1.1回顾与总结(答案版)
必修一第一章回顾与总结
一、规律方法总结
1.在判定给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”；在表示一个集合时，要特别注意它的“互异
性”．
2．在集合运算中必须注意组成集合的元素及元素应具备的性质．
3．若集合中的元素是用坐标形式给出的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之．4．当集合中含有参数时，须对参数进行分类讨论，分类时要不重不漏．
5．函数相同的判定方法：①定义域相同；②对应关系相同(二者缺一不可)．
6．函数定义域的求法：求函数的定义域，就是求函数解析式有意义的自变量的取值范围．列出不等式或不等式组求其解集，具体要求：
(1)分式中分母不为零；
(2)偶次根式中被开方数非负；
(3)由实际问题确定的函数，其定义域要使实际问题不失去意义．
7．求函数值域的常用方法
(1)观察法：对于一些较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)图象法：作出函数的图象，观察图象得到值域；
(3)单调性法：利用函数的单调性求值域；
(4)配方法：把函数配方，利用二次函数的性质求出值域；
(5)换元法：通过换元，将所给函数化为易于求值域的函数；但要注意换元后新变量的取值范围；
(6)分离常数法：多用于有理分式，即将有理分式变形，转化为“整式与反比例函数类和”的形式，便于求值域．8．函数单调性的判断步骤
(1)在区间内任取两个自变量的值x1，x2，并且规定其大小关系，如x1>x2；
(2)作差f(x1)－f(x2)，变形(配方，因式分解等)确定符号；
(3)给出结论．
注意：求函数的单调区间不能忽视定义域，单调区间应是定义域的子集．当函数的单调区间不止一个时，中间不能用符号“∪”连接．
9．函数奇偶性的判断步骤
(1)先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；
(2)若函数的定义域关于原点对称，再用奇偶性的定义严格判定.
二、数学思想
1.数形结合的思想
【例1】已知集合A＝{x|－2 (1)若A∩B＝?，求实数a的取值范围； (2)若A B，求实数a的取值范围． 【解】∵A＝{x|－2 在数轴上将集合A表示出来，如下图所示，由图可知： (1)若A ∩B ＝?，则a ≤－2； (2)若A B ，则a ≥4. 【例2】 集合S ＝{x |x ≤10，且x ∈N *}，A S ，B S ，且A ∩B ＝{4,5}，(?S B )∩A ＝{1,2,3}，(?S A )∩(?S B )＝{6,7,8}，求集合A 和B . 【解】 如上图所示，∵A ∩B ＝{4,5}，∴将4,5写在A ∩B 中．∵(?S B )∩A ＝{1,2,3}，∴将1,2,3写在A 中． ∵(?S B )∩(?S A )＝{6,7,8}，∴将6,7,8写在S 中A ，B 之外． ∵(?S A )∩A 与(?S B )∩(?S A )中均无9,10， ∴9,10在B 中． 故A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{4,5,9,10}． 2．分类讨论的思想 【例3】 已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }． (1)若A 中只有一个元素时，求a 的值； (2)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围． 【解】 (1)应根据a 是否为0分两种情况进行讨论： ①a ＝0，此时A ＝???? ??－12，符合题意； ②a ≠0，则必须且只需Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1. ∴a ＝0，或a ＝1. (2)A 中至多有一个元素，也包括两种情形：①A 中有一个元素，由(1)知a ＝0，或a ＝1； ②A 中没有元素，此时应有????? a ≠0，Δ＝4－4a <0，得a >1. ∴a 的取值范围是a ≥1，或a ＝0. 【例4】 设函数f (x )＝x 2－2x ＋2(其中x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R )的最小值为g (t )，求g (t )的表达式． 【解】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. ①当t ＋1≤1，即t ≤0时，由下图知，截取减区间上的一段，g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1. ②当t ≤1 ③当t >1时，由下图知，截取增区间上的一段，则 g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋ 2. 综上可知：g (t )＝????? t 2＋1 (t ≤0)，1 (0 t 2－2t ＋2 (t >1). 3．等价转化的思想 【例5】 已知f (x )＝x 5＋ax 3－bx －8，f (－2)＝10，求f (2)的值． 【解】 令g (x )＝x 5＋ax 3－bx ，则g (x )是奇函数，此时g (－2)＝－g (2)，于是f (－2)＝g (－2)－8， ∴g (－2)＝f (－2)＋8＝18. ∴f (2)＝g (2)－8＝－g (－2)－8＝－18－8＝－26. 【例6】 已知定义域为(－2,2)的奇函数y ＝f (x )是增函数，且f (a －3)＋f (9－2a )>0，求a 的取值范围． 【解】 ∵f (x )是定义在(－2,2)上的奇函数， ∴f (a －3)＋f (9－2a )>0 ?f (a －3)>－f (9－2a )＝f (2a －9)． 又f (x )在(－2,2)上为增函数， ∴????? －2 a －3>2a －9，