一元二次方程与二次函数提高练习题

一元二次方程与二次函数提高练习题

一．选择题（共11小题）

1．已知关于x的方程（m+2）x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．且m≠﹣2 B．且m≠﹣2 C．D．

2．若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为（）A．9 B．10 C．9或10 D．8或9或10

3．（2008?随州）如图，要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

4．若a，b，c为三角形三边，则关于的二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（）

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定

5．如果关于x的方程7x2+px+q=0的两个根为2和﹣3，那么二次三项式7x2+px+q可分解为（）A．（x﹣2）（x+3）B．（x+2）（x﹣3）C．7（x﹣2）（x+3）D．7（x+2）（x﹣3）

6．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）

A．B．C．D．

7．若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）

A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0

8．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：

①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．D．

10．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（）

A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最高点D．y随x的增大而增大

11．小智将如图两水平线L1、L2的其中一条当成x轴，且向右为正向；两铅直线L3、L4的其中一条当成y轴，且向上为正向，并在此坐标平面上画出二次函数y=ax2+2ax+1的图形．关于他选择x、y轴的叙述，下列何者正确？（）

（第11小题图）（第15小题图）

A．L1为x轴，L3为y轴B．L1为x轴，L4为y轴

C．L2为x轴，L3为y轴D．L2为x轴，L4为y轴

二．填空题（共6小题）

12．定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＜x2时，都有y1＜y2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有（填上所有正确答案的序号）

①y=2x；②y=﹣x+1；③y=x2（x＞0）；④y=﹣．

13．下列函数（其中n为常数，且n＞1）

①y=（x＞0）；②y=（n﹣1）x；③y=（x＞0）；④y=（1﹣n）x+1；⑤y=﹣x2+2nx（x＜0）中，y的值随x

的值增大而增大的函数有个．

14．在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=，则称

点Q为点P的“可控变点”．

例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．

（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为．（2）若点P在函数y=﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16＜y′≤16，则实数a的取值范围是．

15．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为（用含a的式子表示）．

16．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．

17．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y=．

三．解答题（共13小题）

18．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

19．某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可售出20件，每件衬衣盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利1200元，每件衬衣降价多少元？

20．阅读下面的例题与解答过程：

例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．

解：原方程可化为|x|2﹣|x|﹣2=0．

设|x|=y，则y2﹣y﹣2=0．

解得y1=2，y2=﹣1．

当y=2时，|x|=2，∴x=±2；

当y=﹣1时，|x|=﹣1，∴无实数解．

∴原方程的解是：x1=2，x2=﹣2．在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法﹣﹣换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：

（1）x2﹣2|x|=0；

（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．

21．阅读下列材料：求函数的最大值．

解：将原函数转化成x的一元二次方程，得．

∵x为实数，∴△==﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．

根据材料给你的启示，求函数的最小值．

22．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．

请解决下列问题：

（1）写出一个“勾系一元二次方程”；

（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；

（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC 面积．

23．已知点A（﹣2，n）在抛物线y=x2+bx+c上．

（1）若b=1，c=3，求n的值；

（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数y=x2+bx+c的最小值是﹣4，请画出点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．

24．如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．

（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y=2x2+3x﹣4，请你写出一个不同于小敏的答案；

（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=﹣x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．

25．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．26．如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

27．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．

（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；

（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．

28．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y 轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．

（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？

（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？

29．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．

（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；

（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？

（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？

30．为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/小时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x 的一次函数．

（1）求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；

（2）在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？（3）当车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值．

一元二次方程与二次函数提高练习题

参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）

1．（2010?朝阳区一模）已知关于x的方程（m+2）x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）

A．且m≠﹣2 B．且m≠﹣2 C．D．

【考点】根的判别式．

【专题】压轴题．

【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：

（1）二次项系数不为零；

（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0．

【解答】解：根据题意列出方程组：，

解得m且m≠﹣2，

故选A．

【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0?方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0?方程没有实数根．

2．（2010?滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC 的周长为（）

A．9 B．10 C．9或10 D．8或9或10

【考点】根与系数的关系；三角形三边关系．

【专题】压轴题．

【分析】由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，可求出b，c的值，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．

【解答】解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，

解得：b=3或2，c=2或3，

△ABC的一边a为4，

①若b=c，则b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．

∴△ABC的周长为4+3+3=10

②若b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．

故选C．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法和三角形的周长结合起来，利用三角形三边关系得出是解题关键．

3．（2008?随州）如图，要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．4个B．3个C．2个D．1个

【考点】一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法；解分式方程．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】本题实际是分为两种情况：

（1）当x≤2时，有方程x2﹣2=x，分别解得x的值；

（2）当x＞2时，由=x，解得x的值；看看究竟有几个符合题意的x的值．

【解答】解：（1）当x≤2时，由方程x2﹣2=x，

解得：x=2或x=﹣1；

（2）当x＞2时，由=x，

解得：x=±，x=﹣应舍去，

因而这样的x的值有3个，分别是2，﹣1和．

故选B．

【点评】正确理解题意，把图表问题转化为方程问题是解决本题的关键．

4．（1999?烟台）若a，b，c为三角形三边，则关于的二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

【考点】根的判别式；三角形三边关系．

【专题】压轴题．

【分析】先求出△=b2﹣4ac，再结合a，b，c为三角形的三边，即可判断根的情况．

【解答】解：∵x2+（a﹣b）x+c2=0，

∴△=b2﹣4ac==（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）

∵a，b，c为三角形三边，

∴b+c＞a，a+c＞b

∴a﹣b﹣c＜0，a﹣b+c＞0

∴（a﹣b﹣c）（a﹣b+c）＜0，

即二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0无实数根．

故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用及三角形三边的关系．

5．（1998?大连）如果关于x的方程7x2+px+q=0的两个根为2和﹣3，那么二次三项式7x2+px+q可分解为（）

A．（x﹣2）（x+3）B．（x+2）（x﹣3）C．7（x﹣2）（x+3）D．7（x+2）（x﹣3）【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】根据方程的两根，即可将多项式分解因式．

【解答】解：∵7x2+px+q=0的两个根为2和﹣3，

∴二次三项式7x2+px+q=7（x﹣2）（x+3）．

故选C

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解，弄清题意是解本题的关键．

6．（2015?泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）

A．B．C．D．

【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．

【专题】压轴题．

【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．

【解答】解：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．

B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．

C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x=﹣位于y轴的右侧，故符合题意，

D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．

故选：C．

【点评】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．

7．（2015?益阳）若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0

【考点】二次函数的性质．

【专题】压轴题．

【分析】利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．

【解答】解：由y=（x﹣m）2+（m+1）=x2﹣2mx+（m2+m+1），根据题意，，

解不等式（1），得m＞0，

解不等式（2），得m＞﹣1；

所以不等式组的解集为m＞0．

故选B．

【点评】本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难度较大．

8．（2015?安顺）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：

①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0

其中正确的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【专题】压轴题．

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．

【解答】解：①图象开口向下，能得到a＜0；

②对称轴在y轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0；

③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；

④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．

故选C．

【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

9．（2014?广元）设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）

A．﹣1 B．1 C．D．

【考点】二次函数的图象．

【分析】由抛物线的开口方向与对称轴的位置选择选择函数的正确图象，再根据图象性质计算a的值即可．

【解答】解：由图①和②得，b=0，与b＞0矛盾，所以此两图错误；由图③得，a＜0，

∵对称轴为x=﹣＞0，

∴a、b异号，即b＞0，符合条件；

∵过原点，由a2﹣1=0，得a=±1，

∴a=﹣1；

由图④得，a＞0，

∵对称轴为x=﹣＞0，

∴a、b异号，即b＜0，与已知矛盾．

故选A．

【点评】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

10．（2014?毕节市）抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（）

A．开口向下B．对称轴是y轴

C．都有最高点 D．y随x的增大而增大

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据二次函数的性质解题．

【解答】解：（1）y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；

（2）y=﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；

（3）y=x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点．

故选：B．

【点评】考查二次函数顶点式y=a（x﹣h）2+k的性质．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：

①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．

②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．

11．（2014?台湾）小智将如图两水平线L1、L2的其中一条当成x轴，且向右为正向；两铅直线L3、L4的其中一条当成y轴，且向上为正向，并在此坐标平面上画出二次函数y=ax2+2ax+1的图形．关于他选择x、y轴的叙述，下列何者正确？（）A．L1为x轴，L3为y轴B．L1为x轴，L4为y轴

C．L2为x轴，L3为y轴D．L2为x轴，L4为y轴

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据二次函数的解析式y=ax2+2ax+1，得到与y轴交点坐标为（0，1），确定L2为x轴；根据抛物线的对称轴为直线x=﹣1，确定L4为y轴．

【解答】解：∵y=ax2+2ax+1，

∴x=0时，y=1，

∴抛物线与y轴交点坐标为（0，1），即抛物线与y轴的交点在x轴的上方，

∴L2为x轴；

∵对称轴为直线x=﹣=﹣1，即对称轴在y轴的左侧，

∴L4为y轴．

故选D．

【点评】本题考查了二次函数的性质，难度适中．根据二次函数的解析式求出与y轴交点坐标及对称轴是解题的关键．

二．填空题（共6小题）

12．（2015?临沂）定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＜x2时，都有y1＜y2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有①③（填上所有正确答案的序号）

①y=2x；②y=﹣x+1；③y=x2（x＞0）；④y=﹣．

【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．

【专题】压轴题；新定义．

【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质进行分析即可得到答案．

【解答】解：y=2x，2＞0，∴①是增函数；

y=﹣x+1，﹣1＜0，∴②不是增函数；

y=x2，当x＞0时，是增函数，∴③是增函数；

y=﹣，在每个象限是增函数，因为缺少条件，∴④不是增函数．

故答案为：①③．

【点评】本题考查的是一次函数、二次函数、反比例函数的性质，掌握各种函数的性质以及条件是解题的关键．

13．（2015?天水）下列函数（其中n为常数，且n＞1）

①y=（x＞0）；②y=（n﹣1）x；③y=（x＞0）；④y=（1﹣n）x+1；⑤y=﹣x2+2nx（x＜0）中，y的值随x

的值增大而增大的函数有3个．

【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．

【分析】分别根据正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质进行分析即可．

【解答】解：①y=（x＞0），n＞1，y的值随x的值增大而减小；

②y=（n﹣1）x，n＞1，y的值随x的值增大而增大；

③y=（x＞0）n＞1，y的值随x的值增大而增大；

④y=（1﹣n）x+1，n＞1，y的值随x的值增大而减小；

⑤y=﹣x2+2nx（x＜0）中，n＞1，y的值随x的值增大而增大；

y的值随x的值增大而增大的函数有3个，

故答案为：3．

【点评】此题主要考查了正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，关键是掌握正比例函数y=kx（k≠0），k＞0时，y的值随x的值增大而增大；一次函数的性质：

k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降；二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大

而增大；反比例函数的性质，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

14．（2015?乐山）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=，

则称点Q为点P的“可控变点”．

例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．

（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为（﹣1，2）．（2）若点P在函数y=﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16＜y′≤16，则实数a 的取值范围是≤a＜4．

【考点】

二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．

【专题】压轴题；新定义．

【分析】（1）直接根据“可控变点”的定义直接得出答案；

（2）根据题意可知y=﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y=的图象上，

结合图象即可得到答案．

【解答】解：（1）根据“可控变点”的定义可知点M的坐标为（﹣1，2）；

（2）依题意，y=﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y′=的图象上（如图）．

∵﹣16＜y′≤16，

∴﹣16=﹣x2+16．

∴x=4．

当x=﹣5时，x2﹣16=9，

当y′=9时，9=﹣x2+16（x≥0）．

∴x=．

∴a的取值范围是≤a＜4．

故答案为（﹣1，2），≤a＜4．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握新定义“可控变点”，解答此题还需要掌握二次函数的性质，此题有一定的难度．

15．（2014?长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为a+4（用含a的式子表示）．

【考点】二次函数的性质．

【专题】计算题．

【分析】根据抛物线的对称性得到：OB=4，AB=AO，则四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB=△ABC 的周长+OB．

【解答】解：如图，∵对称轴为直线x=﹣2，抛物线经过原点、x轴负半轴交于点B，

∴OB=4，

∵由抛物线的对称性知AB=AO，

∴四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB=△ABC的周长+OB=a+4．

故答案为：a+4．

【点评】本题考查了二次函数的性质．此题利用了抛物线的对称性，解题的技巧性在于把求四边形AOBC 的周长转化为求（△ABC的周长+OB）是值．

16．（2014?扬州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为0．

【考点】抛物线与x轴的交点．

【专题】数形结合．

【分析】依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．

【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，

∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），

∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），

把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，

∴4a﹣2b+c=0，

故答案为：0．

【点评】本题考查了抛物线的对称性，知道与x轴的一个交点和对称轴，能够表示出与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键．

17．（2013?北京）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y=x2+1（答案不唯一）．

【考点】二次函数的性质．

【专题】开放型．

【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求a值大于0即可．

【解答】解：抛物线y=x2+1开口向上，且与y轴的交点为（0，1）．

故答案为：x2+1（答案不唯一）．

【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a值必须大于0．

三．解答题（共13小题）

18．（2015?咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．

（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

【考点】根的判别式；解一元二次方程-公式法．

【专题】证明题．

【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；

（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．

【解答】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m

=m2﹣4m+4

=（m﹣2）2，

∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，

∴△≥0，

∴方程总有实数根；（2）解：解方程得，x=，

x1=，x2=1，

∵方程有两个不相等的正整数根，

∴m=1或2，m=2不合题意，

∴m=1．

【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0?方程有两个不相等的实数根；△=0?方程有两个相等的实数根；△＜0?方程没有实数根是解题的关键．

19．（2015?诏安县校级模拟）某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可售出20件，每件衬衣盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利1200元，每件衬衣降价多少元？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】销售问题．

【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．

【解答】解：设每件衬衫应降价x元．

根据题意，得（40﹣x）（20+2x）=1200

整理，得x2﹣30x+200=0

解得x1=10，x2=20．

∵“扩大销售量，减少库存”，

∴x1=10应略去，

∴x=20．

答：每件衬衫应降价20元．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．

20．（2015春?沙坪坝区期末）阅读下面的例题与解答过程：

例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．

解：原方程可化为|x|2﹣|x|﹣2=0．

设|x|=y，则y2﹣y﹣2=0．

解得y1=2，y2=﹣1．

当y=2时，|x|=2，∴x=±2；

当y=﹣1时，|x|=﹣1，∴无实数解．

∴原方程的解是：x1=2，x2=﹣2．

在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法﹣﹣换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：

（1）x2﹣2|x|=0；

（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．

【考点】换元法解一元二次方程．

【专题】阅读型；换元法．

【分析】（1）结合例题，利用换元法求解即可．

（2）结合例题，利用换元法求解即可．

【解答】解：（1）原方程可化为|x|2﹣2|x|=0，

设|x|=y，则y2﹣2y=0．

解得y1=0，y2=2．

当y=0时，|x|=0，∴x=0；

当y=2时，∴x=±2；

∴原方程的解是：x1=0，x2=﹣2，x3=2．（2）原方程可化为|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0．设|x﹣1|=y，则y2﹣4y+4=0，解得y1=y2=2．

即|x﹣1|=2，

∴x=﹣1或x=3．

∴原方程的解是：x1=﹣1，x2=3．

【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解换元的实质是转化．21．（2014?杭州模拟）阅读下列材料：求函数的最大值．

解：将原函数转化成x的一元二次方程，得．

∵x为实数，∴△==﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．

根据材料给你的启示，求函数的最小值．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】压轴题．

【分析】根据材料内容，可将原函数转换为（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2=0，继而根据△≥0，可得出y的最小值．

【解答】解：将原函数转化成x的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2=0，

∵x为实数，

∴△=（2y﹣1）2﹣4（y﹣3）（y﹣2）=16y﹣23≥0，

∴y≥，

因此y的最小值为．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，这样的信息题，一定要熟读材料，套用材料的解题模式进行解答．

22．（2012?民勤县校级模拟）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC 和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一

元二次方程”．

请解决下列问题：

（1）写出一个“勾系一元二次方程”；

（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；

（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC 面积．【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的证明．

【专题】几何图形问题；压轴题．

【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；

（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；

（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．

【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时

勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；

（2）证明：根据题意，得

△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab

∵a2+b2=c2

∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0

即△≥0

∴勾系一元二次方程必有实数根；

（3）解：当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b= c

∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6

∴3c=6

∴c=2

∴a2+b2=c2=4，a+b=2

∵（a+b）2=a2+b2+2ab

∴ab=2

∴S△ABC=ab=1．

【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．23．（2015?厦门）已知点A（﹣2，n）在抛物线y=x2+bx+c上．

（1）若b=1，c=3，求n的值；

（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数y=x2+bx+c的最小值是﹣4，请画出点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．

【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．

【专题】压轴题．

【分析】（1）代入b=1，c=3，以及A点的坐标即可求得n的值；

（2）根据题意求得抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，从而求得点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的关系式为y=x′2﹣4，然后利用5点式画出函数的图象即可．

【解答】解：（1）∵b=1，c=3，A（﹣2，n）在抛物线y=x2+bx+c上．

∴n=4+（﹣2）×1+3=5．

（2）∵此抛物线经过点A（﹣2，n），B（4，n），

∴抛物线的对称轴x==1，

∵二次函数y=x2+bx+c的最小值是﹣4，

∴抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，

令x﹣1=x′，

∴点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的关系式为y=x′2﹣4，点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的如图：

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值等，根据题意求得抛物线的解析式是解题的关键．

24．（2015?义乌市）如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．

（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y=2x2+3x﹣4，请你写出一个不同于小敏的答案；

（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=﹣x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．

【分析】（1）根据顶点式的表示方法，结合题意写一个符合条件的表达式则可；

（2）根据顶点纵坐标得出b=1，再利用最小值得出c=﹣1，进而得出抛物线的解析式．

【解答】解：（1）依题意，选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是1，

根据顶点式得：y=x2﹣2x+2；

（2）∵定点抛物线的顶点坐标为（b，c+b2+1），且﹣1+2b+c+1=1，

∴c=1﹣2b，

∵顶点纵坐标c+b2+1=2﹣2b+b2=（b﹣1）2+1，

∴当b=1时，c+b2+1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c=﹣1，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．

【点评】本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，首先利用顶点坐标式写出来，再化为一般形式．

25．（2015?齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．

【专题】计算题．

【分析】（1）根据题意确定出B与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式；（2）把抛物线解析式化为顶点形式，找出顶点坐标，四边形ABDC面积=三角形ABC面积+三角形BCD 面积，求出即可．

【解答】解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），

把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，

解得：b=2，c=4，

则解析式为y=﹣x2+2x+4；

（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，

∴抛物线顶点坐标为（2，6），

则S

四边形ABDC

=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

26．（2015?黑龙江）如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称-最短路线问题．

【分析】（1）根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可；（2）因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质，连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可．

【解答】解：（1）由题意得，，

解得b=4，c=3，

∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3；

（2）∵点A与点C关于x=2对称，

∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，

根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），

y=x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），

∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，

，

解得，k=﹣1，b=3，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，

则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）

∴点P的坐标为：（2，1）．

【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键．

27．（2015?荆州）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．

（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；

（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．

【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；

（2）通过解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y=x2+3x+2，结合图象回答问题．（3）根据题意得到kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．

【解答】（1）证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=﹣2，方程有实数根，

②当k≠0时，∵△=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0，即△≥0，

∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）解：令y=0，则kx2+（2k+1）x+2=0，

解关于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=﹣，

∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k=1．

∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2，

由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣4．

（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立，

则，

解得或．

所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答（1）题时要注意分类讨论．

28．（2015?随州）如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．

（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？

（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；

（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直

接射入球门．

【解答】解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，

∴当t=时，y

最大

=4.5；

（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，

∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，

∴他能将球直接射入球门．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键．

29．（2015?湖北）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．

（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；

（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？

（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；

（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；

（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．

【解答】解：（1）由题意得，y=700﹣20（x﹣45）=﹣20x+1600；

（2）P=（x﹣40）（﹣20x+1600）=﹣20x2+2400x﹣64000=﹣20（x﹣60）2+8000，

∵x≥45，a=﹣20＜0，

∴当x=60时，P

最大值

=8000元，

即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；

（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000=6000，

解得x1=50，x2=70．

∵抛物线P=﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，

∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．

又∵x≤58，

∴50≤x≤58．

∵在y=﹣20x+1600中，k=﹣20＜0，∴y随x的增大而减小，

∴当x=58时，y

最小值

=﹣20×58+1600=440，

即超市每天至少销售粽子440盒．

【点评】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润=1盒粽子所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．

30．（2015?黔南州）为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/小时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；

（2）在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？

（3）当车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值．

【考点】二次函数的应用．

【专题】压轴题．

【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；

（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；

（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，当20≤x≤220时表示出函数关系，由函数的性质就可以求出结论．

【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，由题意，得

，

解得：，

∴当20≤x≤220时，v=﹣x+88，

当x=100时，v=﹣×100+88=48（千米/小时）；

（2）由题意，得

，

解得：70＜x＜120，

∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；

（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，

当20≤x≤220时，

y=（﹣x+88）x=﹣（x﹣110）2+4840，

∴当x=110时，y最大=4840，

∵4840＞1600，

∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．