《导数及其应用》单元测试题(理科)
《导数及其应用》（理科）
一、选择题（本大题共8小题，共40分，只有一个答案正确） 1．函数()2
2)(x x f π=的导数是（ ）
(A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 2
8)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数x
e x x
f -?=)(的一个单调递增区间是（ ）
(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0
3．已知对任意实数x ，有()()
()(f x f x g x g x
-=--=，，且0x >时，()0()f x g x ''>>，，则0x <时（ ）
A ．()0()0f x g x ''>>，
B ．()0()0f x g x ''><，
C ．()0()0f x g x ''<>，
D ．()0()0f x g x ''<<，
4．
=-+?
dx x
x x )1
11(322
1
（ ） (A)8
7
2ln + (B)872ln - (C)452ln + (D)812ln +
5．曲线1
2
e x y =在点2
(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ．
29e 2
Ｂ．2
4e
Ｃ．2
2e
Ｄ．2
e
6．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
7．已知二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有
()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．
52 C ．2 D ．32
8．设2
:()e ln 21x
p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件
Ｄ．既不充分也不必要条件
二．填空题（本大题共6小题，共30分）
9．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，则该长方体的长、宽、高各为 时，其体积最大.
10．将抛物线2
2
x y =和直线1=y 围成的图形绕y 轴旋转一周得到的几何体
的体积等于
11．已知函数3
()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则
M m -=＿＿．
12．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列
1n a n ????+??
的前n 项和的公式是 13．点P 在曲线3
23
+-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，则α的取值
范围是 14．已知函数53
123
-++=
ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 . （3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是 .
三．解答题（本大题共6小题，共12+12+14+14+14+14=80分） 15．设函数()e e x
x
f x -=-． （1）证明：()f x 的导数()2f x '≥；
（2）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．
16．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的
坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,）
，该平面上动点P 满足?4PA PB =
,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点，.求 (1)求点A B 、的坐标； (2)求动点Q 的轨迹方程.
17．已知函数c bx x ax x f -+=4
4
ln )((x>0)在x = 1处取得极值-3-c ，其中a,b,c 为常数。 （1）试确定a,b 的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式2
2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。
18．已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3
)(23
（1）当1-=a 时，求函数的单调区间。 （2）当R a ∈时，讨论函数的单调增区间。
（3）是否存在负实数a ，使[]0,1-∈x ，函数有最小值－3？
19．已知函数3
()3.f x x x =- （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；
（2）若过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.
20．已知函数()2
a f x x x
=+，()ln g x x x =+，其中0a >．
（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；
（2）若对任意的[]12,1
x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．
【理科测试解答】
1．()∴==,42)(222x x x f ππ=?='x x f 242)(πx x f 28)(π=';
或()()=?='??='ππππ24222)(x x x x f x 28π（理科要求：复合函数求导） 2．∴=?=-.)(x x
e x e
x x f []
=?-?='21)(x x x e e x e x f ， ()[]
1,012<∴>?-x e e x x x
选(A) 或().1,0.0)1(11)(<∴>>?-=-??+?='----x e e x e x e x f x x x x 3.(B)数形结合
4．（D ） 5．（D ） 6．（D ） 7．（C ） 8．（B ） 二、填空题
9．2cm,1cm,1.5cm ; 设长方体的宽为x （m ），则长为2x (m)，高为
??? ?
?
-=-=
230(m)35.44
1218＜＜x x x
h .
故长方体的体积为
).2
3
0()
(m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-=
从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='
令V ′（x ）＝0，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1. 当0＜x ＜1时，V ′（x ）＞0；当1＜x ＜
3
2
时，V ′（x ）＜0， 故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值。
从而最大体积V ＝V ′（x ）＝9×12-6×13（m 3），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 10．π.==?dy x S 1
02
π ().01
22
1
πππ==?y dy y （图略）
11．32 12．()()/112
22,:222(2)n n n x y
n y n x --==-++=-+-切线方程为，令x=0，求出切线
与y 轴交点的纵坐标为()012n
y n =+，所以
21n n a n =+，则数列1n a n ??
??+??
的前n 项和()12122212
n n n S +-=
=--
13.??
???????????πππ,432,0
14. (1).3)3(;3)2(;1-≤-≥≥a a a 三、解答题
15．解：（1）()f x 的导数()e e x
x
f x -'=+．
由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥．
（当且仅当0x =时，等号成立）． （2）令()()g x f x ax =-，则
()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，
（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x
x
g x a a -'=+->-≥，
故()g x 在(0)+，∞上为增函数，
所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．
（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1x =，
此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．
所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾．
综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，
． 16．解：（1）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-． 又对()f x 求导得
3431
()4ln 4f x ax x ax bx x '=++
3(4ln 4)x a x a b =++．
由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．
（2）由（I ）知3
()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =． 当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数．
因此()f x 的单调递减区间为(01)，，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞．
（3）由（II ）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值，要使
2()2f x c -≥（0x >）恒成立，只需232c c ---≥．
即2
230c c --≥，从而(23)(1)0c c -+≥， 解得3
2
c ≥
或1c -≤． 所以c 的取值范围为3(1]2
??-∞-+∞????
，，
17．解: (1)令033)23()(2
3
=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或 当1-
所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故
1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f
所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.
(2) 设),(n m p ，),(y x Q ，()()4414,1,12
2
=-+-=--?---=?n n m n m n m PB PA
21-=PQ k ，所以21-=--m x n y ，
又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以??
?
??-+=+4222m x n y 消去n m ,得()()9282
2
=++-y x .
另法：点P 的轨迹方程为(),922
2
=-+n m 其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；
设点（0，2）关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q 的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由2102-=--a b ，??
?
??-+=+420222a b 得a=8,b=-2
18（1）(),2,-∞-∈x 或(),,2+∞∈x )(x f 递减; (),2,2-∈x )(x f 递增; （2）1、当,0=a
(),
2,-∞-∈x )(x f 递增;2、当,0 ? ??∈a x )(x f 递增;3、当,10< ,,2?? ? ??+∞∈a x )(x f 递增; 当,1=a (),,+∞∞-∈x )(x f 递增;当,1>a ,2,?? ? ? ?∞-∈a x 或(),,2+∞∈x )