函数(4)
教学设计：八年级数学（下）12.1函数第四课时
肥西县董岗中学王远
教学目标分析：
知识技能
初步学会观察函数图象的基本方法。
能根据具体要求，从函数图象中获取相关信息。
过程与方法
经历探究观察函数现象，获取信息的过程，学会从函数图象中获取信息的方法。
情感、态度与价值观
通过学习从函数图象中获取信息的方法，体验数形结合思想在数学研究中的重要作用。
教学重难点分析：
重点：从函数图象中获取信息的方法。
难点：快捷准确地从图像中获取有用的信息。
教学方法及教学手段分析：
教学方法：小组合作交流
教学手段：多媒体课件
教学过程分析：
（一）新课引入
导语：我们已经知道函数的三种表示方法，还学习了函数图象的画法，将函数解析式用图象表示，可以将抽象的问题具体化、形象化，
那么如何从函数图象中获取有用的信息呢？
本节课我们将着重探讨这个问题：
板书课题：函数（4）：从函数图象中获取有用的信息
（二）讲授新课：
小组活动一【学一学】:师利用多媒体展示
问题一：如图是记录某男孩在24h内的体温变化情况的图象。
(1)图中有哪两个变化的量？哪个变量是自变量?哪个变量是因变量？
(2)在这天中此人的最高体温与最低体温各是多少？分别是在哪个时刻达到的？
（3）21：00时的体温是多少？
(4)这天体温达到36.2℃时是在什么时刻？
（5）在那段时间里，体温上升最快？在哪段时间里，体温下降最快？在哪段时间里体温变化不大？
【问题解答】
解：（1）图中有时间和体温两个变化的量，时间是自变量，体温是因变量；
（2）这天中此人的最高体温与最低体温分别是36.7℃，35.9℃；（3）21:00时的体温是36.5℃；
（4）这天体温达到36.2℃时是在6:00。
（5）在16:00 ～17:00体温下降最快；在17：00～18:00体温上升最快；在8:00～13:00体温变化不大；
小组活动二【议一议】: 师利用多媒体演示
问题2：1)观察曲线回答
下列问题？
①从甲港（o）出发到达
丙港（A），用去多长时
间？
②由丙港（A)到达乙港
（C),用多少时间？
③图中CD段表示什么情况，船在乙港停留多长时间？
④从丙港（B）返回到出发点甲港（E），用多长时间？
(2)你知道轮船从甲港前往一港的速度快,还是轮船返回的速度快？
(3)如果轮船往返的速度是一样的, 那么从甲港到乙港是顺水还是
逆水？
【问题解答】解：解①从甲港（o）出发到达丙港（A）用去1h；
到了出发地。②由丙港（A)到达乙港（C),用去2h；
③图中CD段表示船在乙刚停留1h返回时4h到达丙港B；
④从丙港（B）返回到出发点甲港（E）用了2h；
（2）轮船从甲港前往乙 港的速度快。
（3）如果轮船往返的速度是一样，那么从甲港到乙港是顺水。
小组活动三【想一想】：师多媒体展示
问题三：“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时发现乌龟快到终点，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点。用s 1s 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下列图像中与故事情节像吻合的是（ ）
小组活动四【试一试】：师利用多媒体演示
问题四： 某同学为了探索泥壶和塑料壶盛水时地散热情况，进行了对比实验，在同等的情况下，把稍高与室温（25℃）的水放入两壶中，每隔1好同时测量出两壶的水温，所得数据如下表： (1)在上面的试
验中，什么是自变量？什么是因变量？
(2)在同一个坐标系中，描出两壶水温变化的曲线。
(3)分析上述表格中的数据，结合观察曲线，你能得出哪些结论？能说明用泥壶盛水喝起来感觉比较凉的原因吗？
【问题解答】(1)在上面的实验中，时间t时时自变量，水温t时是因
变量，水温是时间的函数；
(2)在同一执教坐标系中，两壶水温
的变化大致如图所示；
(3)从上面的表格和曲线可以看出，
随着时间的变化，两壶的水温开始都在下降，并且泥壶水温比塑料壶下降得更快；泥壶的水温在5h后开始在22.5℃，低于室温；塑料壶的水温在25.5℃，略高于室温。因此泥壶里的水喝起来感觉比较凉。
三、巩固新知:
小组活动五【练一练】
练习2
p
29-30
四、小结
本节课你学到了你学到了哪些知识？你觉得解决问题时，最困难的地方是什么？
练习1
五：作业布置：1、p
29-30
7、8、9
2、p
31-32
函数概念与基本初等函数第四讲指数函数对数函数幂函数答案
专题二函数概念与基本初等函数I 第四讲指数函数、对数函数、幂函数答案部分2019 年 1. 解析由题意知，m 太阳 E E 太阳 ，将数据代入，可得lg 太阳10.1 m lg E 天狼星天狼星 2 ， E 天狼星 所以 E .故选A. 太阳 10 10.1 E 天狼星 sin xx , x[ n,n ], 2.解析因为cos x x f x 2 sin x x f x sin x x xcos x x 2 2
所 cos x x 所以f x为 [ n,n ]上的奇函数，因此排除A; n 0 ，因此排除B，C； sin n n f n 又 又 cos n n 2 1 n 2 故选D．3.解析：由函数y ，y log x 1 ，单调性相反，且函数 x 1 log a
1 a 图像恒 a x 2 2 1 可各满足要求的图象为D.故选D.过 ,0 2 2010-2018 年 1 1. D【解析】c log 1 y log x 为增函数， 3 log 5，因为 3 5 3 7 所以 log 5 log 3 3 log 3 1. 3 2 因为函数 1 x 1 1 1 0 y （）为减函数，所以（）（）1,故c a b,故选D. 3 4 2. B【解析】当x 0时，因为
ex 4 ex 4 x 0 ，所以此时 x e e f (x) x 2 1 0 ，故排除A. D； 1 又f (1) e 2 e ，故排除C,选B. 3. B【解析】解法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x, y),则其关于直线x 1的对称 点的坐标为(2 x, y) ,由对称性知点(2 x, y) 在函数f (x) ln x 的图象上,所以y ln(2 x) ,故选B. 解法二由题意知,对称轴上的点(1, 0) 即在函数y ln x 的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验, 排除A, 2(1 x) ，0 x 2知，f (x) 在(0,1) 上单调递增，在(1, 2) 上
消费函数模型
消费函数模型 消费函数是表示决定消费行为的函数，即消费与其决定因素之间的函数关系。消费函数与第二章所讨论的消费需求不同。消费需求是指消费者对各种商品（劳务）的需求，涉及消费支出在各项商品之间的分配；消费函数是研究人们的总消费需求，涉及收入在消费与储蓄之间的分配。 在现代经济中，消费支出占社会总收入的60%以上，消费的决定及其变动对宏观经济的发展起着重要的影响，因此，自凯恩斯在《就业利息和货币通论》（简称《通论》）中第一次提出消费函数理论以来，对消费函数的研究已成为经济学研究的一个重要领域，几乎所有的宏观经济模型中都有消费 函数。本章先讨论消费行为因素分析，接着介绍几种主要的消费函数理论，然后，对我国居民的消费 行为进行分析，举例说明中国城乡居民消费函数模型。 第一节消费者行为因素分析 消费函数取决于消费者的行为。影响消费者行为的因素很多，有社会的、历史的、经济的等多方面的因素，但最主要的是经济方面的因素。本章主要是分析影响消费者行为的经济因素。 由于消费函数理论是随着新古典经济学的产生而产生、新古典经济学的发展而发展起来的。因此，这里关于消费者行为因素分析是在新古典经济学的框架里进行。新古典经济理论关于消费者行为因素分析的假定分作两个方面：一是关于消费者行为外部环境的假定；二是关于消费者行为的内在假定。这里给出新古典经济理论关于消费者行为的一般性假定。 一、消费者行为外部环境假定 1、消费者选择自由这里假定消费者购买商品和劳务时选择是自由的，不受限量、配额和短缺的 约束。在不同的商品和劳务之间的选择，主要取决于其对商品和劳务的主观偏好，以及预算约束。 2、价格充分弹性在新古典经济理论中，价格具有充分弹性。即商品（劳务）的价格随着市场的 供给和需求的变化而变化，当供给大于需求时，价格下跌；反之，需求大于供给时，价格上升。 3、预算约束 预算约束是指消费者购买商品（劳务）受到其收入的约束，即 、Rq i 乞丫 (10.1.1) i 4 式中丫为消费者的收入，P i是第i种商品的价格，q i是对第i种商品消费的数量
第四讲函数的概念及定义域 求法
第4讲 函数及其表示 【教学目标】 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域； 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。 【教学重难点】 1.理解函数的集合定义 【旧知识回顾】 初中函数的定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数. 在初中，我们学过一些函数，如1y x =+，2 3y x x =+，2 y x = 等， 思考： （1）3=y 是函数吗? （2）x y =与x x y 2 =是同一个函数吗？ 【知识点讲解】 1.1 函数的概念 如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y =，A x ∈． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域； 与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域． 思考1：{}A x x f ∈|)(______B ． 思考2：新的函数定义与函数的传统定义有什么异同点？ 思考3：（1）3=y 是函数吗? （2）x y =与x x y 2 =是同一个函数吗？ 思考4：2 23y x x =-+函数吗?
1.2 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体：定义域A ； 值域{}A x x f ∈|)(； 对应法则f . 【例1】 以下关系式表示函数吗?为什么? (1)2 12)(x x x f --=； (2)22)(-+-=x x x f ． 练习1：下列可作为函数y= f (x)的图象的是（ ） 【例2】已知函数1()2 f x x = +， （1）求函数()f x 的定义域；（2）求(3)f -，2()3 f ；（3）当0a >时，求)(a f ，(1)f a -的值 特别注意：)(a f 是常量，而)(x f 是变量，)(a f 只是)(x f 中一个特殊值． 练习1：已知函数,23)(-=x x f 试求(3)f ，()f a ，2 (1)f x +，((2))f f ，1 (())f f x -． 1.3 对函数符号)(x f 的理解 )(x f y =与) (x f 的含义是一样的，它们都表示y 是x 的函数，其中x 是自变量， )(x f 是函数值，连接的 纽带是法则f ，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体．
中国居民数量消费函数
计量经济学作业 题目: 中国居民总量消费函数的实例分析 院系：数学系 专业：信息与计算科学 组成员：赵山云、陈兴耀、贾梦、冉静飞、母军 学号： 成绩： 2012年5月8日
中国居民总量消费函数的实例分析 摘要 本例旨在针对我国1978-2009年的时间序列数据，从总体上考察中国居民收入与消费的关系。首先，我们综合了几种关于收入和消费的主要理论观点，进而建立了理论模型。然后，收集了相关的信息，利用EVIEWS软件对计量模型进行了参数估计和检验，并预测。最后对我们所得的结果进行了分析，并相应提出一些政策建议。 关键词：一元回归分析，最小二乘法。EVIEWS软件，模型检验，数据收集，预测。 1、问题重述 为了从总体上考察中国居民收入的关系，附录1中给出了中国名义支出法国内生产总值GDP，名义居民总消费CONS以及表示CPI（1978=100），并由这些数据整理出实际支出法国内生产总值GPPC=GDP/CPI，居民实际消费总支出Y=CONS/CPI，以及实际可支配收入X=(GDP-TAX)/CPI等时间序列数据。建立中国居民总量消费函数模型。 2、问题分析 对于时间序列数据，也可建立类似于截面数据的计量经济模型，并进行回归分析。运用最小二乘法建立一元回归模型；用拟合优度进行模型检验；运用点预测法则，置信区间预测法则进行预测。 3、模型假设 (1)、模型选择了正确的变量； (2)、模型选择了正确的函数形式； (3)、解释变量X在所抽取的样本中具有变异性，而且随着相关容量的增加，解释变量的样本方差趋于一个非零的有限常数； (4)、解释变量X是确定性变量不是随机变量在重复抽样中取固定值。 4、符号说明 X：实际可支配收入(单位：亿元） Y：实际消费总支出（单位：亿元）
复变函数论第三版课后习题答案解析
1．设 z 1 3i ，求 z 及 Arcz 。 解：由于 z 1， Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解 答 (一) 2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解：由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4．证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1，z 2， z 3是内 接于单位 圆 z 1 的一个正三角形的顶点。 证 由于 z 1 z 2 z3 1 ，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 所以， z 1z 2 z 1z 2 1 ， 所以 z 1 z 2
国家消费函数
国家消费函数 经济0841 梁江禄 080101400140 前言 众所周知，消费函数C=α+βy，为求出这个函数，我们小组收集了1995年到2006年的数据。在我们数据收集和计算的整个过程当中，我们认为自发消费（α）是未知的，这也是我们的指导思想之一。而国民收入（y）和消费(C)可以通过直接收集数据或计算得来，我们在中国统计局的统计年鉴里直接找到了从1995年到2006年各年的国民收入（y），消费（C）和边际消费倾向（β）我们通过计算得出，在下面将进行详细的介绍和讲述。 1995年到2006年的国民收入情况 单位：亿元 年度国内生产总值国民收入(GDP) 增加的GDP(Δy) 1995 60794 59811 10331 1996 71177 70142 7919 1997 78973 78061 4963 1998 84402 83024 5455 1999 89677 88479 9521 2000 99215 98000 10068 2001 109655 108068 11028 2002 120333 119096 16078 2003 135823 135174 24413 2004 15987 159587 24502 2005 183217 184089 19043 2006 211923 203132 56127 备注：以上数据来源于《统计年鉴》，Δy是为了计算边际消费倾向β。 1995年到2006年的人口数 单位：万人 年份农村人口城镇人口总人口 1995 85947 35174 121121 1996 85085 37304 122389 1997 84177 39449 123626 1998 83153 41608 124761 1999 82038 43748 125786 2000 80837 45906 126743 2001 79563 48064 127627 2002 78241 50212 128453 2003 76851 52376 129227 2004 75705 54283 129988
第04讲-函数的概念(讲义版)
第04讲函数的概念 一、考情分析 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域； 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用； 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 二、知识梳理 1.函数的概念 设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的定义域、值域 (1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数. (2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. [微点提醒] 1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点. 2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论. 三、经典例题 考点一求函数的定义域 【例1-2】函数y＝1－x2＋log2(tan x－1)的定义域为________；
【解析】 (1)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋π 2(k ∈Z ). ∴－1≤x ≤1且π4＋k π
第四讲 指数函数
§2.2.1 分数指数幂（1） 【教学目标】 1．理解n 次方根及根式的概念； 2．掌握n 次根式的性质,并能运用它进行化简，求值； 3．提高观察、抽象的能力． 【课前导学】 1．如果2x a =，则x 称为a 的 ； 如果3x a =，则x 称为a 的 ． 2. 如果*(1,)n x a n n N =>∈，则x 称为a 的 ；0的n 次实数方根等于 ． 3. 若n 是奇数，则a 的n 次实数方根记作n a ； 若0>a 则为 数，若o a <则为 数；若n 是偶数，且0>a ，则a 的n 次实数方根为 ；负数没有 次实数方根． 4. 式子n a ()1,n n N * >∈叫 ，n 叫 ，a 叫 ； n = ． 5. 若n = ；若n = ． 【例题讲解】 例1．求下列各式的值： （1）2 （2）3 （3 （4 *变式：解下列方程（1）3216x =-； （2）422240x x --=
例2．设－3 §2.2.1 分数指数幂（2） 【教学目标】 1．能熟练地进行分数指数幂与根式的互化； 2．熟练地掌握有理指数幂的运算法则，并能进行运算和化简． 3．会对根式、分数指数幂进行互化； 4．培养学生用联系观点看问题． 【课前导学】 1．正数的分数指数幂的意义： （1）正数的正分数指数幂的意义是m n a = ()0,,,1a m n N n *>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义m n a -= ()0,,,1a m n N n *>∈>． 2．分数指数幂的运算性质： 即()1r s a a = ()0,,a r s Q >∈， ()()2s r a = ()0,,a r s Q >∈， ()()3r ab = ()0,0,a b r Q >>∈． 3．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂 指数幂同样适用. 4. 0的正分数指数幂等于 . 【例题讲解】 例1．求值（1） 12100， （2）23 8， （3）()32 9-， （4） 34 181- ?? ??? ． 例2．用分数指数幂表示下列各式(0)a >： （1）a ；（2 ；（3． 复变函数论第四版答案钟玉泉 （1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与 xy 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。 （2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到 复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓 的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。 （3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎 是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。这 个是复分析的第一个重要定理。 （4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可 以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极 点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和 零点极点的性质。与之类似的幅角定理 也展示了类似的关系。 （6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。 （7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照 定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。 （8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的 微分方程，以及该函数的性质。 以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。 生活中的变量关系及函数的概念 【学习目标】 (1)了解函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 (2)理解函数的概念，会用集合与对应的语言刻画函数，了解构成函数的要素，在学会运用区间表示数集的基础上，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用. 【要点梳理】 要点一：函数关系与依赖关系的联系 (1)具有依赖关系的两个变量，不一定具有函数关系； (2)当且仅当对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称这两个变量之间有函数关系； (3)运用图形语言说明变量x，y间的关系： 结合依赖关系及函数（初中）的定义可知，图2-1中变量x，y间具有依赖关系，但不具有函数关系；而图2-2中变量x，y间具有函数关系和依赖关系． 要点二：函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数. 记作：y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 要点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。 要点三：构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 （1）构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； （2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 要点四：区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示． 区间表示： x a x b a b <<= {x|a≤x≤b}=[a，b]； {|}(,); (] x a x b a b ≤<=； {|}, {|}, x a x b a b <≤=；[) (][) ≤=∞≤=+∞. x x b b x a x a {|}-,; {|}, 第四章习题详解 1． 下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1) mi ni a n -+= 11； 2) n n i a -?? ? ? ?+=21； 3) ()11++ -=n i a n n ； 4) 2i n n e a π-=； 5) 21i n n e n a π-= 。 2． 证明：??? ????≠==>∞<=∞→1111110a a a a a a n n ,,,,lim 不存在， 3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1) ∑∞ =1n n n i ； 2) ∑∞ =2n n n i ln ； 3) ()∑∞=+0856n n n i ； 4) ∑∞=0 2n n in cos 。 4． 下列说法是否正确？为什么？ 1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； 2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； 3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。 5． 幂级数()∑∞ =-02n n n z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散？ 6． 求下列幂级数的收敛半径： 1) ∑∞ =1n p n n z （p 为正整数）； 2) ()∑∞=12n n n z n n !； 3) ()∑∞=+01n n n z i ； 4) ∑∞=1n n n i z e π； 5) ()∑∞=-??? ??1 1n n z n i ch ； 6) ∑∞=??? ? ?1n n in z ln 。 7． 如果 ∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。[提示：()n n n n z c z c 第二讲 函数的概念 ◎知识点再现： １.函数的定义: ,记为A x x f y ∈=),( ２.函数的定义域与值域: ３.函数的三要素： 、 、 4. 函数的三种表示法： 、 、 ,注意：分段函数 ◎例题精讲： 例1、下列函数中与函数x y =相同的是( ) A .y = (x )2 B. y = C. y =2x D. y=x x 2 变式：与函数) 12lg(1.0-=x y 的图象相同的函数是（ ） A.)21(12> -=x x y B.121-=x y C.)21(121>-=x x y D.|121 |-=x y 例2、函数=)(x f )4323ln(1 22+--++-x x x x x 的定义域为( ) A.),2[)4,(+∞--∞ B.)1,0()0,4( - C. ]1,0()0,4[, - D. )1,0()0,4[, - 变式：设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为（ ） A. ()()4,00,4 - B. ()()4,11,4 -- C. ()()2,11,2 -- D. ()()4,22,4 -- 例3、函数)(6242 R a a ax x y ∈++-=，若0≥y 恒成立，求32)(+-=a a a f 的值域 变式：若函数()y f x =的值域是]3,3 2 [，则函数()()1 ()F x f x f x =+的值域是 例4、函数|1|| |ln --=x e y x 的图象大致是( ) 例5、设1()1x f x x +=-，又记11()(),()(()),1,2,,k k f x f x f x f f x k +===???则2010()f x =（ ） A ．11x x +- B ．11x x -+ C ．x D ．1x -； 复变函数 第四、五章 练习 一、 掌握复级数收敛，绝对收敛的判别 1. 判断下列级数是否收敛，是否绝对收敛。 （1）2ln n n i n ∞ =∑ （2）01cos 2n n in ∞=∑ （3）0(1)2n n n n i ∞=+∑ 2.如果级数1n n c ∞=∑收敛，且存在0,,..,|arg |,2n s t c πααα><≤证明级数1n n c ∞ =∑绝对收敛. 二、充分掌握幂级数，及解析函数的泰勒展开式 3. 证明级数11n n n z z ∞ =-∑在||1z ≥上发散；在||1z <内绝对收敛且内闭一致收敛 4. 试证：黎曼函数 11(),(ln 0)z n z n n ζ∞ ==>∑，在点2z =的邻域内可展开为泰勒级数，并求收敛半径。 5.求下列幂级数的收敛半径： （1）0()n n n n a z ∞=+∑ （2）0[3(1)](1)n n n n z ∞=+--∑ （3）(1)0()(1)n n n n i z n ∞ +=-∑ 6.设0n n n a z ∞ =∑的收敛半径为R , 证明：0[Re()]n n n a z ∞=∑的收敛半径大于等于R 。 7．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，试回答该级数在2=z 处的敛散性。 8.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，求幂级数∑∞=0 n n n z c 的收敛半径。 9. 将函数31()z f z z -= 在点1z =-展成泰勒级数。 10.证明：若1||,2z ≤则2|ln(1)|||z z z +-≤. （这里ln(1)z +取主值支） 三、充分掌握解析函数零点阶数的求法、具有零点的解析函数的表达 式、零点的孤立性、惟一性定理、最大模原理 第5讲函数的概念 [玩前必备] 1.函数 (1)函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域. (3)函数的值域：所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域. 2.区间 设a，b∈R，且a＜b. 3. 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数. 1 2 [玩转典例] 题型一 函数的概念和判断 例1 下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( ) A.A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1 B.A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图： C.A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝ 1x －2 D.A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1 [玩转跟踪] 1.下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( ) 2.在图(1)(2)(3)(4)中用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则，是不是函数关系？ 题型二 同一函数的判断 例2 下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A.y ＝x －1和y ＝x 2－1 x ＋1 B.y ＝x 0和y ＝1 C.f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2 D.f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x (x )2 [玩转跟踪] 1.下列函数完全相同的是( ) A.f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B.f (x )＝|x |，g (x ) ＝x 2 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=--（3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2 ）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+ （4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- 高考数学复习第二单元第4讲函数的概念及其表示练习文（含解 析）新人教A版 第4讲函数的概念及其表示 1.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列从P到Q的对应关系f不是函数的是 () A.f:x→y=x B.f:x→y=x C.f:x→y=x D.f:x→y= 2.[2018·哈尔滨模拟]已知函数f(x)=则f f=() A.4 B. C.-4 D.- 3.[2018·安徽六安舒城中学月考]下列各组函数是同一函数的是() ①f(x)=与g(x)=x; ②f(x)=x与g(x)=; ③f(x)=x0与g(x)=; ④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1. A.①② B.①③ C.③④ D.①④ 4.[2018·黑龙江安达模拟]函数f(x)=的定义域为. 5.已知f(+1)=x+2,则f(x)= . 6.[2018·河南商丘二模]设函数f(x)=若f(m)=3,则实数m的值为 () A.-2 B.8 C.1 D.2 7.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(3)的值为() A.1 B.2 C.-2 D.-3 8.设f(x)=则(a≠b)的值为() A.a B.b C.a,b中较小的数 D.a,b中较大的数 9.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的 解的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 10.若函数f(x)=的值域是(-∞,0]∪[4,+∞),则f(x)的定义域是() A. B.∪(1,3] C.∪(3,+∞) D.[3,+∞) 11.若一些函数的解析式相同、值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为y=3x2+4,值域为{7,16}的“孪生函数”共有() A.4个 B.8个 C.9个 D.12个 12.设f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x+3,则f(x)= . 13.若函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是. 14.[2018·四川内江一模]设函数f(x)=则满足f(x)>2的x的取值范围是. 15.[2018·河南八市联考]设函数f(x)=(λ∈R),若对任意的a∈R都有 f[f(a)]=2f(a)成立,则λ的取值范围是() A.(0,2] B.[0,2] C.[2,+∞) D.(-∞,2) 16.[2018·衡水模拟]已知函数f(x)=当t∈(0,1]时,f[f(t)]∈[0,1],则实数t的取值范围是. 第四讲 函数 一、函数的发展 运动、变量与曲线的数学描述，催生了函数思想，并把函数概念和方法置于整个数学的中心地位。微积分研究对象是函数，几何图形则成为函数的图像。世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同的函数作为它们的数学模型。 函数概念是在欧洲文艺复兴之后，在资本主义文明萌芽时期的16－17世纪才逐渐产生。 伽利略研究抛物线的运动及自由落体运动，产生了函数22 1gt S =。 法国数学家笛卡儿最先提出了“变量”的概念，他在《几何学》中不仅引入了坐标，而且实际上也引入了变量，他在指出y x ,是变量的同时，还注意到y 依赖于x 而变化，这正是函数思想的萌芽。 牛顿深刻地认识到：“曲线是由于点的连续运动”，即曲线是动点的轨迹。动点的位置是时间的函数()()t y y t x x ==,。牛顿创立微积分的时候，用“流数”（Fluent ）一词表示变量间的关系。莱布尼茨在1673年的手稿中则用“Function ”一词。李善兰在《代微积拾级》一书中将Function 一词翻译为“函数”，并一直沿用至今。 函数作为微积分的研究对象，牢牢地占据着近代数学的中心地位。 1755年，欧拉提出了一个明确的函数定义：“如果某些变量以如下方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一个变量的函数”。 1851年，黎曼定义：“我们假定Z 是一个变量。如果对它的每一个值，都有未知量W 的一个值与之对应，则称W 是Z 的函数”。 1939年，布尔巴基学派的著作认为，若F E ,是两个集合，二者的笛卡儿积是指 (){}Y y X x y x ∈∈,|,。XY 中的任何子集S 称为y x ,之间的一种关系。如果关系F 满足：对于每一个X x ∈，都存在唯一的一个y ，使得()F y x ∈,，则称关系F 是一个函数。 这三种函数的定义，分别是变量说、对应说（映射说）、关系说。这是函数概念的三个里程碑。 总之，函数概念的灵魂是运动，是变量，是变量关系。 在20世纪以前，中学数学的中心是方程。1908年，数学家F ·克莱因担任国际数学教育委员会主席。他首次提出，中学数学应当以函数为中心；或者说“以函数为纲”。实际上直到第二次世界大战之后，函数思想才全面进入中学数学课程。 中国也是这样。1949年以前，中国中学里的数学课程仍然少见函数的踪迹。到了20世纪50年代，中国数学教育全面学习前苏联，函数终于取得了中学数学课程中的核心地位。 《普通高中数学课程标准（实验）》必修课程：数学1函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）；数学4基本初等函数Ⅱ（三角函数）。 二、函数概念的三种定义 ⒈函数概念的定义 精典专题系列第4讲 指数函数与对数函数 一、导入：名叫抛弃的水池 一个人得了难治之症，终日为疾病所苦。为了能早日痊愈，他看过了不少医生，都不见效果。他又听人说远处有一个小镇，镇上有一种包治百病的水，于是就急急忙忙赶过去，跳到水里去洗澡。但洗过澡后，他的病不但没好，反而加重了。这使他更加困苦不堪。 有一天晚上，他在梦里梦见一个精灵向他走来，很关切地询问他：“所有的方法你都试过了吗？” 他答道：“试过了。” “不，”精灵摇头说，“过来，我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。” 精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说：“进水里泡一泡，你很快就会康复。”说完，就不见了。 这病人跳进了水池，泡在水中。等他从水中出来时，所有的病痛竟然真地消失了。他欣喜若狂，猛地一抬头，发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。 这时他也醒了，梦中的情景让他猛然醒悟：原来自己一直以来任意放纵，受害已深。于是他就此发誓，要戒除一切恶习。他履行自己的誓言，先是苦恼从他的心中消失，没过多久，他的身体也康复了。 大道理：抛弃是治疗百病的万灵之药，人之所以有很多难缠的情感，就是因为在大多数情况下，舍不得放弃。把消极扔掉，让积极代替，就没有什么可抱怨的了。 二、知识点回顾： 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 ，那么x 叫做a 的n 次方根 n ＞1且n ∈N * 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个 ，负数的n 次方根是一个 n a 零的n 次方根是零 当n 是偶数时，正数的n 次方根有 ，这两个数互为 ±n a(a>0) 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式．①n a n ＝ ②(n a)n ＝ (注意a 必须使n a 有意义)． 2. 幂的有关概念 ①正分数指数幂： ＝ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1)； ②负分数指数幂： ＝ ＝ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1)． ③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 ． y ＝ax a ＞1 0＜a ＜1 图象 DSE 金牌化学专题系列 第一章习题解答 （一） 1 ．设z ，求z 及Arcz 。 解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 41212222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程44 0,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 22 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3 是接 于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 1212 1-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z 第四讲导数与函数的零点讲义(非常好,有 解析) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 函数的零点 【题型一】函数的零点个数 【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。 【例1】已知函数3()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间； ()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x = 的图象有三个不同的交 点，求m 的取值范围。 变式：已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程 ()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根 1234,,,x x x x ，则1234_________. x x x x +++= 【答案】 -8 【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以 (4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期 函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上 是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0) 在区间[]8,8-上有四个不同的根 1234,,,x x x x ，不妨设1234 x x x x <<<，由对称性知 1212 x x +=-， 344 x x +=．所以 12341248 x x x x +++=-+=-．复变函数论第四版答案钟玉泉
第4讲 生活中的变量关系及函数的概念
复变函数习题答案第4章习题详解
第二讲 函数的概念及表示
复变函数论第四版第四五章练习
第5讲 函数的概念学生
复变函数课后习题答案(全)
高考数学复习第二单元第4讲函数的概念及其表示练习文(含解析)新人教A版
第四讲函数
第四讲 对数函数与指数函数经典难题复习巩固.
复变函数论第三版课后习题答案
第四讲导数与函数的零点讲义(非常好,有解析)