数学——习题三
习 题 三 （A ）
1．根据导数定义求下列函数的导数：
（1）; )0()(>=x x x f
（2）; )0(1)(2
≠=
x x
x f
（3）; )0()(32≠=x x x f （4）. )0(log )(>=x x x f a
解：(1)x
x x x x x x x x f x x 21))/((1lim /))((lim )(2
12
10
2
12
10
=
+?+=?-?+='→?→?
(2) 322
2/))
((lim )(---→?-=?-?+='x x x x x x f x
(3)31
3
31331313131310
3
23
20
3
2])())/[(()))(()((lim /))((lim )(-→?→?=-?++?+-?+=?-?+='x x x x x x x x x x x
x x x x f x x
(4)
na
x a x x x x x x x x x f e a x a a x 11
1log 11)1(log 1lim
/)log )((log lim )(00
?
=?=?+?=?-?+='→?→?
2．求下列曲线在指定条件下的切线方程；
（1）曲线23x x y +=的与直线x y 5=平行的切线； （2）余弦曲线x y cos =在点2
π
=x 处的切线；
（3）双曲线x
y 1
=
的经过点（2，0）的切线。 解： (1)5,5==k x y 则直线
2
3x x y += 5232=+='x x y 可得
11=x ,
352-=x
21=y 或
27502-
=y 。斜率为5，且经过)2,1(或)2750,-35(-的直线为35-=x y 或27175
5+
=x y
(2)1sin '2-=-==x x y 当
2π
=
x 时0=y
∴斜率为,1-且经过)
0,2(π
的斜线为
x
y -=
2
π
(3)设直线为 b kx y += 过)0,2( ∴02=+b k k b 2-=
∴k kx y 2-= 因为双曲线为x
y 1=，
k
x y =-=
'2
1则
k x 1
-
±=
k y -±=
)0( 那么点 )0)(,1 (<-- k k k 在k kx y 2-=上, ∴代入得：x x y k -=+-=-=22,1. 3．如一直线运动的运动方程为,122 ++=t t s 求在3=t 时运动的瞬时速度。 解：22',122 +=++=t s t t s 当3=t 时，8='s ∴s m v t /83== 4．设函数)(x f 在点a x =可导，求：如一直线运动的运动方程为 （1）0 lim →?x ; ) ()(x x a f a f ??-- （2）0lim →h ; 2)3()5(h h a f h a f --+ （3）)(a f '，如已知0 lim →t . 6 1 )3()(=+-t a f a f t 解：(1)0 lim →?x )(') () ()(lim )()(0a f x a a x a f a f x x a f a f x =?--?--=??--→? (2) )(48) 3()83(4lim 8) 3()5(4lim 2)3()5(lim 0800a f h h a f h h a f h h a f h a f h h a f h a f h h h '=--+-?=--+? =--+→→→ (3) 2)(61 )(31)()3(3lim 31)3()(lim 00-='∴= '-=-+-=+-→→a f a f a f t a f t t a f a f t t t 5．设)(x f 可导，求 )]([)]([lim 220x x f x x f x ?-?+→?. 解：x x f x x f x f x x f x x f x x f x x ?+?++?+=?-?+→?→?)]()([)]()([lim )]([)]([lim 0220 ) (')(2)(2)(])()([lim )('0 x f x f x f x f x f x x f x f x =?'=+?+=→? 6．设函数)(x f 在0=x 点连续，且极限,23 )(lim 0=+→x x f x 问函数)(x f 在0=x 点处是否可导？ 若可导，求. )0('f 解：因为23 )(lim =+→x x f x ，2)(lim ),(3 )(0==+→x g x g x x f x 则设 2 3 )(lim )0()(lim )0(33)(lim )(lim )0(0)x (f ,3)()(000 =+=-='∴-=-==-=∴→→→→x x f x f x f f x xg x f f x xg x f x x x x 点连续，在由 7．求函数x x x x f -=2)(的不可导点. 解： x x x x f -=2)(当02 ≥-x x 时，即1≥x 或0≤x x x x x x f 23)()(223-='-=' 当02 <-x x 时，即 32)(',102x x x f x -=<<， 显然，函数f(x)在),(+∞-∞上连续，在),1()1,0()0,(+∞??-∞上可导，根据课本的命题，我们得到： 1 )23(lim )(lim )1()1(1 )32(lim )(lim )1()1(0 )32(lim )(lim )0()0(0 )23(lim )(lim )0()0(211211200200=-='=+'=' -=-='=-'=' =-='=+'=' =-='=-'=' + →+ →+- →- →-+ →+ →+- →- →-x x x f f f x x x f f f x x x f f f x x x f f f x x x x x x x x )0()0(='='+-f f 1 )1(-='-f 1)1(='+f ) 1()1('≠'∴+-f f ∴ 1x =为f (x)的不可导点。 8．设a x x x s x f a ,0 ,00,1sin )(?????=≠= 在什么条件下可使)(x f 在点0=x 处 （1）连续； （2）可导； （3）导数连续. 解：x x x x x f 1cos ,1sin 0 x 00 x 1sin )(2 ?????=≠=为有界函数函数 1）连续 0a 0)0(1 sin x lim 1sin x lim a 0a 0>∴===+→-→f x x x x 2）可导 x x x x x x f x f a x a x x ??=???=?-?++?='-→?→?→1sin )(lim 1 sin )(lim )0(01sin 0)x ( lim )0(100a 0 存在 1 01>∴>-∴a a 此时 0)0(='f 3）导数连续 ?????=≠-='--0 x 00 x 1cos 1sin )(2 1x x x ax x f a a 要使)('x f 在0x =处连续， 则 2 0)0()0(lim )0(lim 0 >?='='='+→-→a f f f x x 9．设)(x f 可导且,0)0(=f 证明) sin 1)(()(x x f x F +=在0=x 点可导，并求).0(f ' 解：) 0(0)(lim 0sin 1)((lim )0()0(lim )0('00f x x f x x x f x F x F F x x x '=?+?=?-?+?=?-?+=→?→∞→ 10．对于函数),(x f 如x x x f x x f x ??--?+→?) ()(lim 0存在，是否)(x f '必存在？ 解：不一定，如x x f =)(，此极限在0=x 处为0，但)0('f 不存在. 11．设)()()(x g a x x f -=， (1)若)(x g 在点a x =连续，求)('a f ； (2)若点a x =是)(x g 的间断点，)(x f 是否在a x =处必不可导，为什么？ 解：1) ()()()()0()lim lim lim ()x a x a x a f x f a x a g x f a g x x a x a →→→---'===-- 显然，若g(x)在x=a 点连续，则上式等于g(a). 2) 若lim ()x a g x →存在，即点a x =是)(x g 的可去间断点，比如A x g a x =→)(lim ，则A a f =)('. 若lim ()x a g x →不存在，即点a x =是)(x g 的跳跃或者第二类间断点，则)('a f 不存在. 12．设函数 ?? ? ??=≠+=+0 x 0,0 x ,1)(12 x e x x f 则下列结论正确的是（ ）. A ．)(x f 在0=x 点间断 B ．)(x f 在0=x 点连续，但不可导 C ．)(x f 在0=x 点可导，但)(x f '在0=x 点间断 D ．)('x f 在0=x 点连续 解：D. （以上答案的做法实际在用洛必塔法则求极限，但是表达有误，请注意不要抄袭！） 正确的做法是：先判断函数在x=0点是否连续: )0(01lim )(lim 12 00f e x x f x x x ==+=+→→ 再判断函数在x=0点是否可导: 01lim )0()(lim )0(100 =+=-='+→→x x x e x x f x f f 然后判断函数的导函数在x=0点是否连续： )0(0)1()1(2lim )(lim 2 112100f e e x e x x f x x x x x '==+-+='+++→→ 所以答案为D. 13．设)(x f 为可导函数，且满足 1 2) 1(4lim 0-=-+→x x f x 求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的方程. 解：因为函数f(x)可导，所以必连续。)1()1(lim 0 f x f x =-→ 12) 1(4lim 0-=-+→x x f x 则4+f(1)=0 f(1)=- 4. 又因为： x x f x x f x f x f f x x x ??++=??++=?-?+='→?→?→?2) 1(4lim 2)1(4lim )1()1(lim )1(000 22)) (1(4lim 20=?-?--+-=→?x x f x 所以k=2且经过)4,1(-则切线为62-=x y 14．设)(x f 是偶函数，且在点0=x 可导，证明：.0)0(='f 解：f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),两边求导为: )()(x f x f '=-'-所以0)()(='+-'x f x f 当x=0时，等式变为0)0(2='f 所以0)0(='f 15．求下列函数的导数： （1）; 13524x x x y +-= （2）; )1(x x y += （3）; 215x x y += （4）; ln 1ln 1x x y +-= （5）x x y a n log = （6）; 13 3 x x y -= （7）; sin 2x y x = （8）;3 2x y x -= （9）; cos 1x x y -= （10）; cot tan x x x y -= （11）; arctan s x y = （12）; arccos x e y x = （13）; cos sin 2cos x x x y += （14）; ln tan 2x x x y = （15）; 5log 222++=--x y x （16）. 1111ln x x x x y -++--+= 解：1)2 3241620' 135x x x y x x x y --=+-= 2)x x x x x x x y 213)1(21])1[(+= ++ ='+=' 3)2 222222)1()1(5)1(52)1(515x x x x x x x x y +-=+-+=' ?? ? ?? +' 4)) x ln 1(2 x)ln (1) ln 1(x 1 - x)ln 1(1) ln 1 ln 1( 22 +-=+-+- = '+-='x x x x x y 5))ln 1 log (ln 1log )log (11 a a n x a x x a nx a x y x n n x n x n +=+='='-- 6)34 3 3 2323 3 2 23 3 318313)1(x x x x x x x x x y +-=---='-' 7) x)cos 2sin x (ln 2 x cos 22sin x 12) x sin 2(x x x +=+='='n y x 8)3) ln 2(33)23ln ()3(2 2 x x x x x y x x x -= ?+-='='-- 9))cos 1(sin cos 1)cos 1( x x x x x x y ---='-=' 10)x csc x cot x -x sec )cot x x -x (tan 22+='='y 11)2 1arctan x )arctan x (x x x y ++ ='' 12))x -11- x (arccos 1e -x arccos e )x arccos (2 2 x x x x e x e y =-='=' 13)=+--+-='+=2 )cos (sin 2cos )sin (cos )cos (sin 2sin 2)cos sin 2cos ( 'x x x x x x x x x x y =++---2 )cos (sin 2cos sin 2cos cos cos 2sin 2sin 2sin 2x x x x x x x x x x 2 ) c o s (s i n ) c o s (s i n 2s i n )s i n (c o s x x x x x s x ++-+- x x x x x x x x x c o s s i n ) c o s (s i n )c o s (s i n )c o s (s i n 2s i n 12 --=++-=+--= 14)=++='='x x x x x x x x nx x x y tan ln sec ln tan 2)1tan (222 )t a n ln sec ln tan 2(2x x x x x x x ++ 15)3222 2ln )2 5 log 2(----- ='++='x x y x x 16))111211(ln )1111(ln 2 '+-+---++='-++--+='x x x x x x x x x y = 22222 11 111.1. 11x x x x x x x -= ----- 16．应用反函数求导法则证明： （1）; 11)(arctan x x += ' （2）. 11)(arccos 2 x x -- =' 解：1)tany x x arctan y == y y x cos 1)(tan = '=' 211t a n 11c o s 1x y y x y +=+=='= ' 2)2 11)(arccos x x -- =' x y arccos = y x cos = y y x sin )(cos -='=' )1(11cos 11sin 1122<--=--=-='= 'x x y y x y 17．设函数1)(3 -+==bx ax x f y 有反函数)(x g ，且曲线)(x g y =在点（2，1）处的切线 方程为5 451+=x y ，求常数a ，b. 解：本题目似乎有些问题，建议删去。 18．求下列分段函数)(x f 的)(x f '，:)1(),0(f f '' （1）?????≥<+=0; x ,e 0, x ,1sin )(x x x f （2）??? ???? ≤<<<=. 02- ,tan ,2x 0 ,arctan )(x x x x f ππ 解：1) )(x f ' = .)1(.10cos )0()0((0), 0 ,0,cos 10e f e f f f x e x x x ='===' ='='???≥<+- (2) , 2 ,sec 2 0,11 )(22???????≤<-<<+='x x x x x f ππ .2 1 111)1(.10cos 1)0(1)0()0(2 2=+='== ' =='='+-f f f f 19．求下列函数的导数： 解：1)])15()53[(53'++='x y 3452)53(*1)(5x *5*5 )15()53(*3*3+++++=x x x ;)15()53)(134120(42+++=x x x 2)]41)23[(23'++='x x y 2322418* 21)23(416x x x x x ++++= ;41) 1636(22 3x x x x +++= 3)).ln 1 1(311*)(ln 3131*1]ln )[ln(3232 3233 3 x x x x x x x x y += +='+='-- 4)3 22 22 ) 1(111221]1[ x x x x x x x x y += ++-+= '+='. 5)]) nx)(cos [(sin n '='x y x n x nx x x n n n 1cos *)sin (sin cos cos --+= )cos sin sin cos (cos 1x x nx x nx n n n --= 6).) 1(1)1(2121*11]111[2 x x x x x x x x x x x n y -= --+ -+-= '-+ =' 7).csc sin 12 cos 2sin 2121* 2cos 1 * 2 tan 1 ]2 tan 1[2 x x x x x x x n y ==== '=' 8).sin .2 cos 4 52 1*)2 sin (2 cos 5]2 [cos 345x x x x x y -=-='=' 9)).cot csc tan (sec 2)sin 1cos 1( ]csc 1 [sec 222 2 22a x a x a x a x a a x a x a x x y -= '+ ='+=' 10).1csc 1cot 21* 1 sin 11cot 2]1cot [22 2 2 2x x x x x x x x x x y +=--+='=' 11).12111221]arcsin 1[22 2 22x x x x x x x x y -=-+ --+ -='+-=' 12)])ln([22222'++++='a x x a a x x y 2 2 2 22 2 2 2222122a x x a x x a a x x x a x ++++++++= .222a x += 13).12)1(22)1(2* ) 12( 11 ]x -12x tan [2 2 222 2 2 x x x x x x x arc y += --+--+'=' 14)2 2 22 2 112)2(* arccos 1*11]1arccos [x x x x x x x x y ------- = '-=' ;11) 1(a r c c o s 32x x x x ---= 15);ln 2)2(*ln **][2 22 2 2 a e xa x a a e e y x x x a x x a a ------=-='=' 16) ;)(4)()()(][ 2 2 2 2x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e y ------+= +--+='+-=' 17)2)1() 11(* 1121*1111]x 1x -1 tan [x x x x x x x arc y ++---+-+-+='+=' ;1212 x -- = 18)x e e a e y x x x a 2**cos *ln sin 1]e sin [log 2 22 2 x = '=' ;c o t ln 2 22x x e xe a = 19)]1 11x tan [2 2'-- -='x nx arc y x x x x x x x x x ln *1 1 221122* 111 22222----- --+= ;) 1(ln 3 2 -= x x x 20);ln )()()]([])]([[)(1)(a x v a x u x u b a x u y x v b x v b '+'='+='- 21)]['++='x x x y )211(*211[*21 x x x x x x + ++ ++= ;812422x x x x x x x x x x ++++++= 22);arcsin 21 21* 11* arcsin 1]x arcsin [ln 2 x x x x x x y -= -= '=' 23) ]cot )1 [('='x x y ][c o t )1 l n (' =x x e )]1(*cot *1ln )sin 1[*22 1 ln cot x x x x x e x x -+-= );cot ln (csc )1(2cot x x x x x x -= 24)])[(sin cos '='x x y ][s i n ln cos '=x x e x]cos *sin x x cos sin x ln sin [*)(sin cos + -=x x x sin x);sin xln - x cos x (cot x)(sin cosx = 25)x x y =，即x x y ln ln =， 所以)(ln )(ln '='x x y ，即 x x x x y y +='ln 21*1 所以)2 ln 1(x x x y x + = '； 26));2 42( 2 4]2 4[ 3 22 3 3 23 3 2+- ++++= '++='x x x x x x x x x x x y 27)];) 9(39 112[)3(31])3(31[2322322x x x x x x x x x x x x y --+-++--='+--=' 28)x x y )211(- =,即x x y )21 1ln(ln -=,所以 ])211[ln()(ln '- ='x x y ,即])21 1ln([*1'-='x x y y 所以].21)211[ln()211(x x x x y x -+-- =' 20．设 )(x f 可导，求下列函数的导数： （1）; )()(x f x e e f y = （2）; )](sin[)(sin 22x f x f y += （3）; )1(arcsin x f y = （4）. )](arctan[x f y = 解：1）])([)('='x f x e e f y )(**)(**)()()(x f e e f e e e f x f x x f x x '+'= )];()()('[)(x x x x f e f x f e f e e '+= 2）))](sin[)(sin (22'+='x f x f y )(c o s )()(22s i n )(s i n 22x f x f x f x x f '+'= 3）;1) 1 (arcsin )1(*111*)1(arcsin ])x 1sin ([222 -'-=--'='='x x x f x x x f arc f y 4）;f 1(x)f ') tan[f (x)](+='='arc y 21．设,12)(2 x x x f -= '求 .])1([2 '-x f 解：.2 1* 1112)1(*)1(])1([2 2 22 22x x x x x x x x f x f -=--+--= '--'='- 22．设?? ?? ?≤>+=1 x 1),-sinb(x 1 x ),ln()(22a x x f 在点1=x 可导，求b a ,. 解：因为f (x)在1x =处可导，所以f (x)在1x =处一定连续.所以有 ?????==='='+→→+--0)1()(lim )(lim )1()1(11 f x f x f f f x x ，即?? ?? ?+=+= )1ln(01222a a b ，所以.2,0==b a 23．设曲线2ax y =与x y ln =相切，求a . 解：因为曲线 2ax =y 与x y ln =相切，所以)()(21x y x y '='，即x ax 1 2=,所以a x 21= ,此时 2 1= y .所以a n 21121=,所以e a 21= . 24．设)(x f 是可导周期函数，证明)('x f 也是周期函数. 解：因为f (x)是可导周期函数，设T 为f (x)的周期，所以T)f (x f (x)+=,所以)()(T x f x f +'=', 所以(x)f '也是周期函数。 25．证明双曲线2a xy =上任意一点的切线与y x ,轴围成的三角形的面积为一常数. 解：)0(,2≠=xy a xy ， ,',222x a y x a y -==,任取一点),(00y x ,则有??? ? ?? ?-== 20202 0x a k x a y ，则切线方程 为0 2 20 2 2x a x x a y +-=，与x 轴的交点为)0,2(0ax ，与y 轴的交点为)2,0(0 2 x a ，则围成的 三角形面积为30 2 022*22 1a x a ax s ==,为一常数。 26．求下列函数的二阶导数： （1）; arcsin x x y = （2）; 2 x xe y = （3）; 11x y += （4）; ln 1 arctan x x x y += （5）x x y = （6）)()]((ln[u f x f y =有二阶导数）. 解：1）;)1(2)11 (arcsin ]arcsin [3222x x x x x x x y --='-+=''='' 2）;)23(2)2*()(2 2 2 2 2x x x x e x x x xe e xe y +='+=''='' 3）;) 1(431)21*)1(1()11( 3 2x x x x x x x y ++='+-=''+='' 4）;)1(221)ln 1(arctan )ln 1 (arctan 2 2x x x x x x x x x y ++= '+=''+='' 5）];1)ln 1[(1*)1(ln ])1(ln [)(22x x x x x x x x x x y x x x x x ++=++='+=''='' 6）) ()]([)()(])(*)(1[))]((ln[22 x f x f x f x f x f x f x f y '-''= ''=''='' 27．求下列函数的n 阶导数： （1）; )1(1x n + （2）; sin 2x （3）; x xe （4）. 11x + 解：1）...);2,1() 1()!1()1()] 1(1[1) (=+--=+-n x n x n n n n 2）);2 1 2sin(2)2(sin ][sin 1)1() (2 π-+ ==--n x x x n n n 3）;)()(] [)1() (x n x x n x e x n xe e xe +=+=- 4）)(21 ) (])11[()11( n n x x +=+，令21 )x 11(f (x)+=，则 2 1n n 2 52 2 3)1()! 12(*2 *(-1)x )(f ,....x ) 1(21*3*1(x )'f ,) 1(12 1 - (x )f ++-= += ''+='n x n x 即.)1()!12(*2)1()11(2 1 ) (++--=+n n n n x n x 28．设)(x f 的2-n 阶导数,1)()2(nx x x f n = -求).()(x f n 解：因为f (x)的2-n 阶导数lnx x (x)f 2)-(n = ，所以.) (ln 1 ln )(2 )1(x x x f n -= - 所以.xln lnx -2x)(f 3 (n)x = 29．设函数)(x f 在),(+∞-∞上满足x e x f x f =-++)1()1(2，求 ).(x f '' 解：因为 x e x f x f =-++)1()1(2，令t x 1=+,则1 -t e t)-f (2f (t)2=+ (式1),令t x 1=-,则 t -1e f (t)t)-f (22=+ (式2)。(式1)*2- (式2)=>11-t 2e f (t)3--=t e .所以)2(3 1f (t)11t t e e ---=, 即).2(3 1 )()2(31f(x )1111x x x x e e x f e e -----=''∴-= 30．求出函数 13)(2+-=x x x f 在x x ?=,2依次等于001.0,01.0,1.0时的改变量与微分的差， 并比较所得结果. 解：222)()(,)()2()2(x df f x x f x f f x ?=-?∴?+?=-?+=?=，当x ?依次等于 32110,10,10---时，2 ) (=-?x df f 依次等于64210,10,10---，所以x ?愈小则2 ) (=-?x df f 愈 小，后者为前者的2阶无穷小. 31．求下列函数的微分： （1）; 12x y += （2）; 12 x x y -= （3）; cos x e y x = （4）;1ln 3x y += （5）; arcsin x e y = （6）; )2(sin 2x e y x -= （7）; 1cos 2 x x y -= （8）.5tan ln x y = 解：1）;11222 2 x xdx dx x x dx y dy += = '= 2）;)1()1()1()2(12 222 22x dx x dx x x x x dx y dy -+= ----= '= 3）;)sin (cos )]sin (cos [dx x x e dx x e x e dx y dy x x x -=-+='= 4）;) 1(23123* 1123 23 x dx x dx x x x dy += ++= 5）;22 arcsin dx x x e dy x -= 6）;)]2(sin 4sin 2[2dx x x e dy x -=- 7）;)1(cos 2sin )1(2 22dx x x x x x dy -+-= 8）.52sin 5ln 2)sec *tan 1* 5ln *tan ln 5(tan ln 2dx x dx x x dy x == 32．证明当x 很小时，下列近似式成立：（即当0→x 时误差是x 的高阶无穷小） （1）; 1x e x +≈ （2）; 11n x x n +≈+ （3）; tan x x ≈ （4）.)1ln(x x ≈+ 解：)()0()0()(很小时成立x x f f x f '+≈ 1) 1,)(0=='e e e x x 由上式得：1+≈x e x . 2) .1)1(1)0()0()1(0 11n x x n x x f f x x n n + =++='+≈+=（微分求近似解） 3) x x x x x x =?+=?'+≈=10)(tan 0tan tan 0. 4) .|])1[ln(1ln )1ln(0x x x x x =?'++≈+= 另法：证明当0→x 时误差是x 的高阶无穷小。 33．求下列诸数的近似值： （1）; 95.05 （2）.02.1arctan 解：1）;99.001.01)05.0(*)1(5 11)05.0,0(05.0195.05 4 5 5 5 =-=-+=-=?=-=-x x 2）12 1arctan1.02arctan(10.02)arctan10.020.010.7954.14 x x π ==+=+ ?= +=+ 34．一球形薄壳，其处半径为2米，厚度为0. 1厘米，如已知用材每米3的重量为ρ公斤，求此球壳重的精确值和近似值. 解：=--==≈?≈])001.0(3 4 3 4[ m 10 16001.04333 2R R R m ππρυρπρπρ约 ])001.02(2[3 433--πρ m 的精确值]1010.610.12[3 4963---+-=πρ 210 16001.04πρπρ≈ ?≈R m 约 35．设一圆柱体的高为25cm ，底半径为cm 05.020±求圆柱体体积和侧面积的绝对误差和相对误差. 解：1）32222157)2005.20(25])[(cm h R R R V =-?=?-?+=?ππ %5.01573 ==?h R cm V V π 285.75.205.050])[(2cm h R R R S ==?=?-?+=?πππ %25.0285.72 ==?Rh cm S S π 36．已知某商品的成本函数为8 1000)(2 Q Q C += .求当产量Q=120时的总成本和边际成本. 解： 28008 1201000)(101202 120=+=>?<-=Q Q C P p P （总成本） 304 82)(120 === '=Q Q Q Q C （边际成本） 37．设某产品的销量Q 与从价格P 之间的关系为Q P 01.0150-=（元），求收益函数及当Q=100（件）时的总收益与边际收益. 解：0.02Q -150R ;01.0150)01.0150(2 ='-=-==Q Q Q Q PQ R 14900100==Q R 元（总收益） 148100='=Q R 元 38．设生产某产品的固定成本为60000元，可变成本为每件20元，价格函数为 1000 60Q P - = 其中Q 为销量.设供销平衡，求： （1）边际利润； （2）当P=10元时价格上涨1%，收益增加（还是减少）的百分数？ 解：1）;)100040()20(Q Q Q P L - =-= 500 40Q L ML -='=。 2）当 10 =P 元时，5001000)60(=?-=P Q ，总收益 500 000)1000 60(=- ==Q Q PQ R 元 P 上涨1%，,100)(,1.01001.0-=?'=?=?=?P P Q Q p 于是，Q 减少了100，变为49900。这时的收益3990)(=??'≈?Q Q R R ，也就是收益增加了3990/500000=0.8%. 39．设某商品的需求函数为,75)(2P P D -=求当4=P 时的需求价格弹性和收益价格弹性，并说明其实际含义. 解：2 22752752)(P P P P P P D D p EP ED E P ---?-='== 当4P =时54.059 32 -≈-=P E 375P PD(p)R P -== 24421 |(753)|0.4675p p ER dR P P EP dP R P ===?=-?≈- 所以当价格从4元上升1%时，需求量从59下降0.54%，收益从236元增加0.46%。 40．设某商品的供给函数为P P S 32)(+=，求供给价格弹性函数及当3=P 时的供给价格弹性，并说明其实际含义. 解：供给价格弹性函数 ?+=P P EP ES 323当3p =时,82.011 9 3 ≈= =P EP ES 所以当价格从3提升1%时供给从11增加0.82%。 41．对下列需求函数，当p 在什么范围变动时需求是高弹性或低弹性？ （1）; )2(100p Q -= （2）).0,(>-=b a bQ a p 解：1) .) 2(2) 2(100* 50*2 12 1p p p p p q p dp dq EP EQ - = - =-=- - 所以当 1) 2(22 1<- = -p p EP EQ 时是低弹性，即9 160< 1) 2(22 1>-=- P p Ep EQ 时是高弹性，即.49 16< 2),2 b p a q -=.2*2*222p a p p a bp b p q p dp dq EP EQ -=-=-=所以当122 2 <-=p a p EP EQ 时是低弹性,即3/0a P < <，当 122 2 >-=p a p Ep EQ 时是高弹性，即a p a <<3/（因 为.0,0,>>-=q b dq a p ） 42．设某商品的需求函数为p Q 5100-=，如需求弹性小于-1，求商品价格p 的取值范围. 解： P P P P Q P dP dQ EP EQ -= -?=?-=2051005 10120>?<-P P P 因为0P 5100>-=Q 20P 1020P < （B ） 1．单项选择题 （1）设)(),(x x u υ在点0=x 处均可异，且2)0(,2)0(,1)0(,1)0(='=='=v v u u 则). D (2 )()(lim 0=-→x x v x u x A ．-2 B ．0 C ．2 D ．4 （2）函数3)(x x f =在点0=x 处（ C ）. A.不连续 B.连续，但其图形无切线 C.其图形有垂直的切线 D.可微 （3）设函数)(x f y =在点a x =处可异，,)(),()(h a f dy a f h a f y '=-+=?则). B (lim 0=-?→h dy y h A ．-1 B ．0 C ．1 D ．∞ （4）函数x e y =在点0=x 处的导数为（ D ）. A ．-1 B ．0 C ．1 D ．不存在 （5）设函数 ?? ??? =≠=0 x ,00,1sin )(2x x x x f 则)(x f 在0=x 处（ C ）. A.极限不存在 B.极限存在但不连续 C.连续但不可导 D.可导 （6）设函数)(x f 在点a x =处可导，则函数)(x f 在点a x =处不可导的充分条件是（ B ）. A.,0)(=a f 且0)('=a f B.且;0)(=a f 且0)(≠'a f C.,0)(>a f 且0)(>'a f D.且,0)(<'a f 且0)(<'a f 解：1)0 00()()2()()(0)(0) lim lim [()()](0)(0)(0)(0)4 x x x u x v x u x v x u v u x v x x x u v u v =→→--'==''=+= 2 ）000()(0)lim ()x x x f x f x →→→-===∞不存在 所以在x=0点函数的切线的斜率为无穷大，也就是说函数在该点有垂直的切线。 3）0)()()()()(lim lim 00='-'='--+-?→→a f a f h h a f a f h a f h dy y h h 4）x e y =， 000-0-11 (0)lim lim 1 11 (0)lim lim 1 x x x x x x x x e e f x x e e f x x +→+→+--→→--'===--'===-.所以f (x)在0=x 处的导数不 存在。 5）0 1(sin 01sin lim x x x x =→有界)0()f =所以连续 1220 001 0(0)(0) 1lim lim lim ()sin x x x f x f x x x x x -?→?→?→-+?-?==±????不存在 所以f (x)在0x =处不可导. （注意：该函数在x=0点的导数不是无穷大。上面的极限根本不存在。） 6）若)(x f 在a 处可导)()(a f a f '='?+-, 而)(x f 在a 处不可导，得到：()|()|, ()()g x f x g a g a + -''=≠若 ()()0 |()||()|()lim ()()0x a f a f a f x f a g a f a f a x a ++→++ '>?-'==?'-<-? （由于函数f(x)在x=a 点连续，所以x a →时，f(x)()f a →，由极限的保号性，得到以上结果。） ()0f (x)f a =当时，极限的保号性无法判断的符号。 同样地， ()()0 |()||()|()lim ()()0x a f a f a f x f a g a f a f a x a -- →-- '>?-'==?'-<-? 又已知条件为：)(x f 在a 处可导)()(a f a f '='?+-, 所以 ()0()()()0,()()f a g a g a f a g a g a + -+ -''>=''<=当时，当时， 而)(x f 在a 处不可导，得到：()|()|, ()()g x f x g a g a + -''=≠若 因此只有f(a)=0。下面说明0)(≠'a f ，用反证法说明： 若()0,()()0f a f a f a +-'''===也就是， 那么()0f a =当时，有：()()0 |()|()lim 0()()0x a f a f x f x g a f a f x x a ++ →++'≥?'===?'-<-? ()()0 |()|()lim 0()()0 x a f a f x f x g a f a f x x a -- →--'≥?'===?'-<-? 则得到()()0g a g a - +''==。与已知条件矛盾。所以0)(=a f 且0)(≠'a f 。 2．填空题 （1）设)(x f 为奇函数，且,)(k a f =-'则=')(a f . （2）若拋物线c bx ax y ++=2在其上一点0P 处的切线经过原点，则c b a ,,应满足的条件是 . （3）设)(x f 是不恒等于0的奇函数，且)0(f '存在，则0=x 是x x f x g ) ()(=的 间断点. （4）设函数x x x f +-= 11)(，则=)()(x f n . （5）,1 ln arctan 22+-=x x x e e e y 则 ==1 x dx dy . 解：1）因为-f (x)f (-x)=,两边求导数，)()(x f x f '-=-'-,所以)()(x f x f '=-', 所以k a f a f =-'=')()(； 2）设切线方程为kx y =,经过原点，设2 0000(,)p x ax bx c ++，则抛物线在0p 点 的切线斜率为02ax b +，则切线方程为：0(2)y ax b x =+，又切线经过点0p ， 所以 .)2(00020x b ax c bx ax +=++所以b a c x ,020≥=任意；