双曲线简单几何性质学案

2.3.2双曲线的简单几何性质——理科

主备人：杨素玲 审核：冯丽华 定稿：高二级数学备课组 上课时间： 教学重点：双曲线的几何性质 教学难点：双曲线的渐近线 一、 课前预习

1、①范围：由双曲线的标准方程

222

2

10y x b

a

=

-≥得：|x|≥______，这说明双曲

线在不等式 所表示的区域.

②对称性：_____________是双曲线的对称轴，__________是双曲线的对称中心即椭圆中心．

③顶点：双曲线的顶点有___________________________________ ;

(1)______________分别叫双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别等于______和

__________；

(2) a 、b 的几何意义：a 是实半轴的长，b 是虚半轴的长；

④离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率（1e >）． ⑤渐近线：直线 叫做双曲线

222

2

1x y a

b

-

=的渐近线.在方程

12

22

2=-

b

y a

x 中，如果b a =，那么双曲线的方程为2

22a y x =-，它的实轴和虚

轴长都等于a 2，此时渐近线方程为 ，它们相互 ，并且 双曲线实轴和虚轴所成的角，实轴长和虚轴长的双曲线叫做 。 2

知识点一：双曲线的性质的应用

例1：求双曲线22

-=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心y x

916144

率、渐近线方程．

练习1：求双曲线22nx my mn m>0n 0-=>（，）的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．

知识点二:有共同渐近线的双曲线方程的求法

例2 求与双曲线2

2

19

3

x

y

-

=有共同的渐近线，并且经过点4)-的双曲线方

程．

练习2：求与双曲线2y 2x 22=-有公共渐近线，且过点M(2,-2)的双曲线方程.

知识点三:点的轨迹方程的求法

例3：如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165

x =的距离的

比是常数

54

，求点M 的轨迹方程．

练习3.已知ΔABC 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使 2（sinB-sinC ）=sinA ，求点A 的轨迹。

知识点四：直线与双曲线的位置关系 例四．过点（0，3）的直线l 与双曲线

13

4

2

2

=-

y

x

,只有一个公共点，求直线l

的方程.

四、课堂小结

1.由已知双曲线方程求基本量，注意首先将方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点位置。

2．渐近线是刻划双曲线的一个重要概念。渐近线为0x

y a b

±

=的双曲线方程可

设为

222

2

(0)x y a

b

λλ-

=≠，若与

222

2

1x y a

b

-

=有共同的渐近线也可以设出双曲线

系

222

2

(0)

x y a

b

λλ-

=≠

五、课堂练习

1.已知双曲线的焦点在x 轴上，中心在原点，如果焦距为8，实轴长为6，那么双曲线的标准方程为 ，其渐近线方程为 。

2.过点(3,P ，且离心率2

e =的双曲线的标准方程为 ，其

渐近线方程为 。

3.已知双曲线一焦点坐标为()5,0，一渐近线方程为340x y -=，则双曲线的标准方程为 。

4.已知双曲线的渐近线方程为43y x

=±

，且焦点都在圆22100x y +=上，则双

曲线的标准方程为 。

5.已知1F 、2F 是双曲线

()222

2

1

00x y a b a

b

-

=>>，的两个焦点，过点2F 作垂直

于x 轴的垂线交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=?，求双曲线的渐近线方程。

6.已知定圆221:10240F x y x +++=，定圆222:100F x y x +-=，动圆M 与定圆

1F 、2F 都外切，求动圆圆心M

的轨迹方程。

双曲线的简单几何性质总结归纳

双曲线的简单几何性质 一．基本概念 1 双曲线定义： ①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹 （21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． ②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2、双曲线图像中线段的几何特征： ⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c = ⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+ ⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+ ⑷焦点到准线的距离：22 11221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2 122a K K c = ⑹21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将 有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，122 12 cot 2 PF F F PF S b ?∠= ⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞） ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b ⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a （通径长的一半）其中2 22b a c +=a PF PF 221=- 3 双曲线标准方程的两种形式： ①22 a x －22 b y =1， c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22 b x =1， c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4、双曲线的性质：22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R ⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程?=-02222b y a x x a b y ±= ②若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x ③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） ④特别地当?=时b a 离心率2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，

双曲线方程及几何性质教案

【知识导图】 教学过程 一、导入 1情境引入 类比椭圆的标准方程及几何性质的探究方式 上节回顾：平面上到两个定点的距离之和为一个常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆? 思考：那么平面上到两个定点的距离之差为一个常数的点的轨迹是什么呢？ 设计意图：类比前面章节“椭圆的标准方程与几何意义”的教学过程，引入本节“双曲线的 标准方程与几何意义”，有利于降低学习难度，使学生迅速理解双曲线的定义与元素。强调两节知识的联系与区别，引导学生探究本节过程中对比两节 2、步步深化

类比椭圆的标准方程，写出双曲线的标准方程，并比较a、b、c的关系：

设计意图：利用已知结论得到双曲线的标准方程及简单几何性质，更利于学生对新知的理解和记忆? 二、知识讲解 平面内到两定点％F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2 ）的动点的轨迹叫双曲线.即||MF i — MF?] =2a. 【教学建议】注意差的绝对值为常数，如果只说差为常数，得到的轨迹是双曲线的一支?教师讲完定义后，可顺带引出实轴、虚轴、焦距的概念，对比椭圆记忆双曲线的量 —2 2 x y 2 - 2=1(a 0,b 0) a b 2 2 y x \ - 2 = 1(a 0,b 0) a b x_a 或x_-a, y R x R, y - -a,或y - a 渐近线 c2二a2b2(c a 0, c b 0) 注意: 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点A _a, 0 ，A a,0 A 0, - a ，A0, a 考点2双曲线的标准方程与几何性质 标准方程 离心率 e = c ，e 1,,其中c= a 准线 2 x* c 线段A 1A2 叫做双曲线的实轴，它的长?线段 AA2 =2a '线段 B B叫做双曲线的虚 B〔B 2 实虚轴 轴，它的长B^二加；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系

双曲线的简单几何性质(教案)(精)

双曲线的简单几何性质 山丹一中周相年 教学目标: (1 知识目标 能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质 . (2能力目标 通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增强学生的自信心 . (3 情感目标 通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神 . 教学重点:双曲线的几何性质 . 教学难点:双曲线的渐近线 . 教学方法:启发诱导、练讲结合 教学用具 :多媒体 教学过程: 一、复习回顾,问题引入: 问题 1:双曲线的定义及其标准方程?

问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有类似性质?又该怎样研究? 二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(122 22>>=-b a b y a x 研究它的几何性质 1. 范围: 双曲线在不等式x ≥ a 与x ≤-a 所表示的区域内 . 2. 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是 双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称 中心叫双曲线中心 . 3.顶点: (1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0 、 A2(a,0, 它们叫做双曲线的顶点 . (2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长; 线段B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长 .

【优秀教案】高中数学第二册上 第八章 圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质

课题：8．4双曲线的简单几何性质 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质 2．掌握标准方程中c b ,的几何意义 a, 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题 教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程 教学难点：渐近线几何意义的证明 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利 它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分

坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学 运动变化和对立统一的思 想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学 利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点 本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别 对圆锥 曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来 以1=±b y a x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-22 22b y a x 对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的 教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律

双曲线的几何性质教案(精)

双曲线的简单几何性质教案课题:双曲线的简单几何性质 教学类型:新知课 教学目标: ①知识与技能 理解并掌握双曲线的几何性质, 能根据性质解决一些基本问题培养学生分析,归纳,推理的能力。 ②过程与方法 与椭圆的性质类比中获得双曲线的性质,进一步体会数形结合的思想,掌握利用方程研究曲线性质的方法 ③情感态度与价值观 通过本节课的学习使学生进一步体会曲线与方程的对应关系, 感受圆锥曲线在解决问题中的应用 教学方法:本节课主要通过数形结合,类比椭圆的几何性质,运用现代化教学手段,通过观察,分析,归纳出双曲线的几何性质,在教学过程中可采取设疑提问,重点讲解,归纳总结,引导学生积极思考,鼓励学生合作交流。 教学重难点: 重点:双曲线的几何性质及其运用 难点 : 双曲线渐近线,离心率的讲解 教具:多媒体 教学过程:

⑴复习提问导入新课: 首先带领学生复习椭圆的几何性质,它有哪些几何性质?(应为范围,对称性,顶点,焦点 ,离心率,准线是如何探讨的呢?(通过椭圆的标准方程探讨。让全班同学口答,并及时给以表扬。接下来让那个同学回忆双曲线的标准方程是什么?请一名同学回答。 (应为:中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 x 2/a 2-y 2/b 2=1; 中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 y 2/a 2-x 2/b 2=1 。回忆完旧知后,我会给 出一首歌曲《悲伤的双曲线》 (大概一分钟左右 ,引起学生兴趣,渴望知道双曲线的性质,这样顺利进入探究新知环节中。 ⑵引导探索,学习新知 1, 引导学生完成黑板上关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答,教师引导, 启发,订正并写在黑板上 ,通过类比联想可以得到双曲线的范围,对称性和顶点。 2, 导出渐近线(性质 4 在学习椭圆时,以原点为中心, 2a,2b 为邻变的矩形,对于估计椭圆的形状, 画出椭圆的简图有很大帮助, 试问对双曲线, 仍然以 2a,2b 为邻边做一矩形, 那么双曲线和这个矩形有什么关系呢?这个矩型对于估计和画出双曲线有什么指导意义呢? (不要求学生回答, 只引起学生类比联想。接着在提出问题:当 a,b 为已知时,这个矩形的两条对角线所在的直线的方程是什么?(请一名同学回答。接下来按照幻灯片显示来详细解决。最后向学生说明我们研究渐近线是为了较 准确地画出双曲线的草图。 3. 顺其自然介绍离心率 由于正确的认识了渐近线的概念, 对于离心率的直观意义也就容易掌握了,为此介绍双曲线的离心率其的影响。 最后应明确的指出:双曲线的几何性质与坐标系的选择无关, 即不随坐标系的 改变而改变。

(完整版)双曲线简单几何性质知识点总结,推荐文档

北安一中高二数学导学案 主备人：陈叔彤 审阅人：高二数学组 备课日期 ：2012-10-17 课题：§双曲线简单几何性质知识点总结 课时： 课时 班级： 姓名： 【学习目标】 知识与技能：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等 几何性质 2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念3．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 过程与方法：进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育情感态度与价值观：辨证唯物主义世界观。【学习重点】双曲线的几何性质及其应用。【学习难点】双曲线的知识结构的归纳总结。 【学法指导】 1.课前依据参考资料，自主完成，有疑问的地方做好标记. 2.课前互相讨论交流，课上积极展示学习成果. 【知识链接】双曲线的定义：_________________________________________________【学习过程】 1．范围： 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图 122 22=-b y a x 象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 X 的取值范围________ y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：长为2a, a 叫做半实轴长21A A 虚轴：长为2b ，b 叫做虚半轴长 21B B 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点， 这是两者的又一差异4．离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 a c a c e == 22范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：，e 越大，即渐112 222 2-=-=-= =e a c a a c a b k 近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔

抛物线几何性质说课学习教案稿.doc

抛物线几何性质说课稿 尊敬的各位评委、老师大家好！今天我说课的内容是人教 A 版数学第二册·上第八章第 6 节《抛物线的简单几何性质》 . 新课标指出，学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系 . 本节课的教学中，我将尝 试这种理念 . 下面我将从教材分析、教法学法分析、教学过程及教学评价四个方面进行说明 一教材分析 教材地位与作用 本节课是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，第一次系统地按照抛物线方程来研 究抛物线的简单几何性质，该内容是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。本课时 的主要内容是：探究抛物线的简单几何性质及应用。 教学目标 1、知识与技能 ■探究抛物线的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。 ■掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利 用数形结合解决实际问题。 2、过程与方法 ■ 通过抛物线的方程研究抛物线的简单几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理，理性思维的能力。 ■ 通过掌握抛物线的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形 结合思想解决问题的能力。 3、情感、态度与价值观 通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对抛物线对称美的感受，激发 学生对美好事物的追求。 1.3教学重难点 得出抛物线几何性质的思维过程，掌握运用抛物线的几何性质去解决问题的方法． 二教法学法分析 学情分析 由于学生智力水平参差不齐，基础和发展不平衡，呈现两头尖中间大的趋势。学生已熟悉和 掌握抛物线定义及其标准方程，有亲历体验发现和探究的兴趣，有动手操作，归纳猜想，逻辑推理 的能力，有分组讨论、合作交流的良好习惯，从而愿意在教师的指导下主动与同学探究、发 现、归纳数学知识。 教法分析 本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教 学方法。先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒 体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提

双曲线的简单几何性质 (第二课时) 教案 2

课 题：8．4双曲线的简单几何性质 （二） 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题 4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养 教学重点：双曲线的渐近线、离心率 教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．范围、对称性 由标准方程122 22=-b y a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方 向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭 圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．渐近线 过双曲线122 22=-b y a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的 平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ± =（ 0=±b y a x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e x y Q B 1 B 2A 1A 2N M O

《双曲线的简单几何性质》省优质课比赛一等奖教案

双曲线的简单几何性质 在人教版《普通高中课程标准实验教科书（数学选修2-1）》中，针对双曲线的简单几何性质第一课时内容，笔者从教材分析、学生分析、目标分析、过程分析、板书设计等方面设计这一节课的教学. 一、教材分析 （一）教材的地位与作用 本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，利用双曲线的标准方程研究其几何性质.它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个重要的考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质. （二）教学重点与难点的确定及依据 对圆锥曲线来说，双曲线有特殊的性质，而学生对双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法接受、理解和掌握有一定的困难.因此，在教学过程中我把双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地导出了双曲线的简单几何性质.这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受.因此，我把双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法作为重点.根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的难点. 教学重点:双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法. 解决办法： 1.欣赏优美的几何画板图形，以激发学生强烈的学习兴趣； 2.利用“几何画板”进行数学问题的探索以培养学生的创新能力. 教学难点:双曲线渐近线概念与性质. 解决办法：本节课我先选择由教师借助“几何画板”，利用描点法画出较为准确的图形，由学生先观察它的直观性质，然后再从方程出发给予证明. 二、学情分析与学法指导 学情分析：由于刚学习了椭圆有关问题，学生已经熟悉了图形——方程——性质的研究过程，学生已基本具有由方程研究曲线性质的能力.

(完整版)双曲线简单几何性质知识点总结

四、双曲线 一、双曲线及其简单几何性质 （一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨 迹叫做双曲线。 定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。 ● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）； 当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）； ② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。 双曲线12222=-b y a x 与122 22=-b x a y （a>0,b>0）的区别和联系

（二）双曲线的简单性质 1．范围： 由标准方程122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的 方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 x 的取值范围________ ,y 的取值范围______ 2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________ 特殊点：____________ 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点 4．离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 a c a c e = = 22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：1122 222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越 大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5．双曲线的第二定义： 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数 )0(>>= a c a c e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双 曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线 c a x l 2 2:= ； 6．渐近线 过双曲线122 2 2=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线 围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0 =±b y a x ），这两条直线就是双曲线 的渐近线 双曲线无限接近渐近线，但永不相交。

《双曲线的简单几何性质》教学设计.

《双曲线的简单几何性质》教学设计 首都师范大学附属丽泽中学宛宇红靳卫红 一、教材分析 1.教材中的地位及作用 本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。 2.教学目标的确定及依据 平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。 （1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、 顶点、离心率、渐近线等几何性质； ②掌握双曲线标准方程中c ,的几何意义，理解双曲线的渐近 a, b 线的概念及证明； ③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。 （2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察 能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推 理能力，以及类比的学习方法； ②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对 直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。

（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。 3.重点、难点的确定及依据 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。 4.教学方法 这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。 渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。 例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。

高中数学《双曲线的几何性质》说课稿 新人教A版

《双曲线的几何性质》说课稿 一、教材分析 1、教材的地位与作用 本节课是学生在已掌握双曲线的定义和标准方程后，在此基础上，由标准方程研究其几何性质。《平面解析几何》教学参考书中明确指出：根据曲线的方程，研究曲线的几何性质并正确作图，是解析几何的基本问题之一，也可以说是解析几何的目的。因此，本节的内容在《圆锥曲线》这一章中，是非常重要的，它是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质，为学生进一步学习数学、物理、化学等打下良好基础。 2、教学目标的确定及依据 《平面解析几何》课本中的引言明确指出：“平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。《平面解析几何》教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课将要完成的教学目标。 ⑴知识目标：①使学生理解和掌握双曲线的范围，对称性，顶点等性质。 ②理解渐近线的证明方法，能够根据双曲线方程求出双曲线的顶点坐标、实、虚轴长，渐近线的方程和离心率的大小。 ③理解离心率和双曲线形状间的变化关系 ⑵能力目标：培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，和逻辑推理能力，以及 类比的学习方法。 ⑶德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观 点分析理解事物。 3、重点、难点的确定及依据 教学经验使我认识到，学生对渐近线的证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中要把渐近线的证明方法作为重点讲解的突破口，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维。因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线，离心率这两个性质作为本节课的重点。 用心爱心专心 1

高中数学说课稿：高一数学《双曲线的简单几何性质》优秀说课稿范例_说课稿

高中数学说课稿：高一数学《双曲线的简单几何性质》优秀说课稿范例_说课稿 《双曲线的简单几何性质》说课稿 一、教材分析 1.教材中的地位及作用 本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。 2.教学目标的确定及依据 平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。 （1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质； ②掌握双曲线标准方程中 的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明； ③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。 （2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法； ②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。 （3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。 3.重点、难点的确定及依据 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过

双曲线的几何性质(一)

双曲线的几何性质（一） 教学目标 1.掌握双曲线的几何性质 2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程. 教学重点 双曲线的几何性质 教学难点 双曲线的渐近线 教学过程 I.复习回顾： 双曲线的标准方程、研究椭圆的几何性质的方法与步骤 II.讲授新课： 1.范围： 双曲线在不等式x ≥a 与x ≤－a 所表示的区域内. 2.对称性： 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称， 这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是 双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫 双曲线的中心。 3.顶点： 双曲线和它的对称轴有两个交点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)，它们叫做双曲线的顶点. 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，它的长等于2a ,a 叫做双曲线的实半轴长；

线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b ,b 叫做双曲线的虚半轴长. 4.渐近线 ①我们把两条直线y=± x a b 叫做双曲线的渐近线； ②从图可以看出，双曲线122 22=-b y a x 的各支向 外延伸时，与直线y =±x a b 逐渐接近. ③“渐近”的证明：略 ④等轴双曲线： 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. ⑤ 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线. 注意：⑴求渐近线方程的简便方法：令方程左边等于零即0b y a x 22 22=- ⑵等轴双曲线一般可设为k y x 22=- 等轴双曲线的性质：①离心率为2 ②等轴双曲线的相伴矩形是正方形 ③渐近线方程为y ＝±x 且互相垂直 ④两条渐近线平分双曲线实轴和虚轴所成的角。 5.离心率：

抛物线的简单几何性质 说课稿

《抛物线的简单几何性质》说课稿 一、教材分析 （一）教材的地位和作用 《抛物线的简单几何性质》是人民教育出版社高中数学第二册（上）、第八章第6节的内容。它既是第5节《抛物线及其标准方程》在知识上的延伸和发展，也是第八章最后一节，在全章占有重要的地位和作用。同时，这部分内容较好地反映了抛物线与二次函数y=ax2+bx+c和一元二次不等式之间的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识。 概括地讲，本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。 （二）学情分析 通过第八章前5节椭圆、双曲线的几何性质的教学，学生对用曲线方程研究曲线性质的方法有了一定的认知结构，主要体现在三个层面： 知识层面：学生在已掌握了用曲线方程研究曲线性质的方法。 能力层面：学生已能独立探索得出结论。 情感层面：学生对应用已学的方法而能独立探索出新曲线的几何性质有相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡. （三）教学内容 本节内容分两课时进行教学。第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3。 二、教学目标分析 根据课程标准的要求、本教材的特点和高二学生的认知规律，本课的教学目标确定为： 知识与技能：掌握抛物线的图像及几何性质，培养学生的观察、联想、类比、猜测、归纳能力。 数学思想：渗透数形结合的基本数学思想方法。 问题解决：能初步利用抛物线的几何性质解决实际问题。 情感目标：体验从特殊到一般的学习规律认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题。通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力。 三、重难点分析 本节课的重点是掌握抛物线的几何性质，作出抛物线的图像； 难点是抛物线各个几何性质的灵活运用。 四、教法设计

2-2-2 双曲线的简单几何性质

能力拓展提升 一、选择题 11．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线 [答案] D [解析] 方程变形为x 2b a －y 2b a ＝1，由a 、b 异号知b a <0，故方程表示 焦点在y 轴上的双曲线，故答案为D. 12．(2013·新课标Ⅰ文，4)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5 2，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±1 4x B ．y ＝±1 3x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x [答案] C [解析] 本题考查双曲线渐近线方程．由题意得c a ＝52，即c ＝52a ，而c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，所以a 2 ＋b 2 ＝54a 2，b 2＝14a 2，b 2a 2＝14，所以b a ＝12，渐 近线的方程为y ＝±1 2x ，选C.在解答此类问题时，要充分利用a 、b 、c 的关系． 13．(2012～2013学年度浙江金华十校高二期末测试)已知椭圆x 2 a 2

＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3 2x B ．y ＝±1 2x C ．y ＝±2x D ．y ＝±233x [答案] A [解析] 由题意得a 2－b 2a ＝12， ∴3a 2 ＝4b 2 ，∴b a ＝3 2. ∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±3 2x . 14．中心在坐标原点，离心率为5 3的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( ) A ．y ＝±5 4x B ．y ＝±4 5x C ．y ＝±43x D ．y ＝±34x [答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2 a 2＝259，∴ b 2a 2＝16 9， ∴b a ＝4 3，又∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴双曲线的渐近线方程为x ＝±b a y ，即x ＝±4 3y ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 二、填空题

2.2.2 双曲线的简单几何性质教案

2．2．2 双曲线的简单几何性质 ◆ 知识与技能目标 了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义． ◆ 过程与方法目标 （1）复习与引入过程 引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过56P 的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率． 〖板书〗§2．2．2双曲线的简单几何性质． （2）新课讲授过程 （i ）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质． 提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？ 通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii ）双曲线的简单几何性质 ①范围：由双曲线的标准方程得，22 2210y x b a =-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域； ②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴； ④渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22 221x y a b -=的渐近线； ⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比a c e = 叫做双曲线的离心率（1e >）． （iii ）例题讲解与引申、扩展 例3 求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程． 分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐

双曲线的简单几何性质说课稿

高二数学双曲线的简单几何性质说课搞 说课课题是人教A版选修2—1第二章2.3.1双曲线的简单几何性质（一），下面对本节课进行分析： 一、教材分析 1、教材的地位与作用 本节课是学生在已掌握双曲线的定义和标准方程后，在此基础上，由标准方程研究其几何性质。而根据曲线的方程，研究曲线的几何性质并正确作图，是解析几何的基本问题之一，也可以说是解析几何的目的。因此，本节是非常重要的，它是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质，为学生进一步学习数学、物理、化学等打下良好基础。 2、教学目标 高考大纲明确要求：学生要知道双曲线的简单几何性质，了解圆锥曲线的简单应用，理解数形结合思想。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了以下将要完成的教学目标。知识与技能：1、知道双曲线的简单几何性质。2﹑能够根据双曲线方程求出双曲线的顶点坐标、实、虚轴长，渐近线方程和离心率。3、能够根据双曲线的性质得出相应的双曲线方程。4、理解离心率对双曲线开口大小的影响，能正确说出其中的规律。过程与方法：培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，和逻辑推理能力，以及类比的学习方法。情感、态度与价值观：培养学生主动探求知识、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念。 3、重点、难点 依据教学经验使我认识到，学生对渐近线的接受、理解以及离心率对双曲线的影响有一定的困难。因此，我把双曲线的离心率对双曲线的刻画，渐近线的含义及离心率与渐近线斜率间的联系作为本节课的难点。根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线，离心率这两个性质作为本节课的重点。 二、教材处理 1、范围、对称性、顶点的探究，让学生类比椭圆的性质得出双曲线的相关性质，并结合方程加以验证并说出与椭圆的不同。其中，在顶点中应特别提醒虚轴与短轴不要混淆。双曲线的离心率，结合学生的举例利用几何画板画出相应的图形，让学生认识到双曲线从形状上来看有开口大小之分并提出进一步探究方案；在静态图形观察的基础上进行双曲线的动态变化（具体方式可以为a不变，将c逐渐增大），从而认识到离心率可以刻画双曲线的张口大小，并得出规律（离心率越大，开口越大）。渐近线是双曲线特有的性质，在问题（问题1：如何作 一双曲线（离心率只是一种感性认识难以外显）？问题2：函数 1 y x 也是双曲 线，如何作其图象？）引导下，学生认识到双曲线的渐近线的概念；在几何画板平台中作两条经过坐标原点且关于y轴对称的直线，并将它们绕着原点旋转，从而真实感受到渐近线的存在，并发现双曲线夹在两条渐近线之间。从平面区域范

高中数学双曲线的简单几何性质(经典)

双曲线的简单几何性质 【知识点1】双曲线22a x -2 2b y ＝1的简单几何性质 (1)范围：｜x ｜≥a,y∈R. (2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称. (3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2 ＝a 2 +b 2 . (4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±a b x ，或令双曲线标准方程22a x -2 2b y ＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e ＝a c ＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔. (6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2 (a≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2. (7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -2 2b y ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注 意方程的表达形式. 注意：（1）与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -2 2b y ＝λ(λ≠0且λ为待定常数) （2）与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2 -λ＞0时 为椭圆， b 2 ＜λ＜a 2 时为双曲线) （3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c (c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2 ，与椭圆相同. 1、写出双曲线方程125492 2 -=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程 2、已知双曲线的渐近线方程为x y 4 3 ±=，求双曲线的离心率

双曲线的几何性质.

双曲线的几何性质 （4） 教学目标：能综合应用所学知识解决较综合的问题，提高分析问题与解决问题 的能力． 教学过程 例1 中心在原点，一个焦点为F （1，0）的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为 m ， 求双曲线标准方程． 例2 已知点A(3,2)，F(2,0)，在双曲线22 13y x -=上求一点 P ，使1||||2 PA PF +的值最小． 例3 已知双曲线2 2 12 y x -=，求过定点A （2，1）的弦的中点P 的轨迹方程. 例4 在双曲线22 11312 x y - =-的一支上有三个不同点A (x 1,y 1)、B (x 2,6)、C (x 3,y 3)与焦点F 1(0,5)的距离成等差数列，求y 1+y 3的值． 例5已知梯形ABCD 中，AB//CD,|AB|=2|CD|，点 E 满足 ，双曲线 过 C 、 D 、 E 三点，且以 A 、 B 为焦点，当23 34 λ≤≤时，求双曲线离心率 的取值范围． 课堂练习 1．设直线y =kx 与双曲线4x 2―y 2=16相交，则实数k 的取值范围是 （A ）―2