当前位置：文档库 › Mathematica 实习八

Mathematica 实习八

实习八线性规划、数值计算与编程实验

实习目的

1.会用Mathematica 求解线性规划问题；

2.能用Mathematica 求极值；

3.会利用Mathematica 进行数据拟合；

4.能利用Mathematica 进行函数插值；

5.会用Mathematica 编制简单的程序。实习准备

一、线性规划

下列函数用于解线性规划问题：

ConstrainedMin[f ，{ineqns}，{x ，y ，…}] 在不等式约束的区域上求多元线性函数的最小值。

ConstrainedMax[f ，{ineqns}，{x ，y ，…}] 求最大值。

其中约定所有的自变量都非负，不等式可以使用各种不等号和等号。如果系数都是整数或分数，则答案也是整数或分数。

这两个函数有一个可选参数：

Tolerance 允许误差（默认值为10-6）。例1 求解下面的线性规划问题。（1）Max f =10x + 62y

s .t . ???

??<<<+>+5663

971y x y x y x

（2）Min f =1.5x + 2.5y

s .t .

?≥+≥+23

3y x y x （3）Max f =5x + 3y +2z +4t

s .t .

?=+++=+++10

23421085t z y x t z y x

解：In[1]：=ConstrainedMax[10x + 62y ，

{x + y > 1，x < 6，y < 5， 7x + 9y < 63}， {x ，y}] Out[1]={

2350，{x →

18，y →5}}

In[2]：=ConstrainedMin[1.5x + 2.5y ，

{x + 3y ≥ 3，x + y ≥ 2}， {x ，y}]

Out[2]={3.5，{x →1.5，y →0.5}}

In[3]：=ConstrainedMax[5x + 3y + 2z + 4t ，

{5x + y + z + 8t = = 10，2x + 4y + 3z + 2t = = 10}， {x ，y ，z ，t}] Out[3]={

40，{x →

5，y →

5，z →0，t →0}}

说明：上例In[1]说明，即使不等式使用严格的不等号，答案仍取在边界上。在In[2]中系数使用小数，则答案也是小数形式的。In[3]说明可以使用等号，但必须键入“= =”。

例2 求解下面的线性规划问题。

max f = x + 3y + 7z

s .t . ??

??<++≥+<-1053273z y x z x y x

解：In[1]：=ConstrainedMax[x + 3y + 7z ，

{x - 3y < 7，2x + 3z >= 5，x + y + z < 10}， {x ，y ，z}]

Out[1]={70，{x →0，y →0，z →10}}

此结果表明：当x = 0、y = 0和z = 10时，函数f （x ，y ，z ）取得最大值70。

当自变量和约束不等式较多时，以上输入参数的方法就不合适了，需改用矩阵来输入数据，为此还有求解线性规划的函数。

LinearProgramming[c ，m ，b] 其中c 是行向量，b 是列向量，m 是矩阵，自变量用列向量x 表示，在满足不等式m x ≥b 且x ≥0的区域，求函数c x 的最小值点x 。

注意：实际输入时，b 仍以行向量表示。例3 求解下面的线性规划问题。（1）Min f =12x 1 + 8x 2 + 16x 3 + 12x 4

s .t .

?????≥≥++≥++0,,,3

4222424

321421

321x x x x x x x x x x （2）Min f =2x 1 - 10x 2

s .t .

?????≥-≥-≥-0,5

502

121

21x x x x x x 解：In[1]：=LinearProgramming[{12，8，16，12}，{{2，1，4，0}， {2，2，0，4}}，{2，3}]

Out[1]={

1，1，0，0}

In[2]：=LinearProgramming[{2，-10}，{{1，-1}，{1，-5}}， {0，-5}]

Out[2]={

5，

说明：以上In[2]有无穷多解，但没有警告出现，In[1]为正常情况，复杂的系数矩阵可以由数据文件读入。

一、极小值

函数FindMinimum 寻找一个函数的极小值点，其调用格式如下：

FindMinimum[f ，{x ，x 0}] 从x 0出发求未知量x 的函数f 的一个极小值点和极小值。

FindMinimum[f ，{x ，{x 0，x 1}}] 当函数无法自动求出符号导数时，必须给出两个初值x 0，x 1。

FindMinimum[f ，{x ，x 0}，{y ，y 0}，…] 求多元函数的一个极小值点和极小值。

例4 求下列函数的极值：

（1）函数y = x 3 – x 2 – x + 1的极小值和极大值，（2）二元函数f （x ，y ）=

xy y x 22

1232

--+

的极小值，

（3）函数y = | 2x | 的极小值。

解：In[1]：=FindMinimum[x^3 - x^2 – x + 1， {x ，0}] Out[1]={0.，{x →1}}

In[2]：=FindMinimum[ -（x^3 - x^2 – x + 1）， {x ，0}]

Out[2]={-1.18519，{x → -0.333333}}

In[3]：=FindMinimum[3/2x^2 + y^2/2 – x y - 2x ， {x ，100}，{y ，100}] Out[3]={-1.，{x → -1.，y → -1.}}

In[4]：=FindMinimum[Abs[2x]，{x ，100}，Gradient →2Sign[x]， WorkingPrecision →30，AccuracyGoal →20， MaxIterations →100]

Out[4]={4.4×10-22，{x → - 2.18113×10-22}} In[5]：=FindMinimum[Abs[2x]，{x ，{100，-100}}， WorkingPrecision →30，AccuracyGoal →20， MaxIterations →100]

Out[5]={0，{x →0}}

说明：在上例中In[2]是求函数的极大值点，因为没有求极大值的函数，改求 - f 的极小值。In[3]求多元函数的极小值。In[4]说明可选参数的用法，提高精度必须增大迭代次数，由于Mathematica 不能自动求出导函数，必须人工给出。In[5]改用给出两个初始点。

二、方程求根

1．函数NSolve

函数NSolve 用于求代数方程（组）的全部近似解，其调用格式如下： NSolve[eqns ，vars ，n] 其中可选参数n 表示结果有n 位的精度。

例5 解方程（组）：（1）x 5

- 2x + 1= 0，（2）???=-=+0

1322y x y x 。

解：In[1]：=NSolve[x^5 - 2x + 1= =0，x ，20] Out[1]={{x → -1.2906488013467096224}，

{x → -0.1140706311645872998 -1.2167460039743506292ⅱ}， {x → -0.1140706311645872998+1.2167460039743506292ⅱ}， {x →0.5187900636758842219}， {x →1.0000000000000000000}}

In[2]：=NSolve[{x^2 + y^2 = =1，x^3 – y = =0}，{x ，y}] Out[2]={

{y → -1.24808+0.465332ⅱ，x →0.659334+0.880844ⅱ}， {y →-1.24808-0.465332ⅱ， x →0.659334-0.8808844ⅱ}， {y →1.24808+0.468552ⅱ，x →-0.659334+0.880844ⅱ}， {y →1.24808-0.468552ⅱ，x →-0.659334-0.880844ⅱ }， {y → 0.563624， x →0.826031}， {y → -0.563624， x →-0.826031}，

2．函数FindRoot

能解类型更广泛的方程（组）的函数是FindRoot ，大多数情况下它使用牛顿迭代法，无法求出符号导数时使用弦截法，其调用格式如下：

FindRoot[eqn ，{x ，x 0}] 从x 0出发求未知量x 的方程eqn 的一个解。

FindRoot[eqn ，{x ，x 0，xmin ，xmax}] 如果超过区间[xmin ，xmax]，则停止寻找。

FindRoot[eqn ，{x ，{x 0，x 1}}] 当方程无法求出符号导数时必须给出两个初值x 0，x 1。

FindRoot[{eqn1，eqn2，…}，{x ，x 0}，{y ，y 0}，…] 求方程组的一个解。

例6 解方程（组）：（1）100Sin x = x ，（2）???==+x

y y x 122，（3）e |x |

= 2。解：In[1]：=FindRoot[100Sin[x] = = x ，{x ，10}]

Out[1]={x →9.33133}

In[2]：=FindRoot[100Sin[x] = = x ，{x ，20}] Out[2]={x →19.0411}

In[3]：=FindRoot[{x^2 + y^2 = = 1，y = = x Exp[x]},{x ，.1},{y ，.5}] Out[3]={x →0.513489，y →0.858096}

In[4]：=FindRoot[Exp[Abs[x]] = = 2，{x ，{0，1}}]

Out[4]={x →0.693147}

说明：在上例中，In[1]和In[2]说明，取不同的初值可能得到不同的解。In[3]是解方程组，已经不是代数方程组了。In[4]是给出两个初值的例子，如果仅给一个初值则失败。

三、函数插值

1．插值多项式

函数InterpolatingPolynomial 求一个多项式，使给定的数据是准确的函数值，其调用格式如下：

InterpolatingPolynomial[{f 1，f 2，…}，x] 当自变量x 为1，2，3，…时的函数值为f 1，f 2，…。

InterpolatingPolynomial[{{x 1，f 1}，{x 2，f 2}，…}，x] 当自变量值为x i 时的函数值为f i 。

InterpolatingPolynomial[{{x 1，{f 1，df 1，ddf 1，…}}，…}，x] 规定x i 处的导数函数值。如果给定n +1个数据，则结果是n 次多项式。

例7 由下列已知条件求插值多项式。（1）

（2）

（3）当x = 1时，y = 2，y ′= 2，y ″= 1。

解：In[1]：=InterpolatingPolynomial[{1，2，-1，1}，x] Out[1]=)1()2()3(23

211x x x +-???? ?

+-???

+-+

-++ In[2]：=InterpolatingPolynomial[{{0，1}，{1，Exp[-1]}， {1/2，Exp[-1/2]}}，x]

Out[2]=x x e e e e ???

? ??+--???? ??+--++-+)1(1

)11(212111

In[3]：=InterpolatingPolynomial[{{1，{2，2，1}}}，x]

Out[3]=)1()1(21

22x x +-??

?+-+

说明：上例中的输出结果表明，所得答案是准确结果，而不是近似函数。其中In[3]是给出当x =1时的函数值和一、二阶导数值，由3个条件得到一个二次多项式。

2．插值函数（1） InterPolation

函数InterPolation 通过在数据点之间进行多项式插值，构造一个近似函数，与数据拟合不同，近似函数曲线总是通过已知的数据点，其调用格式如下：

InterPolation[{f 1，f 2，…}] 当自变量值为1，2，3，…时的函数值为f 1，f 2，…。

InterPolation[{{x 1，f 1}，{x 2，f 2}，…}] 当自变量值为x i 时的函数值为f i 。

InterPolation[{{x 1，{f 1，df 1，ddf 1，…}}，…}] 规定x i 处的导数函数值。如果构造多元近似函数，只要将参数改为：

{x i ，y i ，…，f i } 或 { x i ，y i ，…，{f i ，{dxf i ，dyf i ，…}}} 此外还有可选参数：

InterPolationOrder →n 指定插值多项式的次数（默认值为3）。

执行后返回的结果是形如：InterPolationFunction[domain ，table]的插值函数，虽然形式特殊，但能当做普通函数名（如sin ）一样理解：

InterPolatingFunction[domain ，table][x] 就是求x 处的函数值。不过无法直接键入或拷贝上式，使用时还应另起一个函数名来表示它。例8 给出数据表如下：

生成插值函数及其图形，并求当x = 27.1时的函数值。

解：In[1]：= data={{19.1，76.3}，{25，77.8}，{30.1，79.25}，{36，80.8}，

{40，82.35}，{45.1，83.9}，{50，85.1}}； f=Interpolation[data]

Out[2]= InterpolatingFunction[{{19.1，50.}}，< >] In[3]：= pd=ListPlot[data ，DisplayFunction →Identity]；

fd=Plot[f[x]，{x ，19.1，50}，DisplayFunction →Identity]； Show[{pd ，fd}，DisplayFunction →$DisplayFunction]

图13-47 插值函数的图形

Out[5]= -Graphics-

In[6]：=f[27.1]

Out[6]=78.3938

说明：上例中生成的插值函数是用f表示的，Out[2]给出插值函数的定义域是[19.1，50]，自变量可以用任何字符表示。由图13-47可知，给定的数据点在函数曲线上。

（2）ListInterpolation

函数ListInterpolation由自变量取网格点时对应的函数值表构造一个插值函数，使已知点处的近似函数的值等于已知值，其调用格式如下：

ListInterpolation[list，{{ x1，x2，…}，{ y1，y2，…}}] 其中list是由网格点{ x i，y j}对应的函数值组成的表（类似可推广到三元以上）。

ListInterpolation[list，{{ xmin，xmax}，{ymin，ymax}}] 自变量取指定区间上的等分点。

ListInterpolation[{{ f11，f12，…}，{ f21，f22，…}，…}] 只给出list，则自变量默认为取正整数。

例9观察下面的插值函数。

In[1]：=f1=ListInterpolation[

{{1.1，1.2，0.8}，{0.2，0.9，1.3}，{0.5，-0.7，1.4}}，

{{0，1，1.5}，{-1，0，2}}，InterpolationOrder→2]

f2=ListInterpolation[

{{1.1，1.2，0.8}，{0.2，0.9，1.3}，{0.5，-0.7，1.4}}，

InterpolationOrder→2]

Out[1]=InterpolatingFunction[{{0.，1.5}，{-1.，2.}}，< >]

Out[2]=InterpolatingFunction[{{1.，3.}，{1.，3.}}，< >]

In[3]：=f1[1.5，0]

Out[3]= -0.7

In[4]：=f2[3，2]

Out[4]= -0.7

In[5]：=f1[1.2，-0.3]

Out[5]=0.31516

In[6]：=f2[1.5，2.3]

Out[6]=1.26538

说明：以上生成插值函数时，因为数据太少，因此设置插值多项式的次数为2。其中f1与f2的区别是，后者的自变量取默认值。本例的目的是说明给定数据的格式与对应关系，同时说明已知点处的近似函数的值等于给定的值。

下例是第二种参数格式：

例10观察下面的插值函数。

In[1]：= f=ListInterpolation[

{{1.1，1.2，0.8}，{0.2，0.9，1.3}，{0.5，-0.7，1.4}}，

{{0，1.5}，{-1，2}}，InterpolationOrder→2]

Out[1]=InterpolatingFunction[{{0.，1.5}，{-1.，2.}}，< >]

In[2]：=f [0.75，0.5]

Out[2]=0.9

说明：使用第二种参数格式时，自变量取指定区间上的等分点。以上例子中，定义域的中心是（0.75，0.5），对应list[ [2，2] ]。

（3）FunctionInterpolation

函数FunctionInterpolation用于由普通函数或已存在的近似函数生成一个新的近似函数，其调用格式如下：

FunctionInterpolation[expr，{x，xmin，xmax}，{y，ymin，ymax}，…] 其中第一个参数是函数表达式，后面的参数指定函数的定义域。

例11观察下面的插值函数。

In[1]：= data=Table[Sin[x-2y]，{x，-2.，2.}，{y，-2.，2.}]；

f=ListInterpolation[data，{{-2，2}，{-2，2}}]

Out[2]=InterpolatingFunction[{{-2.，2.}，{-2.，2.}}，< >]

In[3]：= g=FunctionInterpolation[f[Cos[2πt]，Sin[2πt]]，

{t，0，1}]

Out[3]= InterpolatingFunction[{{0，1}}，< >]

In[4]：=Plot[{g[t]，f[Cos[2πt]，Sin[2πt]]}，{t，0，1}，

PlotStyle→{RGBColor[1，0，0]，RGBColor[0，0，1]}]

图13-48 比较两个函数差异的图形

Out[4]=-Graphics-

说明：上例中第一步生成一个二元近似函数，第二步使用FunctionInterpolation由复合函数生成一个新的近似函数，用以简化复合函数的计算过程。第三步同时绘制复合函数与它们的近似函数图形，如图13-48所示两者相差不大。

四、数据拟合

由一组已知数据（x k，y k）（k=1，2，…，n），求函数的近似解析式y=f（x），就是数

据拟合问题，当然函数还可以是多元的。

Mathematica提供了进行数据拟合的函数：

Fit[data，funs，vars] 对数据data用最小二乘法求函数表funs中各函数的一个线性组合作为所求的近似解析式，其中vars是自变量或自变量的表。

例如：

Fit[data，{1，x}，x] 求形为y=a+bx的近似函数式。

Fit[data，{1，x，x2}，x] 求形为y=a+bx+cx2的近似函数式。

Fit[data，{1，x，y，x y}，{x，y}] 求形为z=a+bx+cy+dxy的近似函数式。

以上出现的参数data的格式为{{x1，y1，…，f1}，{x2，y2，…，f2}，…}。

函数表中的函数还可以是更复杂的初等函数。

例12由下面给出的一组数据进行线性拟合，并绘制拟合曲线。。

解：In[1]：=data={{19.1，76.3}，{25，77.8}，{30.1，79.25}，{36，80.8}，

{40，82.35}，{45.1，83.9}，{50，85.1}}；

f=Fit[data，{1，x}，x]

Out[2]=70.5723+0.291456x

In[3]：= pd=ListPlot[data，DisplayFunction→Identity]；

fd=Plot[f，{x，19，52}，DisplayFunction→Identity]；

Show[pd，fd，DisplayFunction→$DisplayFunction]

图13-49 线性拟合的示意图

Out[5]=-Graphics-

说明：上例使用一次函数得到很理想的拟合，图形如图13-49所示。

例13由下面给出的一组数据进行二次函数拟合，并绘制拟合曲线。

解：In[1]：= data={{0.1，5.1234}，{0.2，5.3057}，{0.3，5.5687}，

{0.4，5.9378}，{0.5，6.4337}，{0.6，7.0978}，

{0.7，7.9493}，{0.8，9.0253}，{0.9，10.3627}}；

f=Fit[data，{1，x，x^2}，x]

Out[2]=5.30661-1.83196x+8.17149x2

In[3]：= pd=ListPlot[data，DisplayFunction→Identity]；

fd=Plot[f，{x，0，1}，DisplayFunction→Identity]；

Show[pd，fd，DisplayFunction→$DisplayFunction]

图13-50 使用二次函数拟合的示意图

Out[5]= -Graphics-

以上两例都是计算方法教材中的习题，利用Mathematica可以轻而易举地得到答案，并同时画出图形以便直观地了解拟合的质量。

以下是二元拟合。

例14观察下面的二元函数拟合。

In[1]：=Flatten[Table[{x，y，1 + 5x –x y}，

{x，0，1，0.2}，{y，0，1，0.2}]，1]

Out[1]={{0，0，1}，{0，0.2，1}，{0，0.4，1}，

{0，0.6，1}，{0，0.8，1}，{0，1.，1}，

{0.2，0，2.}，{0.2，0.2，1.96}，{0.2，0.4，1.92}，

{0.2，0.6，1.88}，{0.2，0.8，1.84}，{0.2，1.，1.8}，

{0.4，0，3.}，{0.4，0.2，2.92}，{0.4，0.4，2.84}，

{0.4，0.6，2.76}，{0.4，0.8，2.68}，{0.4，1.，2.6}，

{0.6，0，4.}，{0.6，0.2，3.88}，{0.6，0.4，3.76}，

{0.6，0.6，3.64}，{0.6，0.8，3.52}，{0.6，1.，3.4}，

{0.8，0，5.}，{0.8，0.2，4.84}，{0.8，0.4，4.68}，

{0.8，0.6，4.52}，{0.8，0.8，4.36}，{0.8，1.，4.2}，

{1.，0，6.}，{1.，0.2，5.8}，{1.，0.4，5.6}，

{1.，0.6，5.4}，{1.，0.8，5.2}，{1.，1.，5.}}

In[2]：=Fit[%，{1，x，y，x y}，{x，y}]

Out[2]=1.+5. x+7.77156×10-16 y -1. x y

In[3]：=Chop[%]

Out[3]= 1.+ 5. x -1. x y

说明：在上例的In[1]中，首先生成二元函数1+5x-xy在0≤x≤1，0≤y≤1时的一个数据

表，然后In[2]由这些数据反过来求二元函数，说明Fit 可以求解多元问题。In[3]使用函数Chop 去掉系数很小的项，以此消除误差。函数Chop 的一般形式为：

Chop[expr ，δ] 去掉表达式expr 的系数中绝对值小于δ的项，δ的默认值为10-10。最后这个例子用于说明Fit 的第二个参数中可以使用复杂的函数，不限于1，x ，x 2等基本类型。

例15 观察下面使用初等函数组合进行的拟合。 In[1]：= ft=Table[N[1+2Exp[-x/3]]，{x ，10}]

Out[1]={2.43306，2.02683，1.73576，1.52719，1.37775， 1.27067，1.19394，1.13897，1.09957，1.07135} In[2]：=Fit[ft ，{1，Sin[x]，Exp[-x/3]，Exp[-x]}，x] Out[2]= 1. -4.44089×10-15e -x +2.e -x/3+2.22045×10-16Sin[x] In[3]：=Chop[%] Out[4]=1. +2. e -x/3

说明：在上例中，In[1]由一个指数函数生成数据表，然后In[2]由这些数据反过来进行拟合，其中的第2个参数使用了几个初等函数，用于说明可以任意选用函数组成函数表。

五、 Mathematica 编程

Mathematica 具有很强的编程能力。与其它高级语言相似可以方便的进行流程控制。在其它高级语言中较困难的表达式处理问题，在Mathematica 中则非常简单。使用Mathematica 求解数学问题，编程比其它程序设计语言简单得多。

1. 条件控制

Mathematica 提供了许多设置条件的方法，给编程带来很大的灵活性。下面列出常用的条件语句。

（1） If[cond ，then ，else] 如果cond 为true ，计算then ，否则计算else 。

（2） Which[cond1，value1，cond2，value2，…] 依次计算condi ，给出对应第1个cond 为true 的value 值。

（3） lhs ：=rhs/；cond 如果cond 为true ，定义lhs 为rhs 。

（4） Switch[expr ，form1，value1，form2，value2，…，def] 比较expr 与formi ，给出第1个form 与expr 匹配的value 值，若全不匹配，给出值def 。

例16 定义一个阶梯函数??

?>≤-=0

10,

1)(x x x f 。

解：用If 语句

f [x_ ]:= If [x>0，1，-1] 也可用 /；cond

f[x_ ]:= 1/；x>0； f[x_ ]:= -1/；x<=0

例17 定义符号函数??

??>=<-=0

,10,

00,1)(x x x x g 。解：用If 语句

g[x_ ]:= If[x<0，-1，If[x>0，1，0]] 用Which 语句

g[x_ ]:= Which[x<0，-1，x= =0，0，x>0，1]

例18 定义函数r （x ）为x 除3余0时为a ，余1时值为b ，余2时值为c 。解： r[x_ ]:= Switch[Mod[x ，3]，0，a ，1，b ，2，c] 2. 循环控制

Mathematica 程序的执行包括对一系列Mathematica 表达式的计算。对简单程序表达式的计算可用“；”来分开，然后一个接一个的进行计算。然而，我们常常需对同一表达式计算多次，此时用循环结构则会使程序代码大为简化。

（1） Do 循环

Do[expr ，{i ，min ，max ，d}] 计算表达式expr ，其中i 从min 到max ，步长为d 。 Do[expr ，{n}] 计算表达式expr 共n 次说明：当min=1，d=1时可省略min ，d 。

例19 重复执行对t 的定义，取i =2，…，6，步长为2。解：In[1]：= t = x ；

Do[t=1/（1 + k t ），{k ，2，6，2}]； t Out[1]=

2141611+++

例20 计算2i ，i =1，2，…，8。解：In[2]：=Do[Print[2^i]，{i ，8}] 2 4 8

… 256 例21 设f （x ）=

+11，求f （x ）复合3次的函数f （f （f （x ）））。

解：In[3]：= t = x ；

Do[t=1/（1+t ），{3}]； t Out[3]=

+++

111111

例22 观察下面两个变量的循环。

In[4]：= Do[Print[{i ，j}]，{i ，4}，{j ，i - 1}] {2，1} {3，1} {4，1} {4，2} {4，3} （2） While 循环

While[cond ，expr] 只要cond 为True ，就重复计算expr 。

例23 已知n 0=17，求n i +1=??

???2i n ，i =0，1，…，直到n i 为0。

解：In[5]：= n = 17；

While[（n=Floor[n/2]）! =0，Print[n]] 8 4 2 1

（3） For 循环

For[start ，test ，incr ，expr] 以start 为初值，重复计算expr 和incr 直到test 为False 为止。

例24 计算3n +1，n =1，2，3，4，5。解：In[6]：=For[n=1，n<6，n++，Print[3n+1]] 4 7 10 13 16

例25 当i 2<10不成立时就中止循环。

解：In[7]：=For[i=1；t=x ，i^2<10，i++，t=t^2+i ；Print[t]] 1+x 2

2+（1+x 2）2

3+（2+（1+x 2）2）2

注意While 和For 循环，总是在执行循环体前，完成对循环条件的测试。一旦测试结果为False ，就终止循环。

在循环过程中，有时需要根据循环的执行结果来控制流程，这时用到下述控制流程函数： Break[ ] 退出最里面的循环。 Continue[ ] 转入当前循环的下一步。

Return[expr] 退出函数中的所有过程及循环，并返回expr 的值。

例26 观察下面退出循环的例子。 In[8]：= t = 1；

Do[t=t k ；Print[t]；If [t >19，Break[ ]]，{k ，10}] 1 2 6 24

习题13.7

1．求解下列线性规划。（1） max f = - x 1 + 2x 2

s.t. ???

??≥≥+≤+0,325

12121x x x x x x

（2） max f = 5x 1 + 4x 2 + 8x 3

s.t.??

??≥≤+-≥+-=++0,,15354

2623212121321x x x x x x x x x x

2．求极值。

（1）求函数y =

x x

10004000+在区间[0.1，10]上的最小值。

（2）求函数y = 800 - 1120x + 354x 2 - 35x 3 + x 4在区间[0，15]上的最大值和最小值。（3）求原点到曲面z = xy + x – y + 4的最短距离。

3．求方程x sin x +cos x –sin x - 2x = 0在区间[-1，1]上的一个近似根。 4．求方程x 3 - 6x 2 – 2x + 12 = 0的根。

5．一种合金在某种添加剂的不同浓度之下做实验，得数据如下表：

求二次多项式插值函数。

6．下表是某年美国旧轿车价格的调查资料，设x i 表示轿车的使用年数，y i 表示相应的平均

价格。

以ln y = a + bx 作拟合曲线进行拟合。 7．用Mathematica 编程计算1+

1 +

1+…+

1的前10，20，…，100项和的近似值（要

求结果为6位有效数字）。

复习题十三

8．求下列极限：

（1）x

tgx x 4sin 1lim 4

-→

；（2）x

x x x cos sec )1ln(lim

-+→；

（3）)1(lim 1

-∞

→x x e x ；

（4）x

x arctgx ?

??+∞→π2lim 。

9．求下列导数：

（1） sin n x cos nx ；（2） 1

1-+x x arctg

；

（3）

x x x -+

+--+1111；（4） f （sin 2 x ）+f （cos2x ）；

（5）cos 2 x ln x 求y ″；（6）ln （f （x ））求y ″。 10．

求下列积分：

（1）???

??-

x x x 211；（2）?

+dx x x x

arctg )

1(；

（3）?xdx e x 2sin ；（4）?++dx x x x )

()1(1

22；

（5）

?+3

1x x

dx ；（6）?e

dx x 1

)sin(ln ；

（7） ?

∞

+∞

-++dx

x x 2

；（8）?+∞

-0

sin tdt e at β (α>0，β>0)。

11．

求下列偏导数：

（1） z =x ln （xy ），求y

x z ???23

和

x z ???；

（2） z =f （sin x ，cos y ，e x +y

），求2

z ??；

（3） z =arctg y

x ，x = u +v ，y =u -v ，求

z u

??+

??。

12．

求下列各类积分：

（1） ??

dy y x dx ；

（2） ??

---+++10

)

1(1

x x

dz z y x dy dx ；

（3） ???Ω

dv z 2，其中Ω是两个球：x 2 + y 2 + z 2 ≤R 2和x 2 + y 2 + z 2 ≤2Rz 的公共部分；

（4）求两个曲面z =225y x --和x 2 + y 2 =4z 所围成立体的体积；

（5）求半径为R 的匀质球：x 2 + y 2 + z 2 ≤R 2对于位于点M 0（0，0，a ）（a >R ）处的

单位质量的质点的引力；

（6） ?+L

ds y x )(22，其中L 为曲线x = a （cos t +t sin t ），y = a （sin t -t cos t ），（0≤t ≤2π）；

（7） ?-+L

ydz zdy dx x 2，其中L 为曲线x = k θ，y = a cos θ，z = a sin θ上对应θ从0到π

的一段弧；

（8） ?+++

++L

dy y

y x dx x

y 2)1(12ln

，其中L 是正方形 -1≤x ≤1，-1≤y ≤1的正向边界；

（9） ??S

zdxdy y x 22，其中S 是球心在原点、半径为R 的球面的下半部分的下侧；

（10）??-+-+-S

dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(222，其中S 是锥面z =22y x +（0≤x ≤h ）

的外侧。

13．

求下列级数的和：

（1）∑=n

k k 1

；（2）∑∞

2k k x k ；

（3）∑

∞

n n n

；（4）∑∞

=++-1

12(1)1(n n

n n

14．求tg x 和arccos x 在x 0=0处的幂级数展开式，取n = 15。 15．

解下列常微分方程：

（1）x

x y y y )

2ln (-=

'；（2）y ′sin x cos x – y - sin 3x = 0；

（3）y ″+ 7y ′+ 10y = x e -2x cos5x ；（4）y ″+ y ′=1 - x

sin 1；

（5）求

dx = - 4x - 2y + 2e t ，

dy =6x + 3y - 3e t ，满足初始条件x （1）=0，y （1）=1的解。

16．计算行列式0

0000000002

bc ab d

b d

c b

a a a 。

17．

已知A =?????

???????32

21431

4324321

，P =[1 -1 -1 1]T ，完成下列矩阵或向量的运算：（1）求AP ，A 3，A -1，e A ，PP T ，P T P ；（2）求A 的全部特征值和特征向量。

18．

λ取何值时，线性方程组??

??--=-+--=--+=-+-,

1)5(42,24)5(2,122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x 有惟一解、无穷多解或无解？

在有解时求其解。 19．

已知B=???

???

??-20

012

031

，且A + B = AB ，求A 。

20．

求矩阵?????

????

???-----79

18133

211

1511的秩。 21．由已知数据表：

求4次拟合多项式，并绘图进行比较。

22．已知x = 0，2，3，5，6时的函数值为y = 1，3，2，5，6，求插值多项式，并绘图。 23．由第25题的数据表得到插值函数，并绘图。 24．求二重积分?

.01

.02

x y

dydx

e 。

25．用两种方法求广义积分?+∞

∞

--xdx e

sin

的近似值。当求数值积分失败时，如何解决？

26．找方程x = 0.5 + sin x 在1.5附近的根。 27．求方程组??

?-=+=y

x y y x x sin 2.0cos 7.0cos 2.0sin 7.0在（0.5，0.5）附近的解。

28．

一个小火箭垂直起飞，它的高度h （t ）满足常微分方程g

dt dh k m F dt

h d m ???

???????? ??--=2

，

其中推力F =3150kg ，火箭的质量m =1350-18t （kg ），阻力系数k =0.039kg ?s 2/m 2，g 是重力加速度。已知h （0）=0且h ′

(0)=0，求t =60s 时火箭的高度和速度。 29．求x 2 + 2y 2 - 4x - 2xy 极小值。

30．使用两个求解线性规划问题的函数，求

Min z = - 3x + y + z ，

x - 2y + z ≤11 s.t. - 4x + y + 2z ≥3

- 2x + z = 1

x ，y ，z ≥0

31．

某批产品长度（cm ）服从正态分布N （50，0.252），求以下概率：（1）长度小于49.2；（2）长度在49.5与50.5之间。 32．人的身高服从正态分布，从初一女生中随机抽取6名，测得身高（单位：cm ）如下：149，158.5，152.5，165，157，142。求初一女生平均身高的置信区间（α=0.05）。 33．岩石密度的测量误差服从正态分布，随机抽取12个样品，得到s = 0.2，求σ2的置信区间（α=0.1）。

34．

已知某一实验，其温度服从正态分布，现在测量了温度的5个值为：1250，1265，1245，1260，1275。问是否可以认为μ=1277（α=0.05）？

35．甲、乙两台车床生产同一种滚珠，从它们加工的滚珠中共抽取17个，测得直径（单位：mm）为：

甲：15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8

乙：15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8

假定滚珠的直径都服从正态分布，检验两台车床加工精度有无显著差异（α=0.05）。36．已知y对x1，x2，x3，存在线性回归关系，其中

x1——土壤内所含无机磷浓度，

x2——土壤内溶于碳酸钾溶液、并受溴化物水解的有机磷浓度，

x3——土壤内溶于碳酸钾溶液、但不受溴化物水解的有机磷浓度，

y——一种在土壤内的玉米中的可给态磷。

测得18组数据如下：

试求回归方程，并检验线性回归是否显著（α=0.05）。