上海海事大学06-07试卷 高等数学B(二)B解答

试卷号:B020014(答案)

注:各主观题答案中每步得分是标准得分,实际得分应按下式换算:第步实际得分本题实际得分解答第步标准得分解答总标准得分

N =N ?

一、解答下列各题

(本大题共10小题,总计50分) 1、(本小题5分)

z x

x =

1 (5分)

z y

y =

2 (10分)

2、(本小题5分)

z x x y

x x =+

++arctan 12

(5分) z x y =arctan

(10分)

3、(本小题5分)

d d d u f

e x

f e y x y =+12

(10分)

4、(本小题5分)

设平面方程为:Ax By +=0

4分 由于过M 点,故440A B +=

A b ::=-11

8分 故平面方程为:x y -=0

10分

5、(本小题5分) 原式=

5

=π(e 4-1). 10 6、(本小题5分)

对应的切平面法向量

{}

{}

n e e e e =-=-----2222111222

2

,,,, 5分

切平面方程

()()()x y z +++--=1120

或x y z +-+=40 8分

法线方程

x y z +=+=

--112

1

10分 7、(本小题5分)

由z x y z y x x y

=+==-++=???22032102

,得驻点-?? ???-131311,,(,) 5分

D z z z z y

y xx xy yx

yy

=

=

-=--22

26124

D -?? ?

?

?=-<131380,

02)1,1(,

08)1,1(>=->=-xx z D

8分

点-?? ??

?1313,非极值点。

函数z 在点(,)11-处取极小值z (,)111-=。

10分

8、(本小题5分)

上海海事大学06-07试卷 高等数学B(二)B解答

9、(本小题5分)

a b a b ?+?=22() a b a b ?+?22()

(2分)

=( a b sin )θ2+( a b cos )θ2

= a 2 b 2(10分)

10、(本小题5分)

解:特征方程为λλ2

20--=,特征根为λλ1221==-,

3分

通解为: y C e C e x

x =+-122 ,7分

由初始条件得

C C 1221==-,

原问题的解为:y e

e x

x =--22 。

(10分)

二、解答下列各题

(本大题共2小题,总计10分) 1、(本小题5分)

解:设(),y f x =法线1

()Y y X x y -=-

-'

,与x 轴交点(,0)yy x '+ 3分

由题意:2222222(),x y x yy x y x y y ''+=--+∴=,即x

y y

'=±

7分

故:22y x C ±=。

(10分)

2、(本小题5分)

l 1方向向量

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S j 111011==-{,,},

3分

l 2方向向量

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S 201111==-{,,},

6分

S S 120?=,故S S 12⊥

从而l 1,l 2垂直。

10分

三、解答下列各题

(本大题共3小题,总计15分) 1、(本小题5分)

解:,13cos 2

2

(+=n n n u n π

数收敛。

由比较判别法知:原级而∴≤+≤

≤,1

)1(02

3n n n u n (10分) 2、(本小题5分)

设圆柱体的底圆半径为R ,长为h

则S R Rh =+ππ2

,且V R h =

12

2π 令()

L R h R Rh S =

++-12

2

2πλππ 4分

由????

???=-+==+==++=0

0210)2(2

2S Rh R L R R L h R Rh L h R ππλππππλπλ

得驻点 R S h S

=

=

3233π

π

8分

由于实际问题必定存在最大值,因此当R S h S

==

3233π

π

时,

容器有最大容积。

10分

3、(本小题5分)

解:)2ln(1

n u n +=,收敛∑∞

=+∞→∴>=1

1,,0lim n n n n n n u u u u , 6分

又因为

∑∞

=1

n n

u

发散,所以原级数条件收敛。 (10分)

四、解答下列各题

(本大题共2小题,总计12分) 1、(本小题6分)

解:41

4

)1(4lim lim ,41)1(11=+==-=+∞→+∞→n n n n n n n n

n n n a a n a ρ 5分 所以发散;

∑∞

=-==1

1

,

4,4n n x R 8分 (]。

,收敛区间为收敛,44)1(,41

-∴-=∑∞

=n n

n x 10分 2、(本小题6分)

解:所求级数为()∑∞

=-+0

1!1n n

n x e ()∞+∞-∈,x 。

10分

五、解答下列各题 ( 本 大 题7分 )

解:特征方程:r a 2

2

0-=的根为:r a =± 2分

若a ≠1,可设特解为y Ae p x

=,代入方程得A a

=-1

12

所以方程有特解 y a

e p x

=

-112

7分

若a =1,设特解为y Axe p x

=,代入方程得A =12

所以方程有特解:y x e p x

=

2

(10分)

六、解答下列各题

( 本 大 题6分 ) 证:F f z v f y w xF v f w

f x v w x v w =?

+?=

+2222, 3分 F f z u f x

w yF u f w

f y u w y u w =?+?=+2222,

6分

v u z v u z f v

f u zF v x

f u y f F 22,

22+=?+?= 9分

xF yF zF uf vf wf x y z u v w ++=++。 10分

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