10-11高等代数(II)A

浙江工商大学2010/2011学年第二学期考试试卷A

课程名称：＿高等代数（II ） 考试方式： 闭卷＿完成时限：120分钟 班级名称： 学号： 姓名：

一、选择题（每题3分，共15分）

1. 按通常数域F 上3维向量的加法和数乘，下列集合构成数域F 上的线性

空间是（ ）

(A ) 1{(,,0)|,}W a b a b F =∈ (B ) 21233{(,,)|0}W x x x x =< (C ) 31232{(,,)|1}W x x x x == (D ) 3

41231{(,,)|1}i i W a a a a ===∑

2. 下列各变换T ，不是．．

线性变换的是（ ）. (A ) 在[]P x 中，(())(1)T f x f x =+

(B ) T ξξ=，ξ 属于复数域组成的线性空间 (C ) 在3P 中，123112123(,,)(,,)T x x x x x x x x x =+++ (D ) 在n n P ?中，TX BXC =，,B C 是固定矩阵 3. 下列说法错误．．

的是 ( ) (A ) 若n n ?矩阵A 的所有特征值非零，则A 一定是可逆矩阵

(B ) 设σ是线性空间V 的线性变换，如果01

k ≠-ασ

，但0k =ασ，则

1,,,(0)k k ασασα-> 线性无关

(C ) 与全体线性变换可以交换的线性变换一定是数乘变换

(D ). A 是n 级实正定矩阵的充要条件是存在n 维向量0X ，使得00'

0>AX X

4. 已知3维欧氏空间中有一组基123,,ααα, 其度量矩阵为110120003A -??

??=-??

????

向量123βααα=+-，则||β=（ ） (A ) 2 (B ) 3 (C ) 4 (D ) 5 5. 设矩阵A 和B 相似，则必有（ ）

（A ）A ，B 同时可逆或不可逆 （B ）A ，B 有相同的特征向量 （C ）A ，B 均与同一个对角阵相似 （D ）矩阵A E -λ与B E -λ相等 二、填空题 (每题3分, 共15分）

1、若二次型2221231231223

(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则t 的取值范围为

2、4阶反对称矩阵全体关于矩阵加法和数乘构成线性空间的维数为

3、已知在3V 中线性变换12312231(,,)(2,,)x x x x x x x x σ=-+，则σ在1(1,0,0),ε=

23(0,1,0),(0,0,1)εε==下的表示矩阵为

4、设3阶实对称矩阵A 特征值为1232,1λλλ===,若()T

0,1,11=α，()

T

1,1,22=α是A 属于特征值2的特征向量，则A 属于特征值1的特征向量为 5、设2121),2,1,2(),1,1,0(ααβαα+=-=-=k ，若β与2α正交，则=k

三、(10分) 已知二次型222

12312323(,,)2332,(0)f x x x x x x ax x a =+++>,经正交变换化为标准形222123

25f y y y =++,求a 值及所用的正交矩阵

四、(10分) 设子空间1(1,,sin )V L x x =和22(cos2,cos )V L x x =，求12V V +和12V V ?的维数和基底

五、(10分) 判断矩阵

200

121

101

A

??

??

=-

??

??

??

可否对角化；若可以对角化，求出相

应的可逆矩阵P，使得1

P AP

-为对角矩阵

六、(10分) (1)正交矩阵A一定是可逆矩阵。

(2)若A是奇数维正交矩阵并且1

A=。证明1必定是A的特征值

七、（10分) 设V 是n 维欧氏空间，0α≠是V 中固定向量。 证明：（1）1{(,)0}V x x α==是V 的子空间； （2）1dim()1V n =-

八、(10分) 设η是n 维欧氏空间V 中的一个单位向量，定义V 上的变换σ如下：,()2(,)V ασααηαη?∈=-，其中(,)ηα表示η与α的内积，证明： (1) σ是V 上的正交变换； (2) σ是第二类的

九、（10分)(1)设12,λλ.是线性变换τ的两个不同特征值，12,εε是分别属于

12,λλ的特征向量，证明：12εε+不是τ的特征向量。

(2) 如果线性空间V 的线性变换τ以V 中每个非零向量作为它的特征向量，那么τ是数乘变换

(完整版)奥鹏福师201803《高等代数选讲》试卷A参考答案

▆ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 《高等代数选讲》期末考试 一、 单项选择题（每小题4分，共20分） 1 2 3 4 5 D A A C D 1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ ） () ()k k k A AB A B =； ()B A A -=-； 22() ()()C A B A B A B -=-+； ()D AB B A =。 2．设A 为m n ?矩阵，B 为n m ?矩阵，则（ ）。 ()A 若m n >，则0AB =； ()B 若m n <，则0AB =； () C 若m n >，则0AB ≠； () D 若m n <，则0AB ≠； 3．n R 中下列子集是n R 的子空间的为（ ）． () {} 3111[,0,,0,],n n A W a a a a =∈L R ()3 2121[,,,],1,2,,,1n n i i i B W a a a a i n a =??=∈==???? ∑L L R ； ()33121[,,,],1,2,,,1n n i i i C W a a a a i n a =?? =∈==????∏L L R ；， () {}342[1,,,],2,3,,n i D W a a a i n =∈=L L R 4．3元非齐次线性方程组Ax b =，秩()2r A =，有3个解向量 123,,ααα， 23(1,0,0)T αα-=，12(2,4,6)T a α+=，则Ax b =的一般解形式为（ ）. （A ）1(2,4,6)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （B ） 1(1,2,3)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （C ）1(1,0,0)(2,4,6)T T k + ，1k 为任意常数 （D ） 1(1,0,0)(1,2,3)T T k +，1k 为任意常数 5．已知矩阵A 的特征值为1,1,2-，则1A -的特征值为（ ） ()A 1,1,2-； ()B 2,2,4-； ()C 1,1,0-； ()D 11,1, 2 -。 二、 填空题（共20分） 1．（6分）计算行列式2 2 2 1 11 2 34234= 2 ；32001200 02321 2 4 4 = 16 。 2．（4分）设4 44113 2145 3 33222354245613 D =，则212223A A A ++= 0 ；2425A A += 0 。 3．（3分）计算 100123100010456001001789010?????? ??????-=?????????????????? 。 4．（4分）若2 4 2 (1)|1x ax bx -++，则a = 1 ；b = -2 。 5．（3分）当λ满足 λ≠1,-2 时，方程组 000x y z x y z x y z λλλ++=?? ++=??++=? 有唯一解。 三．（10分）计算n 阶行列式：320001320 01300 000320 1 3 n D = L L L L L L L L L L L 四．（10分）已知矩阵X 满足111221022402110066X -???? ????=-????????-???? ，求X

高等代数答案

第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9731929269 791437134373 132131232223232 ----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,12)(24+-=+-=x x x g x x x f 1 7 52 5 422225200222223232 342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 m x m q x p m m x m x m q x p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+) ()1()1(01222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.

本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 )1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--0 10)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或???==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 )1)((2224++++=++mx x q ax x q px x .)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++= 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r . 1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f 解：运用综合除法可得 327 1093913623271170 83918605023--------- 商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r

奥鹏福师201803《高等代数选讲》试卷A参考答案

▆ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 《高等代数选讲》期末考试 一、 单项选择题（每小题4分，共20分） 1 2 3 4 5 D A A C D 1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ ） () ()k k k A AB A B =； ()B A A -=-； 22() ()()C A B A B A B -=-+； ()D AB B A =。 2．设A 为m n ?矩阵，B 为n m ?矩阵，则（ ）。 ()A 若m n >，则0AB =； ()B 若m n <，则0AB =； () C 若m n >，则0AB ≠； () D 若m n <，则0AB ≠； 3．n R 中下列子集是n R 的子空间的为（ ）． () {} 3111[,0,,0,],n n A W a a a a =∈R ()3 2121[,, ,],1,2, ,,1n n i i i B W a a a a i n a =? ? =∈==????∑R ； ()33121[,, ,],1,2,,,1n n i i i C W a a a a i n a =? ? =∈==????∏R ；， () {}342[1,, ,],2,3, ,n i D W a a a i n =∈=R 4．3元非齐次线性方程组Ax b =，秩()2r A =，有3个解向量 123,,ααα， 23(1,0,0)T αα-=，12(2,4,6)T a α+=，则A x b =的一般解形式为（ ）. （A ）1(2,4,6)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （B ） 1(1,2,3)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （C ）1(1,0,0)(2,4,6)T T k + ，1k 为任意常数 （D ） 1(1,0,0)(1,2,3)T T k +，1k 为任意常数 5．已知矩阵A 的特征值为1,1,2-，则1A -的特征值为（ ） ()A 1,1,2-； ()B 2,2,4-； ()C 1,1,0-； ()D 11,1, 2 -。 二、 填空题（共20分） 1．（6分）计算行列式2 2 2 1 11 2 34234= 2 ；32001200 02321 2 4 4 = 16 。 2．（4分）设444113 2145 3 33222354245613 D =，则21222 3A A A ++= 0 ； 2425A A += 0 。 3．（3分）计算 100123100010456001001789010?????? ??????-=?????????????????? 。 4．（4分）若2 4 2 (1)|1x ax bx -++，则a = 1 ；b = -2 。 5．（3分）当λ满足 λ≠1,-2 时，方程组 000x y z x y z x y z λλλ++=?? ++=??++=? 有唯一解。 三．（10分）计算n 阶行列式：320001320001300000320 1 3 n D = 四．（10分）已知矩阵X 满足111221022402110066X -???? ????=-????????-???? ，求X

高等代数北大版第章习题参考答案

第七章 线性变换 1．? 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）? 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）? 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）? 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）? 在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）? 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）? 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）? 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8）? 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ， A (k X )=k BXC k kX B ==)()(A X ，故A 是n n P ?上的线性变换。

高等代数试题附答案

高等代数试题附答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 4232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ）

高等代数习题答案.doc

高等代数（北大第三版）答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章—矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！

12．设 A 为一个 n 级实对称矩阵，且 A 0 ，证明：必存在实 n 维向量 X 0 ，使 X AX 0 。 证 因为 A 0，于是 A 0 ，所以 rank A n ，且 A 不是正定矩阵。故必存在非 退化线性替换 X C 1Y 使 XAX YC 1 ACY Y BY y 12 y 22 y p 2 y p 2 1 y p 2 2 y n 2 ， 且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在 Z C 1Y 中，令 y y 2 y p 1 0, y p 1 y p 2 y n 1, 则可得一线性方程组 c 11 x 1 c 12 x 2 c 1n x n c p 1 x 1 c p 2 x 2 c pn x n ， c p 1,1 x 1 c p 1, 2 x 2 c p 1,n x n 1 c n1 x 1 c n 2 x 2 c nn x n 1 由于 C 0 ，故可得唯一组非零解 X s x 1s , x 2s , , x ns 使 X s AX s 0 0 0 1 1 1 n p 0 ， 即证存在 X 0，使 X AX 0 。 13 ．如果 A, B 都是 n 阶正定矩阵，证明： A B 也是正定矩阵。 证 因为 A, B 为正定矩阵，所以 X AX , X BX 为正定二次型，且 X AX 0 ， X BX 0 ， 因此 X A B X X AX X BX 0 ， 于是 X A B X 必为正定二次型，从而 A B 为正定矩阵。 14 ．证明：二次型 f x 1 , x 2 , , x n 是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。 证 必要性。采用反证法。若正惯性指数 p 秩 r ，则 p r 。即 f x 1 , x 2 , , x n y 2 y 2 y 2 y 2 y 2 ， 1 2 p p 1 r 若令

高等代数习题及答案(1)

高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换 的属于特征根0 的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为 关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；

福建师范大学《高等代数选讲》A卷答案(可编辑修改word版)

1 1 n 1 4 2 n i 福建师范大学网络教育学院 《高等代数选讲》 期末考试 A 卷 学习中心 专业 学号 姓名 成绩 一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 设 A , B 是n 阶方阵， k 是一正整数，则必有（D) (A ) )( AB )k = A k B k ； (B ) - A = - A ； (C ) (C ) A 2 - B 2 = ( A - B )( A + B ) ； (D ) (D ) AB = B A 。 2. 设 A 为m ? n 矩阵， B 为n ? m 矩阵，则（ A ）。 ( A ) 若m > n ，则 AB = 0 ； (B ) 若m < n ，则 AB = 0 ； (C ) 若m > n ，则 AB ≠ 0 ； (D ) 若m < n ，则 AB ≠ 0 ； 3. R n 中下列子集是R n 的子空间的为（ A ）． ( A ) W = {[a , 0, , 0, a ] a , a ∈ R 3} ( B ) W = ? , a ] a ∈ R 3, i = 1, 2, , n , ∑ a = ? 2 ?[a 1 , a 2 , n i ? ? 3 i i =1 n 1? ； ? ? (C ) W 3 = ?[a 1 , a 2 , , a n ] a i ∈ R , i = 1, 2, , n , ∏ a i = 1? ；， ( D ) ? W = {[1, a , , a ] i =1 ? a ∈ R 3 , i = 2, 3, , n } 4. 3 元非齐次线性方程组 Ax = b ， 秩 r ( A ) = 2 ， 有 3 个解向量 1,2 ,3 ， - = (1, 0, 0)T ， a + = (2, 4, 6)T ，则 Ax = b 的一般解形式为（ C ）. 2 3 1 2 n n

高代选讲心得

高代选讲心得 说起数学，这是让我引以为豪的学科。从初中开始就喜欢数学，是那种没有理由的喜欢，因此当了六年的数学科代表。大学也选择了数学与应用数学专业，目标是当数学老师，估计这辈子跟数学是分不开的了。 高等代数是我进入大学所学的第一门专业课，高等代数是数学专业本科生最重要的一门基础课，它和数学分析、解析几何统称为数学专业的三门基础课程。从中学数学到高等数学，实际上是由具体的、粗浅的数学结构上升到了严谨的公理化体系的论述，由形象思维上升到抽象思维，由特殊到一般，由简单到复杂，由低级到高级。高等代数为后面我学习近似代数、拓扑学等学科奠定了基础。刚接触这门课的时候，觉得很难很抽象，就以做题目为例，凡是涉及到数字计算的还可以做，一到脱离数字的证明题就无从下手。经过三年的大学学习，特别是这次学完高等代数选讲，让我获益匪浅。具体可以从下面这几大方面来说： 一、高等代数选讲这门学科自身的魅力 首先是矩阵，用陈老师的话来说，就是“很漂亮”。学完高等代数选讲，会发现矩阵、矩阵的行列式、矩阵的秩、逆、转置以及特征值、特征向量可以解决很多数学问题。比如线性方程组可以表示成矩阵和列向量的乘积，通过该系数矩阵的秩和增广矩阵的秩以及未知数的个数的关系可以判断该线性方程是无解、有唯一解还是有无穷多解。他们彼此之间不是独立的，是相互联系的。比如求矩阵A的逆可以利用伴随矩阵*A和行列式A的逆来求。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域，在力学、物理、科技等方面都有广泛的应用。 其次是等价关系。给定的集合中的元素之间的关系若满足反身性、对称性和传递性，则称该关系为等价关系。等价关系是高等代数中一个非常重要的关系，比如矩阵的相似、合同以及相抵关系都是等价关系、线性映射的同构也是一个等价关系。再联想初中、高中，我们所熟悉的全等三角形也可以看做是一个等价关系。 然后是线性空间。在高等代数选讲的前言中讲到，这本书分三个层次学习线性空间。第一个层次研究线性空间的元素之间的线性关系。在这本书的第四章，涉及到线性相关、线性无关、极大无关组、基和维数等。从线性空间的元素之间

高等代数北大版习题参考答案

第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，

(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==

高等代数与解析几何同济答案

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复旦大学高等代数2000答案

复旦大学高等代数2000答案 1．求方阵 ???? ? ??--011111101的逆阵。 解：利用行变换，从而10110010011111 1....010010....110110*********--???? ? ?-?- ? ? ? ?-???? 1101111111110110011---???? ? ?-=- ? ? ? ?-???? 2．设为一个阶方阵且的秩等于的秩。证明的秩等于的秩。 A n A 2A A 3 A 解：利用Jordan 矩阵：，，1A PJP -=221A PJ P -=331A PJ P -=，从而，于是，命题获得了证明 22rankA rankJ rankA rankJ ===3rankJ rankJ =3rankA rankA =3．设为一个阶正交阵，为一组线性无关的列向量，对于都有。A n 121,,,-n x x x 11-≤≤n i i i x Ax =如果的行列式等于1，证明是单位矩阵。 A A 解：利用线性变换来处理为一个正交基，则容易由可以知道1212,,...,n n x x x x x x ||1A =，从而，所以命题就获得了证明n n Ax x =121212 12,,...,,,...,n n n n x x x x x x A E x x x x x x ????= ? ? ? ?????4．设是一个自然数，是由所有实矩阵构成的维实向量空间，和分别为由所有对n V n n ?2n U W n n ?称矩阵和反对称矩阵构成的空间。证明，既是和的直和。 W U V ⊕=V U W 解：，对称，反对称，从而，又，从而有了''22A A A A A +-=+'2A A +'2 A A -V W U =+{0}V U =I ，命题获得了证明 W U V ⊕=5．设为一个数域，为上以作为不定元的多项式全体所组成的集合。设K ][x K K x ??? ? ??=)()()()(x q x h x g x f A ，其中。假定是中的一个不等于零的数。证明][)(),(),(),(x K x q x h x g x f ∈)()()()(x h x g x q x f -K A

高等代数选讲作业

1,-2,3，则B= 2A I 4的特征值为1/3,-1/3,1/7. 4 4 4 1 1 3 2 1 4 5 5 ?设D = 1 1 1 2 2 ，则A21 + A22 + A23 2 4 5 4 2 4 5 5 1 3 《高等代数选讲》练习 1?设4 4 矩阵A =[■ , ,,2, 3], B =[ -, 1, 2, 3]，其中：?「，1, 2, 3均为 4 维列向量，且A =3,|B| = 2，则A + B = 40 3 2?中下列子集不是R的子空间的为(C ). (A) W1 二｛(X i,X2,X3)R |X2 =1｝；(B) W2 二｛( X i,X2,X3)R IX3 =0｝； _ 3 _ 3 (C) W3 叫(X1, X2,X3)R |X1=X2=X3｝；( D) W4 二｛( X1,X2,X3)R |X,=X2—X3｝3?设：j,〉2,〉3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且秩(A)=3 , R3：-1 二[1,2,3,4]T, ：^ ■： 3 =[0,1,2,3]T, k为任意常数，则线性方程组A X二b的通解为 4 .已知矩阵A的特征值为 5 6 ?将f(X)=X5-1表示成X-1的方幕和的形式为

4 2 2 8 ?设矩阵A = 2 4 2 2 2 4 1 ?求矩阵A的所有特征值与特征向量; 2?求正交矩阵P，使得P J AP为对角矩阵。 —2 —21 解：由卜2 A-4 -2 *-2）第-8）得A的特征值为| —2 —2久―4） 人二兀=2（一重特征值）? A = 8 o 当人二加二2时，由—A）X = O t即: -_2-22"0 一_2_2 ■ =0 _2X. L 3 J 0 j 二 —2 —2 解：由卜2 乂-4 -2 *-2）車-8）得A的特征值为| —2 —2久―彳 人二入=2（二重特征值）、= 8 o 当人二坷二2时f由~ A）X —O y即: -_2-2_2~"0_ 一_2—0 -2_2—2y L 3 J

福建师范大学2020年8月课程考试《高等代数选讲》作业考核试题(答案)

福建师范大学网络教育学院 《高等代数选讲》 期末考试A 卷 教学中心 专业 学号 姓名 成绩 ) {11,0,],n A W a a =)22,]1,2,,n i B W a a i ? =∈=??3 1],1,2, ,n i i i a i =∈=??∏}3 ],2,3, n i a i =Ax b =，秩2(2,4,6)=

三．（10分）计算n阶行列式： 32000 13200 01300 00032 00013 n D 解： 从而错误!未找到引用源。， 则错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 因此 该等比数列前n+1项的和为：

四．已知矩阵X满足 111221 022402 110066 X - ???? ???? =- ???? ???? - ???? ，求X 解： 设A=错误!未找到引用源。，B=错误!未找到引用源。 计算得错误!未找到引用源。，可知矩阵A可逆 则错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。 五．（10分）利用综合除法将4 () f x x =表示成1 x-的方幂和的形式。解：使用综合除法 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 2 3 4 1 3 6 1 1 3 6 1 1 4 六．（15分）试就,p t讨论线性方程组 123 123 123 4 2327 24 px x x x tx x x tx x ++= ? ? ++= ? ?++= ? 解的情况，并在有无穷多解时求其通解。 解：设错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。，对错误!未找到引用源。进行初等行变换： 若该非其次线性方程组有无穷多解，需要满足错误!未找到引用源。 增广矩阵第一行元素不全为零 增广矩阵第二行元素不全为零 而增广矩阵第三行元素应全为零，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。

高等代数选讲复习资料

《高等代数选讲》复习资料 一、填空题 1、=λ 时，方程组 021=+x x λ 有非零解 021=+x x λ 2、设(1,2,1)A diag =-，* 28A BA BA E =-则B = 。 5 3 -1 2 0 1 7 2 5 2 3、行列式 0 -2 3 1 0 的值为 0 -4 -1 4 0 0 2 3 5 0 4、若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = 。 5、计算????? ??---415003112101?????? ? ??--121113121430=_ 6、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围 是 。 7、写出行列式展开定理及推论公式 。 8、线性变换可对角化的充要条件为 。 9、模m 的非负最小完全剩余系为 。 10、向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基 （1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为 。 11、若f(x)=a n x n +a 1-n x 1-n +…+a 1x+a 0x 的根是x 1，…，x n ，则x 1x 2… x n = 。 12、20032005被17除的余数为 。 13、用艾森斯坦判别法判断f(x)=x 5—3x 4+6x 3—3x 2 +9x —6在有理数域上不可约所找到的 素数为 。

14、A 为n n ?阶矩阵，且220A A E --=，则1(2) A E -+= 。 15、只于自身合同的矩阵是 矩阵。 16、叙述维数公式 。 17、正交变换在标准正交基下的矩阵为 。 二、选择题 1、齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ） A 、系数行列式不为0 B 、系数行列式为0 C 、系数矩阵可逆 D 、系数矩阵不可逆 2、多项式f(x)除以x-a 所得的余数为（ ） A 、f(0) B 、f(x-a) C 、f(a) D 、以上均错 3、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB ，则必有（ ） A.0=A 或0=B B.0=+B A C.0=A 或0=B D.0=+B A 。 4、每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一的分解成（ ） A 、一次因式的乘积 B 、一次与二次因式的乘积 C 、只能是二次因式的乘积 D 、以上结论均不对 5、模m 的完全剩余系有（ ） A 、唯一一个 B 、无穷多个 C 、有有限个 D 、不一定有 6、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（ ） A .A 的秩小于n ； B .0A ≠； C .A 的特征值都等于零； D .A 的特征值都不等于零； 7、在xy 平面上，顶点的坐标(x,y)满足 ，且x,y 是整数的三角形个数有（ ） A 、560 B 、32 C 、516 D 、44 8、设p 是素数，a 是整数，且(p,a)=1，则（ ） A 、)(mod p a a p ≡ B 、)(mod 0p a p ≡ C 、)(mod 01p a p ≡- D 、以上均错 9、零多项式的次数是（ ） A 、0次 B 、1次 C 、2次 D 、不定义次数 10、n 阶矩阵A 与B 等价，E 为单位矩阵,则（ ） A. E B E A λλ-=- B. E B E A λλ-=- C. A 与B 有相同的秩 D. A 与B 都相似于同一个标准形 11、 阶行列式 ，当 取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 12、设A 为n m ?矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（ ）

高等代数北大版第章习题参考答案

高等代数北大版第章习 题参考答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

第六章 线 性空 间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若 )()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈，X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；

福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题

福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题一 本复习题页码标注所用教材为： 高等代数 19.50 主 张禾瑞、郝丙新 2007年第5版 高等教育出版社 书 如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ ） () ()k k k A AB A B =； ()B kA k A =； 22() ()()C A B A B A B -=-+； ()D AB A B =。 考核知识点：矩阵的运算，参见P178-181； 行列式的性质，参见P113； 矩阵乘积的行列式，参见P197； 2.设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） (A ) 行列式与它的转置行列式相等； (B ) D 中两行互换，则行列式不变符号； (C ) 若0=D ，则D 中必有一行全是零； (D ) 若0=D ，则D 中必有两行成比例。 考核知识点：行列式的性质，参见P111-113； 3．设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） (A ) A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； (B )A 中每个r 阶子式都不为零； (C ) A 中可能存在不为零的1+r 阶子式； (D )A 中肯定有不为零的r 阶子式。 考核知识点：矩阵秩的定义，参见P151-152； 4．关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） (A ) ()()()()()() n n n x g x f x g x f ,,=； (B )()() ()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=?=； (C ) ()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=； (D )若()()()()()()()()1,1,=-+?=x g x f x g x f x g x f 。 考核知识点：多项式最大公因式的定义和相关性质，参见P38-46； 5．设{ }m ααα,,,21 是线性空间V 的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（ ） (A )任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有 ∑=≠m i i i k 1 0α ； (B )任一组数m k k k ,,,21 ，有 ∑==m i i i k 1 0α ；

高等代数选讲

一、单项选择题 1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ D ） () ()k k k A AB A B =； - ()B A A -=-； 22()()()C A B A B A B -=-+； ()D AB B A =。 2．设A 为m n ?矩阵，B 为n m ?矩阵，则（ B ）。 ()A 若m n >，则0AB =； ()B 若m n <，则0AB =； () C 若m n >，则0AB ≠； () D 若m n <，则0AB ≠； 3．n R 中下列子集不是n R 的子空间的为（ A ）． () {} 3111[,0,,0,],n n A W a a a a =∈ R ()3 2121[,,,],1,2,,,1n n i i i B W a a a a i n a =??=∈==????∑ R ； ()3 3121[,,,],1,2,,,1n n i i i C W a a a a i n a =??=∈==???? ∏ R ； ， () {}342[1,,,],2,3,,n i D W a a a i n =∈= R 二、填空题 1．计算行列式22 2 1 112 3 4234= 2 ； 32001 200 2321 244 = 16 。 2．设44411 32145 333222354245613 D =，则212223A A A ++= 20 ；

2425A A += 0 。 三．计算n 阶行列式：530002530002500000530 2 5 n D = 解： 2156355 000002000052000352000350000323 3 200005200035200035200035000035 --?-?=-=n n D 四．已知矩阵X 满足111221022402110066X -???? ????=-???? ????-???? ，求X 解：由于060 1122 011 1 ≠=-- 故