高考一轮数列复习教(学)案

数 列

第一节数列的概念与简单表示法

基础知识梳理：

1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义：

①数列：按照 排列的一列数． ②数列的项：数列中的 ． (2)数列的分类：

(3)n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

2．数列的递推公式：如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．

1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．

2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． [试一试]

1．已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式为________．

2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝??

?

2·3

n －1

n 为偶数，2n －

n 为奇数，则

a 4·a 3＝

________.

1．辨明数列与函数的关系：数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．

2．明确a n 与S n 的关系：a n ＝??

?

S 1

n ＝，

S n －S n －1 n

[练一练]

1若数列{a n }的前n 项和S ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)则此数列的通项公式为a n ＝

2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32，a 4＝3

2

，则a 8＝________.

1.n ，…的通项公式的是( A ．a n ＝1 B ．a n ＝－n

＋1

2

C ．a n ＝2－???

?

??sin n π2 D ．a n ＝

－

n －1

＋3

2

2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…；(2)－

11×2，12×3，－13×4，1

4×5

，…； (3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)；(4)9,99,999,9 999，….

[类题通法] 用观察法求数列的通项公式的技巧

(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整． (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．

[典例] 已知下面数列{a n}的前n项和S n，求{a n}的通项公式：

(1)S n＝2n2－3n；(2)S n＝3n＋b.

[类题通法]

已知数列{a n}的前n项和S n，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：

(1)先利用a1＝S1求出a1；

(2)用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式；

(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．[针对训练]已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和满足S n>1，且6S n＝(a n＋1)(a n＋2)，n∈N*，求{a n}的通项公式．

n＋1n n

1．(2012·大纲全国卷)已知数列{a n}中，a1＝1，前n项和S n＝n＋2

3

a

n

.

(1)求a2，a3；(2)求{a n}的通项公式．

角度二形如a n＋1＝a n＋f(n)，求a n

2．已知a1＝2，a n＋1＝a n＋3n＋2，求a n.

角度三形如a n＋1＝Aa n＋B(A≠0且A≠1)，求a n

3．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋2，求a n.

[类题通法]

由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n＋1＝a n＋f(n)或a n＋1＝f(n)·a

n

，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，(如角度二)，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，(如角度三)转化为特殊数列求通项．

[课堂练通考点]

1．数列1，2

3，

3

5

，

4

7

，

5

9

，…的一个通项公式a n是( )

A.n

2n＋1B.

n

2n－1

C.

n

2n－3

D.

n

2n＋3

2．数列{a n}的前n项积为n2，那么当n≥2时，a n＝( )

A．2n－1 B．n2 C.n＋2

n2

D.

n2

n －2

3．已知数列{a n}满足a st＝a s a t(s，t∈N*)，且a2＝2，则a8＝________.

4．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝(－1)n(a n＋1)，记S n为{a n}前n项的和，

则S2 013＝________.

5．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2＋2n，数列{b n}的前n项和T n＝2－b n.求数

列{a n}与{b n}的通项公式．

6．在数列－1,0，1

9

，

1

8

，…，

n－2

n2

，…中，0.08是它的第____________项．第二节等差数列及其前n项和

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 (n∈N*，d为常数)．

(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b

2

，其中叫

做a，b的．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：a n＝(2)前n项和公式：S n＝＝

1要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．

2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．

[试一试]1．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝( ) A．58 B．88 C．143 D．176 2．已知{a n}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.

1．等差数列的四种判断方法

(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)?{a n}是等差数列．

(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)?{a n}是等差数列．

(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)?{a n}是等差数列．

(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)?{a n }是等差数列． 2．巧用等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N *)．

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则

a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为

md 的等差数列．

(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列. 3．活用方程思想和化归思想

在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．

[练一练]1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )

A ．－6

B ．－4

C ．－2

D ．2 2已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝15，S 5＝55，则数列{a n }的公差是( )

A.1

4

B ．4

C ．－4

D ．－3 等差数列的基本运算

n 项和为S n ，若S m －1，S m ＝0，S m ＋

1

＝3，则m ＝( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

2已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝_____S n ＝____.

3．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．

[类题通法]1．等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，

S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．

2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是

等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

等差数列的判断与证明

[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1

2，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2且n

∈N *

)．(1)求证：数列??????

???

?1S n 是等差数列．(2)求

S n 和a n .

若将条件改为“a 1＝2，S n ＝

S n －12S n －1＋1

(n ≥2)”，如何求解.

[类题通法]

1．判断等差数列的解答题,常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项

和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.

2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义． [针对训练]在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2，且n ∈N *)． （1）求a 2，a 3的值；(2)设b n ＝a n ＋32

n

(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．

等差数列的性质及最值

[典例] n 是等差数列，a 1＋3a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )

A ．18

B ．19

C ．20

D ．21

(2)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________. [类题通法] 1．等差数列的性质

(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ?

a m －a n

m －n

＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差． (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则

①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 2n －1＝(2n －1)a n . 2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法

(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法：

①a 1>0，d <0时，满足??

? a m ≥0，

a m ＋1≤0

的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；

②当a 1<0，d >0时，满足??

?

a m ≤0，

a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .

[针对训练]

1．设数列{a n }是公差d <0的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则

S n 取最大值时，n ＝( )

A ．5

B ．6

C ．5或6

D ．6或7

2．(2013·广东高考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.

[课堂练通考点]

1．(2014·海淀质检)等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6的值为( )

A ．14

B ．18

C ．21

D ．27 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 11－a 8＝3，S 11－S 8＝3，则使a n >0的最小正整数n 的值是( )

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11 3．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则

k ＝________.

4．已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．

5．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *

)，其中S n 为{a n }的前n

项和．(1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式．

第三节 等比数列及其前n 项和

1．等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等 于 （不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q 表示，定义的表达式为

(2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么 叫做a 与b 的等比中项．即：

G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列? . 2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：a n ＝ .(2)前n 项和公式：S n ＝

???

na 1

，q ＝1，

a 1－q n

1－q

＝a 1－a n

q 1－q ，q ≠1.

1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.

2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．

[试一试]1．(2013·江西高考)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )

A ．－24

B ．0

C ．12

D ．24 2．若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝____前n 项和S n ＝_

1．等比数列的三种判定方法 (1)定义：

a n ＋1

a n

＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)?{a n }是等比数列． (2)通项公式：a n ＝cq n －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)?{a n }是等比数列．

(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *

)?{a n }是等比数列．

2．等比数列的常见性质

(1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2

k ；

(2)若数列{a n }、{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }、?????????

?1a n 、{a 2n }、{a n ·b n }、??????

???

?a n b n (λ≠0)仍然是等比数列； (3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，

a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k ；

(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．

3．求解等比数列的基本量常用的思想方法

(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n 项和的公式中联系着五个量：a 1，q ，

n ，a n ，S n ，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a 1与q ，在解题中根据已知条件建立关于a 1与q 的方程或者方程组，是解题的关键．

(2)分类讨论思想：在应用等比数列前n 项和公式时，必须分类求和，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1

－q n

1－q

；在判断等比数列单调性时，也必须

对a 1与q 分类讨论．

[练一练]1．已知等比数列{a n }满足a 1＝2，a 3a 5＝4a 26，则a 3的值为( )

A.1

2 B ．1 C ．2 D.1

4

2．已知数列{a n }是公比q ≠±1

的等比数列，则在{a n ＋a n ＋1}，{a n ＋1－a n }，??????

???

?a n a n ＋1，

{na n}这四个数列中，是等比数列的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

等比数列的基本运算

1.n

33

，则公比q的值为( )

A．1 B．－1

2 C．1或－

1

2

D．－1或

1

2

2设首项为1，公比为2

3

的等比数列{a n}的前n项和为S n，则( )

A．S n＝2a n－1 B．S n＝3a n－2 C．S n＝4－3a n D．S n＝3－2a n

3．设等比数列{a n}的公比q<1，前n项和为S n，已知a3＝2，S4＝5S2，求{a n}的通项公式．

[类题通法]

1．对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．2．在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1进行判断和讨论．

等比数列的判定与证明

[典例] n n n n＝n.

(1)设c n

＝a n－1，求证：{c n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．

在本例条件下，若数列{b n}满足b1＝a1，b n＝a n－a n－1(n≥2), 证

明{b n}是等比数列.

[类题通法]：证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只

用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．

[针对训练]已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1

a n (其中p 为非

零常数，n ∈N

*

)．(1)判断数列?

????????

?a n ＋1a n 是不是等比数列；(2)求a n .

等比数列的性质

[典例] (1)在等比数列中，已知a 1a 3

8

a 15＝243，则a 39

a 11

的值为( )

A ．3

B ．9

C ．27

D ．81 (2)(2014·长春调研)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n

＋1

＝324，则n ＝( )

A ．11

B ．12

C ．14

D ．16

[类题通法]

等比数列常见性质的应用

等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． [针对训练]

1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( )

A ．1∶2

B ．2∶3

C ．3∶4

D ．1∶3

2．已知{a n }是公比为2的等比数列，若a 3－a 1＝6，则a 1＝________； 1

a 21＋1a 22

＋…＋1

a 2n

＝________.

[课堂练通考点]

1．已知等比数列{a n }的公比为正数，且公比a 2·a 6＝9a 4，a 2＝1，则a 1的值为( )

A ．3

B ．－3

C ．－13 D.1

3

2．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－4

3

，则{a n }的前10项和等于( )

A ．－6(1－3

－10

) B.19

(1－310) C ．3(1－3－10

)

D ．3(1＋3

－10

)

3．设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝________.

4．已知数列{a n }是等比数列，a 1，a 2，a 3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a 1，a 2，a 3中任何两个都不在同一列，则a n ＝______(n ∈N *).

5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.

第四节数列求和

1．等差数列的前n 项和公式S n ＝

n a 1＋a n

2

＝na 1＋

n n －

2

d ；

2．等比数列的前n 项和公式S n

＝???

na 1

，q ＝1，a 1

－a n q 1－q ＝a 1

－q

n

1－q

，q ≠1.

3．一些常见数列的前n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝

n n ＋

2

；(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2；(3)2＋4

＋6＋8＋…＋2n ＝n 2＋n

.

1．使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．

2．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．

[试一试]数列{a n }的通项公式是a n ＝

1

n ＋n ＋1

，前n 项和为9，则n 等于( )

A ．9

B ．99

C ．10

D ．100

数列求和的常用方法

(1)倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的．

(2)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的．

(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

(4)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．

(5)并项求和法：一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．

[练一练]1．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝________. 2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为________．

分组转化法求和

[典例] n 1＝2，a 2＋a 4＝n ∈N *，函数f (x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x .满足 f ? ??

??

π2＝0.

(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2? ????a n ＋12a n

，求数列{b n }的前n 项和S n .

[类题通法]分组转化法求和的常见类型

(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和；

(2)通项公式为a n ＝??

?

b n ，n 为奇数，

c n ，n 为偶数，

的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列

或等差数列，可采用分组求和法求和．

[针对训练]已知数列{a n }的首项a 1＝3，通项a n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且a 1，a 4，a 5成等差数列．求：(1)p ，q 的值；(2)数列{a n }前n 项和S n 的公式．

错位相减法求和

[典例]n n 4＝4S 2，a 2n ＝2n (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－1

2n ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n .

[类题通法]用错位相减法求和的注意事项

(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．

[针对训练](2014·武昌联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1；数列{b n }满足b n －1－b n ＝b n b n －1(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝1.（1）求数列{a n }，{b n }的通项

公式；(2)求数列?

????????

?a n b n 的前

n 项和T n .

裂项相消法求和

角度一 形如a n ＝

n

n ＋k

型

1．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1、a 5的等比中项为16. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋

1

S 3

＋…＋1

S n

说明理由．

角度二 形如a n ＝

1

n ＋k ＋n

型

2已知函数f (x )＝x a

的图像过点(4,2)，令a n ＝1

f n ＋＋f n

，n ∈N *.记数

列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 013＝( )

A. 2 012－1

B. 2 013－1

C. 2 014－1

D. 2 014＋1 角度三 形如a n ＝

n ＋1n 2

n ＋

2

型

3．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2

＋n )＝0.

(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1n ＋

2

a 2n

，数列{b n }的前n 项和为T n .

证明：对于任意的n ∈N *

，都有T n <564

.

利用裂项相消法求和的注意事项

（1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；

(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则

1

a n a n ＋1＝1d ? ????1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ? ????1

a n －

1a n ＋2. [课堂练通考点]

1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1

2n ，…的前n 项和S n 的值等于( )

A ．n 2＋1－12n

B ．2n 2－n ＋1－12n

C ．n 2＋1－1

2

n －1

D ．n 2－n ＋1－1

2

n

2．数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则数列{a n }前12项和等于( )

A ．76

B ．78

C ．80

D ．82

3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )

A ．15

B ．12

C ．－12

D ．－15 4．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列???

???

???

?1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.

5已知向量p ＝(a n,2n

)向量q ＝(2n ＋1，－a n ＋1)，n ∈N *，向量p 与q 垂直且a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2a n ＋1，求数列{a n ·b n }的前n 项和S n .

高三数学一轮复习教案全套 人教A版等比数列及其前n项和

高三一轮复习 5.3 等比数列及其前n项和 【教学目标】 1.理解等比数列的概念． 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题． 4.了解等比数列与指数函数的关系. 【重点难点】 1.教学重点理解等比数列的概念并掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力； 【教学策略与方法】 自主学习、小组讨论法、师生互动法 【教学过程】

2．前n 项和公式S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 1．必会结论；等比数列的性质 (1)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则 a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . (2)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，{|a n |}，???? ??1a n ，{a 2 n }，{a n ·b n }，???? ??a n b n (λ≠0)仍然是等比数列． (3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个 等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k . (4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列． (5)若等比数列{a n }共2k (k ∈N *)项，则S 偶 S 奇 ＝q . 2．必清误区；(1)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，与等差数列不同． (2)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)并不能断言{a n }是等比数列，还要验证a 1≠0. 考点分项突破 考点一等比数列的基本运算 1．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【解析】 ∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，∴3＋3q 2 ＋3q 4 ＝21.∴1＋q 2 ＋q 4 ＝7.解得q 2 ＝2或q 2 ＝－3(舍去)． ∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.故选B. 【答案】 B 2．已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝128. (1)求通项a n ； (2)若b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝360，求n 的值．

2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)数列的概念与简单表示法(含解析)

第一节数列的概念与简单表示法 [知识能否忆起] 1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义： ①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类： (3)数列的通项公式： 如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．数列的递推公式 如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式． [小题能否全取] 1．(教材习题改编)数列1，2 3， 3 5， 4 7， 5 9…的一个通项公式是() A．a n＝n 2n＋1B．a n＝ n 2n－1 C．a n＝n 2n－3D．a n＝ n 2n＋3 答案：B 2．设数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a8的值为() A．15 B．16

C ．49 D ．64 解析：选A a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15. 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n n ＋1，则这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 解析：选A a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝(n ＋1)2－n (n ＋2)(n ＋1)(n ＋2)＝1 (n ＋1)(n ＋2) >0. 4．(教材习题改编)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝? ???? 2· 3n － 1(n 为偶数)，2n －5(n 为奇数)，则a 4·a 3＝ ________. 解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案：54 5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝3 2， a 4＝3 2 ，则a 8＝________. 解析：由已知得??? 2p ＋q 2＝32 ， 4p ＋q 4＝3 2， 解得????? p ＝14， q ＝2. 则a n ＝14n ＋2n ，故a 8＝9 4. 答案：9 4 1.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f (n )＝a n (n ∈N *)．

高三一轮数列复习教案

数列 第一课时 等差数列 【重要知识】 1．等差数列的概念： （1）一个数列{}n a ：若满足1(n n a a d d +-=为常数），则数列{}n a 叫做等差数列 （2）等差数列的证明方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数） 或112(2)n n n a a a n -+=+≥。 （3）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2 a b A +=。 2.等差数列主要公式： （1）等差数列的通项公式：* 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈； （2）两项之间的关系式：d m n a a m n )(-+= （3）前n 项和公式为：1()2n n n a a S += 1(1) 2 n n na d -=+ 3.等差数列主要性质： （1）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （2）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a += （3）若{}n a 是等差数列，232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，公差D=d n 2 。 （4）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中， 21(21)n S n a -=-?中（这里a 中即n a ）；)1(:-=n n S S 偶奇：。（()n n a n S 1212-=- ） （5）若等差数列 {} n a 、 {} n b 的前n 和分别为 n A ， n B ,且 ()n n A f n B =，则21 21 (21)(21)n n n n n n a n a A b n b B ---==-(21)f n =-. (6)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组100n n a a +≥??≤?或1 0n n a a +≤??≥?确定出前多少项为非负（或非正）； （7）若{}n a 为等差数列，则数列{}n a C （)1,0≠>c c 为等比数列，公比为d C 【典型例题】 例1.()1在等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -=（ ） .A 24 .B 22 .C 20 .D 8- （2）已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ， 321 ,22 a a 成等差数列，则91078a a a a +=+ A.1+ 1 C. 3+ 3- （3）等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，108 111,2108 S S a =--=，则11S = （ ） A ．－11 B ．11 C.10 D ．－10

2019高考数学常见难题大盘点：数列

2019高考数学常见难题大盘点：数列 1. 已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )＝0旳两个根()αβ>，'()f x 是f (x )旳导数；设11a =，1 ()'()n n n n f a a a f a +=-(n ＝1，2，……) (1)求,αβ旳值； (2)证明：对任意旳正整数n ，都有n a ＞a ； 解析：(1)∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )＝0旳两个根()αβ>， ∴αβ==； (2)'()21f x x =+，21 115(21)(21)12 442121n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++ ＝ 5114(21)4212n n a a ++-+，∵11a =， ∴有基本不等式可知20a ≥>( 当且仅当1a =时取等号) ，∴20a >> 同，样3a > ，……，n a α>= (n ＝1，2，……)， 2. 已知数列{}n a 旳首项1 21a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 旳首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥） · （1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比旳等比数列； （2）设n S 为数列{}n b 旳前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 旳值； （3）当a>0时，求数列{}n a 旳最小项· 分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由a 旳不同而要分类讨论· 解：（1）∵2n a b n n += ∴22211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a b n n n n n b n a 2222=+=(n ≥2) 由121a a =+得24a a =，22 444b a a =+=+， ∵1a ≠-，∴ 2 0b ≠， 即{}n b 从第2项起是以2为公比旳等比数列· （2）1(44)(21)34(22)221 n n n a S a a a -+-=+=--++-

高三一轮复习数列精细讲义

数列专题 基础知识梳理 1.数列：按排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项，记作，序号为的项叫第项，也叫通项，即；数列一般简记作。 2.通项公式：如果数列可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。用表示数列的通项公式，这里要注意同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，不是每个数列都有通项公式。 3.从函数观点看，数列实质上是定义域为的函数，其图象是。 4.数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列， 数列，数列，数列。 5递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 6..等差数列一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数， 这个数列就叫做等差数列. 这个常数就叫做等差数列的，常用字母表示. 7.等差中项由三个数，，组成的等差数列，这时数叫做数和的等差中项，用等式表示为= ． 8.等差数列的通项公式． 9. 等差数列的常见性质：若数列为等差数列，且公差为，则此数列具有以下性质： （1）； （2）； （3）则. 10. 等差数列的前项和公式1：公式2：. 11.在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列。 如：公差为 ; 是等差数列；公差为； 成等差数列. 12.等比数列 13.等差数列的性质 （1），； （2）在等差数列中，若，则，若，则； （3），为等差数列，公差分别为，则数列，，为数列； （4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即，，，…为等差数列，公差为；（5）等差数列的前项和为S n，则S n,S2n-S n,S3n-S2n,…也为等差数列，公差为； （6）通项公式是是一次函数的形式；前项和公式是不含常数项的二次函数的形式。（注当时，S n=na1, a n=a1） （7）若，，有最值，可由不等式组来确定； 若，，有最值，可由不等式组来确定． 14.等比数列的性质 （1）； （2）在等比数列中，若，则；若，则；

高三数学一轮复习精品教案1：数列的综合应用教学设计

6.5数列的综合应用 考点一 等差数列与等比数列的综合问题 『典例』 (2011·江苏高考)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________． 『解析』 因为a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，又a 1＝1，所以a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3.因为a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，所以a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2. 法一： 因为1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，所以???? ? 1≤a 2≤a 3≤a 4，a 4≤a 5≤a 6， a 7≥a 6， 即???? ? a 2 ≤q ≤a 2 ＋1， a 2 ＋1≤q 2 ≤a 2 ＋2，解得 33≤q ≤ 3，故q 的最小值为 3 3. q 3 ≥a 2 ＋2， 法二： a 6＝a 2＋2≥3，即a 6的最小值为3.又a 6≤a 7，所以a 7的最小值为3即q 3≥3，解得a ≥ 3 3.故q 的最小值为3 3. 『答案』 33 『备课札记』 『类题通法』 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解． 『针对训练』 在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n . 解：(1)证明：∵b n ＝log 2a n ，

2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第5章 数列 5-3a含解析

[基础送分 提速狂刷练] 一、选择题 1．(2018·邢台摸底)已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．27 答案 B 解析 依题意得a 27＝a 5·a 9 ＝81，又注意到a 7 a 5 ＝q 2 >0(其中q 为公比)，因此a 5，a 7的符号相同，故a 7＝9.故选B. 2．(2018·安徽安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( ) A ．1 B ．－1 C.12 D ．2 答案 D 解析 由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ? ????a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2 λ＝1，得λ＝2.故选D. 3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A ．192里 B ．96里 C ．48里 D ．24里 答案 B

解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝1 2，依题意有a 1? ? ? ? ?1－1261－12 ＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×1 2＝96，即第二天走了96里．故选B. 4．(2018·浙江温州十校联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ， 若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C 解析 由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝a m ＋1a m ＝－2.又S m ＝a 1－a m q 1－q ＝－11，故a 1＝－1.又a m ＝a 1·q m －1 ＝－16，故(－1)×(－2)m －1＝－16，求得m ＝5.故选C. 5．(2017·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若 S 3＝2，S 6＝18，则S 10 S 5 等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31 D ．33 答案 D 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q 6＝218，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5 ＝1－q 10 1－q 5＝1＋q 5 ＝33.故选D. 6．(2017·安徽六校素质测试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4＝( ) A ．1008 B ．2016

2019年高考理科数学分类汇编：数列(解析版)

题08 数列 1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2 28n S n n =- D ．2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知，415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?，解得132a d =-??=?，∴25n a n =-，2 4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断． 2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2 a q =??=?，2 314a a q ∴==，故选C ． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2 +b ，n *∈N ，则 A ． 当101 ,102 b a = > B ． 当101 ,104 b a = > C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n * =∈N .

2019年高考数学试题分项版—数列(解析版)

2019年高考数学试题分项版——数列（解析版） 一、选择题 1．(2019·全国Ⅲ文，6)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于() A．16 B．8 C．4 D．2 答案 C 解析设等比数列{a n}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{a n}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4. 2．(2019·浙江，10)设a，b∈R，数列{a n}满足a1＝a，a n＋1＝＋b，n∈N*，则() A．当b＝时，a10＞10 B．当b＝时，a10＞10 C．当b＝－2时，a10＞10 D．当b＝－4时，a10＞10 答案 A 解析当b＝时，因为a n＋1＝＋，所以a2≥，又a n＋1＝＋≥a n，故a9≥a2×()7≥×()7＝4，a10＞≥32＞10.当b＝时，a n＋1－a n＝2，故当a1＝a＝时，a10＝，所以a10＞10不成立．同理b＝－2和b＝－4时，均存在小于10的数x0，只需a1＝a＝x0，则a10＝x0＜10，故a10＞10不成立． 3．(2019·全国Ⅰ理，9)记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则() A．a n＝2n－5 B．a n＝3n－10 C．S n＝2n2－8n D．S n＝n2－2n 答案 A 解析设等差数列{a n}的公差为d， ∵＝， ＝， ∴解得 ， ， ∴a n＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5， S n＝na1＋d＝n2－4n.故选A. 4．(2019·全国Ⅲ理，5)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于() A．16 B．8 C．4 D．2 答案 C

2020年高考数学一轮复习知识点总结 数列与三角函数

2020年高考数学一轮复习知识点总结 数列 考试内容： 数列． 等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式． 考试要求： （1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． （2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题． （3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题． §03. 数 列 知识要点 等差数列 等比数列 定义 d a a n n =-+1 )0(1 ≠=+q q a a n n 递推公式 d a a n n +=-1；md a a n m n +=- q a a n n 1-=；m n m n q a a -= 通项公式 d n a a n )1(1-+= 11-=n n q a a （0,1≠q a ） 数列 数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系 项 项数 通项 等差数列 等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前n 项和 等比数列 等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前n 项和

1. ⑴等差、等比数列： 等差数列 等比数列 定义 常数）为(}{1d a a P A a n n n =-??+ 常数） 为(}{1q a a P G a n n n =? ?+ 通项公 式 n a =1a +（n-1）d=k a +（n-k ） d=dn +1a -d k n k n n q a q a a --==11 求和公式 n d a n d d n n na a a n s n n )2(22) 1(2)(1211-+=-+=+= ?? ? ??≠--=--==)1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na s n n n 中项公式 A= 2 b a + 推广：2n a =m n m n a a +-+ ab G =2。推广：m n m n n a a a +-?=2 性 质 1 若m+n=p+q 则 q p n m a a a a +=+ 若m+n=p+q ，则q p n m a a a a =。 2 若}{n k 成A.P （其中N k n ∈）则}{n k a 也为A.P 。 若}{n k 成等比数列 （其中N k n ∈），则}{n k a 成等比数列。 3 ．n n n n n s s s s s 232,,-- 成等差数列。 n n n n n s s s s s 232,,--成等比数列。 4 )(11n m n m a a n a a d n m n ≠--=--= 1 1a a q n n = - ， m n m n a a q = - )(n m ≠ 5 ⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- 中项 2 k n k n a a A +-+= （0,,* k n N k n ∈） ) 0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（0,,* k n N k n ∈） 前n 项和 )(2 1n n a a n S += d n n na S n 2 ) 1(1-+= () ? ?? ??≥--=--==)2(111)1(111q q q a a q q a q na S n n n 重要性质 ),,,,(* q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈+=+) ,,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈?=?

高考数学一轮复习专题：数列求和(教案及同步练习)

1．等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 2．等比数列的前n 项和公式 S n ＝???? ? na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 3．一些常见数列的前n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1) 2. (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n (n ＋1)． (4)12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1) 6. 【知识拓展】 数列求和的常用方法 (1)公式法 等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和． (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项公式 ① 1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ；

②1(2n －1)(2n ＋1)＝12????1 2n －1－12n ＋1； ③ 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n . (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( √ ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1 n ＋1 )．( √ ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × ) (4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋1 2 n .( × ) (5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ ) 1．(2017·潍坊调研)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n 2＋7n 4 B.n 2＋5n 3 C.2n 2＋3n 4 D ．n 2＋n 答案 A 解析 设等差数列的公差为d ，则a 1＝2， a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d . 又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1·a 6.

2019年高考试题汇编理科数学--数列

（2019全国1理）9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =，55a =，则（ ） A.25n a n =- B.310n a n =- C.228n S n n =- D.2 122 n S n n =- 答案： A 解析： 依题意有415146045 S a d a a d =+=??=+=?，可得13 2a d =-??=?，25n a n =-，24n S n n =-. （2019全国1理）14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113 a =，2 46a a =，则5S = . 答案： 5S = 121 3 解答： ∵113 a = ，2 46a a = 设等比数列公比为q ∴32 5 11()a q a q = ∴3q = ∴5S = 121 3 2019全国2理)19. 已知数列{}n a 和{}n b 满足11=a ，01=b ，4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b . （1）证明： {}n n b a +是等比数列，{}n n b a -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式. 答案： （1）见解析 （2）21)21(-+=n a n n ，2 1)21(+-=n b n n . 解析： (1)将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 相加可得n n n n n n b a b a b a --+=+++334411， 整理可得)(2111n n n n b a b a += +++，又111=+b a ，故{}n n b a +是首项为1，公比为2 1 的等比数列. 将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 作差可得8334411+-+-=-++n n n n n n b a b a b a ， 整理可得211+-=-++n n n n b a b a ，又111=-b a ，故{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列. （2）由{}n n b a +是首项为1，公比为 21的等比数列可得1)2 1 (-=+n n n b a ①；

高考一轮复习之数列与数学归纳法

43 / 1843 / 18 第三章 数列及数学归纳法 知识结构 高考能力要求 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式及前n 项和的公式，并能解决简单的实际问题． 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n 项和公式，并能解决简单的实际问题． 4、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 高考热点分析 纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式的应用是必考内容，数列及函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点． 从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的 “知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用． 高考复习建议 数列部分的复习分三个方面：① 重视函数及数列的联系，重视方程思想在数列中的应用．② 掌握等差数列、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用．③ 要设计一些新颖题目，尤其是通过探索性题目，挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和创新精神，数列综合能力题涉及的问题背景新颖，解法灵活，解这类题时，要引导学生科学合理地思维，全面灵活地运用数学思想方法． 数列部分重点是等差、等比数列，而二者在内容上是完全平行的，因此，复习时应将它们对比起来复习；由于数列方面的题目的解法的灵活性和多样性，建议在复习这部分内容时，要启发学生从多角度思考问题，提倡一题多解，培养学生思维的广阔性，养成良好的思维品质． 3．1 数列的概念 知识要点 1．数列的概念 数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N *或其子集{1，2，3，……n }的函数f (n )．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第 项． 2．数列的通项公式 一个数列{a n }的 及 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f (n )来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．在数列{a n }中，前n 项和S n 及通项a n 的关系为： = n a ?? ? ??≥==21n n a n 4．求数列的通项公式的其它方法 ⑴ 公式法：等差数列及等比数列采用首项及公差(公比)确定的方法． ⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明． ⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式．

2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列

2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”； （2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”. （2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， . 因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ， 所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 ， 所以 ，其中k =1，2，3，…，m .

当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）= ，则． 令，得x=e.列表如下： x e(e，+∞) +0– f（x）极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知，b k=k， .因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。

2019届高三一轮复习-等差数列教案

《再探等差数列》 一、教学目标 1.知识与技能：掌握等差数列的定义及相关性质、前n 项和公式及相关性质. 2.过程与方法：通过典型例题讲解引导学生回顾等差数列的通项公式、前n 项和公式及相关性质，通过课堂练习和巩固练习提高学生对知识的综合应用能力，通过归纳总结使学生构建等差数列知识网络. 3.情感态度与价值观：通过提出有指向性的问题，培养学生独立思考的习惯和发散思维，通过学生课堂的即时训练和归纳小结，培养对知识的应用意识和观察归纳的能力，通过让学生在课堂上获得成功体验，培养学生学习数学的兴趣. 二、教学重难点 重点：等差数列的通项公式、前n 项和公式及相关性质的理解. 难点：等差数列的通项公式、前n 项和公式及相关性质的应用. 三、教学策略分析 本节课采用了讲练结合的教学策略：教师讲解例题→学生反馈练习→点评→学生巩固提高→点评→学生归纳总结→学生完成课后作业，以学生为本，关注学生的发展.在学生解题的过程中引导他们对等差数列的知识进行整理和深入思考、提高运用知识的能力.设计能够激发学生发散思维的练习题，使学生在掌握方程的基本方法的同时，能够结合等差数列的性质提高解题效率，力求使各层次的学生都有所提高. 四、教学过程 (一)梳理梳理 1、等差数列的定义及相关性质 2、等差数列前n 项和公式及相关性质 (二)共同研讨 例：已知等差数列{a n }的前9项和为-45，a 10＝15. (1)求a 100的值； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ； (3)当n 取何值时， S n 取得最小值； (4)证明：数列n S n ??????为等差数列; (三)课堂练习 1．在等差数列{a n }中a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5 = . 2．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1＋a 2 ＋a 3 ＝3， a 48＋a 49 ＋a 50 ＝426，求S 50. (四)巩固训练 1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9= . 2．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2014，S 20142014－S 20082008 ＝6，则S 2018＝______. (五)归纳小结 1、等差数列的定义和性质 2、等差数列的前n 项和及其性质

2019年高考专题：数列试题及答案

2019年高考专题：数列 1．【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 1111534a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2 a q =??=?，2 314a a q ∴==，故选C ． 2．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若133 14 a S ==，，则S 4=___________． 【解析】设等比数列的公比为q ，由已知22 3111314S a a q a q q q =++=++= ，即2 104 q q ++=. 解得12q =-，所以4 4 1411()(1)521181()2 a q S q -- -= ==---． 3．【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S = ___________. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得 317 125,613a a d a a d =+=??=+=?得11,2a d =??=? 101 109109 101012100.22S a d ??∴=+=?+?= 4．【2019年高考江苏卷】已知数列* {}()n a n ∈N 是等差数列， n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是__________． 【解析】由题意可得：()()()25811191470 98 9272a a a a d a d a d S a d ?+=++++=? ??=+=?? ， 解得：152 a d =-??=?，则8187 840282162S a d ?=+=-+?=.

高考一轮数列复习教案

第一节数列的概念与简单表示法基础知识梳理： 1. 数列的定义、分类与通项公式 ⑴数列的定义： ①数列：按照___________ 排列的一列数. ②数列的项：数列中的________________ . (2)数列的分类： ⑶数列的通项公式：如果数列｛a n｝的第n项与____ 之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 2. 数列的递推公式：如果已知数列｛a n｝的首项(或前几项),且任一项a n与它的前一项a n- I(n > 2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式. 1?数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关. 2?易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号. ［试一试］ 1. ________________________________________________________________ 已知数列｛a n｝的前4项为1,3,7,15,写出数列｛a n｝的一个通项公式为 _______________ . 2 3n-1n为偶数， 2. 已知数列｛a n｝的通项公式是a n = 八灯 则*4 a3= . 2n —5n为奇数，

1. 辨明数列与函数的关系：数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.

［练一练］ 1若数列｛a n ｝的前n 项和S = n 2— 10n(n = 1,2,3,…)则此数列的通项公式为a n 2. _______________________________________________________________ 已知数列｛a n ｝的通项公式为a n = pn + q ，且&= 2，*4=孑，则a 8= _____________________ . 1. 下列公式可作为数列｛a n ｝ ： 1,2,1,2,1,2…的通项公式的是( ) —1n + 1 . n n — 1n —1+ 3 A . a n = 1 B . a n = 2 C . a n = 2— si ng D . a n = 2 2. 根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： 1 1 1 1 ⑴4,6,8,10 …；⑵—1X 2，2X 3，— 3X 4，4X 5，…; (3)a , b ，a ，b ，a ，b ,…(其中 a ，b 为实数)；(4)9,99,999,9 999,…. ［类题通法］ 用观察法求数列的通项公式的技巧 (1) 根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与 n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公 式来求.对于正负符号变化，可用(一1)n 或(—1)n + 1来调整. (2) 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到 一般”的思想. ［典例］已知下面数列｛a n ｝的前n 项和S n ，求｛a n ｝的通项公式： (1) S n = 2n 2— 3n ; (2)S n = 3n + b. ［类题通法］ 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1 = S 1求出a 1 ； ⑵用n — 1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n = S n — S n -〔(n 》2)便可求出当n 》2 时a n 的表达式； ⑶对n = 1时的结果进行检验，看是否符合 n >2时a n 的表达式，如果符合，贝U 可以把 数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n = 1与n 》2两段来写. 2.明确an 与S 的关系：a n = S i n = 1, S n — S n -1 n 》2.