概率论作业习题及答案
1 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算
一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．
（1）写出试验的样本点及样本空间；
（2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合；
（3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的
集合．
解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则
（1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为
}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω
（2）},,{642ωωωA =； }.,{63ωωB =
（3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =?，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；
},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”
二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：
（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点
数之和小于15”．
（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3
只，A —“最小号码为1”． 解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ，则
},,,{1843ωωω =Ω；
},,,{181211ωωωA =；}.,,,{1443ωωωB =
(2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则
},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω
}.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =
三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生；
(3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生． 解：(1) C B A ；
(2) ABC ；
(3) ABC C AB C B A BC A ???或CA BC AB ??
(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ??????或C B A ??或
.ABC
四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i ≤≤1）．用i A 表示下列事件： （1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品； （4）至少有一个零件不是不合格品． 解：(1) n A A A 21；
(2) n A A A 21或n A A A ??? 21； (3) n n n A A A A A A A A A 212121??? (4) n A A A ??? 21或.21n A A A
2 概率的古典定义·概率加法定理
一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．
解：基本事件总数为611011011011011011019109?=C C C C C C C
有利事件总数为45678921
4151617181919?????=C C C C C C C
设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则
0605.010
94
56789)(6
2≈??????=A P 二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．
解：基本事件总数为!1010
10=A
指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!77
7=A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共818=C 种；这三本书的排列顺序数为!333=A ；故有利事件总数为!3!8!38!7?=??(亦可理解为)3388P P
设A 表示“指定的三本书放在一起”，则
067.015
1
!10!3!8)(≈=?=A P
三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个
队被分在不同组内的概率．
解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数10
20C ；
两个最强的
队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数9
1812C C
设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则
526.01910
)(10
20
9
1812≈==C C C A P
四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．
解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ，A 表示“取出的产品中次品不多
于 1个”，则 .10A A A ?=因为V A A =10，所以).()()(10A P A P A P +=而
0281
.09799423
47)(5010050
950≈???==C C A P
1529.09799447
255)(50
100
4995151≈????==C C C A P 故 181.01529.00281.0)(=+≈A P
五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率．
解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；
C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”，则
(1) 0855.0198199200193
19418)(3
2002
19416≈????==C C C A P (2) 912.0198
199200192
193194)(32003
194≈????==C C B P
(3) 00223.0198199200120
19490)(3
200
019436119426≈????=+=C C C C C C P
六、设4
1)( ,0 ,3
1
)()()(======BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的
概率．
解：因为0==P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ==,，从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P
设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ??=，于是有
)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=??=
75.043
41313131==-++=
3 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式
一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ． 解：因为B A AB B B A A +=+=)(，所以)()()(B A P AB P A P +=，即
14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=?--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P
68
.074
.05
.036.0)4.01(5.05.0)
()()()
()
()]([)|(≈=--+=
-+=
=
B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P
二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”
（1）2.0101
101)()()(19111101911011=+=?+=+=C C C C C C A B P A P C P
（2）4.051
51)()()(25
11141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P
三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是
0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多
一倍．
（1）求任意取出的零件是合格品的概率；
（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1(=i ；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合
格品”
（1）)()()()()()()()(22112121A C P A P A C P A P C A P C A P C A C A P C P +=+=+= 973.0)02.01(3
1
)03.01(32≈-?+-?= （
2
）
25.002.03
103.03202.031
)
()()()()()()()()(22112222=?+??=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P
四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．
解：设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1(=i ，则由题设，有100
6.0)(1k
A P ==，得
60=k ，从
而有
4.015060150)(2===k A P ，.3.0200
60
200)(3===k A P
设A 表示“三次之内击中”，则321211A A A A A A A ++=，故有
)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P ++=
832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0=?-?-+?-+= （另解）设B 表示“猎人三次均未击中”，则
168.0)3.01)(4.01)(6.01()(=---=B P
故所求为 832.0)(1)(=-=B P B P
五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率．
解：设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0(=i ，则
2201)(312330==C C A P 22027
)(31219231==C C C A P 220108)(3
12
29132==C C C A P 22084
)(3
12
3
9033==C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”，则
3123
6
312
3731238312393
022084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i ?+?+?+?==∑=
146.0532400
776161112208444722010855142202755212201≈=?+?+?+?=
4 随机事件的独立性·独立试验序列
一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率．
解：设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1(=i ，则
9.0)(1=A P 8.0)(2=A P 7.0)(3=A P 再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则
321321321321A A A A A A A A A A A A B +++=
于是有
)
()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P +++=
)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0-??+?-?+??-+??=
902.0=．
（另解）设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0(=i ，B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则10B B B +=且0B 、1B 互斥，另外有
504.07.08.09.0)(0=??=B P
398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1=-??+?-?+??-=B P 故902.0398.0504.0)()()()(1010=+=+=+=B P B P B B P B P ．
二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、
0.2、0.2，求电路发生间断的概率．
解：设1A 表示“a 损坏”；2A 表示“b 损坏”；3A 表示“c 损坏”；则
3.0)(1=A P 2.0)()(32==A P A P
又设B 表示“电路发生间断”，则
321A A A B +=
于是有
)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+=+=
)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+=
328.02.02.03.02.02.03.0=??-?+=．
三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、4
1
，求能
将此密码
译出的概率．
解：设A 表示“甲能译出”；B 表示“乙能译出”；C 表示“丙能译出”，则
51)(=A P 31)(=B P 4
1
)(=C P
设D 表示“此密码能被译出”，则C B A D ??=，从而有
)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=??=
)
()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++=
6.04
1
3151415141513151413151=??+?-?-?-++=
． （另解）52
)411)(311)(511()()()()()(=---===C P B P A P C B A P D P ，从而有
6.05
3
521)(1)(==-=-=D P D P
四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0．飞机被一
人击中而被击落的概率为2.0，被两人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则
飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设1A 表示“甲命中”；2A 表示“乙命中”；3A 表示“丙命中”；则
4.0)(1=A P
5.0)(2=A P 7.0)(3=A P
设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0(=i ，则
09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210=---===A P A P A P A A A P B P )()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=
)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=
36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=?--+-??-+--?=
)()(3213213212A A A A A A A A A P B P ++= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=
)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=
41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=?--+-??-+--?=
14.07.05.04.0)()()()()(3213213=??===A P A P A P A A A P B P 设A 表示“飞机被击落”，则由题设有
0)(0=B A P 2.0)(1=B A P 6.0)(2=B A P 1)(3=B A P 故有
458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(3
0=?+?+?+?==∑=i i i B A P B P A P ．
五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在
该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作
出正确决策的概率． 解：设i A 表示“第i 人贡献正确意见”，则7.0)(=i A P )9,,2,1( =i ．
又设m 为作出正确意见的人数，A 表示“作出正确决策”，则
)9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P ++++=≥=
+??+??+??=277936694559)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C
99
91889)7.0()3.0()7.0(?+??+C C
+??+??+??=273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126
918)7.0()3.0()7.0(9+??+
0403.01556.02668.02668.01715
.0++++= 901.0=．
六、每次试验中事件A 发生的概率为p ，为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的
概率不小于p ，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做n 次试验，则
n p A P A P )1(1}{1}{--=-=一次都不发生至少发生一次
要p p n ≥--)1(1，即要p p n -≤-1)1(，从而有.1)1(log )1(=-≥-p n p 答：至少需要进行一次试验．
5 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布
一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取
出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为
即
亦即
二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．求
在两次调整之间生产的合格品数的概率分布．
解：设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设p q -=1，则ξ的概率分布为
三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．
（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布； （２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布．
解：（1）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为
)4,3,2,0()(6
20
616
4===-x C C C x X P x
x
从而X 的概率分布为
（2）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为
)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66=-==-x C x X P x
x x
从而X 的概率分布为
四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，
求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算)01.0(=p
168877.0)01.01()01.0()1()4(29644
30029644300≈-=-==C p p C ξP
（2）用泊松分布计算)301.0300(=?==np λ
168031355.0!
43)4(3
4≈==-e ξP
相对误差为.5168877
.0168031355.0168877.000
≈-=
δ
五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3次时，指示灯发出
信号．现进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率． 解：设X 表示“事件A 发生的次数”，则3.0)(==p A P ，5=n ，).3.0,5(~B X 于是有
)5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P
5
5
54
4
52
3
3
5)1()1(p C p p C p p C +-+-=
16308.000243.002835.01323.0≈++≈
（另解） )2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P
32
2541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C ------=
16308.0≈ 设随机变量X 的概率分布为 2, 1, ,0 , !
)(===k k a
k X P k
λ；
其中λ>0为常数，试确定常数a ．解：因为∑∞
===01)(k k X P ，即∑∞
==0
1!k k
k λa ，亦
1=λae ，所以.λe a -=
6 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度
一、函数
2
11
x
+可否是连续随机变量X 的分布函数？为什么？如果X 的可能值充满区间： （1）（∞+∞- ,）；（2）（0,∞-）． 解：（1）设2
11
)(x x F +=
，则1)(0< 因为0)(lim =-∞ →x F x ，0)(lim =+∞ →x F x ，所以)(x F 不能是X 的分布函数． （2）设211 )(x x F += ，则1)(0< 1(2)('2 2<>+- =x x x x F ，所以)(x F 在（0,∞-）上单增． 综上述，故)(x F 可作为X 的分布函数． 二、函数x x f sin )(=可否是连续随机变量X 的概率密度？为什么？如果X 的可能值充满区间： （1）?? ????2,0π； （2）[]π,0； （3）??? ???23,0π． 解：（1）因为?? ????∈2,0πx ，所以0sin )(≥=x x f ；又因为1cos )(2020=-=?π π x dx x f ，所以当?? ????∈2 ,0πx 时，函数x x f sin )(=可作为某随机变量X 的概率密度． （2）因为[]πx ,0∈，所以0sin )(≥=x x f ；但 12cos )(0 0≠=-=? π π x dx x f ，所以当 []πx ,0∈ 时，函数x x f sin )(=不可能是某随机变量X 的概率密度． （3）因为? ? ? ???∈23, 0πx ，所以x x f sin )(=不是非负函数，从而它不可能是随机变量X 的概率密度． 二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取 出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形． 解：设X 表示“取出的废品数”，则X 的分布律为 于是，??>3, 1x 四、（柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为 +∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(． 求：（1）系数A 及B ；（2）随机变量X 落在区间)1 ,1(-内的概率；(3) X 的概率密度． 解：(1) 由0)2()(lim =-?+=-∞ →π B A x F x ，12 )(lim =? +=-∞ →πB A x F x ，解得.1,21πB A == 即)( ,arctan 1 21)(+∞<<-∞+= x x π x F ． (2) .2 1 )]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F ξP (3) X 的概率密度为 ) 1(1 )()(2 x x F x f += '=π． 五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为 +∞<<∞-=-x Ae x f x ,)(． 求：（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）随机变量X 的分布函数． 解：(1) 由 1)(? +∞ ∞ -=dx x f ，得1220 ??+∞ ∞ -+∞ --===A dx e A dx Ae x x ，解得2 1 = A ，即有 ).( ,2 1)(+∞<<-∞= -x e x f x (2) ).11(21)(2121)()10(1 01010e e dx e dx x f X P x x -=-===<<--?? (3) 随机变量X 的分布函数为 ???? ?>-≤===-∞ --∞-??02 1102121)()(x e x e dx e dx x f x F x x x x x ． 7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布 一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间 不超过3分钟的概率． 解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为 ? ? ??∈=]5,0[,0] 5,0[,1)(x x x f 于是有.6.05 3 )()30(3 == = ≤≤? dx x f X P 二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为 ?????≤>=-.0, 0;0,8001)(800x x e x f x 任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率． 解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则 287.0800 1)1000()()()(4 51000 800 1000800 321≈=-==>===- ∞+-∞ +-?e e dx e X P A P A P A P x x ) ()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=??= 638.0287.0287.03287.033 2 ≈+?-?= （另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则 287.0800 1)1000(4 51000 800 1000800 ≈=-==>- ∞+-∞ +-?e e dx e X P x x 从而有713.01)1000(1)1000(4 5 ≈-=>-=≤- e X P X P ，进一步有 638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P 三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有 ).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥ 这个性质叫做指数分布的无记忆性． (2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(． e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上 的概率． 解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈?，有x e x F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数． 设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ?，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有 ) (1) (1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥=== =≥+≥ t s t s e e e λλλ--+-=----=] 1[1]1[1)(． 另一方面，我们有 t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(． 综上所述，故有 )()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥． （２）由题设，知X 的概率密度为 ?? ?≤>=-．， ； ，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视 机还能使用5年以上的概率为 6065 .01.0)()5()5(5.05 1.05 1.05 ≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+? ? e e dx e dx x f X P s X s X P x x ． 答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0． 四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211-=；（2）2 ) 3(2X X Y -=． 解：X 的分布律为 （1）X Y 211-=的分布律为 （2）2 ) 3(2X X Y -=的分布律为 即 五、设随机变量X 的概率密度为 ??? ?? ≤>+=.0, 0;0,)1(2)(2x x x x f π 求随机变量函数X Y ln =的概率密度． 解：因为)()()(ln )()(y X y Y e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<= 所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为 )( ) 1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f y y y y y y X Y Y π，即 )( ) 1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f y y Y π． ８ 二维随机变量的联合分布与边缘分布 一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示 两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为 Y 的边缘概率分布为 二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数 )3 arctan )(2arctan (),(y C x B A y x F ++=． 求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率 密度． 解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞+-∞F F F ，得 ??? ? ? ???? =-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA = （2）因为)3arctan 2)(2arctan 2 (1),(2y x y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度 为 .) 9)(4(6 ),(),(2 22" y x y x F y x f xy ++= =π （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为 x x x X x dx x dy y x f dx x F ∞ -∞-∞ -+∞ ∞ -=+==? ? ?2 arctan 1)4(2),()(2ππ 2 arctan 121x π+= y x y Y y dy y dx y x f dy x F ∞ -∞-∞ -+∞ ∞ -=+==? ??3 arctan 1)9(3),()(2ππ 3 arctan 121y π+= X 及Y 的边缘概率密度分别为 ???+∞+∞ ∞-+∞ ∞-++?=++==0222222)9(1 )4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ ) 4(2 )3arctan 31()4(11220 22x y x +=+?=∞+ππ ???+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241 )9(12)9)(4(6),()(dx x y dx y x dx y x f y f Y ππ ) 9(3 )2arctan 21()9(122 022y x y +=+=∞+ππ 三、设),(Y X 的联合概率密度为 ?? ?>>=+-., 00; 0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f 求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4） ),(Y X 落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率． 解：（1）由 1),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dy dx y x f ，有16 1 32== ??∞+∞ +--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为 ?????>>==????--∞-∞ -其它0 ,06),(),(00 32y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x x y ? ? ?>>--=--其它00 ,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为 ?? ?≤>=?????≤>==-+∞--∞+∞-??000200 06),()(2032x x e x x dy e e dy y x f x f x y x X ?? ?≤>=?????≤>== -+∞--∞ +∞ -?? 00300 06),()(3032y y e x x dx e e dx y x f y f y y x Y （4）? ??? ---== ∈x y x R dy e dx e dxdy y x f R Y X P 32 20 33 26),(}),{( 630 6271)(2---?-=-=e dx e e x 四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求： (1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为 ? ? ??∈=.),(, 0; ),(,),(R y x R y x C y x f 则由 12 9)322()2(21322 12 2 21 2 ==-+=-+==--+-?? ???C x x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R 解得9 2 = C ．故有 ??????∈=. ),(, 0; ),(,92 ),(R y x R y x y x f (2) ??????++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 22 1 2210229292),()2( ??-++=212 10)2(92292dx x x xdx 27 13 )322(92922132102=-++=x x x x ． ９ 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布 一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为 ??? ??≤>=-. 0, 0;0, 21)(2y y e y f y Y 求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ≥． 解: (1)X 的概率密度为? ???∈=)1,0(,0) 1,0(,1)(x x x f X ，),(Y X 的联合概率密度为（注意Y X ,相互独立） ??? ??><<==-其它, 00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X （2）dx e dx e dy e dx dxdy y x f X Y P x x y x y X Y ??? ???- ∞ +-∞ +-≥=-=== ≥10 2 102 2 10 2)(2 1),()( 7869.0)1(222 11 22 ≈-=-=-- e e x 二、设随机变量X 与Y 独立，并且都服从二项分布： . ,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(2122 11 n j q p C j p n i q p C i p j n j j n Y i n i i n X ====-- 证明它们的和Y X Z +=也服从二项分布． 证明: 设j i k +=, 则 i k n i k i k n k i i n i i n k i Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P +---=-=∑∑=-===22 110 )()()()( ∑=-+=k i k n n k i n i n q p C C 2121)( 由 k n m k i i k n k m C C C +=-=∑ , 有 k n n k i i n i n C C C 2 12 10 +==∑. 于是有 ),,2,1,0( )(21212 1n n k q p C k P k n n k i n n Z +==-++ 由此知Y X Z +=也服从二项分布. 三、设随机变量X 与Y 独立，并且X 在区间[0，1]内服从均匀分布，Y 在区间[0，2]内服从辛普森分布： ?? ? ??><≤<-≤≤=.20 0,; 2 1 ,2;10 ,)(y y y y y y y f Y 或 求随机变量Y X Z +=的概率密度． 解: X 的概率密度为 ?? ??∈=] 1,0[, 0] 1,0[, 1)(x x y f ξ . 于是),(Y X 的联合概率密度为 概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤ （1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 现实生活中的大数定理及中心值定理的应用 电子工程学院 目录 摘要........................................... 错误！未定义书签。第一章引言...................................... 错误！未定义书签。第二章大数定律 (2) 2.1大数定律的发展历史 (2) 2.2大数定律的定义 (3) 2.3几个常用的大数定律 (3) 第三章大数定律的一些应用 (6) 3.1大数定律在数学分析中的一些应用 (6) 3.2大数定律在保险业的应用 (6) 3.3大数定律在银行经营管理中的应用 9结论 (11) 参考文献 (12) 对于随机现象而言,其统计规律性只有在基本相同的条件下进行大量的重复试验才能显现出来.本文主要是通过大数定律来讨论随机现象最根本的性质——平均结果稳定性的相关内容.大数定律,描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律,是随机现象统计规律性的具体表现. 本文首先介绍了大数定律涉及的一些基础知识,以便于对文中相关知识的理解.通过比较,就不同条件下存在的大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律和强大数定律,总结了大数定律的应用,主要有大数定律在数学分析中的应用,大数定律在生产生活中的应用,大数定律在经济如：保险、银行经营管理中的应用等等,将理论具体化,将可行的结论用于具体的数学模型中,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识. 概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律.大数定律是概率论中一个非常重要的课题,而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带.大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性,证明了在大样本条件下,样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论,通俗地说,这个定理就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率以概率为稳定值. 在现实生活中,经常可以见到这一类型的数学模型,比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们向上抛硬币的次数足够多时,达到上万次甚至几十万几百万次之后,我们会发现,硬币向上的次数约占总次数的二分之一,偶然中包含着必然.又如：在分析天平上称重量为a 的物品,若以12,,x x 3,...,n x x 表示n 次重复称量的结果,经验告诉我们,当n 充分大时,它们的算术平均值1 1n i i X n =∑与a 的偏差就越小.这种思想,不仅在整个概率论中起着重要00作用,而且在其他数学领域里面也占据着相当重要的地位. 大数定律的发展与研究也经历了很长一段时间,伯努利是第一个研究这一问题的数学家,他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.现在,大数定律的相关模型已经被国内外广大学者所研究,特别是应用在实际生活中,如保险业得以存在并不断发展壮大的两大基石的一个就是大数定律.许多学者也已经在此领域中研究出了许多有价值的成果,讨论了在统计,信息论,分析、数论等方面的应用.在许多数学领域中,广大学者对某些具有特定类型的数学模型,都能利用大数定律的思考方式总结其代表性的性质及结论,使得这些类型的数学模型在进行讨论的时候大大简化了繁琐的论证过程,方便了研究.大数定律作为概率论的重要内容,其理论成果相对比较完善,这方面的文章较多,结果也比较完美,但对大数定律的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对大数定律的理解,而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中.下面文中就通过对大数定律的讨论,给出了各大数定律之间的关系,归结出一般性结论.最后列举了一些能用大数定律来解决的实例,希望能通过这些实例,来进一步阐明大数定律在各个分支学科中的重要作用,以及在实际生活中的应用价值,加深大家对大数定律的理解. 概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。 习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 第一章 概率论的基本概念 一、填空题 1．;)3(;)2(;)1(C B A C B A C B A C B A C AB )()4(C B C A B A C B A C B A C B A C B A 或; 2． 2 1 81，； 3．6.0； 4． 733.0，； 5． 8.0,7.0； 6． 87； 7． 85； 8. 996.01211010 12或A -； 9． 2778.0185 6 446==A ；10. p -1. 二、选择题 D ；C ；B ；A ；D ； C ；D ；C ；D ；B . 三、解答题 1.解：).()()()(),((AB P B P AB P A P A B P B A P -=-∴=） 相互独立， 又）B A B A P B P A P ,,9 1 )(),((==∴ .3 2 )(,91)](1[)()()()(22=∴=-===∴A P A P A P B P A P B A P 2.解： 设事件A 表示“取得的三个数字排成一个三位偶数”，事件B 表示“此三位偶数的末 尾为0”，事件B 表示“此三位偶数的末尾不为0”，则: =)(A P )()(B P B P += .125 3 4 1 2123423=+A A A A A 3.解：设A i =“飞机被i 人击中”，i =1,2,3 , B =“飞机被击落”, 则由全概率公式： )()()()((321321B A P B A P B A P B A B A B A P B P ++== ） )()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P ++= (1) 设1H =“飞机被甲击中”，2H =“飞机被乙击中”，3H =“飞机被丙击中”, 则: =)(1A P 321(H H H P 321(H H H P 321(H H H P ) =+)(321H H H P +)(321H H H P )(321H H H P ) 由于甲、乙、丙的射击是相互独立的， 概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9） 6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件 是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤ 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 第一章随机事件与概率 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}； A={（正，反），（正，正）}； B={（正，正），（反，反）}； C={（正，反），（正，正），（反，正）}。 2.设31)(=A P ，2 1)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）AB =?，（2）B A ?，（3）81)(=AB P 解: （1）5.0)()()()()(==-=-=B P AB P B P AB B P A B P （2）6/13/15.0)()()()()()(=-=-=-=-=A P B P AB P B P AB B P A B P （3）375 .0125.05.0)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他 拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少 解: 记H 表拨号不超过三次而能接通。 Ai 表第i 次拨号能接通。 注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。 10 3819810991109101) |()|()()|()()()(2131211211321211=??+?+= ++=∴ ++=A A A P A A P A P A A P A P A P H P A A A A A A H 三种情况互斥 Θ 如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B ）问题变为在B 已发生的条件下，求H 再发生的概率。 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、， 则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。 ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示 下列事件： 《概率论与数理统计》论文题目：正态分布及其应用 学院：航天学院 专业：空间科学与技术 姓名：黄海京 学号：1131850108 正态分布及其应用 摘要：正态分布（normal distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态分布，以及确定医学参考值范围，药品规格，用量等。可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量。 关键词：正态分布， 一、正态分布的由来 正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution）。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年受次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。 正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ= 0,σ= 1的正态分布。 二、正态分布的特性 1. 正太分布的曲线特征 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。 （1）集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 （2）对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 （3）均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，概率论与数理统计习题集及答案
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