2002级《高等数学》(Π)期末考试试卷(A
2003级《高等数学》（Ⅱ）期末考试试卷（A ）
（工科类）
专业： 姓名： 学号： 考试日期：2004.6.11.
说明：1. 本试卷共6页；
2. 答案必须写在该题后的横线上或括号中或写在该题下方空白处，不得写在 草稿纸中，否则该题答案无效.
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1．设L 为椭圆
22
143
x y +=，其周长记为a ，则=++?L ds y x xy )432(22 . 2．光滑曲面),(y x f z =在坐标平面x O y 上的投影域为D ，那么该曲面的面积可用二重积分表示为 .
3．设L 为圆周922=+y x 取正向，则曲线积分
=-+-?
L
dy x x dx y xy )4()22(2 .
4．在微分方程)1(232+=+'-''x e y y y x 中，可设其特解形式（不用求出待定系数）为=*y . 5．函数xyz z y x u 3332-++=的梯度在曲面 上垂直于z 轴. 二、选择题（本题15分，每小题3分）
1．设二元函数),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 处下列结论不一定成立的是（ ）
(A) 连续 (B) 偏导数存在 (C) 偏导数连续 (D) 有定义
2．由抛物线2x y =及直线1=y 所围成的均匀薄片（面密度为ρ）对于直线1:-=y l 的转动惯量为l I = ( ) （A ）??-D
dxdy x 2)1(ρ
(B) ??+D
dxdy x 2
)1(ρ
(C ) ??+D
dxdy y 2
)
1(ρ
(D) ??-D
dxdy y 2)1(ρ
3．设a 为常数，则级数
∑
∞
=??? ??
--1
cos 1)1(n n n a （ ）
(A) 发散 (B) 绝对收敛
(C) 条件收敛 (D) 收敛性与a 的取值有关
4．设Ω是由2
2y x z +=与1=z 所围成的在第一卦限的部分，则
???Ω
≠dv z y x f ),,(( )
（A ）
?
?
?-20
10
),,(x z z dy z y x f dx
dz (B)
?
?
?+-2220101
),,(y x x dz z y x f dy
dx
(C)
?
??
11
20
2
),sin ,cos (r rdz z r r f dr
d θθθ
π
(D)
?
?
?+-1
10
1
2
22),,(y x x dz z y x f dy
dx
5．设2
(),01f x x x =≤<，而正弦级数1
()sin n n S x b n x π∞
==
∑，其中
),3,2,1(sin )(2
10
==?
n xdx n x f b n π，则1()(
)2
S -=
1111()()()
()
2
4
4
2
A B C D -
-
三、（本题8分）设y
xe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有二阶连续导数，求y
x z
???2.
四、（本题8分） 设函数6),,(+---++=z y x yz zx xy z y x f ，问在点)0,4,3(P 处沿怎样的方向l ，f 的变化率最大？并求其最大的变化率.
五、（本题8分）计算二重积分
??+D
dxdy y x )(，其中}2),({22
x y x
y x D ≤+=.
六、（本题8分）计算曲面积分
dxdy z z e f dzdx y z e f z
dydz x y y
??
∑
???
?????+?
???
??+??????
??+???? ?
?+33
3
1
，其中)(u f 具有连续的导数，∑为由曲面,4,1,222222y x z y x z y x z --=--=+=所围立体表面外侧.
七、（本题 8分） 将函数)54ln()(-=x x f 展开为)2(-x 的幂级数，并指出其收敛域.
八、（本题 8分） 求幂级数n
n x n n ∑
∞
=+1
21的收敛域与和函数.
九、（本题 8分） 已知曲线积分
?
-+L
x dy x f ydx x f e )()](2[与积分路径无关，且0)0(=f ，求)(x f ，并计算
?
-+)
1,1()
0,0()()](2[dy x f ydx x f e x 的值.
十、（本题8分） 一容器在开始时盛有盐水溶液100升，其中含净盐10公斤，然后以每分钟3升的速率注入清水，同时又以
每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出，容器中装有搅拌器，使容器中的溶液保持均匀，求过程开始后1小时溶液的含盐量.
十一、（本题6分）证明],[,412cos )1(2
2121ππ-∈-π=-∑
∞
=-x x nx n n n ，并求级数∑
∞
=--1
2
1)1(n n n 的和.
2003级《高等数学》（Ⅱ）期末考试试卷（B ）
（工科类）
专业： 姓名： 学号： 考试日期：2004.6.11.
说明：1. 2. 答案必须写在该题后的横线上或括号中或写在该题下方空白处，不得写在 草稿纸中，否则该题答案无效.
一、填空题（本题15分，每小题3分） 1．设L 为圆周922=+y x 取正向，则曲线积分
=-+-?
L
dy x x dx y xy )4()22(2 .
2．在微分方程)1(232+=+'-''x e y y y x 中，可设其特解形式（不用求出待定系数）为
=*y .
3．设L 为椭圆
22
143
x y +=，其周长记为a ，则=++?L ds y x xy )432(22 . 4．光滑曲面),(y x f z =在坐标平面xOy 上的投影域为D ，那么该曲面的面积可用二重积分表示
为 .
5．函数xyz z y x u 3332-++=的梯度在曲面 上垂直于z 轴. 二、选择题（本题15分，每小题3分） 1．设a 为常数，则级数
∑
∞
=??? ??
--1
cos 1)1(n n n a （ ）
(B) 发散 (B) 绝对收敛
(C) 条件收敛 (D) 收敛性与a 的取值有关 2．设Ω是由22y x z +=与1=z 所围成的在第一卦限的部分，则???Ω
≠dv z y x f ),,(( )
（A ）
?
?
?-20
10
),,(x z z dy z y x f dx
dz (B)
?
?
?+-2220
10
1
),,(y x x dz z y x f dy
dx
(C)
?
??
11
20
2
),sin ,cos (r rdz z r r f dr
d θθθ
π
(D)
?
?
?+-110
1
2
22),,(y x x dz z y x f dy
dx
3．若二元函数),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 处下列结论不一定成立的是（ ）
(A) 连续 (B) 偏导数存在 (C) 偏导数连续 (D) 有定义 4．设2
(),01f x x x =≤<，而正弦级数1
()sin n n S x b n x π∞
==
∑，其中
),3,2,1(sin )(2
10
==?
n xdx n x f b n π，则1()(
)2
S -= 1111()()()
()
2
4
4
2
A B C D -
-
5．由抛物线2
x y =及直线1=y 所围成的均匀薄片（面密度为ρ）对于直线1:-=y l 的转动惯量为l I = ( )
（A ）??-D
dxdy x 2
)
1(ρ
(B) ??+D
dxdy
x 2)1(ρ
(C ) ??
+D
dxdy y 2)1(ρ
(D) ??-D
dxdy y 2
)1(ρ
三、（本题8分）设函数6),,(+---++=z y x yz zx xy z y x f ，问在点)0,4,3(P 处沿怎样的方向l ，f 的变化率最大？并求其最大的变化率.
四、（本题8分）设y
xe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有二阶连续导数，求y
x z
???2.
五、（本题8分）计算曲面积分
dxdy z z e f dzdx y z e f z
dydz x y y
??
∑
???
?????+?
???
??+??????
??+???? ?
?+33
3
1
，其中)(u f 具有连续的导数，∑为由曲面,4,1,222222y x z y x z y x z --=--=+=所围立体表面外侧. 六、（本题8分）计算二重积分
??+D
dxdy y x )(，其中}2),({22
x y x
y x D ≤+=.
七、（本题 8分）求幂级数n
n x n n ∑
∞
=+1
21的收敛域与和函数.
八、（本题 8分）将函数)54ln()(-=x x f 展开为)2(-x 的幂级数，并指出其收敛域.
九、（本题 8分）一容器在开始时盛有盐水溶液100升，其中含净盐10公斤，然后以每分钟3升的速率注入清水，同时又以
每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出，容器中装有搅拌器，使容器中的溶液保持均匀，求过程开始后1小时溶液的含盐量. 十、（本题8分）已知曲线积分
?
-+L
x dy x f ydx x f e )()](2[与积分路径无关，且0)0(=f ，求)(x f ，并计算
?
-+)
1,1()
0,0()()](2[dy x f ydx x f e x 的值.
十一、（本题6分）证明],[,412cos )1(2
2121ππ-∈-π=-∑
∞
=-x x nx n n n ，并求级数∑
∞
=--1
2
1)1(n n n 的和. 2003级《高等数学》（Ⅱ）期末试卷A 卷答案
专业年级： 姓名： 学号： 成绩：
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1．函数xyz z y x u 3332-++=的梯度在（ 曲面 xy z =2 ）上垂直于z 轴
2．设L 为椭圆22
143x y +=，其周长记为a ，则=++?L
ds y x xy )432(22 12a . 3．光滑曲面),(y x f z =在坐标平面x O y 上的投影域为D ，那么该曲面的面积可用二重积分表示
为 .
dxdy y z x z D
??
?
??
? ????+???
????+2
2
1 4．设L 为圆周922=+y x 取正向，则曲线积分
-+-?
L
dy x x dx y xy )4()22(2 18π .
5．在微分方程
x
e y y y x 2cos 23=+'-''中，可设其一个特解形式为
（x e B x e A y x
x 2sin 2cos 11*+=） . 二、选择题（本题15分，每小题3分）
1．若二元函数),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 处下列结论不一定成立的是（ D ）
(A) 连续 (B) 偏导数存在 (C) 偏导数连续 (D) 有定义
2．由抛物线2
x y =及直线1=y 所围成的均匀薄片（密度为ρ）对于直线1:-=y l 的转动惯量为l I =( C)
（A ）??-D
dxdy x 2)1(ρ (B) ??+D
dxdy x 2
)1(ρ
(C ) ??+D
dxdy y 2
)
1(ρ
(D) ??-D
dxdy y 2)1(ρ
3．设a 为常数，则级数
∑
∞
=??? ??
--1
cos 1)1(n n n a （ B ）
(C) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛性与a 的取值有关
4． 设Ω是由2
2y x z +=与1=z 所围成的在第一卦限的部分，则
???Ω
≠dv z y x f ),,(
(B )
（A ）??
?-1
2
),,(z
x z dy z y x f dx
dz (B) ??
?-+1
010
22
2),,(x y
x dz z y x f dy
dx
(C)
???2
1
1
2
),sin ,cos (πθθθr rdz z r r f dr d (D) ??
?-+1
0101
2
2
2),,(x y x dz z y x f dy
dx
5．设2
(),01f x x x =≤<，而正弦函数1
()sin n n S x b n x π∞
==
∑，其中
1
2()sin (1,2,)n b f x nxdx
n ==? ，则1
()(
)2S -= C 1111()()()
()
2
4
4
2
A B C D -
-
三、解下列各题（本题28分，每小题7分）
1．设y
xe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有二阶连续导数，求y
x z
???2.
=??x
z
'2'1f e f y + y
x z ???2=y y y y e f f xe f e f xe f '1'
'23''21''132''11++++ 2．设函数6),,(+---++=z y x yz zx xy z y x f ，问在点)0,4,3(P 处沿怎样的方向l ，f 的变化率最大？并求其最大的变化率.
)6,2,3()1,1,1()0,4,3(=-+-+-+=P y x z x z y g r a d f 解
.
7)0,4,3(.)6,2,3(==??=∴g r a d f l f
l f P
其最大的变化率为的方向变化率最大
沿 3．计算二重积分
??
+D
dxdy y x )(，其中}02,4),({2222≥-+≤+=x y x y x y x D .
.
2
2143316cos 3
16
cos 2
)(20
4cos 20
20
22
1
π-=π
-=θθ-
=θθ
-=-=+?
?
?
??????????π
θ
πd rdr r d xdxdy xdxdy
xdxdy xdxdy dxdy y x D D D D
D
＝－＝解
上
其中 },4),({221≤+=y x y x D ，}02),({222≤-+=x y x y x D . 4..计算曲面积分
dxdy z z e f dzdx y z e f z
dydz x y y
??
∑
???
?????+?
???
??+??????
??+???? ?
?+33
3
1
，其中)(u f 具有连续的导数，∑为由曲面,4,1,222222y x z y x z y x z --=--=+=所围立体表面外侧.
..)22(5
93
5
1sin 6sin 3)32
1
540
2
1
440
20
2
22π-=
???π
=??θ
=++?
?
?
????π
π
π
Ω
r d dr
r d d dv z y x （原式＝解
四、计算或证明下列各题（本题21分，每小题7分）
1． 将函数)54ln()(-=x x f 展开为2-x 的幂级数，并指出其收敛域.
.
4114
5,)2(34)
1(3ln )]2(3
4
1ln[3ln ]3)2(4ln[)(1
?
?? ??≤
???--+
=-+
+=+-=∑-x n x x x x f n
n 解 2．求幂级数n
n x n n ∑
∞
=+1
21的收敛域与和函数. n n n
x n n ∑
∞
=+02
!21 解：因为：)1,1(- 1, 1||
lim 1
收敛域为时级数发散，∴±==+∞
→x a a n
n n
)
11(),1ln()
1(111112
11
1111
12<<----=-+'
??
? ??-=????
?
?+'
??
?
??
?
++?
?∑?∑
∑
∑∑
-∞
=-∞
=∞
=∞
=∞
=x x x x dx x x x x dx
x dx x n x x n x n x n n x
x n n x n n n n n n n n ＝＝
3．证明],[,412cos )1(2
2121ππ-∈-π=-∑
∞
=-x x nx n n n ，并求级数∑
∞
=--1
2
1)1(n n n 的和. .],[,4
1222
2内展为余弦级数在故将为偶函数因为证ππ--πx x
)(,cos )1(43.
0,)1(4sin 1cos 2sin 2cos 2,3
221
2
2
2
2
3220
2
2020π≤≤π--+π=∴=-=??????-+π=π=
π=
π
=
∑
?
?
∞
=π
x nx n x b n nx n nx n x nx n x nxdx x a dx x a n n n n x
n x
整理得
],[,412cos )1(2
21
2
1ππ-∈-π=-∑
∞
=-x x nx n n n . 0=x 得
12)1(2
1
2
1π=-∑
∞
=-n n n . 五、计算下列各题（本题21分，每小题7分） 1．已知曲线积分?
-+L
x dy x f ydx x f e )()](2[与积分路径无关，且0)0(=f ，求)(x f ，并计算
?
-+)
1,1()
0,0()()](2[dy x f ydx x f e x 的
值.
,
)(2)(x e x f x f x
Q
y P -=+'??=??，得由
解
,31)(222x x dx x dx e Ce C dx e e e x f -=??
?
???+-=--?
??
因为0)0(=f ，所以3
1
=
C ， 于是 ).(3
1)(2x x e e x f -=-
故
??
?
--
=-+-10
2
1
)
1,1()
0,0()(31
0)()](2[dy e e
dx dy x f ydx x f e x
)(3
1
2e e --=-.
2．一容器在开始时盛有水100升，其中含净盐10公斤，然后以每分钟3升的速率注入清水，同时又以每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出，容器中装有搅拌器，使容器中的溶液保持均匀，求过程开始后1小时溶液的含盐量。
解：设在过程开始后t 分钟容器中含盐x 公斤，在时刻t 的容器内含液体100+3t-2t=100+t(升)，此时溶液的浓度为x/(100+t)（公斤/升）,经过dt 时间，容器内含盐改变dx （dx<0），从而由微元法知：dt t
x
dx 2100+-=
分离变量解此微分方程得：2
)100(t c
x +=
，当t=0时x=10,由此初始条件解得特解
,)100(102
5
t x += 当公斤，时9.316010 6025≈=
=x t 3．(1)验证)()!
3(!9!6!31)(3963+∞<<-∞++++++=x n x x x x x y n
满足微分方程x e y y y =+'+''
(2) 利用（1）的结果求幂级数∑∞
=0
3)!3(n n
n x 的和函数
解：即求x e y y y =+'+''的满足初始条件1|0==x y ,0|0='=x y 的特解.
2003级《高等数学》（Ⅱ）期末试卷B 卷答案
专业年级： 姓名： 学号： 成绩：
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1．设L 为椭圆22
143x y +=，其周长记为a ，则=++?L
ds y x xy )432(22 12a . 2．函数xyz z y x u 3332-++=的梯度在曲面 xy z =2 上垂直于z 轴
3．光滑曲面),(y x f z =在坐标平面xOy 上的投影域为D ，那么该曲面的面积可用二重积分表示为
dxdy y z x z D
??
???
? ????+???
????+2
2
1. 4．在微分方程x e y y y x 2cos 23=+'-''中，可设其一个特解形式为x e B x e A y x x 2sin 2cos 11*+=.
5．设L 为圆周922=+y x 取正向，则曲线积分=-+-?L
dy x x
dx y xy )4()22(2
π18.
二、选择题（本题15分，每小题3分）
1．由抛物线2
x y =及直线1=y 所围成的均匀薄片（密度为ρ）对于直线1:-=y l 的转动惯量为l I =( C)
（A ）??-D
dxdy x 2
)
1(ρ (B) ??+D
dxdy
x 2)1(ρ
(C ) ??+D
dxdy y 2
)
1(ρ
(D) ??-D
dxdy y 2)1(ρ
2．设2
(),01f x x x =≤<，而正弦函数1
()sin n n S x b n x π∞
==
∑，其中
1
2()sin (1,2,)n b f x nxdx
n ==? ，则1
()(
)2S -= C 1111()()()
()
2
4
4
2
A B C D -
-
3．若二元函数),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 处下列结论不一定成立的是（ D ）
(A) 连续 (B) 偏导数存在 (C) 偏导数连续 (D) 有定义 4．设a 为常数，则级数
∑∞
=???
?
?
--1
cos 1)
1(n n n a （ B ）
(D) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛性与a 的取值有关
5． 设Ω是由2
2y x z +=与1=z 所围成的在第一卦限的部分，则
???Ω
≠dv z y x f ),,(
(B )
（A ）??
?-1
2
),,(z
x z dy z y x f dx
dz (B) ??
?-+1
010
22
2),,(x y
x dz z y x f dy
dx
(C)
???2
1
1
2
),sin ,cos (πθθθr rdz z r r f dr d (D) ??
?-+1
0101
2
2
2),,(x y x dz z y x f dy
dx
三、解下列各题（本题28分，每小题7分）
1．设y
xe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有二阶连续导数，求y
x z
???2.
=??x
z
'2'1f e f y + y
x z ???2=y y y y e f f xe f e f xe f '1'
'23''21''132''11++++ 2．设函数6),,(+---++=z y x yz zx xy z y x f ，问在点)0,4,3(P 处沿怎样的方向l ，f 的变化率最大？并求其最大的变化率.
)6,2,3()1,1,1()0,4,3(=-+-+-+=P y x z x z y g r a d f 解
.
7)0,4,3(.)6,2,3(==??=∴g r a d f l f
l f P
其最大的变化率为的方向变化率最大
沿 3．计算二重积分
??+D
dxdy y x )(，其中}02,4),({2222
≥-+≤+=x y x y x
y x D .
.
2
2143316cos 3
16
cos 2
)(20
4cos 20
20
22
1
π-=π
-=θθ-
=θθ
-=-=+?
?
?
??????????π
θ
πd rdr r d xdxdy xdxdy
xdxdy xdxdy dxdy y x D D D D
D
＝－＝解
上
其中 },4),({221≤+=y x y x D ，}02),({222≤-+=x y x y x D . 4..计算曲面积分
d x d y z z
e
f d z d x y z e f z d y d z x y y
??
∑
???
?????+?
???
??+??????
?
?+???? ?
?+33
3
1
，其中)(u f 具有连续的导数，∑为由曲面,4,1,222222y x z y x z y x z --=--=+=所围立体表面外侧.
..)22(5
93
5
1sin 6sin 3)32
1
540
2
1
440
20
2
22π-=
???π
=??θ
=++?
?
?
????π
π
π
Ω
r d dr
r d d dv z y x （原式＝解
四、计算或证明下列各题（本题21分，每小题7分）
2． 将函数)54ln()(-=x x f 展开为2-x 的幂级数，并指出其收敛域.
.
4114
5,)2(34)
1(3ln )]2(3
4
1ln[3ln ]3)2(4ln[)(1
?
?? ??≤
???--+
=-+
+=+-=∑-x n x x x x f n
n 解 2．求幂级数n
n x n n ∑
∞
=+1
21的收敛域与和函数. n n n
x n n ∑
∞
=+02
!21 解：因为：)1,1(- 1, 1||
lim 1
收敛域为时级数发散，∴±==+∞
→x a a n
n n
)
11(),1ln()
1(111112
110
1111
12<<----=-+'
??
?
??-=??
?
???+'
??
?
??
?
++?
?∑
?∑
∑
∑∑
-∞
=-∞
=∞
=∞
=∞
=x x x x dx x x x x dx x dx x n x x n x n x n n x
x n n x n n n n n n n n ＝＝
3．证明],[,412cos )1(2
2121ππ-∈-π=-∑
∞
=-x x nx n n n ，并求级数∑
∞
=--1
2
1)1(n n n 的和. .],[,4
1222
2内展为余弦级数在故将为偶函数因为证ππ--πx x
)(,cos )1(43.
0,)1(4sin 1cos 2sin 2cos 2,3
2212
2
2
2
3220
2
2020π≤≤π--+π=∴=-=??????-+π=π=
π=
π
=
∑
?
?
∞
=π
x nx n
x b n nx n nx n x nx n x nxdx x a dx x a n n n n x
n x
整理得
],[,412cos )1(2
21
2
1ππ-∈-π=-∑
∞
=-x x nx n n n . 0=x 得
12)1(2
1
2
1π=-∑
∞
=-n n n . 五、计算下列各题（本题21分，每小题7分） 1．已知曲线积分?
-+L
x dy x f ydx x f e )()](2[与积分路径无关，且0)0(=f ，求)(x f ，并计算
?
-+)
1,1()
0,0()()](2[dy x f ydx x f e x 的
值.
,
)(2)(x e x f x f x
Q
y P -=+'??=??，得由
解
,31)(222x x dx x dx e Ce C dx e e e x f -=??
?
???+-=--?
??
因为0)0(=f ，所以3
1
=
C ， 于是 ).(3
1)(2x x e e x f -=- 故
??
?
--
=-+-10
21
)
1,1()
0,0()(3
1
0)()](2[dy e e dx dy x f ydx x f e x
)(3
1
2e e --=-.
2．一容器在开始时盛有水100升，其中含净盐10公斤，然后以每分钟3升的速率注入清水，同时又以每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出，容器中装有搅拌器，使容器中的溶液保持均匀，求过程开始后1小时溶液的含盐量。
解：设在过程开始后t 分钟容器中含盐x 公斤，在时刻t 的容器内含液体100+3t-2t=100+t(升)，此时溶液的浓度为x/(100+t)（公斤/升）,经过dt 时间，容器内含盐改变dx （dx<0），从而由微元法知：dt t
x
dx 2100+-=
分离变量解此微分方程得：2
)
100(t c
x +=
，当t=0时x=10,由此初始条件解得特解
,)
100(102
5
t x += 当公斤，时9.316010 6025≈==x t 3．(1)验证)()!
3(!9!6!31)(3963+∞<<-∞++++++=x n x x x x x y n
满足微分方程x e y y y =+'+''
(2) 利用（1）的结果求幂级数∑∞
=0
3)!3(n n
n x 的和函数
解：即求x e y y y =+'+''的满足初始条件1|0==x y ,0|0='=x y 的特解.