2012高考函数总结
函数问题的题型与方法
（一）映射与函数 1.映射与一一映射 2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数
反函数的定义
设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=?(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=?(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=?(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=?(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反
函数，记作)(1
y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -=
（二）函数的性质 1. 函数单调性:
定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；
(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
等价关系：https://www.wendangku.net/doc/263102969.html,
(1)设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么
[]1212()()()0x x f x f x -->?
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在?>--上是增函数；
[]1212()()()0x x f x f x --
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.
2. 函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：
定义：在前提条件下，若有()()()()0f x f x f x f x -=--+=或，则f （x ）就是奇函数。
性质:（1）、奇函数的图象关于原点对称；
（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间； （3）、定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 . 偶函数：
定义：在前提条件下，若有()()f x f x -=，则f （x ）就是偶函数。
性质：（1）、偶函数的图象关于y 轴对称；
（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间； 奇偶函数间的关系：新 课标第 一网
(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；
(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）
(5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 3. 函数的周期性：
定义：对函数f （x ），若存在T ≠0，使得f （x+T ）=f （x ），则就叫f （x ）是
周期函数，
其中，T 是f （x ）的一个周期。 周期函数几种常见的表述形式：
(1)、f （x+T ）= - f （x ），此时周期为2T ；
（2）、 f （x+m ）=f （x+n ），此时周期为2m n - ； (3)、1
()()
f x m f x +=-
，此时周期为2m 。 （三）指数函数与对数函数 1.指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质
2.对数函数y=log a x的图象和性质:
3. 分数指数幂与根式的性质：
(1)
n
a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. （2）1
m n
m n
a
a
-=
=
0,,a m n N *>∈，且1n >）.
（3）n a =.
（4）当n 为奇数时，a =；当n ,0
||,0a a a a a ≥?==?-
4. 指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.
指数性质： (1)1、1p p
a a
-=
； （2）、0
1a =（0a ≠） ； (3)、()mn m n a a = (4)、(0,,)r
s
r s
a a a a r s Q +?=>∈ ； (5)、m n
a =；
指数函数：
(1)、 (1)x y a a =>在定义域内是单调递增函数；
（2）、 (01)x y a a =<<在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1） 对数性质：
(1)、 log log log ()a a a M N MN += ；（2）、 log log log a a a M
M N N
-= ； (3)、 log log m a a b m b =? ；(4)、 log log m n a a n
b b m
=
? ； (5)、 log 10a = (6)、 log 1a a = ； (7)、 log a b a b = 对数函数：
(1)、 log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数；
（2）、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）
(3)、 log 0,(0,1),(1,)a x a x a x >?∈∈+∞或
(4)、log 0(0,1)(1,)a x a x
N a
=
(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 对数恒等式：log a N a N =(0a >,且1a ≠, 0N >).
推论 log log m n a a n
b b m
=(0a >,且1a ≠, 0N >).
6.对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则https://www.wendangku.net/doc/263102969.html,
(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a
a a M
M N N
=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈; (4) log log (,)m n a a n
N N n m R m
=∈。
（四）补充
1.二次函数的解析式的三种形式：
(1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;
(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此 式）
(3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标
为12(,0),(,0)x x 时，设为此式）
2.常见函数的图像：
)(x f (R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴
是2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2
b a x -=
对称.
4. 对称变换：①y = f （x ））
（轴对称
x f y y -=???→? ②y =f （x ））
（轴对称
x f y x -=???→? ③y =f （x ））
（原点对称x
f y --=???→? 六．例题讲解
例1.已知函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
分析：x 的函数f(x 2
)是由u=x 2
与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量．由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u
＜
2，即0
＜
x 2
＜2．求x 的取值范围．
解：(1)由0＜x 2＜2， 得
例2.
已知xy ＜0，并且4x
2
-9y 2
=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．
分析： 4x 2-9y 2=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一
个函数关系y=f(x)，但加上条件xy ＜0呢？
所以
因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．
例3. 下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是（）A．1
B．2 C．3 D．4
分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误．
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．
若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A．
例4. 若y=log
a
(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（）A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)
分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使log
a
(2-ax)
有意义，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使log
a
(2-ax)在[0，1]上是x的减函数．由
于所给函数可分解为y=log
a
u，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0时为减函数，所以
必须a＞1；③[0，1]必须是y=log
a
(2-ax)定义域的子集．
解法一：因为f(x)在［0，1］上是x的减函数，所以f(0)＞f(1)，
即log
a 2＞log
a
(2-a)．
解法二：由对数概念显然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是减函数，y= log
a
u应为增函数，得a＞1，排除A，C，再令
故排除D，选B．
例5.（1997年全国高考试题）甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km／h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km／h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km／h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶．
分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决．
故所求函数及其定义域为
但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckm／h，所以(2)的解决需要
论函数的增减性来解决．
由于v
1v
2
＞0，v
2
-v
1
＞0，并且
又S＞0，所以即
则当v=c时，y取最小值．
例6．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)y=10|lgx|．
分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．
解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，
当x＜2时，即x-2＜0时，
这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图6)
(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10|lgx|=10lgx=x；
当0＜x＜1时，lgx＜0，
所以
这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图7)
例8. 已知f(x+199)=4x2＋4x+3(x∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．
分析：由f(x＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得
求得f(x)的最小值即f(x＋199)的最小值是2．
例9. 已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是．（）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或2
分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言．从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x∈F的图象与直线x=1的交点个数(这是一
次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．这里给出了函数y=f(x)的定义域是F ，但未明确给出1与F 的关系，当1∈F 时有1个交点，当1 F 时没有交点，所以选C ．
例10．方程lgx+x=3的解所在区间为 （ ）
A ．(0，1)
B ．(1，2)
C ．(2，3)
D ．(3，+∞) 分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx 与y=-x+3的图象(如图2)．它们的交点横坐标0x ，显然在区间(1，3)内，由此可排除A ，D ．至于选B 还是选C ，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较0x 与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此0x ＞2，从而判定0x ∈(2，3)，故本题应选C ．
例11. (1)一次函数f(x)=kx+h(k ≠0)，若m ＜n 有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x ∈(m ，n)都有f(x)＞0，试证明之；
(2)试用上面结论证明下面的命题：若a ，b ，c ∈R 且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca ＞-1．
分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k ≠0)， x ∈(m ， n)．若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x ∈(m ，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的．因此本问题的证明要从函数单调性入手． (1)证明：当k ＞0时，函数f(x)=kx+h 在x ∈R 上是增函数，m ＜x ＜n ，f(x)＞f(m)＞0；
当k ＜0时，函数f(x)=kx+h 在x ∈R 上是减函数，m ＜x ＜n ，f(x)＞f(n)＞0． 所以对于任意x ∈(m ，n)都有f(x)＞0成立．
(2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1．则f(a)=(b+c)a+bc+1．
当b+c=0时，即b=-c ， f(a)=bc+1=-2c +1．因为|c|＜1，所以f(a)=-2c +1＞0．
当b+c ≠0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x 的一次函数．因为|b|＜1，|c|＜1， f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0． 由问题(1)对于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0． 例12. 定义在R 上的单调函数f(x)满足f(3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x 都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x 可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．
(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R)， ① 令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)=log
2
3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)， k·3x＜-3x+9x+2，
32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x∈R成立．令t=3x＞0，问题等价于t2-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．
R恒成立．七．方法总结
⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.
⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
⑶.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；
④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法：①设x
1,x
2
是所研究区间内任两个自变量，且x
1
＜x
2
；
②判定f(x
1)与f(x
2
)的大小；③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x) /f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象。