天津大学计算机控制系统——9.计控现代设计方法(第二部分)

计算机控制系统

授课教师：孟庆浩

授课对象：自动化专业本科生

授课时间：2010/2011学年第2学期

第九章

计算机控制系统现代设计方法－基于状态空间的分析与设计－

slide 3

8.1 离散系统状态空间分析

8.1.1 线性离散系统状态方程

由高阶差分方程求离散状态方程 由Z 传递函数求离散状态方程

8.1.2 被控对象连续状态方程的离散化8.1.3 计算机控制系统的闭环离散状态方程8.1.4 离散系统的传递函数矩阵与特征值

8.1.5 离散状态方程的求解

8.1.6 线性离散系统的稳定性、可控性和可观性

8.2 离散系统状态空间设计

8.2.1 极点配置

8.2.2 状态观测器

提

纲设线性定常离散系统状态方程和输出方程的一般形式为

式中x (k )为n 维状态向量，u (k )为m 维控制向量，y (k )为p 维输出向量，系数矩阵A ，B ，C ，D 分别为n ×n ，n ×m ，p ×n 和p ×m 矩阵。设初始状态x (0)=0，对上式取Z 变换，得到

11()(I )()()[(I )]()x z z A BU z Y z C z A B D U z ???=???=?+??

(1)()()()()()

x k Ax k bu k y k Cx k Du k +=+??=+?B

slide 5

采用如下记号

则称矩阵G x (z )为输入-状态Z 传递函数矩阵，矩阵G y (z )为输入-输出Z 传递函数矩阵，而方程det (z I-A )=0称为离散系统的特征方程。特征方程的根即为特征值也为系统的极点。

11()(I )()(I )()()

x y y G z z A B G z C z A B D G z G z ???=??=?+??=?[例8.10] 设已知离散系统的状态空间表达式为

试求Z 传递函数。

【解】：由已知条件得到系数矩阵分别为

可以求得逆矩阵为[]112212(1)()011()(1)()0.1611()()11()x k x k u k x k x k x k y k x k +????????=+????????+???

?????????=?????[]

010.1611111A B C ??=??????

??=????

=?1110.16(I )(0.2)(0.8)

z z z A z z ?+????????=++

slide 7

本例为单输入单输出离散系统，因此，输出与输入之间的Z 传递函数矩阵就是通常的Z 传递函数，是标量函数而不是函数矩阵。其传递函数求得如下

[]1()()()

(I )1110.161

11(0.2)(0.8)2( 1.08)

(0.2)(0.8)

Y z G z U z C z A B

z z z z z z z z ?==?+?????????=???++??+=++[例8.11]设已知离散系统的状态空间方程为

试求Z 传递函数矩阵

【解】：由已知条件得到系数矩阵分别为112233123(1)0.200()12(1)00.40()21()(1)000.6()12()101()()122()x k x k x k x k u k x k x k x k y k x k x k +????????????????+=+????????????????+????????

??????=??????????

1()(I )G z C z A B

?=?0.20000.40000.6122112101122A B C ????=??????

????=??????

??=????

slide 9可以求得逆矩阵为于是，得到Z 传递

函数矩阵G (z )为11

0.200(I )00.400

00.61000.21000.41000.6z z A z z z z z ????????=??????????????

???=????????????

1222222()(I )20.84 1.60.80.120.80.127 5.40.88

86 1.040.80.12

0.80.12G z C z A B

z z z z z z z z z z z z z z ?=????????+?+=???+?+?????+?+??

8.1 离散系统状态空间分析

8.1.1 线性离散系统状态方程

由高阶差分方程求离散状态方程 由Z 传递函数求离散状态方程

8.1.2 被控对象连续状态方程的离散化8.1.3 计算机控制系统的闭环离散状态方程8.1.4 离散系统的传递函数矩阵与特征值

8.1.5 离散状态方程的求解

8.1.6 线性离散系统的稳定性、可控性和可观性

8.2 离散系统状态空间设计

8.2.1 极点配置

8.2.2 状态观测器

提

纲

slide 11

设线性定常离散状态空间方程的一般形式为

式中x (k )为n 维状态向量，u (k )为m 维控制向量，y (k )为p 维输出向量，系数矩阵A ，B ，C ，D 分别为n ×n ，n ×m ，p ×n 和p ×m 矩阵。在状态方程中，设给定初始条件为x (0)和u (0)，给定u (k )则依次取k=0,1,2,…,便可用递推法得到

(1)()()()()()

x k Ax k Bu k y k Cx k Du k +=+??=+?或表示成

或由上式可见，由状态方程的解所表达的状态轨迹是离散轨迹，由初始状态和输入控制作用两部分所引起的状态转移而构成。在第k 时刻的状态只由k 时刻以前的输入决定，而与第k 时刻及其后的输入无关，这正是物理可实现的基本条件。

212(1)(0)(0)(2)(1)(1)(0)(0)(1)()(0)(0)(1)(2)(1)K K K x Ax Bu x Ax Bu A x ABu Bu x k A x A Bu A Bu ABu k Bu k ??=+??=+=++????=++++?+??

M L 110()(0)()k K K j j x k A x A Bu j ???==+∑1

0()(0)(1)k K

i i x k A x A Bu k i ?==+??∑

slide 13

在上式中，若用记号表示的矩阵称为离散状态转移矩阵，且有成立，则上式可表示为或将上式代入输出方程，得到

或

()k k A Φ=(1)()(0)I

k A k Φ+=Φ??Φ=?1

0()()(0)(1)()

k j x k k x k j Bu j ?==Φ+Φ??∑1

()()(0)()(1)

k i x k k x i B u k i ?==Φ+Φ??∑1

0()()(0)(1)()()k j y k C k x C k j Bu j Du k ?==Φ+Φ??+∑1

0()()(0)()(1)()

k i y k C k x C i Bu k i Du k ?==Φ+Φ??+∑[例8.12]试用递推法求例8.8（结果如下）的闭环离散状态方程的解，设K=1，T=1秒，x 1(0)=x 2(0)=0，r (kT )=1。

图8.8 例8.8的离散系统

slide 15

【解】：该闭环离散状态方程和输出方程为

根据给定的x 1(0)=x 2(0)=0，和r (kT )=1，令k=0,1,2,…,对状态方程进行迭代求解，则可得到

11221(1)()0.6320.6320.368()(1)()0.6320.3680.632()()

x k x k r k x k x k y k x k +????????=+????????+??

???????=121212(1)0.6320.63200.3680.368(1)0.6320.36800.6320.632(2)0.6320.6320.3680.3681(2)0.6320.3680.6320.6320.632(3)0.6320.(3)x x x x x x ??????????=+=????????????

???????????????????=+=????????????

???????????=????121263210.368 1.3990.6320.3680.6320.6320.233(4)0.6320.632 1.3990.368 1.399(4)0.6320.3680.2330.6320.166(5)0.6320.632(5)0.6320.368x x x x ????????+=??????????

?????????????????=+=????????????????

??????

???=?????12 1.3990.368 1.1470.1660.6320.313(6)0.6320.632 1.1470.3680.895(6)0.6320.3680.3130.6320.203x x ???????+=??????????????????

??????????=+=???????????????????????LL

于是，根据输出方程，便可得到

(){0,0.368,1,1.399,1.399,1.147,0.895,}

y k =L

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将离散状态方程

两边取Z变换得

两边取Z反变换，得

则应有(1)()()

x k Ax k Bu k +=+11()(I )(0)(I )()

x z z A zx z A BU z ??=?+?1111()(I )(0)(I )()x k z A z x z A BU z ????????=?+?????

Z Z 1111110(I )()(I )()k k k j j A z A z A

BU j z A BU z ???????=??=???

??=???

∑Z Z [例8.13]试用Z变换法求如下状态方程的解

设【解】：1122(1)()011()(1)()0.1611x k x k u k x k x k +????????=+????????+??????????12(0)1,()1(0)1x u k x ????==???????

??1111()(I )10.1614(0.2)(0.8)5[(0.2)(0.8)]130.8[(0.8)(0.2)]4(0.8)(0.2)k k k

k k k k k k A k z A z z z z ??????=Φ=???

???????=????+??????

????????=??????????

Z Z

slide 19

于是可以算出

解得172225(0.2)(0.8)6918() 3.417.67(0.2)(0.8)6918k k k k x k ????+?+??=?????+?+????

11

114(0.2)(0.8)1(I )(0)30.2(0.2) 3.2(0.8)151025(0.2)(0.8)6918(I )()(0)187(0.2)(0.8)2918k k k k k k k k z A z x z A BU z x ????????????=?????????????+?+?????=???????+?+????

Z Z 4(-0.8)k -(-0.2)k －－8.1 离散系统状态空间分析

8.1.1 线性离散系统状态方程

由高阶差分方程求离散状态方程 由Z 传递函数求离散状态方程

8.1.2 被控对象连续状态方程的离散化8.1.3 计算机控制系统的闭环离散状态方程8.1.4 离散系统的传递函数矩阵与特征值

8.1.5 离散状态方程的求解

8.1.6 线性离散系统的稳定性、可控性和可观性

8.2 离散系统状态空间设计

8.2.1 极点配置

8.2.2 状态观测器

提

纲

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在自动控制系统中，被控对象是由控制器发出的控制信息控制的，而这个控制信息又是控制器根据被控对象的输出信息以及所规定的控制规律产生的。显然，要使上述控制过程成为物理上可实现的，就面临着这样两个基本问题：

第一，控制作用是否必然可使系统在有限时间内从起始状态指引到所要求的状态，即可控性问题。

第二，是否能够通过观测有限时间内输出的观测值来识别系统的状态以便反馈，即可观性问题。

线性离散系统稳定的充要条件是系统的全部特征值位于单位圆内，或全部特征值的模小于1。

设线性离散系统的特征方程为

其特征值为z i ，则线性离散系统稳定的充要条件是

│z i │<1。

det(I )0

z A ?=

slide 23

[例8.14] 试确定例8.8中离散系统在如下情况下的稳定性。

(1) K=1，T=1 (2)K =0.5, T =1(3)K=5，T=0.01

【解】：求得闭环离散系统的系数矩阵为

则系统的特征方程为

1(1)1(1)T T T T k T e e A k e e ???????+??=?????

－K K 2(1)11det(I )(1)[(1)(1)1][(1)]0T T T T

T T z k T e e z A k e z e z k e k T z k k kT e ??????++?+??=??=+?+??++??=－－K K 0

])1([)]1()1[(2=??++??+?+=??T T e KT K K z K KT e K z －(1) 当K=1，T=1时，该闭环系统的特征值为

z 1=-0.145, z 2=1.145

此时有│z 2│>1，故该系统是不稳定的。

(2) 当K=0.5，T=1时，该闭环系统的特征值为

z 1,2=0.59±j 0.15

此时有│z 1,2│=0.61<1，故该系统是稳定的。

(3) 当K=5，T=0.01时，该闭环系统的特征值为

z 1,2=0.995±j 0.013

此时有│z 1,2│=0.995<1，故该系统是稳定的。

slide 25

上述各种情况说明，线性离散系统的稳定性与系统的K 和T 有关。一般来说，K 增大或T 增大系统的稳定性变差；反之，K 减小或T 减小系统的稳定性变好。因此，为了使线性离散系统有良好的动态特性，必须适当选择K 和T 。

设线性定常离散系统状态方程和输出方程的一般形式为

式中x (k )为n 维状态向量，u (k )为m 维控制向量，y (k )为p 维输出向量，系数矩阵A ，B ，C ，D 分别为n ×n ，n ×m ，p ×n 和p ×m 矩阵。

1．线性离散系统的状态可控性

对于线性离散系统，如果存在着一组无约束的控制序列u (k )，k=0,1,2,…,N-1，能把系统从任意初始状态x (0)转移到终态x (N )，其中N 是有限值，则称该线性离散系统系统是状态完全可控的。其状态完全可控的充要条件是

(1)()()()()()

x k Ax k Bu k y k C x k D u k +=+??=+?1n rank B AB A B n

???=??L

slide 27

2．线性离散系统的输出可控性

对于线性离散系统，如果存在着一组无约束的控制序列u (k )，k=0,1,2,…,N -1，能把任意的初始输出值y (0)，在有限时间N 内转移到任意的终值输出值y (N )，称该系统是输出完全可控的。其输出完全可控的充要条件是

1n rank CB CAB CA B D p

???=??L 设线性定常离散系统状态方程和输出方程的一般形式为

式中x (k )为n 维状态向量，u (k )为m 维控制向量，y (k )为p 维输出向量，系数矩阵A ，B ，C ，D 分别为n ×n ，n ×m ，p ×n 和p ×m 矩阵。则离散系统状态完全可观测的充要条件是

(1)()()()()()

x k Ax k Bu k y k Cx k Du k +=+??=+?1n C CA rank n CA ???????=??????

M

slide 29和连续系统类似，线性离散系统的可控性、可测性与传递函数矩阵的关系如下：

(1)若分子分母无相消因子，则线性离散系统的状态完全可控。

(2)若分子分母无相消因子，则线性离散系统的状态完全可测。

(3)若分子分母无相消因子，则线性离散系统的状态完全可控而且是完全可测。若有相消，则可能是状态不完全可控的，也可能是状态不完全可测的，又或可能是状态既不完全可控又不完全可测。产生这些可能性的原因取决于状态变量的选择，由于状态变量的选择不是惟一的，因而不同的状态变量的选择就造成这些可能性。

1(I )z A B ??1(I )C z A ??1(I )C z A B ??