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初中数学培优专题之——一元二次方程与二次函数的关系

初中数学培优专题之—：

一元二次方程与二次函数的关系

方程与函数有着密切的联系，我们可以利用方程（组）解决函数问题，也可以利用函数解决方程（组）问题.我们知道，二次函数的一般形式是c bx ax y ++=2)0(≠a ，而一元二次方程的一般形式是02

=++c bx ax )0(≠a .显然当二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 中0=y 时就能得到一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，所以一元二次方程与二次函数是特殊与一般的关系. 一、知识链接透彻理解数学概念，提升你的数学内涵！

1.利用一元二次方程解决二次函数问题：

（1）对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 来说，当0=y 时，就得一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，因此我们可以利用一元二次方程求二次

函数图像与x 轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程

ac b 42

-=?的取值与二次函数图像与x 轴的交点坐标的情况之间

的关系：

①当042>-=?ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，抛物线

c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点；

②当042=-=?ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；

③当042<-=?ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点（抛物线要不全部在x 轴上方，要不全部在x 轴下方）.

(2)我们还可以利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与x 轴交点横坐标的有关求值问题：

当一元二次方程02

=++c bx ax 有两个不相等的实数根1x 、2x 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A(1x ,0)、B(2x ,0)，此时有a b x x -

=+21，1x ·a

c x =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为：

AB=21x x -=221)(x x -212

214)(x x x x -+=224a ac b -=a ?=（公式①）. （3）推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与c bx ax y ++=2与直线

b kx y +=（当0≠k 时为一次函数的图像，当0=k 时为平行于x 轴或与x 轴重合的一条直

线b y =）的交点情况.

2.利用二次函数解决一元二次方程问题

一方面，反过来，我们可以根据抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点情况去判断一元

二次方程02

=++c bx ax 的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地

去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题. 二、典例精讲参与数学解题过程，品味数学内在魅力！

例1 （2010年福州市中考题）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图10-1所示，

则下列结论正确的是( )

A ．a ＞0

B ．c ＜0

C ．b 2－4ac ＜0

D ．a ＋b ＋c ＞0

分析：a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点情况，抛物线的对称轴由

a 、

b 共同决定，b 2－4a

c 决定抛物线与x 轴的交点情况．本题中，

由于抛物线开口方向向下，因此a ＜0；抛物线与y 轴的交点（0，c ）

在x 轴上方，因此c ＞0；由于抛物线对称轴在y 轴右侧，所以x=

－b 2a

＞0，所以b ＞0；由于抛物线与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＞0．a ＋b ＋c 是x ＝1时的函数值，而图像上点（1，a ＋b ＋c ）在

x 轴上方，所以a ＋b ＋c ＞0．

答案：D ．

技巧提升：本题是二次函数图像信息探究问题．解决这类问题就应熟练掌握a 、b 、c 、

x ＝－b 2a

、a ＋b ＋c 、b 2－4ac 等与抛物线的位置特征之间的关系．例2 （2010年徐州市中考题）平面直角坐标系中，若平移二次函数

y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平

移方式为（）

A ．向上平移4个单位

B ．向下平移4个单位

C ．向左平移4个单位

D ．向右平移4个单位

分析：因为二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象与x 轴交于点（2008，0）和（2009，

0），这两点间的距离为1，而二次函数y=(x-2009)(x-2008)的图象可由二次函数

y=(x-2009)(x-2008)+4的图象向下平移4个单位得到．

答案：B ．

技巧提升：本题也可以倒过来想，容易知道抛物线y=(x-2009)(x-2008)+4经过点（2009，

4）、（2008，4），这两点的距离围为1，要将这两点平移到x 轴上，应将图像向下平移4个

单位．研究抛物线平移问题，一般我们要抓住特征对应点来分析．

例3 （2010年镇江市中考题）已知实数x ，y 满足x 2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最

大值为 .

分析：可以利用二次函数最值方法来求，由x 2＋3x ＋y －3＝0得，x ＋y ＝－x 2－2x ＋3

＝－(x ＋1)2＋4，所以当x ＝－1时，x ＋y 最大值为4；也可以尝试用换元法解决，设

k y x =+，则原方程可化为0322=-++k x x ，因为这个关于x 必有实数根，所以0)3(44≥--=?k ，解得4≤k ，所以k （即x ＋y ）的最大值为4.

答案：4.

技巧提升：第一种分析方法，由等式是一个关于x 的二次方程，也是关于y 的一次方程，所以可以联想到把式子转化为“x＋y”关于x 的二次函数，利用函数知识求解；第二种分析方法将问题转化为求关于x 的一元二次方程的参数k 的取值范围问题来解决，有异曲同工之效．

例4 （2010年日照市中考题）如图10-2，是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，其

对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象

可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 .

分析：由于已知了抛物线与x 轴的一交点为A （3，0），且

与对称轴x ＝1的距离为2，所以根据抛物线的轴对称性可知抛

物线与x 轴的另一交点应在对称轴左侧，且与直线x ＝1的距离

也为2，其坐标应为（－1，0）.观察图像可知，当－1＜x ＜3

时，抛物线在x 轴下方，所以不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是－

1＜x ＜3

答案:－1＜x ＜3.

技巧提升：不等式ax 2＋bx ＋c ＞ 0 （或＜ 0 ）的解集就是二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图

象在 x 轴上（下）方的点所对应的 x 的取值范围，因此不等式ax 2＋bx ＋c ＞ 0 （或＜ 0 ）

的解集与抛物线与x 轴的交点的横坐标有关，所以解决一般这类问题要先利用一元二次方程求出抛物线与x 轴的交点坐标．

例5 （2010年咸宁市中考题）已知二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0）（0m ≠）．

（1）证明243c b =；

（2）若该函数图象的对称轴为直线1x =，试求二次函数的最小值．

分析：本题是二次函数问题，可借助一元二次方程与二次函数的关系来解决．

解：（1）证明：

法一：依题意，m ，3m -是一元二次方程20x bx c +-=的两根．

根据一元二次方程根与系数的关系，得(3)m m b +-=-，(3)m m c ?-=-．

∴2b m =，23c m =， ∴224312c b m ==．

法二：由题意得???=--=-+039022c bm m c bm m ，①—②得0482=+-bm m ，因为0m ≠，

所以m b 2=．代入①得0222=-+c m m ，所以23m c =，所以2124m c =，22123m b =，所以243b c =．

法三：由抛物线的轴对称性可知其对称轴为2)3(2m m b x -+=-

=，可得m b 2=（下同法二）．

（2）解：法一：依题意，12b -

=，∴2b =-．由（1）得2233(2)344

c b ==?-=． ∴2223(1)4y x x x =--=--．

∴二次函数的最小值为4-．

法二：因为函数图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0），

所以由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线m x -=，

所以1=-m ，所以1-=m ，故抛物线与x 轴的两交点为)0,1(-、)0,3(，

所以抛物线的解析式为32)3)(1(2--=-+=x x x x y ，

当1=x 时，4321-=--=最小y ，

∴二次函数的最小值为4-．

技巧提升：本题两小题都给出了不同的解法，应注意体会不同解法的异同．一题多解，多中选优，平时解题的思考会带来解题能力的提升．

例6 （2010年杭州市中考题）定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m,1-m ,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(31，3

8)； ② 当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m<0时，函数在x >

41时，y 随x 的增大而减小；④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（）

A ．①②③④

B ．①②④

C ．①③④

D ．②④

分析：把m ＝－3代入[2m ，1–m , –1–m]，得a ＝－6，b ＝4，c ＝2，函数解析式为y ＝－6x 2+4x+2，易求出其图像顶点为(

31，38)，故①正确；当a=2m 、b=1-m 、c=-1-m 时，△=b 2－4ac ＝(1－m)2－4×2m×(－1－m)＝(3m+1)2，根据公式①可知函数图象截x 轴所得的线段长度为21x x -a ?=m

m 2)13(2+==m m 213+，当m ＞0时，21x x -=m m m 2123213+=+＞32，故②正确；∵m ＜0，∴抛物线开口向下.∵抛物线对称轴为x ＝－2b a ＝122m m --?＝1144m

-，∴在对称轴左侧，即当m x 4141-<时，y 随x 的增大而增大，对称轴右侧，即当m x 4141->时，y 随x 的增大而减小.在∵14<1144m

-,所以当x >41时，图像有可能一部分在对称轴左侧，一部分在对称轴右侧，故③不正确；对于抛物线y=2mx 2+(1-m)x-1-m 时，

当x=1时，y=2m+1－m+(－1－m)＝0，∴当m≠0时，抛物线一定经过(1，0)这个点，故④正确．

答案：B.

技巧提升：本题综合考查了二次函数的各个方面的知识，比如二次函数图像顶点公式、二次函数的增减性、函数图像上的顶点问题、抛物线与x 轴交点之间的距离等.其中第③个

问题体现了一元二次方程与二次函数关系的核心知识，应引起重视.

例7 （2008年扬州市中考题改编）若关于x 的一元二次方程0522

=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是．

分析：这是一个一元二次方程问题，如果直接用一元二次方程的根来列不等式组，需要列5个不等式，也就是：0402>-=?a 、 04402>-+-a a 、14

402<-+-a a 、 04402>---a a 、14

402<---a a ，这样将会很麻烦．那么如何解才能比较简单呢？如果我

们利用二次函数图像来帮助分析，解法将简单得多．令

522++=ax x y ，

如图10-3我们可以画出这个函数的大致图像．根据图像对称轴在y 轴右侧，可知04

>-a ，解得0-=?a 可得102-

坐标为1和2的两个点的纵坐标都是正数，所以可得

???>+?+?>+?+?0

52220511222a a ，可解得213->a ．这样就能得到a 的取值范围是1022

13-<<-a ．答案：1022

13-<<-a ．技巧提升：利用一元二次方程解决二次函数问题，这种题

型比较多，也容易想到.而反过来，利用二次函数解决一元二次方程问题，这种题型就比较少了，遇到的时候也不容易想到.以后遇到一元二次方程问题，用方程知识不好解决时，可以尝试用用二次函数．

例8 （2010年潍坊市中考题）已知函数y 1＝x 2与函数y 2

＝－12

x ＋3的图象大致如图10-4，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（）

分析：当y 1＜y 2时，在图象中反映的是直线在抛物线的上方，

也就是两函数图像两个交

点之间的部分，所以我们要求出这两个函数图像的交点．由??

???+-==3212x y x y 解得???=-=4211y x 、??

???==492322y x ，因此满足要求的自变量x 的取值范围应该是－2＜x ＜32 ．答案：C ．

技巧提升：作为选择题，解答本题时，也可以不解方程组．先根据直线在抛物线的上方排除答案B 、D ，再根据两函数图像的右交点更靠近对称轴（y 轴）可排除答案A ．

例9 （2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数()2

33y x a x =+-+的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围是．

分析：要注意抛物线()2

33y x a x =+-+与线段AB 恰有一个交点应包含两种情况：⑴抛物线 ()2

33y x a x =+-+与x 轴只有一个交点，这个交点恰好在线段AB 上．由判别式012)3(2=--=?a 0?=

33y x a x =+-+与x 轴有两个交点，其中只有一个在线段AB 上．设抛物线与x 轴的两个交点为C （0,1x ）、D )0,(2x （21x x <），则321=x x ．若只有点D 在线段AB 上，则101<x ．当点D 与点A 、B 都不重合时，函数如图10-5所示，从图像可以看出，图像上横坐标为1的点在x

轴上方，横坐标为2的点在x 轴下方，所以?

??<+-+>+-+03)3(2403)3(1a a ，解得112

a -<<-．当当点D 与点A 重合时，由031)3(12=+?-+a ，得1a =-，此时11=x ，32=x ，符合题

意；当点D 与点B 都重合时，由032)3(22

=+?-+a ，得12

a =-，此时21=x ，232=x ，不符合题意．综上所述，a

a <-，或者3a =- 技巧提升：本题中要注意对不同情况进行分类讨论，既要考虑到一般情况，还要考虑到特殊情况．

例10 （2010年全国初中数学联合竞赛试题）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．

分析：函数图象与x 轴两交点的横坐标就是方程04)1(2=-+++p k px x 的两根，可考虑利用一元二次方程根与系数的关系来解决．

解：由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有

p k x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++ ①

（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．

（2）若1k >，则01>-k .

因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数. 又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．

不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m

-+=，故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m

-++=+．又12x x p +=-，所以14k p mp m

--+=+，即 41)1(=-++m

k p m ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+?=，10k m ->，从而1(1)6k m p m -++>，与②式矛盾.

如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m -<，从而1(1)0k m p m

-++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根．

综上所述，1=k ．

技巧提升：由于方程两根之和为质数p ，所以只要有一个根是整数，则另一个根也必然是整数.我们也可以从方程根的特征来分析．根据一元二次方程求根公式可知方程

04)1(2

=-+++p k px x 的根应为216)1(42++-±-=p k p p x ，要使得其根为整数，根的判别式16)1(42++-p k p 的值必须是完全平方数．由于p 是质数，因此当16)1(42++-p k p 的值是完全平方数时，关于p 的二次三项式16)1(42++-p k p 必然等于2)(n p ±（n 为非负整数），也就是说16)1(42++-p k p 应成为关于p 的一个完全平方式，因此可得其064)1(162=-+=?k ，可解得11=k ，32-=k （舍去）．

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1．选择题：

（1）（2010年天津市中考题）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图10-6所

示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正10 （图10-8）

n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）

A ．512

B ．49

C ．1736

D ．12 （4）(2008年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛试题)在平面直角坐标系中，如果横

坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y ＝－x 2＋6x －274

的图象与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（）

（1）（2010年新疆维吾尔自治区中考题）抛物线y ＝-x 2

+bx+c

的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_______．

（2）（2010年玉溪市中考题）如图10-9是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在平面直角坐标系中的图象，根据图形判

断①c ＞0；② a +b +c ＜0；③ 2a -b ＜0；④b 2+8a ＞4a c

中正确的是（填写序号）．（3）（2006年全国初中数学联合竞赛辽宁卷）函数y = x 2 -2006|x |+ 2008的图象与x 轴交点的横坐标之和等于__________．

(4)（2010年全国初中数学联合竞赛题）二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，

?=∠30CAO ，则c = ． 3. （2010年佛山市中考题）（1）请在坐标系中画出二次函数x x y 22-=的大致图象；

（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程122=-x x 的根在图上近似的表示出来（描点）；

（3）观察图象，直接写出方程122=-x x 的根．（精确到0.1）

（图10-10）

4.（2010年长沙市中考题）已知：二次函数2

2y ax bx =+-的图象过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中a>b>0且a 、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）；

（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；

（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为1x 、2x ，求12||x x -的范围．

5.（2010年肇庆市中考题）已知二次函数12+++=c bx x y 的图象过点P （2，1）．

（1）求证：42--=b c ；

（2）求bc 的最大值；

（3）若二次函数的图象与x 轴交于点1(x A ，)0，2(x B ，)0，ABP ?的面积是43，求b ．

6． (2007年全国初中数学联合竞赛试题)设n m ,为正整数，且2≠m ，二次函数mt x mt x y 3)3(2--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离为1d ，二次函数nt x n t x y 2)2(2+-+-=的图象与x 轴的两个交点间的距离为2d .如果21d d ≥对一切实数t 恒成立，求n m ,的值.

7.（2009年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）已知抛物线2y x =与动直线

c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x .

（1）求实数t 的取值范围；

（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.

8．（2010年全国初中数学联合竞赛试题）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .

（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.

（2）设二次函数2

y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积. 第10讲．一元二次方程与二次函数的关系参考答案

1．选择题：（1）D ；（2）C ；（3）C ；（4）C ；

2．填空题：（1）－3＜x ＜1；(2) ②、④；（3）0；(4)

． 3.解：（1）如图所示；

（2）如图所示，抛物线x x y 22-=与直线y=1的两个交点的横坐标就是方程122=-x x 的两根，也就是x 轴上点C 、点D 所表示的数；

（3）方程的122=-x x 根为≈1x -0.4、≈2x 2.4.

4.解：（1）设一次函数的表达式为y ＝kx(k 为常数，k≠0) ．∵一次函数图象经过原点和点（1，－b ），∴把点（1，－b ），代入y ＝kx ，得－b ＝k,即k ＝－b ．

∴一次函数的表达式为y ＝－bx ．

（2）∵y=ax 2+bx －2过（1，0）即a+b=2

由2(2)2

y bx y b x bx =-??=-+-?得22(2)20ax a x +--=① ∵△＝224(2)84(1)120a a a -+=-+>

∴方程①有两个不相等的实数根，∴方程组有两组不同的解，

∴两函数有两个不同的交点．

（3）∵两交点的横坐标x 1、x 2分别是方程①的解 ∴122(2)24a a x x a a

--+== 122x x a -=

∴12x x -== 或由求根公式得出∵a>b>0，a+b=2， ∴2>a>1 令函数24(1)3y a =-+，

∵在1

4(1)312a <-+<，

∴2<<， ∴122x x <-<

5.解：（1）∵12+++=c bx x y 的图象过点P （2，1）

∴1241+++=c b

∴42--=b c

（2）)42(--=b b bc 2)1(2)2(222++-=+-=b b b

当1-=b 时，2-=c

此时，=?)1(42+-c b 0541)12(4)1(2>=+=+---=

∴当1-=b 时，bc 有最大值，最大值为2。

（3）由根与系数关系可知：b x x -=+21，121+=?c x x

21x x AB -=212214)(x x x x -+=)1(42+-=c b )142(42+---=b b 1282++=b b

P ABP y AB S ?=?214

31128212=?++?=b b 0393242=++b b

0)132)(32(=++b b

231-=b ，2

132-=b 当23-=b 或2

13-=b 时，0>? ∴ABP ?的面积是43时，23-=b 或2

13-=b 6.解: 因为一元二次方程03)3(2=--+mt x mt x 的两根分别为mt 和3-，所以31+=mt d ；

一元二次方程02)2(2=+-+-nt x n t x 的两根分别为t 2和n -，所以n t d +=22.

由21d d ≥得n t mt +≥+23，两边平方得22)2()3(n t mt +≥+

整理成关于t 的一元二次不等式得09)46()4(2

22≥-+-+-n t n m t m （1）由题意知042≠-m ，且（1）式对一切实数t 恒成立，

所以?????≤----=?>-,0)9)(4(4)46(,042222n m n m m 所以???≤->0)6(22mn m ，所以??

?=>,6,2mn m 所以???==,2,3n m 或???==.1,6n m

7.解：（1）联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程

2(21)0x t x c --+= ①

有实数根1x ，2x ，则121221,

x x t x x c +=-=．所以2221212121[()()]2

c x x x x x x ==+-+ =221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2

t t -+． ② 把②式代入方程①得221(21)(364)02

x t x t t --+-+= ③ t 的取值应满足22212

23t t x x +-=+≥0， ④ 且使方程③有实数根，

即22(21)2(364)t t t ?=---+＝2287t t -+-≥0， ⑤

解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 2t ≤2+

所以，t 的取值范围为2t ≤2+ (2) 由②式知22131(364)(1)222

c t t t =-+=-+.

由于231(1)22c t =-+在2-t ≤2+2t =-

时,2min 3111(21)2224

c -=--+=. 8．解：点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，

故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-.

（1）由8c b a <<知8293,938,

a a a a -<-??-

又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=.

(2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.

由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，

两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，

分解因式，得(98)(98)10m n --=.

所以981,9810,m n -=??-=?或982,985,m n -=??-=?或9810,981,m n -=-??-=-?或985,982,

m n -=-??-=-? 解得1,2,m n =??=?或10,913,9m n ?=????=??或2,97,9m n ?=-????=??或1,932,3m n ?=????=??

又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.

因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+，易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），

所以△ABC 的面积为1(21)212

?-?=．

一元二次方程综合培优难度大含参考复习资料

一元二次方程提高题 1、已知0200052 =--x x ，则 ()()2 1 122 3-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________1 2004 4007222=++ -a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a . 4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a . 5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 . 6、已知0=++c b a ，2=abc ，0φc ，则（） A 、0πab B 、2-≤+b a C 、3-≤+b a D 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a . 10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11φx ，03φ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定 11、已知α是方程041 2 =-+x x 的一个根，则α αα--331的值为 . 12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （） A 、2011 B 、2010 C 、2009 D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（） A 、14 B 、15 C 、16 D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （） A 、1 B 、1.5 C 、2 D 、2.5 16、方程97 33 322=-+- +x x x x 的全体实数根之积为（） A 、60 B 、60- C 、10 D 、10- 17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （）

人教培优一元二次方程辅导专题训练附答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程 2 (1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式221 6 k k k -+-的值．【答案】0. 【解析】【分析】由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2 则12123940x x x x a a +-?? ??-≥? ＝＝＝，由条件，知12 1212 11x x x x x x ++==3，即 33a -=，且94a ≤，故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0， Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则221 06 k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，?=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则17 8 k ≤ ，又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使221 6k k k -+-无意义. 综上，代数式221 6 k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程， 2．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC= ，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，

数学一元二次方程的专项培优易错试卷练习题附答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．阅读下列材料计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4 （3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3 【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2 【解析】【分析】（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．【详解】（1）令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝（2）令a2﹣5a＝t，则：原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2 （3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：（t+1）（t+3）＝3 t2+4t+3＝3 t（t+4）＝0 ∴t1＝0，t2＝﹣4 当x2+4x＝0时， x（x+4）＝0

解得：x1＝0，x2＝﹣4 当x2+4x＝﹣4时， x2+4x+4＝0 （x+2）2＝0 解得：x3＝x4＝﹣2 【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算． 2．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【解析】【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=1 2 ×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°． ∵∠ABC＝30°， ∴2QE＝QB． ∴S△PQB＝1 2 ?PB?QE．设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根据题意，1 2 ?（6﹣t）?t＝4． t2﹣6t+8＝0． t2＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．

一元二次方程提高培优题

1 一元二次方程提高题一、选择题 1．已知a 是方程x 2 +x ﹣1=0的一个根，则的值为（） A ． B ． C ．﹣1 D ．1 2．一元二次方程(2)2x x x -=-的根是（） =1 =0 =1和x=2 =-1和x=2 3．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（） A ． 289（1﹣x ）2=256 B ． 256（1﹣x ）2 =289 C ． 289（1﹣2x ）=256 D ． 256（1﹣2x ）=289 4．岑溪市重点打造的天龙顶山地公园在20XX 年12月27日试业了．在此之前，公园派出小曾等人到某旅游景区考察，了解到该景区三月份共接待游客20万人次，五月份共接待游客50万人次．小曾想知道景区每月游客的平均增长率x 的值，应该用下列哪一个方程来求出（） A ．20（1+x ）2=50 B ．20（1﹣x ）2=50 C ．50（1+x ）2 =20 D ．50（1 ﹣x ）2 =20 5．某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念,全班共送了2070张相片,如果全班有x 名学生,根据题意,列出方程为（） A ．(1)2070x x -= B ．(1)2070x x += C ．2(1)2070x x += D ． (1) 2070x x x -= 6．若关于x 的方程x 2 ﹣4x+m=0没有实数根，则实数m 的取值范围是 A ．m ＜﹣4 B ．m ＞﹣4 C ．m ＜4 D ．m ＞4 7．已知实数a ，b 分别满足22a 6a 40b 6b 40-+=-+=，，且a≠b，则 b a a b +的值是【】 A ．7 B ．－7 C ．11 D ．－11 8．已知关于x 的方程()2kx 1k x 10+--=，下列说法正确的是 A.当k 0=时，方程无解 B.当k 1=时，方程有一个实数解 C.当k 1=-时，方程有两个相等的实数解 D.当k 0≠时，方程总有两个不相等的实数解 9．若22 4x Mxy y -+是一个完全平方式，那么M 的值是（） A. 2 B. ±2 C. 4 D.±4 二、填空题 10．已知方程x 2 +（1﹣ ）x ﹣=0的两个根x 1和x 2，则x 12+x 22 = 11．已知m 和n 是方程2x 2 －5x －3＝0的两个根，则 1m ＋1 n ＝________． 12．若将方程2 67x x +=，化为()2 16x m +=，则m ＝________. 13．已知（x 2 ＋y 2 ）（x 2 －1＋y 2 ）－12=0，则x 2 ＋y 2 的值是_________? 14．某种药品原价为60元/盒，经过连续两次降价后售价为元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意，可列方程为． 15a 4+b 10--=，且一元二次方程2kx ax b 0++=有实数根，则k 的取值范围是 . 三、计算题 16．解方程：（x+3）2 ﹣x （x+3）=0．按要求解方程：

一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)

一元二次方程拓展提高题 1、已知0200052 =--x x ，则 ()()2 1 122 3-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________1 2004 400722 2=++ -a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a . 4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a . 5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 . 6、已知0=++c b a ，2=abc ，0 c ，则（） A 、0 ab B 、2-≤+b a C 、3-≤+b a D 、4-≤+b a % 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a . 10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11 x ，03 ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定 11、已知α是方程041 2 =-+x x 的一个根，则α αα--331的值为 . 12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （） A 、2011 B 、2010 C 、2009 D 、2008 { 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（） A 、14 B 、15 C 、16 D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （） A 、1 B 、 C 、2 D 、 16、方程97 33 322=-+- +x x x x 的全体实数根之积为（） A 、60 B 、60- C 、10 D 、10- 17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （）

初三数学培优——一元二次方程应用题

一元二次方程应用题数字问题 1 两个数的和为8，积为9.75，求这两个数。 2两个连续偶数的积是168,则这两个偶数是__________. 3 .一个两位数，个位数字与十位数字之和为5，把个位数字与十位数字对调，所得的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。增长（降低）率问题 1，（2009年江苏省）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程． 2.（莱芜）某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为____万元． 3，（2010年兰州）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是 A． 128 ) % 1( 1682= +a B．128 ) % 1( 1682= -a C． 128 ) % 2 1( 168= -a D．128 ) % 1( 1682= -a 4．（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由 3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是． 5，(2010台州市)某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为____________ ． 6，某木器厂今年一月份生产课桌500张，因管理不善，2月份的产量减少了10%，从3月份起加强了管理，产量逐月上升，4月份的产量达到了648张，求工厂3月份和4月份的平均增长率。 7，某城市按该市的“九五”国民经济发展规划要求，1997年的社会总产值要比1995年增长21%，求平均每年增长的百分率.

一元二次方程培优试卷

一元二次方程培优检测卷一、选择题（每题2分，共20分） 1．对于任意实数k ，关于x 的方程x 2－2(k +1)x －k 2+2k －1=0的根的情况为 ( ) A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法确定 2．如果一元二次方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根互为相反数，那么有 ( ) A ．m ＝0 B ．m ＝－1 C ．m ＝1 D ．以上结论都不对 3．方程x 2＋3x －1＝0的两个根的符号为 ( ) A ．同号 B ．异号 C ．两根都为正 D ．不能确定 4．把边长为1的正方形木板截去四个角，做成正八边形的台面，设台面边长为x ，可列出方程 ( ) A ．（1－x)2＝x 2 B ． 14 （1－x)2＝x 2 C ．(1－x)2＝2x 2 D ．以上结论都不正确 5．已知方程x 2＋bx ＋a ＝0的一个根是－a ，则下列代数式的值恒为常数的是 ( ) A ．b B ．a C ．a ＋b D ．a －b 6．设a 2＋1＝3a ，b 2＋1＝3b 且a ≠b ，则代数式11a b +的值为 ( ) A ．5 B ．3 C ．9 D ．11 7．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．1k >- B ．1k <且0k ≠ C ． 1k ≥-且0k ≠ D ． 1k >-且0k ≠ 8．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（） A ．2310x x -+= B ．2 10x += C ．2210x x -+= D ．2230x x ++= 9．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（） A ． 50（1+x 2）=196 B ． 50+50（1+x 2）=196 C ． 50+50（1+x ）+50（1+x 2）=196 D ． 50+50（1+x ）+50（1+2x ）=196 10．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-. 若我们规定一个新数“i ”,使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ）。并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于

一元二次方程专题能力培优含答案

第2章一元二次方程 2.1 一元二次方程专题一利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1.已知2 (3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（） A.m ≠3 B.m ≥3 C.m ≥-2 D. m ≥-2且m ≠3 2. 已知关于x 的方程2 1 (1)(2)10m m x m x +++--=，问：（1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；（2）m 取何值时，它是一元一次方程？专题二利用一元二次方程的项的概念求字母的取值 3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2 -1=0的常数项为0，求m 的值． 4.若一元二次方程2 (24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 . 专题三利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 5.已知关于x 的方程x 2 +bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（） A.－1 B.0 C.1 D.2 6.若一元二次方程ax 2 +bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 . 7.已知实数a 是一元二次方程x 2 －2013x+1=0的解，求代数式22 1 20122013 a a a +--的值. 知识要点： 1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根. 温馨提示： 1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件. 2.一元二次方程的根是两个而不再是一个. 方法技巧： 1.ax k +bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论. 2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领

一元二次方程综合培优

一元二次方程拓展提高题 1、已知0200052 =--x x ，则 ()()2 1 122 3-+---x x x 的值是 . 2、已知0120042=+-a a ，则_________1 2004 4007222=++ -a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a . 4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a . 5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 . 6、已知0=++c b a ，2=abc ，0 c ，则（） A 、0 ab B 、2-≤+b a C 、3-≤+b a D 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a . 10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11 x ，03 ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定 11、已知α是方程041 2 =-+x x 的一个根，则α αα--331的值为 . 12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （） A 、2011 B 、2010 C 、2009 D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（） A 、14 B 、15 C 、16 D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （） A 、1 B 、1.5 C 、2 D 、2.5 16、方程97 33 322=-+- +x x x x 的全体实数根之积为（） A 、60 B 、60- C 、10 D 、10- 17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （）

第22章一元二次方程单元培优试卷A3打印版

一元二次方程单元培优测试卷姓名____________ 时间: 90分钟满分:120分总分____________ 注意事项: 试卷编号:202008051733 1. 请在试卷规定时间内作答. 2. 请注意答题规范,书写规范. 3. 请用0.5毫米黑色水笔把答案直接答在试卷上. 一、选择题（每小题3分,共30分） 1. 若0=+-c b a ,则关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax 必有一根为【】（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）2 2. 若关于x 的方程()22412+=-+-a x x a 中不含常数项,则a 的值是【】（A ）1 （B ）3- （C ）3± （D ）1- 3. 用配方法解方程0982=+-x x ,变形后的结果正确的是【】（A ）()742 =-x （B ）()742 -=-x （C ）()2542 =-x （D ）()2542 -=-x 4. 方程03522 =--x x 的两根是【】（A ）2115±=x （B ）4295±=x （C ）2295±-=x （D ）4 29 5±-=x 5. 方程()()5221-=-+x x x 的根的情况是【】（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）有一个实数根（D ）无实数根 6. 对于任意实数x ,代数式1062 +-x x 的值是一个【】（A ）非负数（B ）正数（C ）负数（D ）整数 7. 若关于x 的一元二次方程0122=+-x mx 有两个实数根,则实数m 的取值范围是【】（A ）m ≤1 （B ）m ≤1- （C ）m ≤1且0≠m （D ）m ≥1-且0≠m 8. 一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程01582=+-x x 的一个根,则此三角形的周长是【】（A ）16 （B ）12 （C ）14 （D ）12或16 9. 某商场销售一批运动休闲衫,平均每天可售出20件,每件盈利45元.为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件休闲衫每降价1元,商场平均每天可多售出4件.若商场销售该批休闲衫平均每天盈利2 100元,每件休闲衫应降价多少元?设每件休闲衫降价x 元,根据题意,可列方程为【】（A ）()()210042045=-+x x （B ）()()210042045=--x x （C ）()()210020445=+-x x （D ）()()210042045=+-x x 10. 定义:如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 满足0=++c b a ,那么我们称这个方程为“和谐”方程;如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 满足0=+-c b a ,那么我们称这个方程为“美好”方程.如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程,则下列结论正确的是【】（A ）方程有两个相等的实数根（B ）方程有一根等于0 （C ）方程两根之和等于0 （D ）方程两根之积等于0 二、填空题（每小题3分,共15分） 11. 一元二次方程()112-=-x x x 的解为_____________. 12. 若m 是关于x 的方程01322=--x x 的一个根,则 =+-7962m m __________. 13. 已知等腰三角形的两边长恰好是关于x 方程01892=+-x x 的解,则此等腰三角形的周长是__________. 14. 代数式522-+x x 的最小值是__________. 15. 元旦晚会,全班同学互赠贺卡,若每两个同学都相互赠送一张贺卡,小明统计全班共送了1560张贺卡,那么全班有多少人?设全班有x 人,则根据题意可列方程为__________________. 三、解答题（共75分） 16.解方程:（每小题5分,共10分）（1）01662=-+x x ; （2）01422=-+-x x . 17.（9分）小明同学解一元二次方程0162=--x x 的过程如下: 解:162=-x x ,① 1962=+-x x ,② ()132=-x ,③ 13±=-x ,④ 2,421==x x .⑤ （1）小明解方程的方法是【】（A ）直接开平方法（B ）因式分解法（C ）配方法（D ）公式法他的求解过程从第__________步开始出现错误; （2）解这个方程.

一元二次方程培优题(易错题和难题)

一元二次方程培优题 1.解方程3(25)2(25)x x x +=+ 2.已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的两个根恰等腰三角形ABC 的两条边长，求三角形ABC 的周长。 3.已知关于x 的方程2 (1)4120a x x a ---+=的一个根为3x =，（1）求a 的值及方程的另一个解（2）如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求三角形ABC 的周长。 4.已知x 1, x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m +1)x +m 2+5=0的两实数根，等腰三角形ABC 的一边长为7，若x 1, x 2恰好是?ABC 另外两边的长，求这个三角形的周长。 5.已知a,b,c ,是三角形的三条边长，且关于x 的方程23())()04 b c x a c x a c +---=有两个相等的实数根，试判断三角形的形状。

6.若k >1,关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=的根的情况是( 写出计算过程 ) A.根和一个负根 B.有两个正根 C.有两个负根 D.没有实数根解: 7.已知m 是一元二次方程2910x x -+=的解,求221871 m m m -++的值. 8.已知关于x 的一元二次方程2 (3)10.x m x m ++++= （1）求证:无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根。（2）若12,x x 是原方程的两根，且12x x -=m 的值，并求出此时方程的两根。 9.如果方程20x px q ++=的两个根是1x ，2x ，那么12x x p +=-，12x x q =，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x 的方程20(0)x mx n x ++=≠，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数。（2）已知a 、b 满足21550a a --=，21550b b --=，求a b b a +的值。（3）已知a 、b 、c 满足0a b c ++=，16abc =，求正数c 最小值。

初三数学一元二次方程教案综合培优练习

一元二次方程知识点一、一元二次方程的定义 1、方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程．注：一元二次方程的定义包括三个要素： ①只含一个未知数． ②未知数的最高次数是2． ③整式方程．例1：判断下列方程是否是一元二次方程，为什么？（1）() ()22123a x x x a x a -+-=+；（2）() ()22221m x m x x x m ++=+-．【变式一】求下列各题m 的值或取值范围（1）方程()22510m x x +++=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是________．（2）若方程()1 131m m x x +-+=是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．（3）m =__________时，关于x 的方程2 ((3)43m m x m x m -+=+是一元二次方程．【变式二】关于x 的方程1 (1)320a a x x +--+=是一元二次方程，则（） A ．1a ≠± B ．1a = C ．1a =- D ．1a =± 2、一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：()200ax bx c a ++=≠ 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中2ax 是二次项，a （0a ≠）是二次项系数；bx 是一次项，b （b 为任意实数）是一次项系数；c （c 为任意实数）是常数项．注：一元二次方程的一般形式中，0a ≠的条件十分重要，一般地，如果题目中明确说明“关于x 的一元二次方程”，都需要检验一下二次项系数是否为0．知识点&例题

一元二次方程培优专题讲义(最新整理)

数学培优专题讲义：一元二次方程一.知识的拓广延伸及相关史料 1．一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如，经配方得 2670x x ++=，再直接用开平方法； 2(3)2x +=（2）公式法；（3）因式分解法。这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程，只2670x x ++=要变形为即可，或原方程 22(3)0x +-=经配方化为，再求解时， 2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。因式分解法还可推广到高次方程。 2．我国古代的一元二次方程提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.” 这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题. 上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解. 3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。（1）转化思想我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。在本章，转化无所不在，无处不有，可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面： ①未知转化为已知，这是解方程的基本思路: ②一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的: ③特殊转化为一般，一般转化为特殊。例如，通过用配方法解数字系数的一元二次方程归纳出用配方法解一般形式2670x x ++=的一元二次方程的方法，进而得出20ax bx c ++=一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程，推导出一元二次方程根与系数的关系。又如，通过设未知数，找出等量关系，列方程，把实际问题转化为解方程问题，等等。掌握转化思想并举一反三，还可以解决很多其他方程问题，如高次方程转化为一元一次或一元二次方程，分式方程转化为整式方程，无理方程转化为有理方程，二元二次方程组转化为二元一次方程组，总之，本章学习的关键之一是学会如何”转化”. 练习: ;222 1 1.510a x x a a -+=+ 是方程的一根,求的值 2421032. a x a ?--=--是方程x 的一根,求a 的值 2 2 42 3101 x x x x x --=-+、若，求的值。（2）类比思想本章多次运用类比找出新旧知识的联系,在新旧知识间进行对比,以利于更快更好地掌握新知识. 如用配方法解一元二次方程时,可类比平方根的概念和意义,列一元二次方程解应用题,可类比列一元一次方程解应用题的思路和一般步骤. 类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识，学习时应特别重视。

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案) 一、一元二次方程 1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．己知函数2 22(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．（1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且 12111 4 x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）见解析, （3）AM 的解析式为1 12 y x =--．【解析】【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△= ∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论m 取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有，由解得．

∴函数的解析式为．令y=0，解得 ∴A( )，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则 20{106k b k b -+=+=-，解得112 k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为1 12 y x =--，即AM 的解析式为1 12 y x =- -． 2．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？ (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm ，较长的这段就为（40﹣x ）cm ．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm 2建立方程求出其解即可；（2）设剪成的较短的这段为mcm ，较长的这段就为（40﹣m ）cm ．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm 2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．试题解析：设其中一段的长度为cm ，两个正方形面积之和为cm 2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm 和28cm 的两段；

第一讲一元二次方程培优专题含答案

第一讲一元二次方程培优专题（含答案）一．选择题（共14小题） 1．（2016?包头）若关于x的方程x2+（m+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（） A．﹣B．C．﹣或D．1 2．（2016?乐山）若t为实数，关于x的方程x2﹣4x+t﹣2=0的两个非负实数根为a、b，则代数式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是（） A．﹣15 B．﹣16 C．15 D．16 3．（2016?河北）a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．无实数根D．有一根为0 4．（2016?黄冈校级自主招生）设x1，x2是方程x2+x﹣4=0的两个实数根，则x13﹣5x22+10=（） A．﹣29 B．﹣19 C．﹣15 D．﹣9 5．（2016?岱岳区一模）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数：“i“，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2?i=（﹣1）?i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1．从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1=i4n?i=（i4）n?i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（） A．0 B．1 C．﹣1 D．i

6．（2015?株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a?c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（） A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 7．（2015?南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m ﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（） A．0个B．1个C．2个D．3个 8．（2013?呼和浩特）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m的值是（） A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1 9．（2013?船山区校级自主招生）若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 10．（2013?涟水县校级一模）已知方程x2﹣4x+2=0的两根是x1，x2，则代数式的值是（） A．2011 B．2012 C．2013 D．2014 11．（2012?富顺县校级模拟）已知方程a3﹣5a2+3a=0三个根分别为a1，a2，a3，则计算a1（a2+a3）+a2（a1+a3）+a3（a1+a2）的值（） A．﹣5 B．6 C．﹣6 D．3

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题附答案.docx

九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题附答案一、一元二次方程 1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008 年底全市汽车拥有量为14.4 万辆．已知 2006 年底全市汽车拥有量为10 万辆．（1）求 2006 年底至 2008 年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010 年底汽车拥有量不超过15.464 万辆，据估计从2008 年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（ 1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（ 1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出 2010 年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（ 1）设年平均增长率为 x，根据题意得： 10（ 1+x）2=14.4，解得 x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y 万辆，根据题意得： 2009年底汽车数量为14.4 × 90%+y， 2010年底汽车数量为（14.4 × 90%+y）× 90%+y， ∴（ 14.4 ×90%+y）×90%+y≤15.464， ∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过 2 万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题 2．阅读下列材料计算：（ 1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：原式＝（ 1﹣ t ）（ t+ ）﹣（ 1﹣ t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t 2＝在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：（1）计算：（ 1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（ +）

一元二次方程综合测试题培优

一元二次方程培优训练一部分 1.已知方程3ax 2-bx-1=0和ax 2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= , b= . 2．关于x 的方程03)3(12=+---x x m m 是一元二次方程，则=m ； 3.设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2222=+++b a b a ，则这个直角三角形的斜边长为； 4. 当_______=x 时，代数式2 1212--x x 的值为0 5. 已知：21=-m ，则关于x 的二次方程04)5()1(2=++-+x m x m 的解是； 6．方程x x =+2)32(的解是； 7.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为1,则a+b+c= ;若有一个根为-1,则b 与a 、c 之间的关系为 ;若有一个根为零,则c= . 8.某食品连续两次涨价10%后价格是a 元,那么原价是_______ ___. 9.长方形铁片四角各截去一个边长为5cm 的正方形, 而后折起来做一个没盖的盒子,铁片的长是宽的2倍,作成的盒子容积为 1. 5 立方分米, 则铁片的长等于________,宽等于________. 10、2690y y +-+=则xy= 11、写出以4，-5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是 12、在一条线段上取n 个点，这n 个点连同线段的两个端点一共有（n+2）个点，若以这（n+2）个点中任意两点为端点的线段共有45条，则n= 13、方程0322=+x x 的根是。 14、如果()4122++-x m x 是一个完全平方公式，则=m 。 15、已知两个数的差等于4，积等于45，则这两个数为和。 16、当____=m 时，关于x 的方程() ()021122=--+-x m x m 为一元二次方程。 17．（x －3）2=1的根是．