12、图形染色

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4F E D

C

B

A D

C B

A

E

D

C B

A

图形的染色计数

例1、如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法？

例2、中央电视台某节目的现场观众来自4个单位，分别在图中4个区域内坐定。有4种不同的颜色服装，每个区域的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法共有多少种？

例3、如果用四种颜色对下面三个图形的A ，B ，C ，D ，E 五个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，那么，对（1）（2）（3）图分别有多少种染法？

例4、用五种颜色给图中的5个车站的候车牌A 、B 、C 、D 、E 染色，要求相邻两个车站间的候车牌的颜色不同，有多少种不同的染色方法？

例5、一个六边形的6个区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域染同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一颜色，现有 4种不同的颜色可供选择，则有多少种不同的着色方法。

例6、分别用五种颜色中的某一种对下图的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：有多少种不同的染法？

课后练习

1、用5种不同颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方法？

2、如图，地图上有A ，B ，C ，D 四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法?

3、如图，一张地图上有五个国家A ，B ，C ，D ，E ，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？

4、某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法?

E

C D A B

立体图形的涂色问题

立体图形的涂色问题 例1．一个表面都涂满红色的立方体，在它的每个面上等距离地切两刀，可得到27个小立方体，而且切面都是白色，这27个小立方体中，一面是红色的有多少个？二面是红色的有多少个？三面是红色的有多少个？各面都没有红色的有多少个？ 解析：仔细观察 （1）一面涂有红色的小方块位于每个面的中心。有6个 （2）二面涂有红色的小方块位于每条棱的中间。有12个 （3）三面涂有红色的小方块位于每个角上，永远都是8个。 （4）各面没有红色的小方块位于立方体的内部，用总的小方块的数量减去一面、二面、三面涂红的块数，就可以了。有1个 进一步归纳：对于一个n×n×n的正方体，其涂色情况如下： （1）三面涂色的：8个 （2）二面涂色的：（n-2）×12个 （3）一面涂色的：（n-2）×（n-2）×6个 （4）各面没涂色的：总的个数减去上面三类的总个数

或（n-2）×（n-2）×（n-2）个 例2．有个长方体，长、宽、高分别是3、5、7（单位：厘米），分别将其表面涂上红色，然后将它们分割成棱长为1厘米的小立方体，一面是红色的有多少个？二面是红色的有多少个？三面是红色的有多少个？各面都没有红色的有多少个？ 解析：（1）三面涂色的在角上，有8个 （2）二面涂色的在每条棱中间，长上面有1×4=4个，宽上面有3×4=12个，高上面有5×4=20个，总共36个 （3）一面涂色的在每个面的中间，上、下面上有1×3×2=6个，左、右面上有3×5×2=30个，前、后面上有1×5×2=10个，总共46个 （4）各面都没涂色的有3×5×7-8-36-46=15个 进一步归纳：对于一个a×b×c的长方体（a、b、c表示长、宽、高），其涂色情况如下： （1）三面涂色的：8个 （2）二面涂色的：[（a-2）+（b-2）+（c-2）]×4个即（a+b+c-6）×4个 （3）一面涂色的：[（a-2）×（b-2）+（a-2）×（c-2）+（b-2）×（c-2）]×2个 （4）各面没涂色的：总的个数减去上面三类的总个数 或（a-2）×（b-2）×（c-2）个 练习： 1．一个棱长为3厘米，在其表面涂满红漆，然后切成棱长都是1分米的小正方体，问三面、二面、一面涂有红漆各有多少个？六面都没红色有多少个？（答案：8、12、6、1）

3.2某些立体图形的展开图教案

3.2某些立体图形的展开图教案 赵艳艳 一、教材分析： “立体图形的展开图”是七年级《数学》（上）中继“生活中的立体图形”和“画立体 图形”之后的一个学习内容，在本章教材的编排顺序（生活中的物体——立体图形——面——点、线）中起着承上启下的作用。本节教材是从学生生活周围熟悉的物体入手，使学生进 一步认识立体图形与平面图形的关系。不仅要让学生了解多面体可由平面图形围成，而且立 体图形可按不同方式展开成平面图形，更重要的是让学生通过观察、思考和自己动手操作， 经历和体验图形的变化过程，初步了解研究立体图形的方法，同时也为平面图形的引入作准 备。 教学重点：了解基本几何体与其展开图之间的关系：多面体是由平面图形围成的立体图 形；一个立体图形按不同的方式展开可得到不同的平面展开图。 教学难点：正确判断哪些平面图形可折叠为立体图形；某个立体图形的展开图可以是哪 些平面图形。 二、学生分析： 学生在小学学过简单立体图形及其侧面展开图，前两节又学习了一些立体图形的有关知 识，对立体图形已有一定的认识，能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置。但初一 学生具有好胜好强的特点，抽象思维能力和空间想象能力比较弱。 三、教学目标： A、知识与技能：1、进一步认识立体图形与平面图形的关系，了解多面体可由平面图形围成，立体图形可展开成不同的平面图形。 2、学生经历和体验图形的变化过程，培养学生实验操作的能力，发展空间 观念。 B、过程和方法：通过观察、操作、实验、探究和多媒体演示，让学生在观察中学会分析， 在操作中体验变换，培养学生的动手能力和依据事实分析问题和解决问题的能力。 C、情感态度价值观：在教学中渗透美学思想，培养学生主动探索、敢于实践、勇于发现的 科学精神，培养学生的合作交流和创新意识。 四、教法： 启发式、讨论式、实践式、探究式 五、学法：

五年级第11讲长、正方体的染色例题教师版

【知识导航】 一个长方体或正方体的的表面染色，然后切成若干个小正方体。三面图色的立方体都在原来立体图形的顶点处；两个面涂色的都在原来立体图形的棱上，一个面涂色的都在原来立体图形的面上, 中间的心是无色的。 【典型例题】 【例1】将一个7×7×7的正方体表面涂上红色，再将切割成343个1×1×1的小正方体，其中恰有一面涂色的小正方体有多少个？两面、三面和没有被涂色的呢？ 【分析】三面涂色在顶点处。两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，无色在里面。 【答案】（150,60,8,125） 【例2】一个 3×3×3的正方体，如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的．这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍。问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？ 【分析】对于由n3块小正方体构成的n×n×n正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12×（n－2）块，一面涂有红色的有6×（n－2）2块，没有涂色的有（n-2）3块．由题设条件，一点红色也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即（n-2）3＝8×8，解得n＝6．6×6×6=216。 【例3】如图，将边长为3的正方体的一个面、边长为5的正方体的一个 面和边长为7的正方体一个面粘合在一起，使得较小的面恰好位于较大的 面的一角。将新得到的立体图形的表面涂成红色，然后把它沿刚才的粘合 面切开得到三个正方体，接着将这三个正方体都切成边长为1的小正方体， 那么在全部3×3×3+5×5×5+7×7×7=495个小正方体中，恰好有两个面 涂成红色的有多少个？（没有染色、一面染色、三面染色的各多少个呢？） 【答案】（183，208，90，14） 【例4】有一个n×n×n的大正方体，将它的六个面中的一些面涂上红色，再将它全部切割成1×1×1的小正方体，结果发现至少一面被涂上红色的小正方体有281块，问：这之中恰好只有一面涂色的小正方体共有多少块？ 【答案】（240） 【例5】一个长方体木块表面涂满了红漆，把它切成棱长全为1厘米的小正方体后，各个面都没有漆的只有11块。求这个长方体的表面积。 【答案】（174） 【例6】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小长方体，其中恰好有两个面涂上红色的小长方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小长方体？

小学奥数立体图形

第11讲立体图形 各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用.较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题. 第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题（略有改动） 1．用棱长是1厘米的立方块拼成如图11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于3×3=9个小正方形的面积，朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于(9+7+7)×2=46个小正方形的面积，而每个小正方形面积为l平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米． 2．如图11-2，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几? 【分析与解】原来正方体的表面积为5 ×5×6=150． 现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．即表面积减少了百分之八． 3．如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?

【分析与解】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1×l=1(平方米)，所以表面积增加了9×2×1=18(平方米)． 原来正方体的表面积为6×1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)． 4．图11-4中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】原正方体的表面积是4×4×6=96(平方厘米)． 每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是96+4×6=120平方厘米． 5．图11-5是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方 体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1 2 厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同， 边长为1 4 厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】因为每挖一次，都在原来的基础上，少了1个面，多出了5个面，即增加了4个面．所以，最后得到的立体图形的表面积是：

立体图形的展开图

4.1.1 立体图形与平面图形（3）——立体图形的展开图教学设计 教学目标： 1.能画出从不同方向看一些基本几何体的示意图，能从不同方向辨 认物体的形状。 2.认识简单的立体图形的展开图，能通过展开图想象立体图形。 3. 通过从三个方向观察物体及其展开图进一步认识。 学情分析： 学生通过学习正方体、长方体、圆柱等立体图形的展开图体会 立体图形与平面图形之间的关系;再由展开图想象立体图形,需要学 生对展开图各部分之间的空间位置关系、对应关系进行分析判断, 教师要创设让学生多观察、多动手、多交流的学习情境,将理性思考 与感性认识紧密结合起来,培养学生的空间想象能力、语言表达能力、动手实践能力。教学中,从学生的生活经验出发,采取小组合作学习 的组织形式, 充分利用模型和信息技术工具,增强学生的直观感受; 让学生在独立思考的基础上讨论交流,共同完成知识构建. 重点难点： 重点：从不同的方向看立体图形，立体图形的展开图。 难点：通过从三个方向看到的平面图形还原立体图形，通过展开图 想象立体图形。 教学过程： 一、导入新课 问题：宋代诗人苏轼绝句《题西林壁》这首诗反映了一种什么现象？ 二、自主学习 预习课本P117,自学本节课的知识点。 三、合作互助学习 探究一：导学案中【知识点一】及【应用辨析】

1.小组内互相交流统一答案，小组内帮助纠正错误。 2.小组内相互说出展开图的定义。 探究二：根据展开图的定义，同一几何体展开图形状一样吗？ 学生代表演示展开自制的长方体模型的过程和所得展开图的形状。探究三：正方体有多少种不同的展开图？ 小组合作,动手剪开自制的正方体模型,并展平,得到展开图后,小 组成员交流,请展示小组将正方体的展开图贴在黑板上,点评小组看 是否有重复的，并补充不同的展开图。从展开图中,按照结构来进行 分类,总结出正方体的展开图规律，教师利用多媒体进行演示。 四、达标测评 1.根据下列立体图形的展开图，填写立体图形的名称。 （1）____________ （2）___________ （3）_________ 2.如图所示，一个斜插吸管的盒装饮料从正面看到的图形是( ) A B C D 3.指出下列图形是什么几何图形的平面展图？

(完整版)立体图形计数

1．下图中，共有多少个小正方体？ A.3 B.4 C.5 D.6 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：选择题 答案：C 2．下图中，共有多少个小正方体？ A.3 B.4 C.5 D.6 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：选择题 答案：D 3．下图中，共有多少个小正方体？ A.6 B.7 C.8 D.9 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：选择题 答案：B 4．下图中，共有多少个小正方体？ A.5 B.6 C.7 D.8 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：选择题 答案：D 5．下图中，共有多少个小正方体？

A.9 B.8 C.7 D.6 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：选择题 答案：A 6．下图中，共有多少个小正方体？ A.7 B.8 C.9 D.10 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：选择题 答案：D 7．下图中，共有多少个小正方体？ A.10 B.11 C.12 D.13 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：选择题 答案：D 8．下图中，共有多少个小正方体？ A.21 B.22 C.23 D.24 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：选择题

答案：D 9．下图中，共有多少个小正方体？ A.15 B.16 C.17 D.18 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：选择题 答案：B 10．下图中，共有多少个小正方体？ A.10 B.11 C.12 D.13 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：选择题 答案：A 首页上一页1234下一页尾页11．下图中，共有多少个小正方体？ A.11 B.12 C.13 D.14 来源：2014·乐乐课堂·练习 难度：简单 类型：选择题 答案：D 12．下图中，共有多少个小正方体？

立体图形展开图

第一帖丰富多彩的图形世界----正方体展开图相关题型常考题型1---正方体的展开图 分类型记忆： 1-4-1型共有6种；2-3-1型共有3种，3-3型共有1种，2-2-2型共有1种； 同学们除了展开图形的形状外还需记忆： 图中相同颜色部分表示相对的面（前面-后面、左面-右面、上面-下面） 关于哪个面与哪个面相对，我们一定要记牢了，因为在考察正方体的展开图的时候会经常考到。 如果实在记不得哪个面与哪个面相对，我们可以采用标六面的方法： ①先找小正方形比较密集部位的中心位置处的小正方形将其标记为下面， ②在此基础上，将展开图形还原成立体图形并将上、前、后、左、右给标到其他的小正方形上.

如此，我们就能轻而易举的知道相对的两个面是哪两个面。如下图所示 左前上 右 后 下 将正方体按照标六面的方法正确标出六个面之后，下面的解题过程对我们来说就是小菜 一碟了。 同学们可以试着用这个方法去做一下下面这写题 一、选择题 1、右图中是正方体的展开图的有（ ）个 A 、2个 B 、 3个 C 、4个 D 、5个 2、下列哪个正方体的展开图不可能如图所示图形（ ） A. B. C. D. 3、下列选项中是如图所示正方体的展开图的是（ ） A. B. C. D. 4、一个正方体的表面展开图如图所示，则原正方体中的“★”所在面的对 面所标的字是（ ） A. 实 B. 验 C. 欢 D. 迎

5、将左边的正方体展开能得到的图形是 （ ） 6 C 面的对面是______面． 7、如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值 是 . 8、如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是 . 9、如图是一个正方体纸盒的展开图，当折叠成正方体纸盒时，A 点与 点重合. 10、如图是一个正方体的侧面展开图，如果将它折叠成一个正方体后相对 的面上的数相等，则图中x 的值为 . 11、如图是一个正方体纸盒的展开图，要使得它折成正方体后， 相对面上的两个数都互为相反数，则A ，B . 12、当下面这个图案被折起来组成一个正方体，数字_______会在 与数字2所在的平面相对的平面上

高思奥数一年级下册含答案第11讲 立体图形计数

第十一讲立体图形计数 前续知识点：一年级第一讲；XX模块第X讲 后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲 墨莫 墨莫 卡莉娅 小高

把相应的人物换成红字标明的人物． 还记得我们都学习过哪些立体图形吗？正方体、长方体、圆柱体、球体……数不胜数．今天我们来学习一下立体图形的计数． 在地球上，一个小正方体可以在没有任何支撑的情况下悬浮在空中吗？答案当然是不可以！聪明的你赶快来看一看，下面题目中的立体图形到底由几个小正方体组成的呢？ 例题1 数一数，它们分别由几个小正方体组成？ 【提示】有没有看不见的正方体？ 练习1 数一数，它们分别由几个小正方体组成？ 数正方体有许多方法，其中我们可以一层一层的分层数，试试看． 例题2 左边方框中的立体图形和右边哪个立体图形中的小正方体个数相同呢？

【提示】数一数，分别有几个小正方体！ 练习2 左边方框中的立体图形和右边哪个立体图形中的小正方体个数相同呢？ 分层数的方法不仅简单快捷，而且清晰明了，不容易数重数漏．结合找规律的方法，我们 更能轻松数出立体图形的个数． 例题3 数一数，下面这个“宝塔”由多少个小正方体组成？ A B C D A B

【提示】找一找，每层之间有什么规律？ 练习3 数一数，下面这个“楼梯”由多少个小正方体组成？ 例题4 要想把下面左边的立体图形补全成为一个完整的大正方体，至少需要再加几个小正方体呢？

【提示】左边的立体图形由几个小正方体组成的？右边的呢？ 练习4 要想把下面左边的立体图形补全成为一个完整的大正方体，至少需要再加几个小正方体呢？ 例题5 要想把下面的立体图形补全成为一个完整的大正方体，至少需要再加几个小正方体呢？

完整版一年级奥数数立体图形

数立体图形善智知识点： 1.数平面图形：先数小，再数大（不能看到几个就是几个） 2.数立体图形注意：. 一层一层数，每一层都不能遗漏被挡住的个数. 认真思考，结果要用算式表达出来 数图形歌3.. 数图形，按顺序，先数小，再数大. 立体的，有隐藏，分层数，再相加 课堂共同练习： 1.下图有（）个正方形？ 下图有（）个长方形？2. ）个三角形？下图有（3. 1 4.数图形：

）个正方形）个长方形（）个三角形（（ 5.数一数下面的图形各由几个小正方体组成，并画出从它们的正面看到的形 状． 用正方体摆成下图，数一数一共有几个小正方体，其中几个能看见，几个看不见？6. 一共（）个一共（一共（）个）个看见（看见（看见（）个）个）个）个看不见（）个看不见（）个看不见（ 7.数一数下面每个立体图形各有几个小正方 体．

2． 8.数一数，下面的立体图形是由几个小正方体搭成的？ . ）个小正方体，就能组成一个大正方体给下列图形，再添加（ 9. 10.数一数下面物体中各有几个小正方 体． ）个（）个（ 11.数一数下面物体中各有几个小正方 体．

（）个（）个. ）个正方体12.数一数，下图中一共有（ 个个A.6 B.7 C.8个 3 课后自我提升：数一数下图分别有几个图形？1. ）个三角形（（）个正方形（）个长方形数一数，下图有几个三角形？2. ）个）个（（ .

3.摆一摆，数一数．下面每个图形分别是由几个小正方体组成的 4.数一数，填一填 个正方体．个正方体，中间一层有（1）按层数：下面一层有个正方体，上面一层有 （2）按前后排数：前排有个正方体，后排有个正方体．个正方体．3（）一共有 . 数一数下列物体是由几个小正方体拼成的5. （）个（个）（）个 4． 6.数一数下面物体中各有几个小正方 体． 个）（）个（（）个

立体图形的表面展开图例题与讲解

4、3 立体图形得表面展开图 1.圆柱、圆锥、棱柱得表面展开图 将一个几何体得外表面展开,就像打开一件礼物得包装纸.礼物外形不同,包装纸得形状也各不相同.那么我们熟悉得一些几何体,如圆柱、圆锥、棱柱得表面展开图就是什么形状呢？ (1)圆柱得表面展开图就是两个圆(作底面)与一个长方形(作侧面). (2)圆锥得表面展开图就是一个圆(作底面)与一个扇形(作侧面). (3)棱柱得表面展开图就是两个完全相同得多边形(作底面)与几个长方形(作侧面). 【例1】如图,将图中得阴影部分剪下来,围成一个几何体得侧面,使AB,DC重合,则所围成得几何体图形就是( ). 解析:此题可用排除法.因为阴影部分就是个扇环,而圆柱得侧面展开图就是长方形,所以排除A;圆锥得侧面展开图就是扇形,所以排除B;长方体得侧面展开图就是长方形,所以C 也要排除;故选D、 答案:D 2、正方体得表面展开图 (1)正方体得表面展开图按展开图中正方形所在得行数及正方形得个数,归纳起来有四种情形,各种类型得共同特点就是行与行之间有且只有一个“日”型结构,由此可知正方体得展开图不会出现如下面图形所示得“凹”字型与“田”字型结构,因为这里得行与行之间出现了两组“日”型结构. (2)正方体展开图中相对面得寻找技巧:相间得两个小正方形(中间隔着一个小正方形)就是正方体得两个对面,如图1中得A面与B面;‘Z’字两端处得小正方形就是正方体得对面,如图2、图3得A面与B面. 此种方法简称为“相间、‘Z’端就是对面”. 解技巧正方体得表面展开图得判断思路(1)就是否满足四种阵型中得一种;(2)行与行之间有且只有一个“日”型结构. 【例2】一个正方形得每一个面上都写有一个汉字,其平面展开图如图所示,那么在该正方形中,与“爱”相对得字就是( ). A.家 B.乡 C.孝 D.感 解析:本题以热爱家乡为素材,考查正方体得表面展开图.解题时可亲自动手剪一剪、折一折,即可得到与“爱”相对得字就是“乡”;另外也可对展开图加以分析,根据展开图对面之间不能有公共边或公共得顶点,“爱”得对面不可能就是“我”或“家”,折叠起来后“孝”、“感”与“爱”相邻,所以“爱”得对面不可能就是“孝”、“感”,所以与“爱”相对得字就是“乡”;但如果本题应用正方体展开图得对面寻找技巧——“相间、‘Z’端就是对面”来解决,会非常简单,由相间得两个小正方形(中间隔着一个小正方形)就是正方体得两个对面易知“爱”与“乡”相对. 答案:B 【例3】如图就是正方体得展开图,则原正方体相对两个面上得数字与最小就是( ). A.4 B.6 C.7 D.8 解析:将展开图还原成正方体,2与6相对,3与4相对,1与5相对,则原正方体相对两个

四年级数(上)第十讲 立体图形的计数

第十讲立体图形的计数 教学内容：教材第48页到第51页。 教学目标：1、培养学生的观察操作能力；培养学生灵活运用知识解决实际问题的能力；培养学生空间观念，发展初步的推理能力。 3、体验数学知识在生活中的作用，并从中感受到学习数学的乐趣。 教学重点：立体图形进行计数的方法和规律的理解和掌握。 教学难点：理解和掌握立体图形计数的方法和规律。 教学过程： （一）例1右图有多少个小正方形？ （1）学生读题后小组讨论交流 （2）学生汇报 （3）教师小结：右图是由四层没有缝隙的小正方体组 成的。由于这是一张平面图，因此有些小方块被遮挡看 不见，要通过合理想象找出。数的时候要按顺序进行 ．．．．．．．．．．， 如可以从上往下数：第一层有1个，第二层比第一层多2个， 是1+2=3（个），第三层比第二层多3个，是3+3=6（个），第四层比第三层多4个，是6+4=10（个）。所以这个图形 一共有小正方体 1+3+6+10=20（个） （4）巩固练习：练习十第1题（学生独立完成后，集体更正） （二）例2右图有多少个小正方体？ （1）学生读题后小组讨论交流 （2）学生汇报 （3）教师小结：数的顺序可以按从右往左，即从易 ．． 到难进行 ．．．．。第一排有7个，第二排有5个（有2个 被遮住），第三排有5+2=7（个），第四排有7+4=11 （个），所以右图一共有7+5+7+11=30（个） （4）巩固练习：练习十第2题（学生独立完成后，集体更正）

（三）例3 如图，把长方体的六个面上都涂上颜色， 再按面上的线将长方体分割成许多个小正方体。问 正方体中三个面都有色的有几个？两个面呢？一个 面呢？各个面都没有色的正方体有几个？ （1）学生读题后小组讨论交流 （2）学生汇报 （3）教师小结： （一）三面涂有颜色的正方体集中在长方体的8个顶点上，因此有8个。 （二）两面有色的正方体集中在长方体的12条棱上。 在“长”的方向有5个：5×4=20（个） 在“宽”和“高”的方向各有2个：2×4＋2×4=16（个） 共有20＋16=36（个） (三)一面有色的集中在各个面的中央，前、后、上、下四个面有： 10×4=40（个） 左、右两个面有：4×2=8（个） 共有40+8=48(个) (四)各个面都无色的在长方体的中心里。 5×2×2=20（个） 结果统计如右表。 （4）巩固练习：练习十第3题（学生独立完成后，集体更正） （四）例4 如图，把这个图形的表面全都涂上颜色， 再按面上的线把它切割成14个小正方体。问:一面、两面、三面、四面有色的分别有多少个？ （1）学生读题后小组讨论交流 （2）学生汇报 （3）教师小结：可以从上往下逐层分

立体图形的展开图习题精选

正方体的十一种平面展开图 初一数学立体图形的展开图习题精选1．圆锥的侧面展开图是________________． 2．三棱柱的侧面展开图是__________________． 4．想一想：将左边的图形折成一个立方体，右边的四个立方体哪一个是由左边的图形折成的？ 5．如图所示，下列图形中，不是正方体的展开图是（）

6．如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（） 二、填空题 1．如图所示，用字母M表示与A相对的面，请在下面的正方体展开图中填写相应的字母． 2．如图所示的是长方体的展开图，若面在前面，则（）面会在上面，若从右面看是面C，而D在后面，则（）面会在上面． 3．如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与点1重合的点是_________． 三、解答题三 1．填空题 （1）七棱往有____个顶点，有____条棱，有______个侧面． （2）圆锥体的底面是_________形，圆锥体的侧面的平面展开图是_______形． （3）在图中是正方体展开图的有_________． （4）在A组的第4题中，围成的几何体有_____个面，所有的面都是______ 形，有______个顶点，_______条棱．其中棱长是原三角形边长的_______． （5）一个圆形薄铁，刚好做成两个无底圆锥形容器，则这个圆形薄铁的周长 恰好是无底圆锥底面周长的________． （6）如图，圆中阴影部分可以是________体侧面的展开平面图． 2．判断题 （1）如图中，①是②的表面展开图．（）

（2）长方体的表面展开图只有一种．（） （3）由于圆锥体可以由直角三角形旋转得到，所以圆锥体的侧面展开图也可以是三角形．（） （4）圆锥体的侧面展开图只有一种．（） 3．选择题 （1）如图是一个三边相等的三角形，三边的中点用虚线连接，如果将三角形沿虚线向上折叠， 得到的立体图形是（） A．三棱柱 B．三棱锥C．正方体 D．圆锥 （2）三棱柱中棱的条数是（） A．三条 B．六条 C．八条 D．九条 （3）八棱柱有（）面． A．2个 B．8个 C．10个 D．12个 4．如图，右图是左图表面的展开图，右图已有两个面标出是长方体的下面和右面，请你在右图中把长方体的其他面标出来． 5．如图，是由几个小正方体所组成的几何体，请画出这个几何体的三视图． 6．如图是由些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图． （1）请你画出这个几何体的一种左视图； （2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，你写出n的所有可能值． 7．如图是一个正方体的展开图，每个面都标注了字母． （1）如果面A在多面体的底部，上面是哪一个面？ （2）如果F在前面，从左看是面B，上面是哪一面？ （3）从右面看到面C，面D在后面，上面是哪一面？

数立体图形练习题

数立体图形练习题 一、填空题 1、一个圆锥的体积是76立方厘米，底面积是19平方厘米。这个圆锥的高是厘米。 2、把3个棱长是4厘米的正方体木块粘合成一个长方体，这个长方体的体积 是 立方厘米,表面积比原来的3个小正方体表面积和减少平方厘米。 3、一个圆柱的底面半径为2厘米，侧面展开后正好是一个正方形，圆柱的体积是立方厘米 4、一个圆柱的体积是60立方厘米，与它等底等高的圆锥体的体积是立方厘米。 5、一个长方体的长是8厘米，高是5厘米，它的底面积是48平方厘米，那么这个长方体的体积是。 6、圆柱的侧面展开，得到一个形，它的长等于圆柱的，宽等于圆柱的。 7、一个圆柱的底面半径是2厘米，高是12厘米，这个圆柱的侧面积是平方厘米，体积是立方厘米。 8、一根圆柱形钢材体积是882立方分米，底面积是42平方分米，它的高是米。 9、把一根长3米，底面半径5厘米圆柱形木料锯成两

段，表面积增加平方厘米。 10如左图所示，把一个高为10厘米的圆柱切成若干等分，拼成 一个近似的长方体。如果这个长方体的底面积是50平方厘米， 那么圆柱体积是立方厘米。 11、把一个圆柱体侧面展开，得到一个正方形，这个圆柱体底面半径是0.5分米，圆柱体的高是分米。 12、一个圆柱体和它等底等高的圆锥体的体积相等，圆锥体的高是12厘米，圆柱体的高是厘米。 13、把一个棱长3分米的正方体切削成一个最大的圆锥体，它的体积是立方分米。 14、一个圆柱体和一个圆锥体的底面半径相等，它们的高的比是5：6，它们的体积比是。 15、两个体积相等，高也相等的圆柱和圆锥，它们底面积的比值是。 16、一个圆柱体，如果把它的高截短6厘米，表面积就减少75.36平方厘米，体积应减少立方厘米。 17、用长20厘米，宽15厘米，高6厘米的长方体木块，堆成一个正方体，至少需要块这样的木块。 18、两个高相等，底面半径之比为1：2的圆柱和圆锥，它们的体积之比是。

一年级奥数——数立体图形

数立体图形善智知识点： 1.数平面图形：先数小，再数大（不能看到几个就是几个） 2.数立体图形注意： 一层一层数，每一层都不能遗漏被挡住的个数. 认真思考，结果要用算式表达出来. 3.数图形歌 数图形，按顺序，先数小，再数大. 立体的，有隐藏，分层数，再相加. 课堂共同练习： 1.下图有（）个正方形？

2.下图有（）个长方形？ 3.下图有（）个三角形？ 4.数图形： （）个长方形（）个三角形（）个正方形5.数一数下面的图形各由几个小正方体组成，并画出从它们的正面看到的形状．

6.用正方体摆成下图，数一数一共有几个小正方体，其中几个能看见，几个看不见？ 一共（）个一共（）个一共（）个 看见（）个看见（）个看见（）个 看不见（）个看不见（）个看不见（）个 7.数一数下面每个立体图形各有几个小正方体． 8.数一数，下面的立体图形是由几个小正方体搭成的？ 9.给下列图形，再添加（）个小正方体，就能组成一个大正方体.

10.数一数下面物体中各有几个小正方体． （）个（）个11.数一数下面物体中各有几个小正方体． （）个（）个 12.数一数，下图中一共有（）个正方体. A.6个 B.7个 C.8个 课后自我提升：

1.数一数下图分别有几个图形？ （）个正方形（）个长方形（）个三角形 2.数一数，下图有几个三角形？ （）个（）个 3.摆一摆，数一数．下面每个图形分别是由几个小正方体组成的. 4.数一数，填一填 （1）按层数：下面一层有个正方体，中间一层有个正方体，上面一层有个正方体．（2）按前后排数：前排有个正方体，后排有个正方体． （3）一共有个正方体．

立体图形的表面展开图例题与讲解

立体图形的表面展开图 1．圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图 将一个几何体的外表面展开，就像打开一件礼物的包装纸．礼物外形不同，包装纸的形状也各不相同．那么我们熟悉的一些几何体，如圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图是什么形状呢 (1)圆柱的表面展开图是两个圆(作底面)和一个长方形(作侧面)． (2)圆锥的表面展开图是一个圆(作底面)和一个扇形(作侧面)． (3)棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面)和几个长方形(作侧面)． 【例1】如图，将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面，使AB，DC重合，则所围成的几何体图形是( )． 解析：此题可用排除法．因为阴影部分是个扇环，而圆柱的侧面展开图是长方形，所以排除A；圆锥的侧面展开图是扇形，所以排除B；长方体的侧面展开图是长方形，所以C也要排除；故选D.

答案：D 2.正方体的表面展开图 (1)正方体的表面展开图按展开图中正方形所在的行数及正方形的个数，归纳起来有四种情形，各种类型的共同特点是行与行之间有且只有一个“日”型结构，由此可知正方体的展开图不会出现如下面图形所示的“凹”字型和“田”字型结构，因为这里的行与行之间出现了两组“日”型结构． (2)正方体展开图中相对面的寻找技巧：相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面，如图1中的A面和B面；‘Z’字两端处的小正方形是正方体的对面，如图2、图3的A面和B面． 此种方法简称为“相间、‘Z’端是对面”． 解技巧正方体的表面展开图的判断思路(1)是否满足四种阵型中的一种；(2)行与行之间有且只有一个“日”型结构． 【例2】一个正方形的每一个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方形中，与“爱”相对的字是( )． A．家B．乡C．孝D．感 解析：本题以热爱家乡为素材，考查正方体的表面展开图．解题时可亲自动手剪一剪、折一折，即可得到与“爱”相对的字是“乡”；另外也可对展开图加以分析，根据展开图对面之间不能有公共边或公共的顶点，“爱”的对面不可能是“我”或“家”，折叠起来后“孝”、“感”与“爱”相邻，所以“爱”的对面不可能是“孝”、“感”，所以与“爱”相对的字是“乡”；但如果本题应用正方体展开图的对面寻找技巧——“相间、‘Z’端是对面”来解决，会非常简单，由相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面易知“爱”与“乡”相对． 答案：B

立体图形的概念

立体图形的概念 所有点不在同一平面上的图形叫立体图形。 由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形。 点成线，线成面，面成体。即由面围成体，看一个体最多看到三个面。 立体图形的常用公式 正方体：有8个顶点，6个面。每个面面积相等（或每个面都有正方形组成）。有12条边，每条棱长的长度都相等。（正方体是特殊的长方体） 长方体：有8个顶点，6个面。每个面都有长方形或相对的正方形组成。有12条边， 相对的4条棱的棱长相等。 圆柱：上下两个面为大小相同的圆形。有一个曲面叫侧面。展开后为长方形或正方形。 有无数条高，这些高的长度都相等。 圆锥：有1个顶点，1个曲面，一个底面。展开后为扇形。只有1条高。 立体图形染色计数相关例题讲解

立体图形染色计数习题1 1. 一个正方体被切成8个小正方体，表面积增加了54cm2，求这个正方体的体积是多少立方厘米？ 2. 一个正方体棱长7cm，表面涂成红色，切成棱长1cm的小正方体，三面涂红色的、

两面涂红色的、1面涂红色的各有多少个？没有涂成红色的有多少个？ 3. 把22个棱长2cm的小正方体重叠起来，拼成一个立体图形（如图），求这个立体图形的表面积。 4. 一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半，将这个长方体切成12个小长方体（如图），这些小长方体的表面积之和是600dm2，求这个大长方体的体积。 【试题答案】 1. 一个正方体被切成8个小正方体，表面积增加了54cm2，求这个正方体的体积是多少立方厘米？ 解：共切3刀，增加2×3=6个面，根据表面积增加6个面，增加54cm2 54÷6=9（cm2） 9 cm2是每个面的面积，说明正方体棱长是3cm，所以这个正方体的体积是：3×3×3= 27（cm3） 2. 一个正方体棱长7cm，表面涂成红色，切成棱长1cm的小正方体，三面涂红色的、两面涂红色的、1面涂红色的各是多少个？没有涂成红色的有多少个？

“立体图形的展开图”

“立体图形的展开图” 一、教材分析 “立体图形的展开图”是初一<数学)(上)中继“生活中的立体图形”和“画立体图形”之后的一个学习内容，在本章教材的编排顺序(生活中的物体——立体图形——面——点、线)中起着承上启下的作用。立体图形的展开图是从学生生活周围熟悉的物体人手，使学生进一步认识立体图形与平面图形的关系；不仅要让学生了解多面体可由平面图形围成，而立体图形可按不同方式展开成平面图形，更重要的是让学生通过观察、思考和自己动手操作，经历和体验图形的变化过程，使学生了解研究立体图形的方法，同时也为平面图形的引入做准备。 二、学生分析 学生在小学学过简单立体图形及其侧面展开图，前两节又学习了一些立体图形的有关知识，对立体图形已有一定的认识，且初步了解了研究立体图形的方式方法。初一学生具有好胜、好强的特点，班级中巳初步形成合作交流、敢于探索与实践的良好学风，学生间相互评价、相互提问的互动的气氛较浓。 三、教学目标 1．进一步认识立体图形与平面图形的关系，了解立体图形可由平面图形围成，立体图形可展开为平面图形。 2．通过观察和动手操作，经历和体验图形的变化过程，培养实验操作的能力，发展空间观念。 3．主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流。 四、教学重点： 了解基本几何体与其展开图之间的关系，多面体是由平面图形围成的立体图形，一个立体图形按不同方式展开可得到不同的平面展开图。 五、教学难点： 正确判断哪些平面图形可折叠为立体图形；某个立体图形的展开图可以是哪些平面图形。 六、教学流程 （一）、创设问题情境，引导学生观察、设想、导入课题。 1．演示圆柱与圆锥的侧面展开图。 [复习立体图形的侧面可展开为平面图形。] 2．指出：在实际生活中常常需要了解整个立体图形展开的形状，如要包装一个长方体形状的物体，需要根据它的平面展开图来裁剪纸张。引发问题：如何设计或制作我们常见的粉笔盒? 3．引入课题：——§4．1立体图形的展开图。 （二）、学生通过直观感知、操作确认等实践活动，加强对图形的认识和滤受。 [实施开放式教学．让学生主动参与学习活动，经历和体验图形的变化过程，并引导学生在课堂活动过程中摩惜知识的生成、发展与变化。] 1．做一做：准备12个一样大小的三边都相等的三角形，用透明胶粘贴成如图1、图2、图3的三种形状，你能想像出哪一个可以折叠成多面体?动手做做看。 [让学生自由组合成小组进行操作活动，培养学生动脑猜想、动手操作实验的良好习惯及合作交流的精神。] 提出问题：通过动手实践，你能感受或认识平面图形和立体图形的关系吗?设想沿着多面体的一些棱将它剪开，可以把多面体展开成一个平面图形吗?

一年级奥数：《图形的计数》

一年级奥数：《图形的计数》 《图形的计数》课前预热所属体系板块：第二级下图形的计数 主要知识点：1）平面图形计数 2）立体图形计数 能力培养：计算能力、空间想象能力 体系对接：第三级下飞速图形计数 例题展示： 数数看，下图一共有多少个小方块。 课前预热： 简单复习各种平面图形，建立有序计数的能力。

《图形的计数》知识点精讲 一、平面图形计数 1、恰含法 【例】下图有（）个三角形。 【解析】 恰恰包含1个三角形的有：3个 恰恰包含2个三角形的有：2个 恰恰包含3个三角形的有：1个 一共有：3+2+1=6（个） 2、分类法 按大小、位置来分类 【例】下图有（）个正方形。 【解析】 按大小来分类， 小的正方形有：7个

大的正方形有：4个 一共有：7+4=11（个） 二、立体图形计数 分层数 下层=上层+多出来的 【例】下面的图形有（）个方块堆成。 【解析】 分层数。 从上往下数： 第一层：1个 第二层：2（多出来的）+1（上层）=3（个）第三层：1（多出来的）+3（上层）=4（个）一共有：1+3+4=8（个） 三、空心图阵 补全法 数量=补完总数-补上的

【例】数一数，下图中共有（）颗星星。 【解析】 补全：1+3+5+7+9+11+13=49（个） 补：3+5=8（个） 数量：49-8=41（个） 四、至少……才够 考虑最少情况 【例】有一天，小猴和9个小伙伴一起玩。小猴拿出一包糖，里面有54块。小猴说：“咱们一共10个小伙伴，但分到的糖数量要不一样多，谁会分？”结果小伙伴们都无法分。为什么？如果不能分，至少应该有多少块才够呢？ 【解析】 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（块） 答:所以不够分，至少要55块才够分。

立体图形的表面展开图例题与讲解

4.3 立体图形的表面展开图 1．圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图 将一个几何体的外表面展开，就像打开一件礼物的包装纸．礼物外形不同，包装纸的形状也各不相同．那么我们熟悉的一些几何体，如圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图是什么形状呢？ (1)圆柱的表面展开图是两个圆(作底面)和一个长方形(作侧面)． (2)圆锥的表面展开图是一个圆(作底面)和一个扇形(作侧面)． (3)棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面)和几个长方形(作侧面)． 【例1】如图，将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面，使AB，DC重合，则所围成的几何体图形是( )． 解析：此题可用排除法．因为阴影部分是个扇环，而圆柱的侧面展开图是长方形，所以排除A；圆锥的侧面展开图是扇形，所以排除B；长方体的侧面展开图是长方形，所以C也要排除；故选D. 答案：D 2.正方体的表面展开图 (1)正方体的表面展开图按展开图中正方形所在的行数及正方形的个数，归纳起来有四种情形，各种类型的共同特点是行与行之间有且只有一个“日”型结构，由此可知正方体的展开图不会出现如下面图形所示的“凹”字型和“田”字型结构，因为这里的行与行之间出现了两组“日”型结构．

(2)正方体展开图中相对面的寻找技巧：相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面，如图1中的A面和B面；‘Z’字两端处的小正方形是正方体的对面，如图2、图3的A面和B面． 此种方法简称为“相间、‘Z’端是对面”． 解技巧正方体的表面展开图的判断思路(1)是否满足四种阵型中的一种；(2)行与行之间有且只有一个“日”型结构． 【例2】一个正方形的每一个面上都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方形中，与“爱”相对的字是( )． A．家B．乡C．孝D．感 解析：本题以热爱家乡为素材，考查正方体的表面展开图．解题时可亲自动手剪一剪、折一折，即可得到与“爱”相对的字是“乡”；另外也可对展开图加以分析，根据展开图对面之间不能有公共边或公共的顶点，“爱”的对面不可能是“我”或“家”，折叠起来后“孝”、“感”与“爱”相邻，所以“爱”的对面不可能是“孝”、“感”，所以与“爱”相对的字是“乡”；但如果本题应用正方体展开图的对面寻找技巧——“相间、‘Z’端是对面”来解决，会非常简单，由相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面易知“爱”与“乡”相对． 答案：B 【例3】如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字和最小是( )． A．4 B．6 C．7 D．8 解析：将展开图还原成正方体，2和6相对，3和4相对，1和5相对，则原正方体相对两个面上的数字和最小为6. 答案：B 谈重点解决正方体展开图问题的关键熟练掌握正方体展开图的对面寻找技巧可以有效降低解题的难度，起到事半功倍的效果． 3．正方体表面展开图的应用 如果不考虑由于旋转等造成的相对位置的不同，正方体表面展开图一共有11个．正方体表面展开图的特点是每一个顶点周围的棱不超过三条． (1)“1–4–1”型有6个，其中通过“1”的移动可以由一个得到另外的5个，如图．