10.(能力挑战题)数列{a
n }的前n项和记为S
n
,a
1
=t,点(S
n
,a
n+1
)在直线y=2x+1上,n∈N*,若数列
{a
n
}是等比数列,则实数t= .
二、解答题
11.设向量a=(x,2),b=(x+n,2x-1)(n∈N*),函数y=a·b在[0,1]上的最大值与最小值的和为a n,又数列{b n}满
足:nb1+(n-1)b2+…+2b n-1+b n=(错误！未找到引用源。)n-1+(错误！未找到引用源。)n-2+…+错误！未找到引用源。+1.求a n,b n
的表达式.
12.(2012·安徽高考)设函数f(x)=x
2
+sinx 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n
}. (1)求数列{x n }的通项公式.
(2)设{x n }的前n 项和为S n ,求sinS n .
13.(2013·连云港模拟)在等差数列{a n }中,a 1=3,其前n 项和为S n ,等比数列{b n }的各项均为正数,b 1=1,公比为q,且b 2+S 2=12,q=错误！未找到引用源。. (1)求a n 与b n . (2)证明:
12n 111123S S S 3
≤++?+<.
14.(能力挑战题)甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在A,B 两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的,现在只有两个能容纳1千克药水的药瓶,他们从A,B 两个喷雾器中分别取1千克的药水,将A 中取得的倒入B 中,B 中取得的倒入A 中,这样操作进行了n 次后,A 喷雾器中药水的浓度为a n %,B 喷雾器中药水的浓度为b n %.
(1)证明a n +b n 是一个常数. (2)求a n 与a n-1的关系式. (3)求a n 的表达式.
答案解析
1.【解析】∵A,B,C 三点共线,且错误！未找到引用源。=a 1 006错误！未找到引用源。+
a 1 007OC
错误！未找到引用源。,
∴a 1 006+a 1 007=1,
∴S 2 012=错误！未找到引用源。()()
1 2 012 1 006 1 0072 012a a 2 012a a 22
++=
=1 006. 答案:1 006
2.【解析】设从这一秒钟起,经过x 秒钟,通过240km 的高度.由已知得每秒钟行驶的路程组成首项为2,公差为2的等差数列,故有2x+错误！未找到引用源。〓2=240,
即x 2+x-240=0.解得x=15或x=-16(舍去). 答案:15
3.【解析】设公差为d,公比为q,∵等差数列{a n }中,a 1=1,a 7=4, ∴1+6d=4,解得d=错误！未找到引用源。. ∵数列{b n }是等比数列,且b 1=6,b 2=a 3, ∴6q=1+2〓错误！未找到引用源。,
解得q=错误！未找到引用源。. ∵b n a 26<1,
∴6〓(错误！未找到引用源。)n-1〓(1+25〓错误！未找到引用源。)<1, 整理,得(错误！未找到引用源。)n-1<错误！未找到引用源。, ∴n-1>4, 解得n>5, ∴最小正整数n=6. 答案:6
4.【思路点拨】解答本题首先要搞清条件“错误！未找到引用源。<-1”及“S n 有最大值”如何使用,从而列出关于a 1,d 的不等式组,求出错误！未找到引用源。的取值范围,进而求出使得S n <0的n 的最小值,或者根据等比数列的性质求解. 【解析】由题意知d<0,a 10>0,a 11<0,a 10+a 11<0, 由错误！未找到引用源。得1
a 192d
-
＜<-9. ∵S n =na 1+错误！未找到引用源。()n n 1d 2
-=错误！未找到引用源。n 2
+(a 1-错误！未找到引用源。)n,
由S n =0得n=0或n=1-错误！未找到引用源。. ∵19<1-错误！未找到引用源。1
2a d
<20, ∴S n <0的解集为{n ∈N *|n>1-1
2a d
}, 故使得S n <0的n 的最小值为20. 答案:20
5.【解析】由2n <104,得n<
44lg20.301 0
=≈13.29,故数列{2n }在1到104的项共有13项,它们的和S 1=错误！未找到引用源。=16 382;同理数列{3n }在1到104的项
共有8项,它们的和S2=错误！未找到引用源。=9 840,
∴|S1-S2|=6 542.
答案:6 542
6.【解析】设甲各个月份的产值为数列{a n},乙各个月份的产值为数列{b n},则数列{a n}为等差数列,数列{b n}为等比数列,且a1=b1,a11=b11,故a6=错误！未找到引用
源。==6,由于在等差数列{a n}中的公差不等于0,故a1≠a11,上面的等号不能成立,故a6>b6,即6月份甲的产值大于乙的产值.
答案:甲的产值大于乙的产值
7.【解析】∵y'=nx n-1-(n+1)x n,∴y'|x=2=n〃2n-1-(n+1)〃2n=-n〃2n-1-2n,
∴切线方程为y+2n=(-n〃2n-1-2n)(x-2),
令x=0得y=(n+1)〃2n,即a n=(n+1)〃2n,
∴错误！未找到引用源。=2n,∴S n=2n+1-2.
答案:2n+1-2
8.【解析】设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1,操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a1=错误！未找到引用源。,设操作n次后,纯酒精体积与总溶液体积之比为a n,则a n+1=a n〃错误！未找到引用源。,
∴a n=a1q n-1=(错误！未找到引用源。)n,∴(错误！未找到引用源。)n<错误！未找到引用源。,得n≥4.
答案:4
【方法技巧】建模解数列问题
对于数列在日常经济生活中的应用问题,首先分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系,然后构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题,最后
通过建立的关系求出相关量. 9.【解析】∵a 1=2,a n+1=a n +n+1, ∴a n =a n-1+(n-1)+1,a n-1=a n-2+(n-2)+1, a n-2=a n-3+(n-3)+1,…,a 3=a 2+2+1, a 2=a 1+1+1,a 1=2=1+1, 将以上各式相加得:
a n =[(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1]+n+1 =错误！未找到引用源。+n+1 =错误！未找到引用源。+n+1 =错误！未找到引用源。+1. 答案:错误！未找到引用源。+1
10.【思路点拨】得出关于a n+1,S n 的方程,降低一个角标再得一个关于a n ,S n-1的方程,两个方程相减后得出a n+1,a n 的关系,可得数列{a n }中,a 2,a 3,a 4,…为等比数列,只要错误！未找到引用源。等于上面数列的公比即可. 【解析】由题意得a n+1=2S n +1, a n =2S n-1+1(n ≥2),
两式相减得a n+1-a n =2a n ,即a n+1=3a n (n ≥2), 所以当n ≥2时,{a n }是等比数列, 要使n ≥1时,{a n }是等比数列,则只需
21a 2t 1
a t
+=
=3,从而t=1. 答案:1
11.【解析】y=a 〃b =x 2+(n+4)x-2,
对称轴为x=错误！未找到引用源。<0,
∴y在[0,1]上递增,x=0时,y=-2,x=1时,y=n+3,∴a n=n+1.
∵nb1+(n-1)b2+…+2b n-1+b n=(错误！未找到引用源。)n-1+(错误！未找到引用源。)n-2+…+错误！未找到引用源。+1.
令n=n-1,则(n-1)b1+(n-2)b2+…+b n-1=(错误！未找到引用源。)n-2+(错误！未找到引用源。)n-3+…+错误！未找到引用源。+1,
相减,得b1+b2+…+b n-1+b n=(错误！未找到引用源。)n-1=S n.
当n=1时,b1=S1=1,
当n≥2时,b n=S n-S n-1=(错误！未找到引用源。)n-1-(错误！未找到引用源。)n-2=-错误！未找到引用源。〃(错误！未找到引用源。)n-2,
∴b n=错误！未找到引用源。
综上可得,a n=n+1,
b n=错误！未找到引用源。
12.【思路点拨】(1)根据导数,x n的左侧导函数小于0,x n的右侧导函数大于0,求出极小值点.(2)由(1)求出{x n}的前n项和为S n,再代入sin S n求解.
+sin x,
【解析】(1)f(x)=错误！未找到引用源。x
2
令f'(x)=错误！未找到引用源。+cos x=0,得
x=2kπ〒错误！未找到引用源。(k∈Z),
f'(x)>0?2kπ-错误！未找到引用源。 x n=2nπ-错误！未找到引用源。(n∈N*). (2)由(1)得:x n=2nπ-错误！未找到引用源。, S n =x 1+x 2+x 3+…+x n =2π(1+2+3+…+n)-错误！未找到引用源。=n(n+1)π-2n 3 π 错误！未找到引用源。. 当n=3k(k ∈N *)时,sin S n =sin(-2k π)=0, 当n=3k-1(k ∈N *)时,sin S n =sin 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, 当n=3k-2(k ∈N *)时,sin S n =sin 错误！未找到引用源。 源。. 所以sin S n = ** *0,n 3k,k N ,3k 1,k N ,3k 2,k N .? ?=∈=-∈??=-∈??错误！未找到引用源。 13.【解析】(1)设{a n }的公差为d, 因为错误！未找到引用源。所以错误！未找到引用源。 解得q=3或q=-4(舍),d=3. 故a n =3+3(n-1)=3n,b n =3n-1. (2)因为S n =错误！未找到引用源。, 所以()n 12211()S n 33n 3n n 1 ==-++. 故 12n 111S S S +++… =21 111111 [(1)()()()]3 2 23 34 n n 1 -+-+-++- +… =2113n 1??- ?+? ? . 因为n ≥1,所以0< 11 n 12 ≤+,于是12≤1-1n 1+<1, 所以1212 (1)33n 13 ≤- <+. 即12n 111123 S S S 3 ≤ +++<…. 14.【思路点拨】(1)显然不论如何操作,两种农药中含有的溶质是不变的,这是问题的实际应用.(2)建立第n-1次操作后两种药水的浓度和第n 次操作后A 喷雾器中药水浓度的关系式.(3)利用(1)(2)的结果求解递推数列. 【解析】(1)开始时,A 中含有10〓12%=1.2千克的农药,B 中含有10〓6%=0.6千克的农药,n 次操作后,A 中含有10〓a n %=0.1a n 千克的农药,B 中含有10〓b n %=0.1b n 千克的农药,它们的和应与开始时农药的质量和相等,从而有0.1a n +0.1b n =1.2+0.6,所以a n +b n =18(常数). (2)第n 次操作后,A 中10千克药水中农药的质量具有关系式:9〓a n-1+1〓b n-1 =10a n , 由(1)知b n-1=18-a n-1, 代入化简得a n =n 149a 55 -+. (3)令a n +λ=错误！未找到引用源。(a n-1+λ),利用待定系数法可求出 λ=-9, 所以a n -9=错误！未找到引用源。(a n-1-9),可知数列{a n -9}是以a 1-9为首项,错误！未找到引用源。为公比的等比数列, 由a n =错误！未找到引用源。a n-1+错误！未找到引用源。得a 1=错误！未找到引用源。〓12+9 5 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=11.4, 由等比数列的通项公式知: a n -9=(a 1-9)(错误！未找到引用源。)n-1=2.4(错误！未找到引用源。)n-1=错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)n-1 =3(错误！未找到引用源。)n , 所以a n=3(错误！未找到引用源。)n+9. 【变式备选】已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位:m2),其中有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房,同时也拆除面积为b(单位:m2)的旧住房. (1)分别写出第1年末和第2年末的实际住房面积的表达式. (2)如果第5年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%,则每年拆除的旧住房面积b是多少?(计算时取1.15=1.6) 【解析】(1)第1年末的住房面积a〃错误！未找到引用源。-b=1.1a-b(m2), 第2年末的住房面积 (a〃错误！未找到引用源。-b)〃错误！未找到引用源。-b=a〃(错误！未找到引用源。)2-b(1+错误！未找到引用源。) =1.21a-2.1b(m2). (2)第3年末的住房面积 [a〃(错误！未找到引用源。)2-b(1+错误！未找到引用源。)]错误！未找到引用源。-b =a〃(错误！未找到引用源。)3-b[1+错误！未找到引用源。+(错误！未找到引用源。)2], 第4年末的住房面积 a〃(错误！未找到引用源。)4-b[1+错误！未找到引用源。+(错误！未找到引用源。)2+(错误！未找到引用源。)3], 第5年末的住房面积 a〃(错误！未找到引用源。)5-b[1+错误！未找到引用源。+(错误！未找到引用源。)2+(错误！未找到引用源。)3+(错误！未找到引用源。)4] =1.15a-错误！未找到引用源。=1.6a-6b, 依题意可知,1.6a-6b=1.3a,解得b=错误！未找到引用源。, m2. 所以每年拆除的旧房面积为错误！未找到引用源。a 20 关闭Word文档返回原板块。 等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景： 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型，研究等差数列的通项、性质以及求和公式，并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标： （1）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式； （2）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式；体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。 例题分析： 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法，求和： (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中，236,,a a a 组成等比数列的连续三项，求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== （1）求1a 和d 的值；（2）16b 是不是数列{}n a 中的项，为什么？ （二）等差数列和等比数列之间的转化 结论： （1）{}n a 成等差数列，则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列； （2）正项数列{}n a 成等比数列，则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列，再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析： 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比，以11(0)a a >为首项的等比数列，求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列，则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列)}({* N n c n ∈是等比数列，且0>n c ，则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列，12n a n b ?? = ? ?? ，已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 （三）学法总结： （四）课后反思： §2.1 等差数列（二） 教学目标 1．知识与技能:能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问 题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概 念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 教学重点：会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 教学难点：等差数列与一次函数之间的联系 教学过程： 一、等差数列的通项公式 特征： 1? 等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，n 是自变量,+∈N n n a 是函数 2? 如果通项公式是关于n 的一次函数，则该数列成等差数列； 证明：若A n B A B A n A B An a n )1()()1(-++=++-=+= 它是以B A +为首项，A 为公差的等差数列。 3? 图象是直线)(1d a dx y -+=上一些等间隔的点，公差d 是该直线的斜率. 4? 公式中若 0>d 则数列递增，0 例1:已知(1,1),(3,5)是等差数列{an}图像上的两点. (1)求这个数列的通项公式; (2)画出这个数列的图像; (3)判断这个数列的单调性. 解:(1)略. (2)图像是直线y=2x-1上一些等间隔的点. (3)因为一次函数y=2x-1是增函数, 所以数列{an}是递增数列. 二、等差中项的概念 如果在a 与b 中间插入一个数A, 使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 若A 是a 与b 的等差中项，则2 b a A += 或b a A +=2 证明：设公差为d ，则d a A += d a b 2+= ∴A d a d a a b a =+=++=+222 例2:一个木制梯形架的上、下两底边分别为33cm ，75cm ，把梯形的两腰各6等分，用平行 木条连接各对应点，构成梯形架的各级。试计算梯形架中间各级的宽度。 解: 记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为{an},则由梯形中位 线的性质，易知每相邻三项均成等差数列，从而{an}成等差数列。 依题意有cm a 331= cm a 757= 现要求65432,,,a a a a a ,即中间5层的宽度。 )(76 33751717cm a a d =-=--=cm a 407332=+=， cm a 477403=+=,cm a 544=， cm a 615=，cm a 686= 答：梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm. 例3：在-1与7之间顺次插入三个数c b a ,,使这五个数成等差数列，求此数列。 解：∵成等差数列7,,,,1c b a - ∴b 是-1与7 的等差中项 ∴ 3271=+-= b a 又是-1与3的等差中项 ∴12 31=+-=a c 又是1与7的等差中项 ∴52 73=+=c 7533 一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和：2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a 3.变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n 前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和： 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法． ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通 从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分 第二章 缩聚与逐步聚合反应-习题参考答案 1．名词解释：逐步聚合；缩合聚合；官能团等活性；线型缩聚；体型缩聚；凝胶点；转化率；反应程度。 答： 逐步聚合——单体转变成高分子是逐步进行的，即单体官能团间相互反应而逐步增长。 缩合聚合——由带有两个或两个以上官能团的单体之间连续、重复进行的缩合反应。 官能团等活性——在一定聚合度范围内，官能团活性与聚合物分子量大小无关。 线型缩聚——参加反应的单体都含有两个官能团，反应中形成的大分子向两个方向增长，得 到线型缩聚物的一类反应。 体型缩聚——参加反应的单体中至少有一种单体含有两个以上的官能团，且体系平均官能度 大于2，反应中大分子向三个方向增长，得到体型结构的聚合物的这类反应。 凝胶点——开始出现凝胶瞬间的临界反应程度。 转化率——参加反应的单体量占起始单体量的分数 反应程度——参与反应的基团数占起始基团的分数。 3．由己二元酸和己二胺等摩尔合成尼龙—6,6。已知聚合反应的平衡常数K=432，如果要合成聚合度在200的缩聚物，计算反应体系中的水含量应控制为多少？ 解： n X =n X =200，K=432代入此式可得： 224320.0108200 w n K n X === 答：反应体系中的水含量应控制为0.0108 mol/L. 4．计算等摩尔的对苯二甲酸与乙二醇反应体系，在下列反应程度时的平均聚合度和分子量。0.500，0.800，0.900，0.950，0.995。 解： 等物质量条件下，有P X -=11，聚苯二甲酸乙二醇酯结构单元的分子量：M 0=192。 11n X p =-，n o n X M M ?=，因此各反应程度时的平均聚合度和分子量见下表： 2.2等差数列第二课时人教A版必修五 教学目标 1. 知识与技能 在理解等差数列定义及如何判定等差数列，学习等差数列通项公式的基础上，掌握等差中项的定义及应用，明确等差数列的性质，并用其进行一些相关等差数列的计算. 2.过程与方法 以等差数列的通项公式为工具，探究等差数列的性质，同时进一步培养学生归纳，总结的一些数学探究的方法. 3.情感、态度与价值观 在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值. 教学重点 （1）明确等差中项的定义及应用. （2）理解并掌握等差数列的性质. 教学难点 理解等差数列的性质的应用. 教辅手段 PPT,多媒体投影幕布 教学过程 一、复习引入——温故知新 【内容设置与处理方式】 借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识 1. 等差数列的定义 2. 等差数列的通项公式与公差 二、 新知探究 （一） 等差中项 【内容设置与处理方式】 直接给出等差中项的定义：由三个数b A a ,,组成的等差数列是最简单的等差数列，此时A 叫做a 和b 的等差中项.b a A +=2 同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立. 等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列. （二） 等差数列的性质 1. 列举几个数列，观察数列的特点，研究公差与数列单调性的 关系. 问题1： 数列1: 1,3,5,7,9,11，…… 数列2： 30，25,20，15,10,5，…… 数列3： 8,8,8,8,8,8，…… 引导学生观察，得到等差数列的一个性质. 性质1：若数列}{n a 是等差数列，公差为d .若d >0,则是}{n a 递增数列；若d <0,则}{n a 是递减数列；若d =0,则}{n a 是常数列. 2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+= 参考证明：由等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=得 1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2 －8n D ．S n ＝12 n 2 －2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2 ＝2，则{a n }前10项的和等于( ) A.1－2103 B ．－1－210 3 C ．210－1 D ．1－210 3．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3(a 3 ＋a 2)，则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A ．－9 B ．9 C ．－81 D ．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，S 3＝9，且a 2－1，a 3－1，a 5－1构成等比数列，则S 5＝( ) A ．15 B ．－15 C ．30 D ．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路， 一．课题：等差数列与等比数列的基本运算 二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，并能利用这些知识 解决有关问题，培养学生的化归能力． 三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式的应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n 项和公式； 2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n 项和公式； 3．等差中项和等比中项的概念． （二）主要方法： 1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量1,()a d q 来处理； 2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论； 3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似． 4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． （三）例题分析： 例1．（1）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ． （2）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316 ． 例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数． 解：设这四个数为：2 (),,,a d a d a a d a +-+，则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得：48a d =??=?或96a d =??=-?，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1． 例3．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠， ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =，代入②得110a =， ∴21()10 n n a -=． 说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1． 例4．已知等差数列110,116,122,， ① ② 等差数列与等比数列十大例题 例1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n = 2 1 1 n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有 11 27 21026a d a d +=?? +=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1) 3n+22 ?=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n = 2 1 1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111(-)4n n+1 ?， 所以n T = 111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n 4(n+1) ， 即数列{}n b 的前n 项和n T = n 4(n+1) 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，* n N ∈，其中k 是常数． （I ） 求1a 及n a ； （II ）若对于任意的* m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*） 经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 42 2.=∴， 即)18)(12()14(2 +-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ，等差数列和等比数列的总结与联系
北师大版必修5高中数学第一章等差数列第二课时word教案
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