空间立体体积的计算方法(1)

数学积分求体积方法概述

摘要:定积分在大学数学学习及应用中起着非常重要的作用,一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点,也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一,在我们的生活中起着很重要的作用!空间立体体积的计算在日常生活和学习中是十分重要的,对于规则的立体,中学里已有一些求解公式,对于不规则的立体,则需要用高等数学积分法加以解决。本文总结了几种常见的利用积分求立体体积的方法及案例,通过所学积分学知识建立了更为普遍的立体体积的求解方法和计算公式,同时也介绍了相关的物理方法,并从具体的例题入手充分挖掘了空间立体体积计算的一些思想和方法。

关键词:积分; 空间立体体积; 积分区域; 被积函数

引言

空间立体体积的计算是生活中常见的问题,对于规则的空间立体体积的计算在中学时就有具体的计算公式,但对于不规则的空间立体体积则难以计算。本文就主要针对各种形状的空间立体研究计算其体积的简便方法。

其实很多文献对空间立体体积的计算问题都进行了讨论,文献[1]就基本上包括了此问题的所有积分计算方法,并给出了相应的计算公式。文献[2]-[9]分别从不同方面对各种方法进行了细致说明,并对个别特例进行了深入分析,给出了特殊的积分计算方法。文献[10]则主要是对部分方法做出了总结,并列出了大量相关例题辅助理解。以上文献充分体现出积分思想在解题中应用广泛,特别是在计算空间立体体积领域。如果我们能够在积分学的基础上掌握空间立体体积的计算方法,则能使一些复杂的问题简单化,还易让人接受。所以我们要分析掌握积分法,以便于解决与此相关的各种复杂问题,特别是各种空间立体体积的计算问题。

空间立体体积的计算是高等数学积分法在几何上的主要应用,其主要思想是将体积表示成定积分或重积分,研究空间立体,确定积分区域及被积函数,然后综合考虑立体特征、积分区域及被积函数特点,选择恰当的积分方法,使空间立体体积的计算简单明了。本文在上述文献的基础上,总结了中学常见的空间立体体积的计算方法。同时又探讨了它们和其它不规则立体的多种积分计算方法,最后还介绍了求解空间立体体积的物理方法,充分展示了空间立体体积计算方法的多样性及灵活性,特别是积分思想在此领域的运用,有力地拓展了求解立体体积的思路。

1 用定积分计算空间立体的体积

当空间立体是旋转体或垂直于坐标轴的截面面积已知时,可用定积分计算其体积,分下面几种情形。

1.1 已知平行截面面积的立体体积的计算

对于空间一个立体,如果用垂直与某一定轴的 任意平面去截立体,得到的截面面积都是已知的 (即可以用学过的知识 ,公式计算),由于这些截面都是互相平行的,则称为平行截面面积为已知的立体。

用类似求图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,常见的已知几何体的截面积求几何体的体积,另一种是求旋转体的体积,解此类题常用的方法是我们将此物体划分成许多基本的小块。设Ω为三维空间中的位于[],a b 上的立体,若Ω的平行截面面积函数为()A x ,()A x 在区间[],a b 连续,则对应于小区间]d ,[x x x +的体积元素为

x x A V d )(d =,则Ω的体积为

()dx x A V b

a

?=[]1

例1 把长方体看作已知平行截面面积的立体运用定积分法计算例1中长方体的体积。

解 如图一所示对长方体建立三维直角坐标系,则以平面()b x x x ≤=00截长方体截面即为以a 长,以c 为宽的长方体,则其面积ac s =。

故由公式(1)求得长方体体积为 dx ac V b

?=0

.abc =

空间立体体积的计算方法(1)

图一

例2 把椭球体看作已知平行截面面积的立体运用定积分法计算例2中椭球的体积。

解 所给椭球,其椭球面方程为222

2221x y z a b c

++=,以平面()00x x x a =≤截椭球面,得椭

球在yoz 平面上的正投影:

2

2

2

2

220022111y z x x b c a a +

=????-- ? ?

??

?

?。

化椭球为参数方程

[]cos ,sin ,0,2.y t z t t π==∈

空间立体体积的计算方法(1)

空间立体体积的计算方法(1)

则由曲线所围图形的面积公式,求得此椭圆所围面积为

'

空间立体体积的计算方法(1)

空间立体体积的计算方法(1)

20sin cos A t t dt π??= ? ???

?

2021bc x a π??= ? ???

-。

故其截面面积函数为

()[]22,,.1bc x a a x A x a π??

=∈- ? ???

-

于是由公式()1求得椭球体积为

221a

a

x V bc dx a π-??=- ???

?

43

abc π=。

显然,当a b c R ===时,这就等于球的体积34

3

R π。

例3 把圆柱体看作已知平行截面面积的立体运用定积分法计算例3中圆柱体的体积。

解 如图二所示以圆柱体底面圆心为坐标原点,以底面两互相垂直方向分别为x 轴及

y 轴方向,以下底面圆心到上底面圆心方向为z 轴方向,建立三维直角坐标系。则以平面()h z z z ≤=00截圆柱体,得截面即为以0r 为半径的圆,故截面面积为.20r s π=

故由公式(1)求得圆柱体体积为 dz r V h

?=02π

.2

0h r ?=π

空间立体体积的计算方法(1)

图二

例4 把圆锥体看作已知平行截面面积的立体运用定积分法计算例4中圆锥体的体积。

解 如图三所示,若以平面()h z z z ≤=00截取圆锥体,得截面即为以

x h

r 0

为半径的圆,故截面面积为.2

0??

?

??=x h r s π

故由公式(1)求得圆柱体体积为

dz x h

r

V h ???

? ??=0

2

π .3

12

0h r ?=π

空间立体体积的计算方法(1)

图三 1.2旋转体体积的计算

设f 是[],a b 上的连续函数,Ω是由平面图形

()0,y f x a x b ≤≤≤≤

绕x 轴旋转一周所得的旋转体,那么易知截面面积函数为

()()[]2

,,.A x f x x a b π=∈????

故旋转体Ω的体积公式为

()2

b

a V f x d x π=???

?? []2[]3 ()2。

例5 把圆柱体看作旋转体运用定积分法计算圆柱体的体积。

解 如图四所示,此圆柱体可由平面图形0r y =[]h x ,0,∈绕x 轴旋转一周而得。 故由公式(2)知其体积为

dx r V h

?=02

h r ?=2

0π。

空间立体体积的计算方法(1)

图四

例6 把圆锥体看作旋转体运用定积分法计算例4中圆锥体的体积。 解 如图五所示,这圆锥体可由平面图形[]h x x h

r y ,0,00

∈≤≤绕x 轴旋转一周而得,所以由公式()2知其体积为

dx x h r V h

2

0?

??

????=π .3

1

20h r π=

又因同底同高的两个圆锥,在相同高度处的截面为相同的圆,即截面面积函数相同,所以

任一高为h ,底半径为0r 的圆锥(正或斜),其体积恒为h r 23

1

π。

空间立体体积的计算方法(1)

图五

2用二重积分计算空间立体的体积

由二重积分的几何意义知,当(),0f x y ≥时,二重积分(),D

f x y d σ??在几何上表示以

(),z f x y =为曲顶,D 为底的曲顶柱体的体积。其中二重积分计算时可根据积分区域D 的特点,把积分区域化为x 型区域或y 型区域,即把二重积分化为累次积分直接计算,或利用对称性简化积分区域,或根据被积函数特点对二重积分进行变换后计算[]4。

当曲顶柱体关于坐标轴对称时,可直接利用对称性,简化积分区域,进而使计算更简便。

例7 用二重积分法计算长方体的体积。

解 此长方体如图一所示,可看作以c z =为顶的立体,以长方形区域

(){

}a y b x y x D ≤≤≤≤=0,0, 为底的柱体。

故其体积为

??=D

cd V σ

??=a

b c d y dx 0

.abc = 例8 用二重积分计算例2中椭球体

222

222

1x y z a b c ++≤ 的体积。

解 由对称性,椭球体的体积V 是第一卦限部分体积的8倍,这一部分是以

z =为曲顶,以四分之一圆域

空间立体体积的计算方法(1)

(

空间立体体积的计算方法(1)

),0D x y y x a ????=≤≤≤≤??????

为底的曲顶柱体,所以

空间立体体积的计算方法(1)

8.D

V =??

应用广义极坐标变换,

由于z =,故由公式()4知

空间立体体积的计算方法(1)

21

8V d πθ=??

空间立体体积的计算方法(1)

21

8abc d πθ=??

空间立体体积的计算方法(1)

4.3

abc π

=

显然当a b c R ===时,则得球的体积为3

4.3

R π

例9 用二重积分计算例3中圆柱体的体积。 解 以如图二所示此圆柱体可看作以h z =为顶,

(){}

22022000,,x r y x r r x r y x D -≤≤--≤≤-=

为底的柱体。

??=D

hd V σ

?

?----=2

202

200

x r x r r r hdy dx

?--=0

2202r r dx x r h

.20h r ?=π 例10 用二重积分计算例4中圆锥体的体积。 解 以如图三所示此圆锥体可表示为220

y x r h z +=

。此圆锥体在xoy 平面上的投影

为.0,122==+z y x 这是xoy 平面上的圆,故积分区域为

(){}

22022000,,x r y x r r x r y x D -≤≤--≤≤-=。

被积函数为

().,220

y x r h y x f +=

故所求体积为

??

+=D

d y x r h V σ220

?

?---

-+=2202

200

220

x r x r r r dy y x r h dx

()

dx y x y x

y x y r h x r r 2

200

222

220

0ln 224-??????++++?=?

()?

??

????+-+-?=0

022022

2000ln 2

24r dx r x r x x r r r h

.3

1

20h r π=

若被积函数(),f x y 在积分区域D 上可积,变换()():,,,T x x u v y y u v ==满足变换条件,则

()()()()(),,,,,D

f x y d x d y f x u v y u v J u v d u d v ?

=????

[]

4 ()3其中?为经变换T 后的uv 平面上的积分区域,且()()

()

(),,0,,,x y J u v u v u v ?=

≠∈??。

例11 设()23

3,x

f x y y xy

=

+为定义在可求面积的有界闭区域D 上的非负连续函数,且D 为平面曲线221,3,,3xy xy y x y x ====所围成的有界闭区域。求以(),z f x y =曲面为顶,D 为底的空间立体的体积。

解 如图六阴影部分即为D 区域,则所求体积

23

3.D

x

V dxdy y xy =+??

2,,

u xy y v x =???=??

()

()2

2

2

,33,,2y

x

u v y v y y x y x x

x

?===?-

D 变为

()13,,13u u v v ≤≤????≤≤?

?

故由公式()3得

()1313

3113u v V dudv v u v

≤≤≤≤=

?+??? 3

321

1111dv du v u

=+?

? 2

l n 23

=。

空间立体体积的计算方法(1)

图六

当立体体积的积分区域是圆域或圆域的一部分,或者被积函数的形式为()

22

f x y +时,采用极坐标变换cos ,

:0,02sin ,x T r y θθπθ=?≤<+∞≤≤?=?往往能达到简化计算方法的目的。

此时,变换T 的函数行列式为

()cos sin ,sin cos r J r r r θθ

θθθ

-=

=。

()(),c o s ,s i n D

f x y

d x d y f r r r d

r d θθθ?

=????[]

5 ()4 。 如例12中所示便是运用了此方法,此处便不再举例。 3 用三重积分计算空间立体体积

由三重积分(),,V

f x y z dV ???或(),,V

f x y z dxdydz ???的性质知,当(),,1f x y z ≡

时,公式

V

dV ??? (5)

在几何上表示V 的体积,V 表示积分区域。用三重积分计算空间立体体积,可将三重积分化为累次积分计算,对于一般区域上的三重积分,常把它分解成有限个简单区域上的和来计算。或者利用换元法对三重积分进行变换从而计算空间立体体积,常用的变换有柱面坐标变换和球面坐标变换[]1。

例14 用三重积分计算例1中的长方体的体积。

解 由体积计算公式(5)知所求体积为

???

=V

d x d y d z V ???=c

a b dz dy dx 0

.abc = 例15 用三重积分计算例2中的椭球体体积。

解 首先作广义球坐标变换??

???≤≤=≤≤=≤≤=.20,cos ,0,sin sin ,10,cos sin :πθ?π?θ?θ?cr z br y r ar x T 于是.sin 2

?abcr J =在上

述广义球坐标变换下,V 的原象为(){}.20,0,10,,'πθπ?θ?≤≤≤≤≤≤=r r V 故由公式(8)有

???V dxdydz

???='sin 2V d drd abcr θ?? ???=1

20

20

s i n dr abcr d d ??θππ

.3

4

a b c π= 例16 用三重积分求半径为R 的球体的体积。

解 作球坐标变换??

?

??≤≤=≤≤=<≤=.20,cos ,0,sin sin ,0,cos sin :πθ?π?θ?θ?r z r y R r r x T 则.sin 2?r J =故由公式(8)知球体的

体积为

???V dxdydz

???='s i n 2V d d r d r θ?? ???=R

dr r d d 0

20

20

sin ??θππ

.3

43

R π=

例17 用三重积分计算例3中圆柱体的体积。

解 如图二所示V 在xy 平面上的投影区域D 为,022r y x ≤+按柱坐标变换来算,区域

'V 可表示为(){}.20,0,0,,0'πθθ≤≤≤≤≤≤=r r h z z r V

故由公式(7)知

???V dxdydz

dz drd r V θ???=' ???=0

20

r h

r d r dz d π

θ

.2

0h r ?=π

例18 用三重积分计算例4中圆锥体的体积。 解 如图三所示V 可看作由曲面220

y x r h

z +=

与h z =为界面的区域,V 在xoy 面上

的投影区域D 为,2022r y x ≤+按柱坐标变换区域得'V ,其可表示为

().20,0,,,00'?

?????≤≤≤≤≤≤=πθθr r h z r r h

z r V

故由公式(8)知

???='

V dz rdrd V θ

???=h

r

r h r r d z dr d 00

20

π

θ

.3

1

20h r π=

当把立体的积分区域V 投影到xy 平面或zx 平面yz 平面上时。可将三重积分化为相应的累次积分从而简化其计算。

如例16所用便是。

与二重积分一样,某些类型的三重积分作适当的变换后能使计算方便。设变换

()()():,,,,,,,,,T x x u v w y y u v w z z u v w ===满足相应的条件,则

(),,V

f x y z dxdydz ???

(

)()()()()'

,,,,,,

,,,,V f

x u v w y u v w z u v w J u

v w d u d v d w =???[]8 (6) 其中

()()',,0,,,.x

x x u v w y

y y

J u

v w u v w V u v w z z z u

v

w

?????????=≠∈????????? 例19 用三重积分计算下面曲面所围成图形的体积:

()2222,2,1, 1.z x y z x y x y x y =+=++=±-=±

解 由体积公式(5)知

.V

V dxdydz =???

22

,,,z

u v x y w x y x y

=

=+=-+ 则

12,11,1 1.u v w ≤≤-≤≤-≤≤

()()222222

,,224

.,,2

u v w v w x y z x y v w ?=-=-=-+?++

故由公式(6)知

22

2

1

1

1

114

v w V du dv dw --+=?

?? 142433??

=+ ???

2.3

= 若积分函数中含有22x y +,或积分区域为柱体或柱体的一部分时,就可用柱面坐标变换,且柱面坐标变换为

cos ,0,:sin ,02,,.x r r T y r z z z θθθπ=≤<+∞??

=≤≤??=-∞<<+∞?

变换T 的函数行列式

()cos sin 0,,sin cos 0.0

1

r J r z r r θ

θθθ

θ-== 则三重积分的柱面坐标换元公式为

()(

)'

,

,c o s ,s i n ,

,V

V f x y z d x d y d z f r r z r d r d d z θθθ=?????? (7)

这里'V 为V 在柱面坐标变换下的原像[]1。

如例19和例20便是运用的此方法,此处便不再举例。

若立体为球体或球体的一部分时,可用球坐标变换,且

sin cos ,0,

:sin sin ,0,cos ,02.x r r T y r z r ?θ?θ?π?θπ=≤<+∞??

=≤≤??=<

r r J r r r r ?θ

?θ?θ?θ?θ

?θ?θ?

?

-=-

2sin .r ?=

则三重积分的球坐标变换公式为

(),,V

f x y z dxdydz ???

()'

2s i n c o s ,s i n s i n ,c o s s i n V f r r r r d r d d ?θ?θ???θ=??? (8)

其中V 为'V 在球坐标变换T 的原像[]8。

如例17和例18运用的便是此方法。

例20 求由半径为a 的球面与顶点在球心,顶角为2α的圆锥面所围成的区域(如图

四)的体积[]10。

解 如图建立坐标系,则球面方程为

2222

.x y z a ++= 锥面方程为

空间立体体积的计算方法(1)

cot z = 取球坐标变换,由公式(8)知区域体积为

22

s i n a V d d r d

r π

α

θ??=?

?

?

30

2sin 3a d α

π??=??

()3

21cos .3

a πα=

-

空间立体体积的计算方法(1)

图七

4.论文小结

本文从总结中学常见立体体积的计算方法开始,依次列举了计算空间立体体积的各种方法。首先介绍了求已知平行截面面积的立体体积和旋转体体积的定积分法,然后又依次分析总结了计算空间立体体积的二重积分法和三重积分法。其中对于具有某些特征的立体,介绍了特殊的极坐标变换法、柱坐标变换法和球坐标变换法。对于中学时已经学过的常见立体体积的计算,像长方体体积、椭球体体积体积、圆柱体体积、圆锥体体积,文中分别利用定积分法、二重积分和三重积分法重新进行了计算。对于特殊立体球体在讨论椭球体时附带着加以了讨论,另外又单独运用三重积分法进行了计算。虽然它们的计算简单,但在这里却显得独到新颖。对于其它多种不规则立体体积的计算也都给予相应的积分方法,并附有典型例题辅助理解。最后又介绍了一种求立体体积的物理方

法,此方法更是简易方便。这些内容充分展示出空间立体体积计算方法的灵活性和多样性,有力地拓展了此领域的解题思路。

参考文献

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2005,(04)。

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2003,(13)。

[4] 赵春红。利用二重积分计算空间立体体积的一个简便方法[J]。沙洲职业工学院学报, 2003,(01)。

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[7] 祝浩锋,沈最意。计算定积分的特殊方法[J]。浙江海洋学院学报(人文科学版)

1995,(03) 。

[8] 孟祥彦,高建福。积分计算中的几种方法[J]。沈阳航空工业学院学报, 2003,(04) 。

[9] 李有法。数值计算方法[M]。北京,高等教育出版社。1996,(05)。

[10] 钱吉林,张祖发,刘敏思,刘丁酉。数学分析题解精粹[M]。崇文书局,2003,(10)。

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