江苏省南京市2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题

南京市2015－2016学年度第一学期期末学情调研

高 一 数 学 2016.01

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案

写在答题卡．．．

上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．

一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．

上． 1．函数f (x )＝

1

x – 3

的定义域是 ▲ ． 2．集合{0，1}的子集的个数为 ▲ ． 3．求值：log 345－log 35＝ ▲ ．

4．已知角α 的终边经过点P (2，－1)，则sin α 的值为 ▲ ．

5．已知扇形的半径为3cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为 ▲ cm 2． 6．函数f (x )＝cos (x －π3)，x ∈[0，π

2

]的值域是 ▲ ．

7．三个数a ＝0.32，b ＝log 20.3，c ＝20.3之间的大小关系是 ▲ （用a ，b ，c 表示，并用“＜”连结）．

8．将函数y ＝sin2x 的图象向右平移π

个单位长度，所得图象的函数解析式是 ▲ ．

9．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝3，AD ＝2， 且BE →＝EC →，DF →＝12FC →，则AE →·BF →

＝ ▲ ．

10．已知函数f (x )＝3

x

－log 2x 的零点为x 0，若x 0∈(k ，k ＋1)，其中k 为整数，则k ＝ ▲

．

C E （第9题）

11．已知函数f (x )＝???e x ， x ≤0，ln x ，x ＞0，

其中e 为自然对数的底数，则f [f (1

)]＝ ▲ ．

12．已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数，且f (lg x )＜f (1)，

则x 的取值范围是 ▲ ．

13．若函数f (x )＝m ·4x －3×2x ＋

1－2的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．

14．若函数f (x )＝sin(ωx ＋π

3

) (ω＞0) 在区间[0，2π]上取得最大值1和最小值－1的x 的值均

唯一，则ω的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分8分）

已知sin x ＝45，其中0≤x ≤π

2．

（1）求cos x 的值；

（2）求cos(－x )

sin(π

2－x ) －sin(2π － x )的值．

16．（本小题满分10分）

已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，c ＝(3，4) ． （1）求a · (b ＋c )；

（2）若(a ＋λb )∥c ，求实数λ的值．

17．（本小题满分10分）

经市场调查，某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t (天)的函数，日销售量(单位：件)近似地满足：f (t )＝－t ＋30(1≤t ≤20，t ∈N *)，日销售价格(单位：元)近似地

满足：g (t )＝ ???2t + 40，1≤t ≤10，t ∈N *，15， 11≤t ≤20，t ∈N *．

（1）写出该商品的日销售额S 关于时间t 的函数关系； （2）当t 等于多少时，日销售额S 最大？并求出最大值．

18．（本小题满分10分）

已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋?)（A ＞0，ω＞0，0＜?＜2π）的部分图象如图所示， 且f (0)＝f (5π6

)．

（1）求函数f (x )的最小正周期；

（2）求f (x )

（第18题）

19．（本小题满分10分）

已知| a |＝10，| b |＝5，a ·b ＝－5，c ＝x a ＋(1－x ) b ． （1）当b ⊥ c 时，求实数x 的值；

（2）当| c |取最小值时，求向量a 与c 的夹角的余弦值．

20．（本小题满分10分）

对于定义在[0，＋∞)上的函数f (x )，若函数y=f (x )－(ax ＋b )满足：①在区间[0，＋∞)上单调递减；②存在常数p ，使其值域为(0，p ]，则称函数g (x )＝ax ＋b 为f (x )的“渐近函数”． （1）证明：函数g (x )＝x ＋1是函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x ＋1

，x ∈[0，＋∞)的渐近函数，并求此时实

数p 的值；

（2）若函数f (x )＝x 2＋1，x ∈[0，＋∞)的渐近函数是g (x )＝ax ，求实数a 的值，并说明

理由．

南京市2015－2016学年度第一学期期末学情调研

高一数学参考答案 2016.01

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．

1． (3，＋∞) 2．4 3．2 4．－

55

5． 9 6．[12，1] 7．b ＜a ＜c 8． y ＝sin(2x －π

3)

9． －4 10．2 11．12 12．(1

10，10)

13． (0，＋∞) 14．[712，13

12)

二、解答题：本大题共6小题，共58分． 15．解（1）因为sin 2x ＋cos 2 x ＝1，

所以cos 2x ＝1－sin 2 x ＝1－(45)2＝9

25

． ……………………… 2分

又因为0≤x ≤π

2，故cos x ≥≤0，所以cos x ＝35． ………………… 4分

（2）原式＝cos x

cos x ―(―sin x )

＝cos x cos x ＋sin x

……………………… 7分 ＝

35

35＋45＝3

7． ……………………… 8分

16．解（1）因为b ＋c ＝(3，－2)＋(3，4)＝(6，2)， ……………………… 2分 所以a ·(b ＋c )＝(2，－1)·(6，2)＝12－2＝10． ……………………… 5分 （2）因为a ＋λb ＝(2，－1)＋(3λ，－2λ)＝(2＋3λ，－1－2 λ)， 又(a ＋λb )//c ，

所以4(2＋3 λ)＝3(－1－2 λ)， ……………………… 8分 解得λ＝－11

18

． ……………………… 10分

17．解（1）由题意知，S ＝f (t )·g (t )

＝???(2t ＋40)(－t ＋30)，1≤t ≤10，t ∈N *，15(－t ＋30)， 11≤t ≤20，t ∈N *．

………… 4分 （2）当1≤t ≤10，t ∈N *时，

S ＝(2t ＋40)(－t ＋30)＝－2 t 2＋20t ＋1200＝－2 (t －5)2＋1250．

因此，当t ＝5时，S 最大值为1250； ……………………… 7分 当11≤t ≤20，t ∈N *时，

S ＝15(－t ＋30)＝－15t ＋450为减函数，

因此，当t ＝11时，S 最大值为285． ……………………… 9分

综上，S 的最大值为1250．

答：当t ＝5 时，日销售额S 最大，最大值为1250元． …………… 10分

18．解（1）由题意知，函数图象的一条对称轴为x ＝0＋5π6

2＝5π

12， ………… 2分

则 T 4＝5π12－π6＝π

4

， 即T ＝π．

所以函数的最小正周期是π． ……………………… 4分 （2）由图可知，A ＝2，因为T ＝π，所以ω＝2π

＝2． ……………………… 6分

又f (5π12)＝－2，所以2 sin(5π6＋?)＝－2，即sin(5π

6

＋?)＝－1，

因此5π6＋?＝2k π－π

2，即?＝2k π－4π3，k ∈Z ．

因为0＜?＜2π，所以?＝2π3

．

所以函数的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋2π

3

)． ……………………… 8分

由2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π

2，k ∈Z ，

解得k π－7π12≤x ≤k π－π

12，k ∈Z ，

所以函数的单调增区间为[k π－

7π12， k π－π

12

]，k ∈Z ．……………… 10分 19．解（1）b ·c ＝b ·[x a ＋(1－x ) b ]

＝x b ·a ＋(1－x ) b 2

＝x ×(－5)＋(1－x )×5＝0，解得x ＝1

2． ……………… 4分

（2）| c |2＝[x a ＋(1－x ) b ]2＝x 2a 2＋2x (1－x ) a ·b ＋(1－x )2 b 2 ＝10x 2－10x (1－x )＋5(x －1)2 ＝25x 2－20x ＋5 ＝25(x －2

5

)2＋1．

所以，当x ＝2

5时，| c |2有最小值1，即| c |有最小值1． …………… 7分

此时，c ＝25a ＋3

5b ．

又a ·c ＝a ·（25a ＋3

5

b ）

＝25a 2＋35a ·b ＝25×10＋3

5

×(－5)＝1． 设向量a ，c 的夹角为θ ，

则cos θ ＝

a ·c | a || c |＝11×10＝10

10

． ……………………… 10分 20．解（1）由题意知，f (x )－x －1＝x 2＋2x ＋3x ＋1－x －1＝x 2＋2x ＋3－(x ＋1)2x ＋1 ＝ 2

x ＋1

．

易知，函数y ＝2

x ＋1

在[0，＋∞)上单调递减，且值域为(0，2]．

所以，函数g (x )＝x ＋1是函数f (x )＝x 2＋2x ＋3

x ＋1，x ∈[0，＋∞)的渐近函数，

此时p ＝2． ……………………… 3分

（2）①当a ＞1时，考察函数y ＝x 2＋1－ax ，

令y ＝0，得x 2＋1＝ax ，两边平方得x 2＋1＝a 2x 2，所以x 2＝1

a 2

－1

， 因为x ≥0，所以x ＝

1

a 2

－1

，即x ＝1

a 2

－1

时，函数y ＝x 2＋1－ax 的值为0． 因此，函数y ＝x 2＋1－ax 的值域不是(0，p ]．

所以g (x )＝ax 不是函数f (x )＝x 2＋1的渐近函数． ………………… 5分 ②当a ＝1时，考察函数y ＝x 2＋1－x ， 由于x 2＋1－x ＝

1x 2

＋1＋x

，下面考察t ＝x 2

＋1＋x ． 任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2， 则t 1－t 2＝x 2

1＋1＋x 1－x 2

2＋1－x 2

＝

x 2

1＋1－

x 2

2＋1＋x 1－x 2＝

x 21－x 2

2x 2

1＋1 +

x 2

2＋1

＋x 1－x 2

＝(x 1－x 2)(

x 1＋x 2

x 21＋1＋x 2

2＋1

＋1)＜0， 所以函数t ＝x 2＋1＋x 在[0，＋∞)上单调递增，

又当x 无限增大时，t 的值也无限增大，所以t 的取值范围是[1，＋∞)． 因为函数y ＝1

t

在(0，＋∞）单调递减，

从而函数y ＝x 2＋1－x 在[0，＋∞）单调递减，且值域为(0，1] ．

所以g (x )＝x 是f (x )＝x 2＋1的渐近函数． ………………… 8分 ③当0＜a ＜1时，

方法（一）y ＝x 2＋1－ax ＝(x 2＋1－x )＋(1－a )x 因为x 2＋1－x ∈(0，1]，所以y ＞(1－a )x ． 假设y ＝ax 是f (x )＝x 2＋1的渐近函数，

则y ＝x 2＋1－ax 的值域为(0，p ]，故y 的最大值为p ． 设(1－a )x ＝p ，则x ＝p 1－a ，当x ＞p

1－a

时，必有y ＞p ，矛盾．

所以，此时g (x )＝ax 不是函数f (x )的渐近函数． ……………………… 9分

方法（二）记F(x)＝x2＋1－ax，则F(0)＝1，

由x2＋1－ax＝1，即x2＋1＝ax＋1，解得x＝

2a

1－a2

＞0，即F(0)＝F(

2a

1－a2

)，

所以函数y＝x2＋1－ax在[0，＋∞)上不单调，

所以g(x)＝ax不是函数f (x)的渐近函数．………………………9分④若a≤0，则函数y＝x2＋1－ax在[0，＋∞)上单调递增，不合题意．

综上可知，当且仅当a＝1时，g(x)＝x是函数f (x)＝x2＋1的渐近函数．

………………………10分