正弦定理教案
正弦定理教案
一．教材分析
1．教材的地位和作用：
本节内容位于普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一小节。本
节主要内容为正弦定理的探索证明及应用，是在初中学习了锐角三角函
数和解直角三角形的基础上更进一步探索三角形的边角关系，并且上升
到任意三角形。本节知识是对初中三角形边角关系知识的进一步深化和
准确量化，也为解决实际问题打下理论知识基础。
2．教学重、难点：
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用
难点：运用正弦定理解决实际问题。
二．教学目标
1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理及相关知识解决三角形基本问题。
2．引导学生通过观察、推导、比较、由特殊到一般归纳出正弦定理。
3．培养学生合情推理探索数学规律的思想能力。
三．教学与学法分析
(一).教法分析
教师通过复习回顾初中学习的三角形边角相关知识以及一些暂时无法解决的实际问题引入课题，然后再由特殊到一般的方法，先引导学生在熟悉的直角三角形中探索正弦定理，进而推广到任意三角形中探索正弦定理是否仍然成立。过程中让学生主动参与公式的证明推导过程，培养学生合情推理探索数学规律的思想能力。
(二).学法分析
学生在教师的引导下对旧知识进行回忆巩固，并亲自动手参与三角形中正弦定理的推导证明过程。由需解决的实际问题激发学生的求知欲，加深他们对正弦定理推导过程的认知，培养他们独立思考探索的能力，激发他们的学习兴趣。让他们感受数学知识的严谨科学性，加深对知识的理解掌握。
四．教学过程
（一）新课导入
1．复习旧知：在初中学过的三角形中，边角关系有哪些呢？
板书：（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数、大边对大角等）
2．在初中，我们在直角三角形中利用锐角三角函数进行了简单的解三角形，通过已知的边和角来求未知的边角。那么，在任意三角形中，如
果已知了三角形的某些边、角，又怎样解三角形呢？有没有更简单的
方法呢？
我们是否可以进一步对任意三角形边角关系进行准确的量化呢？这就
是我们今天将开始研究的内容。———引出课题：正弦定理（板书）
（二）新知探究
师：我们要学习正弦定理，那么什么是正弦定理呢？
下面我们首先从特殊的三角形——直角三角形中探究正弦定理：
（1） 如图：在直角三角形ABC 中，设BC=a ，AC=b ，AB=c ，则根据锐角
三角函数中正弦的定义，有：
sinA=c a , sinB=
c
b , sinC=1=
c
c 则有
C
c c B b
c A a
c s i n s i n s i n =
=
=，，
即有：
A a sin =
B
b
sin =
C
c sin =c 从而在直角三角形中有：
A
a
s i n =
B
b sin =
C
c sin （正弦定理公式）
思考：在直角三角形中，正弦定理关系式成立，那么对于任意的三角形，以上关系式是否还成立呢？ （2）（在锐角三角形中，要探讨正弦定理，需要构造直角三角形，因此想
到通过作高来构造直角三角形。）
如图：在锐角三角形ABC 中，设AB 边上的高CD ，根据锐角三角函数正弦的定义，有： sinA=
b CD , sinB=a
CD ，则有：CD=a.sinB=b.sinA
即：
A
a
sin =
B
b sin
同理可得：B b sin =C c sin ， A
a s i n =
C
c sin
A
从而有：
A
a s i n =
B
b sin =
C
c sin
（可知在锐角三角形中正弦定理仍然成立）
（师：那么对于钝角三角形是否还是成立的呢？下面请同学们自己动
手探索在钝角三角形正弦定理公式是否还是成立？通过探究，学生回答在钝角三角形中仍然成立。）
归纳概括正弦定理的文字表达：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
A
a s i n =
B
b sin =
C
c sin
（三）应用举例
师：我们学习了正弦定理，那么正弦定理可以用来解决哪些问题呢？
下面来解决两道例题。在解例题前，我们先来介绍解三角形的概念。
（一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三
角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。）
例1：在直角三角形ABC 中，已知 .032=∠A ，。8.81=∠B ，a=42.9
cm ，解三角形。
解：根据三角形内角和定理有：C ∠=180-（A+B ）=180-(32.0+81.8)=66.2
根据正弦定理得，b=A
B a sin sin =
0.32sin 8.81sin .9.42≈80.1 cm
c=
A C a sin sin =0
.32sin 2.66sin .9.42≈74.1 cm
例2：在ABC ?中，已知a=20 cm ，b=28 cm ，.40=∠A ，解三角形。 解：根据正弦定理，sinB=
a
A b sin =
20
40
sin .28。
=0.8999
。1800<
A
C a sin sin =
。
。
40
sin 76sin .20~30 cm
当B=。116时，C=。180-(。11640+。)=。24
c=
A
C a sin sin =
。
40
sin 24sin .20。
=13 cm
（四）课堂小结： （1）定理的表达形式：
A
a sin =
B
b sin =
C
c sin =
C
B A c b a sin sin sin ++++=k (k>0)
或a=k.sinA ，b=k.sinB ，c=k.sinC (k>0)
(2) 正弦定理的应用范围： 1. 已知两角和一边，求其他两边及一角
2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的
对角，进而可求其他边和角。
五．板书设计
六．教学后记
1正弦定理和余弦定理-教学设计-教案
教学准备 教学目标 1. 知识目标：理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；技能目标：理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性情感态度价值观：培养学生 在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； /难点教学重点2. 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判 断解的个数。教学用具 3. 多媒体标签 4. 正弦定理 教学过程 讲授新课在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角 根据锐BC=a,AC=b,AB=c, ABC．与边的等式关系。如图11-2，在Rt中，设角三角函数中正弦函数的定义，有 . ，又，则，中，ABC从而在直角三角 形．
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： ，根上的高是CDABC1（证法一）如图．1-3，当是锐角三角形时，设边AB CD=据任意角三角函数的定义，有，则. . 同理可得，从而
是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后ABC类似可推出，当自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ] 理解定理[）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系 数为同1 （ ；使一正数，即存在正数k，，
等价于2（），，。从而知正弦定理的基本作用为： ；①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 . 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。． 评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 2（1）题。）、（页练习第第随堂练习[]511
苏教版高中数学必修五正弦定理教案
第 1 课时： §1.1 正弦定理（1） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程； 2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题； 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】： 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】： 1. 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C == ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？ 2.这种关系在任意三角形中也成立吗？ 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 （1）在直角三角形中：c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B ， 即 =c A a sin ，=c B b sin ，=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形？ （2）斜三角形中 证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC 中，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==，每项
正弦定理第二课时教案1
§1.1 正弦定理第二课时教案 主备人：刘权 备课组长：刘权 共2课时第二课时 一、学习目标 1. 熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用 2. 探究三角形的面积公式 3. 能根据条件判断三角形的形状 4. 能根据条件判断某些三角形解的个数 二、重难点： 重点：正弦定理的应用；难点：已知两边及其中一边对角时三角形解的个数 三、学法指导 1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用； 2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数的有关公式，得出角的大小或边的关系。 四、课前预习 1.正弦定理____________________===________ 2.正弦定理的几个变形 (1)a =________ ,b=_________ ,c=_________ (2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______ (3)a:b:c =____________________. 3.在解三角形时，常用的结论 （1）在ABC ?中，A>B ?_________?_____________ ( 2 ) sin(A+B)=sinC ( 3 ) 三角形的面积公式： ______________________________________________ 五、课堂探究 1.正弦定理：（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使C k c B k b A k a sin ,sin ,sin ===； （2）正弦定理的变形形式： 1）————————————————————； 2）————————————————————； 3）————————————————————． （3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：
高中数学《正弦定理》公开课优秀教学设计
2016年全国高中青年数学教师优秀课教学设计 2016年10月 正弦定理 第一课时
一、教学内容解析 本节课《正弦定理》第一课时，出自新人教A版必修5第一章第一节《正弦定理和余弦定理》。课程安排在“三角、向量”知识之后，是三角函数知识在三角形中的具体运用，更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，同时也是处理可转化为三角形计算的其他数学问题及生产生活实际问题的重要工具。 本节课的内容共分为三个层次：第一，从实际问题导入，在解直角三角形的边角关系的基础上，触碰解斜三角形的思维困惑点，自然生成疑问，激发学生探究欲望，从熟悉的解直角三角形顺利过渡到即将要面对的解任意三角形，实现知识的螺旋式上升，符合学生的认知思维；第二，带着疑问，在探究得到直角三角形边角量化关系的基础上，以此作为启发点，首先对特殊的斜三角形边角量化关实验验证。其次是严密的数学推导证明，得到正弦定理，以解直角三角形为知识基础，验证和证明，教学过程中充分体现了转化化归的数学思想；第三，解决引例，首尾呼应，并学以致用。 正弦定理其实是把“大边对大角、小边对小角”这一几何关系的解析化。从三角学的历史发展来看，三角函数其实就是有关三角形、圆的性质的解析表达。这样在悄无声息中，渗透了学科发展中研究观点和研究方法的嬗变。这其实是一个推陈出新的过程。 通过这三个层次：探索发现——推导证明——实际应用。从实际中来，到实际中去。课堂上，引导学生充分体验、直观感知、大胆猜想、实验探究、理论验证以及实际应用。 二、教学目标设置 《数学课程标准》中关于本节课的课程目标要求是：“在本章中，学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系，并认识运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。” 根据课程目标，依据教材内容和学生情况，确定本节课的学习目标为： 1、通过观察、实验、验证、猜想、证明，从特殊到一般得到正弦定理；
《正弦定理》教学设计方案
探寻提出特例猜想：回顾直角三角形中边角关系.如图： 引导学生寻求联系，发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解. 小组交流，在教师引导 下得出：利用c边相同， 寻求形式的和谐统一，即： 在Rt△ABC中 引导 学生 经历 经历 由特 殊到 一般 的发 现过 程 提问： 思考：在斜三角中，上式关系是否成立1、小组交流合作 2、小组长上黑板展示：正 弦定理及其推导 在锐角三角形中 作CD AB于D，有 在钝角三角形中 引导 学生 通过 自主 探 究、 合作 交流 寻求 问题 结论 和解 决办 法
作CD AB于D，有 综上： （１）正弦定理展现了三角形边角关系的 和谐美和对称美； （２）解三角形：一般地，我们把三角形 的三个角和它的对边分别叫做三角形的元 素.已知三角形的几个元素求其他元素的过 程叫做解三角形. （３）思考：直接应用正弦定理至少需要已 知三角形中的几个元素才能解三角形？ 学生在教师引导下充 分理解正弦定理，掌握正 弦定理的结构特征，启发 学生思考正弦定理可以那 些解决解三角问题． 引 导学 生体 会正 弦定 理所 体现 的美 学价 值， 挖掘 正弦 定理 的应 用（１）正弦定理可以用于解决已知两角和 任意一边求另两边和一角的问题． 例１： 例１由学生给出条件 结合两道例题，引导学生 总结：(1)已知两角一边， 进一
（２）正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题.. 例2：解三角形，解的情况唯一；步深 化对 正弦 定理 的认 识和 理解 变式训练： 利用作图法总结已知两边及一边对角解三 角形时解的情况 讨论完成变式训练 六、教学评价设计 这堂课由实际问题出发，引导学生探索研究三角形中边角关系，展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、发现规律、推到证明，定理应用，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。在教学过程中，使学生体会认识事物由特殊到一般，再由一般到特殊的规律，体会分类讨论、数形结合的数学思想方法，并提高运用所学知识解决实际问题的能力。 七、教学板书 正玄定理 教学重点：1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用 教学难点：1.正弦定理的推导. 2.正弦定理的运用.
2018年必修五《正弦定理》教案
§1.1.2 正弦定理 一、知识与技能 1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 2通过三角函数、正弦定理等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 三、教学重点与难点： 重点：正弦定理的探索及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【授课类型】：习题拔高课 四、教学过程 一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？ 二、例题讲解 例 1试推导在三角形中 A a s i n =B b sin =C c sin =2R 其中R 是外接圆半径. 证明 如图所示，∠A ＝∠D ∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，C c sin R 2= ∴ A a sin = B b sin =C c sin =2R a b c O B C A D
例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===? 解：∵213 60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b ，C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角， 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===? 解2 3245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴< 课题：§2.1.1正弦定理 教学目标： 1．知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 3．情感目标：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教材版本：北师大必修5 教学课时：1 教学过程： 一、新课引入： 如左图，在ABC Rt ?中，有 s i n ,s i n ,s i n 1 a b A B C c c ===。 经过变形有,,sin sin sin a b c c c c A B C ===， 所以在ABC Rt ?中有：c C c B b A a ===sin sin sin 思考：在其他任意三角形中是否也有 s i n s i n s i n a b c A B C ==等式成立呢，这个时候 ?sin sin sin ===C c B b A a 观察下图，无论怎么移动B ’,都会有角B ’=B,所以在C AB '?中，c B b B b ==sin sin '， c正弦定理教案