2009年广东省高考文科数学试卷及答案

绝密☆启用前 试卷类型：A

2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式1

3

v Sh =

，其中s 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出得四个选项中，只有一项十符合题目要求得.

1.已知全集U=R ，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N= { x |x 2

+x=0} 关系的韦恩（Venn ）图是

2.下列n 的取值中，使n

i =1(i 是虚数单位）的是

A. n=2

B. n=3

C. n=4

D. n=5

3.已知平面向量a =,1x （） ，b =2

,x x （－）

， 则向量+a b A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线

C.平行于y 轴

D.平行于第二、四象限的角平分线

4.若函数()y f x =是函数1x

y a a a =≠（>0，且）

的反函数，且(2)1f =，则()f x = A ．x 2log B ．

x 21 C ．x 2

1log D ．22

-x 5.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22

5a ，2a =1，则1a =

A.

21 B. 2

2

C. 2

D.2 6.给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是

A ．①和②

B ．②和③

C ．③和④

D ．②和④

7.已知ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为a ,b,c 若a =c=26+且75A ∠=o

，则b=

A.2 B ．4＋．4—8.函数x

e x x

f )3()(-=的单调递增区间是

A. )2,(-∞

B.(0,3)

C.(1,4)

D. ),2(+∞ 9．函数1)4

(cos 22

--

=π

x y 是

A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为

2

π的奇函数 D. 最小正周期为2π

的偶函数

10．广州2010年亚运会火炬传递在A 、B 、C 、D 、E 五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以A 为起点，E 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是

A.20.6

B.21

C.22

D.23

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

（一）必做题（11－13题）

11.某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：

图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=

(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”)

图1

12．某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取人.

图 2

13．以点（2，1-）为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是 . (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线1223x t

y t =-??=+?

（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，

则常数k = .

15.(几何证明选讲选做题)如图3，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB=4，30ACB ∠=o

，则圆O 的面积等于 .

图3

三、解答题，本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.（本小题满分12分）

已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2

,0(π

θ∈

（1）求θsin 和θcos 的值

（2）若??θcos 53)cos(5=-，<

π

,求?cos 的值 17.（本小题满分13分）

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P －EFGH,下半部分是长方体ABCD －EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图 （2）求该安全标识墩的体积 （3）证明:直线BD ⊥平面PEG

18.（本小题满分13分）

随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为

2

3

,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C :021422

2=--++y kx y x )(R k ∈的圆

心为点k A . (1)求椭圆G 的方程

(2)求21F F A k ?的面积

(3)问是否存在圆k C 包围椭圆G?请说明理由. 20.（本小题满分14分）

已知点（1，

3

1

）是函数,0()(>=a a x f x 且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －

1-n S =n S +1+n S （n ≥2）.

（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若数列{

}1

1

+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >

20091000的最小正整数n 是多少? 21.（本小题满分14分）

已知二次函数)(x g y =的导函数的图像与直线2y x =平行,且)(x g y =在x =－1处取得最小值m －1(m 0≠).设函数x

x g x f )()(=

(1)若曲线)(x f y =上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m 的值 (2) )(R k k ∈如何取值时,函数kx x f y -=)(存在零点,并求出零点.

参考答案

一、

1. B

2. C

3. C

4. A

5. B

6. D

7.A

8. D 9．A 10．B 二、

11.6i ≤,126a a a +++ 12． 37, 20

13．2

2

25(2)(1)2

x y -++= 14． 6- 15.16π 16.

【解析】（１）a b ⊥v v Q ,sin 2cos 0a b θθ∴=-=v

v g ,即sin 2cos θθ=

又∵2sin cos 1θθ+=, ∴22

4cos cos 1θθ+=,即2

1cos 5=

,∴2

4sin 5

θ=

又

(0,)sin 2

πθθ∈∴=

,cos θ=

(2) ∵5cos()5(cos cos sin sin )θ?θ?θ?-=+??+θ=

cos sin ??∴= ,222

cos sin 1cos ???∴==- ,即2

1cos 2

?=

又 <

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

（２）该安全标识墩的体积为：P EFGH ABCD EFGH V V V --== 221

406040203200032000640003

=

??+?=+= ()2cm （３）如图,连结EG,HF 及 BD ，EG 与HF 相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,PO ⊥平面EFGH , PO HF ∴⊥ 又EG HF ⊥ HF ∴⊥平面PEG 又BD HF P BD ∴⊥平面PEG ；

18.

【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179:之间，而乙班身高集中于170180: 之间。因此乙班平均身高高于甲班;

(2) 158162163168168170171179179182

17010

x +++++++++=

=

甲班的样本方差为()()()()22222

1[(158170)16217016317016817016817010

-+-+-+-+-

()()()()()2

2

2

2

2

170170171170179170179170182170]+-+-+-+-+-＝57 （3）设身高为176cm 的同学被抽中的事件为A ；

从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（181，173） （181，176） （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173） (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件； ()42

105

P A ∴=

= ； 19.【解析】（1）设椭圆G 的方程为：22

221x y a b

+= （0a b >>）半焦距为c;

则212

a c a

=???=

??

解得6a c =???

=??222

36279b a c ∴=-=-= 所求椭圆G 的方程为：

22

1369

x y +=. (2 )点K A 的坐标为(),2K -

121211

2222

K A F F S F F =

??=?=V （3）若0k ≥，由22

60120215120k k ++--=+f 可知点（6，0）在圆k C 外，

若0k <，由22

(6)0120215120k k -+---=-f 可知点（-6，0）在圆k C 外；

∴不论K 为何值圆k C 都不能包围椭圆G.

20.【解析】（1）()113f a ==Q ,()13x

f x ??

∴= ???

()1113a f c c =-=

- ,()()221a f c f c =---????????2

9

=-, ()()32

3227

a f c f c =---=-???????? .

又数列{}n a 成等比数列，2213421

8133

27

a a c a ===-=-- ，所以 1c =；

又公比2113a q a ==，所以1

2112333n n

n a -??

??

=-=- ?

?????

*n N ∈ ；

1n n S S --=

=Q ()2n ≥

又0n b >

0>

, 1=；

数列

构成一个首相为1公差为1

()111n n =+-?= ， 2n S n =

当2n ≥， ()2

2

1121n n n b S S n n n -=-=--=- ；

21n b n ∴=-(*n N ∈)；

（2）12233411111

n n n T b b b b b b b b +=

++++

L ()

1111133557(21)21n n =++++???-?+K 1111111111112323525722121n n ????????=

-+-+-++- ? ? ? ?-+????????

K 11122121

n

n n ??=-= ?

++??； 由1000212009n n T n =

>+得10009n >，满足1000

2009

n T >的最小正整数为112. 21.【解析】（1）设()2

g x ax bx c =++，则()2g x ax b '=+； 又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴= 1a = 又()g x 在1x =-取极小值， 12

b

-

=- ，2b = ()1121g a b c c m ∴-=-+=-+=-， c m =；

()()2g x m

f x x x x

==++， 设(),o o P x y 则()

2

2

2

2

2000002m PQ x y x x x ??=+-=++ ??

?22

020222m x x =++≥

24∴=

m =；

（2）由()()120m

y f x kx k x x

=-=-+

+=， 得 ()2120k x x m -++= ()*

当1k =时，方程()*有一解2m x =-，函数()y f x kx =-有一零点2

m x =-； 当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ??=-->，若0m >，1

1k m

>-，

函数()y f x kx =-有两个零点x ；若0m <，

11k m <-

，函数()y f x kx =-有两个零点x ； 当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ??=--=, 1

1k m

=-, 函数()y f x kx =-有一零点11

x k =-