全等三角形(最全面的资料)
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第三章 全等三角形
专题二、全等三角形的判定 知识点：
三角形全等的条件：
1. 三边对应相等的两个三角形全等（可写成“边边边”或“SSS ”） 如图：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，AB= A ’B ’，BC ＝B ’C ’，AC ＝A ’C ’，可以判定△ABC ≌△A ’B ’C ’。
2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）如图：
如图：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，AB= A ’B ’,∠ABC=∠A ’B ’C ’,BC ＝B ’C ’，可以判定△ABC ≌△A ’B ’C ’。
3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）
如图：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠B=∠B ’，BC ＝B ’C ’， ∠C=∠C ’可以判定△ABC ≌△A ’B ’C ’。
4.角边角（ASA ）公理推论：有两个角和一角所对边对应相等的两个三角形全等。（简称为“角边角”或“ASA ”）。 如图：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠B=∠B ’， ∠C=∠C ’，AC=A ’C ’。可以判定△ABC ≌△A ’B ’C ’。
5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL ”）
如图：在Rt △ABC 和Rt △A ’B ’C ’中，∠B=∠B ’＝90?，AB=A ’B ’，AC=A ’C ’。可以判定△ABC ≌△A ’B ’C ’。
2
补充：1、Rt 中30度所对的直角边等于斜边的一般。 2、Rt 斜边上的中线等于斜边的一半。 典型例题： 1.已知两边
??
?
??→→→SSS HL SAS 找另一边找直角找夹角 例1.如图所示，AD=AE ，点D 、E 在BC 上，BD=CE ，∠1=∠2。试说明△ABD ≌△ACE 。
12
E
B
C
D
A
变式练习：
1.如图，已知AF=AE ，AC=AD ，CF 与DE 交于点B 。求证：△ACF ≌△ADE 。
B
F
A C
D
E
2.如图，AC=BD ，AB=DC ，求证：∠B=∠C 。
3
E
D
A
B C
3.如图，A 、E 、F 、B 四点在一条直线上，AC ⊥CE ，BD ⊥DF ，AE=BF ，AC=BD ，求证：CF=DE 。
D
C
F
A
B
E
能力提升：
1.如图所示，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠EAD= 90，连接BD 、CE. （1）求证：BD=CE ；
（2）观察图形，猜想BD 和CE 之间的位置关系，并证明你的结论。
2. 已知如图：BE 、CF 是△ABC 中AC 、AB 上的高，在射线BE 上截取BP=AC ，在射线CF 上截取CQ=AB 。求证：（1）AP=AQ ；（2）AP ⊥AQ 。
E
D
C
B
A
4
2.已知一边一角
?
??
?
?
?????
??→→→→→SAS AAS
ASA AAS 找该角的另一条邻边找这条边的对角找这条边的另一个邻角边为角的邻边找任意一角边为角的对边 例2.如图所示，点E 、F 在BC 上，BE=CF ，AB=DC ，∠B=∠C 。试说明△ABF ≌△DCE 。
D
E B
C
A F
变式练习：
1.已知：如图，
AB=AE ，∠1=∠2，∠B=∠E 。求证：BC=ED 。
2.如图，点A 、B 、D 、E 在同一直线上，AD=EB ，BC ∥DF ，∠C=∠F 。求证：AC=EF 。
5
3.如图4，已知AB ＝AC ，AD ＝AG ，AE ⊥BG 交BG 的延长线于E ，AF ⊥CD 交CD 的延长线于F 。求证：AE ＝AF
A F E D G
B C
图4
能力提升：
1. 如图：已知在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC 。AE 是过点A 的直线，BD ⊥AE 于点D ，CE ⊥AE 于点E ，求证：BD=CE+DE 。
2. 如图①所示，在正方形ABCD 中，点P 是CD 上一动点，连结PA ，分别过点B 、D 作BE
⊥
PA 、DF ⊥PA ，垂足为点E 、F 。
（1）请探索BE 、DF 、EF 这三条线段有怎样的数量关系。若P 在DC 的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P 在CD 的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；
（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明。
6
F E
F
E
F
E
B
C
C B C
B
P
P
A
D A
D
A
D
P
①
② ③
3. 如图①所示在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AE 是过A 点的一条直线，且B 点和C
点在AE 的异侧，BD ⊥AE 于D 点，CE ⊥AE 于E 点。 （1）求证：BD=DE+CE ；
（2）若直线AE 绕点A 旋转到图②所示的位置时（BD ＜CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请予以证明；
（3）若直线AE 绕点A 旋转到如图③所示位置时（BD ＞CE ），其余条件不变，BD 与DE 、CE 的关系如何？直接写出结果，不需证明；
（4）归纳前三小题，用简捷的语言表述BD 、DE 、CE 之间的关系。
E
D
A
B
C
E
D
A
C
B
E
D
A
C
B
① ② ③
3.已知两角
??
?→→AAS
ASA 找任一角的对边找两角的夹边
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O
F
A B
C
D
E
例3.如图所示，AB 、CD 交于点O ，E 、F 为AB 上两点，OA=OB ，OE=OF ，∠A=∠B ，∠ACE=∠BDF ，试说明△ACE ≌△BDF 。
变式练习：
1.如图2，已知点A 、B 、C 、D 在同一直线上，AC ＝BD ，AM ∥CN ，BM ∥DN 。 求证：AM ＝CN.
M N
A C
B D
图2
2.如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 与CD 相交于点O ，且∠1=∠2，求证：BD=CE 。
2
1O
D
A
B
C
E
能力提升：
8
如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD 是△ABC 的角平分线，∠1=∠C,求证AC=AB+BD 。
专题三、构造全等三角形
1.平移（平行线）构造全等三角形
例1、△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ， 求证：AB+BP=BQ+AQ ．
说明：⑴本题也可以在AB 截取AD=AQ ，连OD ，构造全等三角形，即“截长补短法”． （2）本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：
①如图（2），过O 作OD ∥BC 交AC 于D ，
则△ADO ≌△ABO 来解决．
②如图（3），过O 作DE ∥BC 交AB 于D ，
交AC 于E ，则△ADO ≌△AQO ，△ABO ≌△AEO 来解决．
③如图（4），过P 作PD ∥BQ 交AB 的延长线于D ，则△APD ≌△APC 来解决． ④如图（5），过P 作PD ∥BQ 交AC 于D ，则△ABP ≌△ADP 来解决．
O A
B C P Q D
图（2） A B C P Q D E 图（3） O A
B
C
P Q O
A
Q D
O
A
B
C
P
Q
D O
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2.翻折构造全等三角形
例2.如图所示，已知△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，BD 平分∠ABC ，试说明AB=BC+CD 。
D
C
A
B
变式练习
1、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD,过C 作CE ⊥AB 于E ，并且()AD AB AE +=2
1
,求∠ABC+∠ADC 的度数。
2、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
3、如图所示，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，若AB ＞AD ，DC=BC ，试说明∠B+∠D=180°。
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A
B
D
C
3.旋转构造全等三角形
例3.以△ABC ，AB 、AC 为边分别作正方形ADEB 、ACGF ，连接DC 、BF 。
(1)利用旋转的观点，在此题中，△ADC 绕着 点旋转 度可以得到△ 。 (2)CD 与BF 相等吗？请说明理由。 (3)CD
与BF 互相垂直吗？请说明理由。
变式练习：
1、已知：正方形ABCD 中，∠MAN =45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点M ，N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时（如图1），易证BM +DN =MN ．
（1）当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM ，DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？并说明理由．
M B
C
N
图3
A D
B
C
N
M
图2
A D
B C
N
M
图1
A D
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2.如图，在正方形ABCD 的边BC 、CD 上取E 、F 两点，使∠EAF=45°，AH ⊥EF 于H 。求证：AH=AB 。
4.截长补短法构造全等三角形
例4.如图所示，△ABC 中，∠C=2∠B ，∠1=∠2，试说明AB=AC+CD 。
2
1D
B
C
A
变式练习：
1.如图，在ABC ?中，BD AB CD C B +⊥∠=∠＝。求证：于且D BC AD ,2。
A
B
C
D
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2.如图，已知正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，求证：AB+BE=AC
3.如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作∠DMN=60°，射线MN 与∠DBA 外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?
4.操作：如图①所示，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以点D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN 。探究：线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明。
D
A
C
B
M N
N
D
A
C
B
M
N D
A
C
B M
D
A
B
C
① ② ③ ④
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说明：（1）如果你经过反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经过说明（1）的过程之后，可以从下列①②的条件中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。 ①AN=NC （如图1-22②所示）；②DM ∥AC （如图1-22③所示）。
附加题：若点M 、N 分别是射线AB 、CA 上的点，其他条件不变，再探索线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图1-22④中画出图形，并说明理由。
5. 如图①所示，在正方形ABCD 中，点P 是CD 上一动点，连结PA ，分别过点B 、D 作BE ⊥PA 、DF ⊥PA ，垂足为点E 、F 。
（1）请探索BE 、DF 、EF 这三条线段有怎样的数量关系。若P 在DC 的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P 在CD 的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；
（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明。
F E
F
E
F
E
B
C
C B C
B
P
P
A
D A
D
A
D
P
①
② ③
6.如图1，已知在△ABC 中，AB=AC ，CG 是AB 上的高，D 是BC 上一点，且DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F 。（1）求证：DE+DF=CG ；（2）如图2，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC
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F
E
D
B
C
A 延长线上一点，点G 在AC 的延长线上，DG ⊥AC 于点G ，DE ⊥A
B 于点E ，CF ⊥AB 于点F 。求证：CF DG DE =-.
7. 如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，∠DCB=45°，BD⊥CD．过点C 作CE⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，点G 为BC 中点，连接EG 、AF ．求证：CF=AB+AF ．
5.倍长中线法构造全等三角形
例6. 阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明。
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已知：如图1-23所示，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE=∠D 。 求证：AB=CD 。
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形的性质公理或等腰三角形的判定定理，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等。因此，要证明AB=CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。先给出如下三种添辅助线的方法，如图1-24（1）（2）（3）所示，请任意选择其中一种，对原题进行证明。
A
E
B
C
D A
E
D
C
B
F
G
A
E
D C
B
F A
E B
C
D F
（1） （2） （3）
变式练习：
1.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，D 是AD 上一点，E 是AC 延长线上一点，且BD=CE ，DE 交BC 于点F ，你认为DF 与EF 之间有什么关系？你能证明吗？
F
D C B
E
A
2. 在△ABC 中，D 是BC 中点，ED ⊥DF 。试判断：BE+CF 与EF 的关系？
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3.如图所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，且AE=AF 。若点M 是BC 的中点，求证：BE=CF=
2
1
(AB+AC)。 F
M
D B
C
A
E
专题四、方程思想和转化思想的体会 1.方程思想
例1.在△ABC 中，若3∠A=5∠B ，3∠C=2∠B 。试判断△ABC 的形状。
例2.在△ABC 中，AB=AC=12cm ，BC=6cm ，D 为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B →A →C 的方向运动。设运动时间为t 秒，过D 、P 两点的直线将△ABC 的周长分为两个部分，使其中一个部分是另一个部分的2倍，那么t 的值为多少？
变式练习：
1.如图所示，AB=12米，CA⊥AB于A，BD⊥AB于B，且AC=4米，P点从B向A运动每分钟走1米，Q点从B向D运动，每分钟走2米，P、Q两点同时出发，运动几分钟后，△CAP和△PQB全等，试说明理由。
D
P
C
A B
2.转化思想
例2.（1）如图①所示，A、E、F、C四点在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，
BF⊥AC，若AB=CD，试说明FG=EG；
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（2）若将△DEC 沿AC 方向移动变为如图②所示，其他条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由。
G D
E
A
C B
F G
F
C
A
D
E
B
变式练习：
1.如图所示，线段BE 上有一点C ，以BC 、CE 为边分别在BE 的同侧作等边三角形△ABC 、△DCE ，连接AE 、BD ，分别交CD 、CA 于Q 、P 。
（1）找出图中的几组全等三角形，又有那几组相等的线段？ （2）取AE 的中点M ，BD 的中点N ，连接MN ，试判断△CMN 的形状。
Q P B
E
C
A D
M
N
Q
P E
B
C
A D
例3.如图1，四边形ABCD 是正方形，点E
是边BC 的中点．?=∠90AEF ，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证?
?，所以EF
AME?
ECF
AE=．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
变式练习1.（2014.齐齐哈尔）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN 上（不与点A重合）。
（1）如图1，DE与AC交于点P，求证：BD=DP。
（2）如图2，DE与CA的延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。
（3）如图3，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明。
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中考链接：
1.(2014初二联赛初赛）如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，且P、Q、M分别为AD、AC、CE的中点，∠BCD的平分线与∠CBD的平分线交于点F，过点F作FG⊥DC于点G，∠ABC=∠DBE=90°，A、B、D三点共线。
（1）求证：AE=CD；
（2）若PQ=
42
5
，求PM的值；
（3）求证：AD=CD+2FG。
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全等三角形复习练习题
第11章 全等三角形复习练习题 一、选择题 1．如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 2.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） 3.如图（四），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补充一个条件，才能推出 APC APD △≌△．从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．推出APC APD △≌△的是（ ） A ．BC BD = B ．A C A D = C ．ACB ADB ∠=∠ D ．CAB DAB ∠=∠ A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 4.如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( ) (A)∠B=∠E,BC=EF （B ）BC=EF ，AC=DF (C)∠A=∠D ，∠B=∠E （D ）∠A=∠D ，BC=EF 5．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ， 若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( ) A ．10cm B ．8cm C ．6cm D ．9cm 6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处 7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那 么最省事的方法是（ ） A ．带①去 B ．带②去 C ．带③去 D ．带①②③去 8．如图，在Rt ABC △中， 90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知 10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ） A ． 30 B ． 40 C ． 50 D ． 60 C A D P B 图（四） E D C B A
全等三角形的性质及判定(经典讲义)
全等三角形的性质及判定 1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形． 2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等． （2）全等三角形的对应边上的高相等， 对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等． （3）全等三角形的周长、面积相等． 3、全等三角形判定方法： （1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ） （2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ） 专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等 例题1：下列说法，正确的是（ ） A.全等图形的面积相等 B.面积相等的两个图形是全等形 C.形状相同的两个图形是全等形 D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠=. 【仿练1】如图2，已知ABC ADE ???，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是. 【仿练2】如图 3，ABC ADE ???，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= . 、 图4 E D C B A 图2 图3 M D N B C 图1
三角形全等的判定一（SSS ） 相关几何语言考点 ∵AE=CF ∵CM 是△的中线 ∴_____________( ) ∴____________________ ∴__________（） 或 ∵AC=EF ∴____________________ ∴__________（） AB=AB （ ） 在△ABC 和△DEF 中 ∵?? ? ??___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） 例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？ 例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ． 求证△ACD ≌△CBE ． B F E C A F E D C B A C M B A B A
全等三角形常见的几何模型图文稿
全等三角形常见的几何 模型 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转：???????，造中心对称遇中点旋全等 遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角 旋遇，造等边三角形 旋遇自旋转构造方法0000 018090906060 （2）共旋转（典型的手拉手模型） 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和 △ BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） A E=DC （3） A E 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB （6） B H 平分∠AHC （7） G F ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） A E=DC （3） A E 与DC 的夹角为60。 （4） A E 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
3、（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CB N，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例4、例题讲解： 1. 已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 例1、如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、Q，若△APQ的周长为2， 求PCQ 的度数。
最新全等三角形专题分类复习讲义
第三章全等三角形专题分类复习 一．考点整理 1.三角形的边角关系 2.三角形全等 3.三角形当中的三线（角平分线、中线和高线的性质） 在三角形中，三角形的三线分别交于一点。 注：三角形内角平分线与外角平分线模型归纳： （1） (2) __________D ∠= ___________D ∠= （3） __________D ∠= 3.尺规作图 （1）作满足题意的三角形 （2）作最短距离（送水、供电、修渠道等最短路径问题） 角：内角和180度，余角和90度 边：构成三角形三边的条件 （1）证三角形全等（SSS/ASA/AAS/SAS/HL ） （2）证边等或角等（证三角形全等、等量代换、证等腰三角形） （3）证“AE=BD+CE ”等（证线段之间的等量关系）类似问题（三角形全等证边等代换、截长补短） （4）证线段之间的位置关系（垂直或平行 方法：证明角等代换） A D B C A B C D A B C D
考点1：证明三角形全等 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： ACF BDE ???。 练习：已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点D 作DG ∥BC ，交AB 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE ＝DC ，连接AE 、BD. （1）求证：△AGE ≌△DAB （2）过点E 作EF ∥DB ，交BC 于点F ，连结AF ，求∠AFE 的度数. 考点2：求证线段之间的数量关系（截长补短） 例1:如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ． D A B C G E F
全等三角形(最全面的资料)
1 第三章 全等三角形 专题二、全等三角形的判定 知识点： 三角形全等的条件： 1. 三边对应相等的两个三角形全等（可写成“边边边”或“SSS ”） 如图：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，AB= A ’B ’，BC ＝B ’C ’，AC ＝A ’C ’，可以判定△ABC ≌△A ’B ’C ’。 2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）如图： 如图：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，AB= A ’B ’,∠ABC=∠A ’B ’C ’,BC ＝B ’C ’，可以判定△ABC ≌△A ’B ’C ’。 3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”） 如图：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠B=∠B ’，BC ＝B ’C ’， ∠C=∠C ’可以判定△ABC ≌△A ’B ’C ’。 4.角边角（ASA ）公理推论：有两个角和一角所对边对应相等的两个三角形全等。（简称为“角边角”或“ASA ”）。 如图：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠B=∠B ’， ∠C=∠C ’，AC=A ’C ’。可以判定△ABC ≌△A ’B ’C ’。 5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL ”） 如图：在Rt △ABC 和Rt △A ’B ’C ’中，∠B=∠B ’＝90?，AB=A ’B ’，AC=A ’C ’。可以判定△ABC ≌△A ’B ’C ’。
2 补充：1、Rt 中30度所对的直角边等于斜边的一般。 2、Rt 斜边上的中线等于斜边的一半。 典型例题： 1.已知两边 ?? ? ??→→→SSS HL SAS 找另一边找直角找夹角 例1.如图所示，AD=AE ，点D 、E 在BC 上，BD=CE ，∠1=∠2。试说明△ABD ≌△ACE 。 12 E B C D A 变式练习： 1.如图，已知AF=AE ，AC=AD ，CF 与DE 交于点B 。求证：△ACF ≌△ADE 。 B F A C D E 2.如图，AC=BD ，AB=DC ，求证：∠B=∠C 。
全等三角形地经典模型(一)
作弊？ 漫画释义 三角形9级 全等三角形的经典模型（二） 三角形8级 全等三角形的经典模型（一） 三角形7级 倍长中线与截长补短 满分晋级 3 全等三角形的 经典模型（一）
D C B A 45°45° C B A 等腰直角三角形数学模型思路： ⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545??°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4. 图1 图2 图3 图4 思路导航 知识互联网 题型一：等腰直角三角形模型
A B C O M N A B C O M N 【例1】 已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点， ⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要 求证明） ⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保 持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明． 【解析】 ⑴OA =OB =OC ⑵连接OA , ∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ∴△ANO ≌△CMO ∴ON =OM ∴∠=∠NOA MOC ∴90∠+∠=∠+∠=?NOA BON MOC BON ∴90∠=?NOM ∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形， 证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ， ∵在△ANO 和△CMO 中， AN CM BAO C AO CO =?? ∠=∠??=? ∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ， 又∵∠COM -∠AOM =90°， ∴△OMN 为等腰直角三角形． 【例2】 两个全等的含30o ，60o 角的三角板ADE 和三角板ABC ，如 图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的 中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由． 【解析】EMC △是等腰直角三角形． 典题精练 A B C O M N M E D C B A
初中数学三角形全等常用几何模型及构造方法大全(初二)
初二数学三角形全等 常用几何模型及构造方法大全 掌握它轻松搞定全等题！ 全等是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握~ 全等变换类型： （一）平移全等：平行等线段（平行四边形） （二）对称全等模型：角平分线或垂直或半角 1：角平分线模型； 2：对称半角模型； （三）旋转全等模型：相邻等线段绕公共顶点旋转 1. 旋转半角模型 2. 自旋转模型 3. 共旋转模型 4. 中点旋转
如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE 分析：将△ACE平移使EC与BD重合。B\D，上方交点，左右两个三角形，两边和大于第三边！
1：角平分线模型： 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 2：对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、45+ 22.5°、对称（翻折）15°+30°直角三角形对称（翻折）30+60+90直角三角形对称（翻折） 翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
1. 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 2. 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 3. 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等（共顶点） 4. 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题（专题七） 1、旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 2、自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称
全等三角形练习题及答案26384
全等三角形练习题及答案 1、下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（） A、两条直角边对应相等。 B、斜边和一锐角对应相等。 C、斜边和一条直角边对应相等。 D、两锐角相等。 2、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C 3、下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（） A.已知两边和夹角 B.已知两角和夹边 C.已知两边和其中一边的对 角 D.已知三边 4、在△ABC与△DEF中，已知AB=DE；∠A=∠D；再加一个条件，却不能判断 △ABC与△DEF全等的 是（）. A． BC=EF B．AC=DF C．∠B=∠E D．∠C=∠F 5、使两个直角三角形全等的条件是（） A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等 6、在△ABC和△A'B'C'中有①AB=A'B'，②BC=B'C'，③AC=A'C'，④∠A=∠A'， ⑤∠B=∠B'，⑥∠C=∠C'，则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A'B'C'的是（） A、①②③ B、①②⑤ C、①②④ D、②⑤⑥ 7、如图，已知∠1=∠2，欲得到△ABD≌△ACD，还须从下列条件中补选一个，错误的选法是 （） A、∠ADB=∠ADC B、∠B=∠C C、DB=DC D、AB=AC 8、如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC的度数为 A. 40° B. 80° C.120° D. 不能确定
9、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝600，∠B＝250，则∠EOB的度数为（） A．600 B．700C．750D．850 10、如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E.F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF= ( ) A. 150° B.40° C.80° D. 90° 11、①两角及一边对应相等②两边及其夹角对应相等③两边及一边所对的角对应相等④两角及其夹边对应相等，以上条件能判断两个三角形全等的是( ) A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 12、下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（） A．三条边对应相等 B．两边和一角对应相等 C．两角及其一角的对边对应相等 D．两角和它们的夹边对应相等 13、如图，已知，，下列条件中不能判定⊿≌⊿的是（） （A）（B） （C）（D）∥ 14、如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠A=50°，∠B＝30°， 则∠D的度数为（）.
中考试题全等三角形专题复习
复习说明：全等三角形作为中考试题中必考内容之一，考查的方向非常明确，尤其是近三年来，在解答题中，分值从6分变为7分，考查方式都是通过三角形全等来证明线段相等。从陕西省中考试卷赋分的变化可以看出，命题组是偏向于基础较差的学生来命题，对于简单问题的考查分数比例在逐渐上升趋势，而偏难题的分数分布及赋分比例在逐渐弱化。这部分属于偏低难度的试题，中等以上的学生都可以完成。在复习中面向全体学生，争取让每一位学生都可以可以找出三角形全等的条件，做对三角形全等试题。 全等三角形专题复习 1．(2015·贵州六盘水，第9题3分)如图4，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（） A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD 考点：全等三角形的判定．. 分析：本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠ABC=∠DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB=CD、∠ACB=∠DBC、∠A=∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC=BD后则不能． 解答：解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意； D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
故选：D． 点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2.（2015?江苏泰州,第6题3分）如图，△中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【答案】D． 【解析】 试题分析：根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏． 试题解析：∵AB=AC，D为BC中点， ∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD； 3. （2015?四川省宜宾市，第18题，6分）如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD = ∠BCE 求证：∠A=∠D
全等三角形复习资料
第十一章全等三角形复习 一、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、全等三角形有哪些性质 （1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）：全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 3、全等三角形的判定 1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 三、学习全等三角形应注意以下几个问题： （1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义； （2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上； （3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”
第十二章轴对称 一、轴对称图形 1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直 4.轴对称的性质 ①关于某直线对称的两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 二、线段的垂直平分线 1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上 三、用坐标表示轴对称小结： 在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等. 点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______. 点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______. 2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等 四、（等腰三角形)知识点回顾 1.等腰三角形的性质 ①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） ②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
全等三角形几种类型学习资料
全等图形： 能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形． 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边对应边、全等多边形的对应角相等． 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”． A' B'C'D' E' E D C B A 全等三角形： 能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等． 全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”． 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 判定三角形全等的基本思路：
全等三角形常见的几何模型
1绕点型(手拉手模型) 遇600旋60°,造等边三角形 遇90°旋90°，造等腰直角遇等腰旋 顶角，造旋转全等遇中点旋1800，造中 心对称 (2)共旋转(典型的手拉手模型) 例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ (1)△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4)△ AGB ◎△ DFB (5)△ EGB ◎△ CFB (6)BH 平分/ AHC (7)GF // AC 变式练习2、如果两个等边三角形△ ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明: ("△ ABE ◎△ DBC (2)AE=DC (3)AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH平分/ AHC [D山3 Vi壮-U (I) ? 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明 (1) △ ABE ◎△ DBC (2) AE=DC (3) AE与DC的夹角为60。 (4) AE与DC的交点设为H,BH 平分/ AHC (1自旋转：自旋转构造方法 ABD和厶BCE，连接AE与CD，证明:
3、(1)如图1,点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM和厶CBN ,连接AN , BM .分别取BM, AN的中点E, F,连接CE, CF, EF.观察并猜想△ CEF的形状，并说明理由. (2)若将(1)中的“以AC , BC为边作等边△ ACM和厶CBN”改为“以AC, BC为腰在AB的同侧作等腰△ ACM和△ CBN，”如图2,其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由. B 例4、例题讲解： 1.已知△ ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列)，使/ DAF=60 ° ,连接CF. (1)如图1,当点D在边BC上时，求证：① BD=CF 宓AC=CF+CD. (2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、 CD之间存在的数量关系，并说明理由； ⑶如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起, 成对称全等。 D A D A M x N rt B D 例1、如图，正方形ABCD的边长为1, AB,AD上各存在一点P、0,若厶APQ的周长为2, A P
全等三角形经典练习题,中考满分必备!
全等三角形经典练习题 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C C D B B A C D F 2 1 E A D B C A
6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 7.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB 12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证： BC=AB+DC。 13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C 14.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C A B C D D C B A F E D A B C A
15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 全等三角形 ?学习目标 1.正确理解全等的概念，能够识别全等图形； 2.能够准确找到全等的对应边、对应角，会进行全等三角形的表示； 3.能够利用全等三角形的性质进行相关的计算. ?重难点分析 1.全等三角形对应边、对应角的识别； 2.全等三角形的性质及其相关计算. ?要点集结 ?精讲精练 全等的概念及其表示 1、全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 3、全等的符号表示：“全等”用符号“≌”表示． 注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． 4、全等的对应顶点、对应边、对应角 （1）把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点； （2）把两个全等三角形重合到一起，重合的边叫做对应边； （3）把两个全等三角形重合到一起，重合的角叫做对应角． 例1.下列图形中与已知图形全等的是（） A．B．C．D．【答案】B 练习1.下列选项中，和下图全等的图形是（） A．B．C．D． 【答案】D 练习2.下列图形中，是由多个全等图形组成的图案的是（） A．B．C．D． 【答案】C ●小结 根据全等的定义识别全等的图形，图形全等的本质就是经过移动后能够完全重合.例2.下列说法正确的是（） A．面积相等的两个长方形全等B．周长相等的两个长方形全等 C．形状相同的两个长方形全等D．能够完全重合的两个长方形全等 【答案】D 【解析】解：根据能够完全重合的两个图形是全等图形可知， 能够完全重合的两个长方形全等，面积相等，周长相等，形状相同，都不一定能够完全重合．所以A、B、C选项不一定正确，D选项一定正确．故选D． 练习1.下列说法正确的是（） A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等 【答案】C 【解析】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等； B、面积相等的两个三角形全等，说法错误； C、完全重合的两个三角形全等，说法正确； D、所有的等边三角形全等，说法错误； ●小结 利用语言描述图形的特征，再根据特征进行全等的判别，此类问题较直接看图辨别的类型难度要稍大一些，需要学生对所描述的图形的几何性质要相对熟悉一些，并能够根据几何性质去判断图形的具体形状是否可以固定，从而判断是否全等. 例3.用两个全等的三角形一定不能拼出的图形是（） A．等腰三角形B．直角梯形C．菱形D．矩形 【答案】B 【解析】解：用两个全等的直角三角形就能拼出等腰三角形，A可以； 如图两个全等的正三角形就可以拼出菱形，C可以； 两个全等的直角三角形时就可以拼出矩形，D可以； 不管用什么形状的两个全等的三角形不管怎样也拼不出直角梯形． 故选B． ●小结 全等三角形相關模型總結 一、角平分線模型 (一）角平分線の性質模型 輔助線：過點G作GE⊥射線AC A、例題 1、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那麼點D到直線AB の距離是cm. 2、如圖，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC. B、模型鞏固 1、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A＋∠C＝180°. （二）角平分線＋垂線，等腰三角形必呈現 A、例題 輔助線：延長ED交射線OB於F 輔助線：過點E作EF∥射線OB 例1、如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BACの平分線，BE⊥AD於F . 求證： 1 () 2 BE AC AB =-. 例2、如圖，在△ABC中，∠BACの角平分線AD交BC於點D，且AB＝AD，作CM⊥AD交 ADの延長線於M. 求證： 1 () 2 AM AB AC =+. （三）角分線，分兩邊，對稱全等要記全 兩個圖形飛輔助線都是在射線ON上取點B，使OB＝OA，從而使△OAC≌△OBC . A、例題 1、如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC於P，BQ平分∠ABC 交AC於Q，求證：AB＋BP＝BQ＋AQ . 2、如圖，在△ABC中，AD是∠BACの外角平分線，P是AD上異於點Aの任意一點，試比較PB＋PC與AB＋ACの大小，並說明理由. B、模型鞏固 1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BACの平分線，P是線段AD上任意一點（不與A重合）. 求證：AB－AC＞PB－PC . 2、如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠Bの平分線交AC於D， 求證：AD＋BD＝BC . 3、如圖，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠Aの平分線交BC於D， 求證：AC＋CD＝AB . 初中数学全等三角形综合复习讲义——全面完整版 一、基础知识 1.全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义 能够完全重合的两个图形就是全等图形。 例如：图13-1和图13-2就是全等图形 图13-1 图13-2 （2）全等多边形的定义 两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。 例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。 图 13-3 图13-4 （3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边 两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。 （4）全等多边形的表示 例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。 图13-5 表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。 （5）全等多边形的性质 全等多边形的对应边、对应角分别相等。 （6）全等多边形的识别 对边形相等、对应角相等的两个多边形全等。 2.全等三角形的识别 A B D C E B ’ A ’ C ’ D ’ E ’ （1）根据定义 若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。 （2）根据SSS 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。 相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。 （3）根据SAS 如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。 （4）根据ASA 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。 （5）根据AAS 如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。 3.直角三角形全等的识别 （1）根据HL 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。 （2）SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。判断两个直角三角形全等的方法可分为：已知一锐角和一边或已知两边。 4.证明三角形全等的方法 证明三角形全等的一般方法有四种：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”。每一种都有给出三个独立的条件，在具体问题中，题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。 判定方法的选择： 具体地说，证明角相等的常用方法有：对顶角相等；两直线平行，同位角、内错角相等；同角（或对角）的余角（补角）相等；角平分线平分的两角相等；角的等量代换等。证明线段相等的方法有：同一线段；中点的定义；平行四边形的对边；等腰三角形的两腰；边的等量代换等。 为什么“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等？这是因为有三个角相等，但边不一定相等，则三角形不一定全等，如图13-6，可以看出△ABC不全等于△ADE；同样，如果两边及其中一边的对角相等，也不能确定三角形全等，如图13-7，AB=AB,AC=AD,∠B=∠B，但△ABC 与△ABD不全等。 把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型 【引例】如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =． 求证：CF DE = 模块一 平移型全等 知识导航 知识互联网 夯实基础 全等中的基本模型 F E D C B A 【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥ ∴90ACE BDF ∠=∠=? 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BD AE BF =?? =? ∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =?? ∠=∠??=? ∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE = 【例1】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF = 求证：AFC DEB △≌△ 如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由． 图1 F E D C B A 图2 F E D (C ) B A 图3 F E D C B A 常见轴对称模型 知识导航 模块二 对称型全等 能力提升 【例2】 ⑴如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（ ） A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 ⑵如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________． 【例3】 如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ． 求证：AM AN =． 常见旋转模型： 夯实基础 能力提升 知识导航 模块三 旋转型全等 E D N M C B A 43 2 1 E D C B A D O F E C B A 全等三角形练习题及 答案 全等到三角形练习题及答案 1、下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（） A、两条直角边对应相等。 B、斜边和一锐角对应相等。 C、斜边和一条直角边对应相等。 D、两锐角相等。 2、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C 3、下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（） A.已知两边和夹角 B.已知两角和夹边 C.已知两边和其中一边的对 角 D.已知三边 4、在△ABC与△DEF中，已知AB=DE；∠A=∠D；再加一个条件，却不能判断 △ABC与△DEF全等的 是（）. A． BC=EF B．AC=DF C．∠B=∠E D．∠C=∠F 5、使两个直角三角形全等的条件是（） A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等 6、在△ABC和△A'B'C'中有①AB=A'B'，②BC=B'C'，③AC=A'C'，④∠A=∠A'， ⑤∠B=∠B'，⑥∠C=∠C'，则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A'B'C'的是（） A、①②③ B、①②⑤ C、①②④ D、②⑤⑥ 7、如图，已知∠1=∠2，欲得到△ABD≌△ACD，还须从下列条件中补选一个，错误的选法是 （） A、∠ADB=∠ADC B、∠B=∠C C、DB=DC D、AB=AC 8、如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC的度数为 A. 40° B. 80° C.120° D. 不能确定 9、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝600，∠B＝250，则∠EOB 的度数为（） 1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转：?????? ?，造中心对称遇中点旋 全等遇等腰旋顶角，造旋转 ，造等腰直角 旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00 00018090906060 （2 ）共旋转（典型的手拉手模型） 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （ 3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △ EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC （1）如图1，点C 是线段 AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN ，连接AN ，BM ．分别取BM ，AN 的中点E ，F ，连接CE ，CF ，EF ．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC ，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以AC ，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN ，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例4、例题讲解： 1. 已知△ ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1) 如图1，当点D 在边BC 上时，求证：① BD=CF ? ②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系。全等三角形学习资料
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