强h-凸函数的若干性质
2020高考数学 课后作业 3-2 利用导数研究函数的性质
3-2 利用导数研究函数的性质 1.(文)(2020·宿州模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′ (x)>1，则f(x)>x的解集是( ) A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [答案] C [解析]令F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－1>0，所以F(x)是增函数，∵f(x)>x，∴F(x)>0，∵F(1)＝f(1)－1＝0，∴F(x)>F(1)，∵F(x)是增函数，∴x>1，即f(x)>x的解集是(1，＋∞)． (理)(2020·辽宁文，11)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( ) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) [答案] B [解析]由题意，令φ(x)＝f(x)－2x－4，则 φ′(x)＝f′(x)－2>0. ∴φ(x)在R上是增函数． 又φ(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0， ∴当x>－1时，φ(x)>φ(－1)＝0， ∴f(x)－2x－4>0，∴f(x)>2x＋4.故选B. 2．(2020·宁夏石嘴山一模)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是( ) A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16 [答案] A [解析]∵y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或x＝2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A. 3．(文)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( ) A.4 27 ，0 B．0， 4 27 C．－4 27 ，0 D．0，－ 4 27
凹凸函数的性质
凹凸函数的性质 李联忠1 文丽琼2 1 营山中学 四川营山 637700 2营山骆市中学 四川营山 638150 摘要：若函数f(x)为凹函数，则n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()( 212 1 +++≤ +++ 若 函数f(x)为 凸函 数 ， 则 n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()( 212 1 +++≥ +++ 从而使一些重要不等式的证明更简明。 中图分类号： 文献标识号： 文章编号： 高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。 凹函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。如图（一） 凸函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。如图（二） 性质定理 若函数f(x)是凹函数，则 n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()( 212 1 +++≤ +++ 若函数f(x)是凸函数，则 n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()(2121 +++≥ +++ 证明：若函数f(x)是凹函数，如下图
点P （ )( ,2 1 2 1 n f n x x x x x x n n ++++++ ）在f(x)上 设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则 b n a n f x x x x x x n n ++++? =+++ 2 1 21 )( （1） ∵f(x) 是凹函数，切线在函数图像下方 ∴b a f x x +≥11)(;b a f x x +≥22)(;…;b a f x x n n +≥)( ∴ b n a n f f f x x x x x x n n ++++? ≥+++ 2 1 21) ()()( (2) 由（1），（2）得 n f f f n f x x x x x x n n ) ()()()( 212 1 +++≤ +++ 若函数f(x)为凸函数，如下图 点P （ )( ,2 1 2 1 n f n x x x x x x n n ++++++ ）在f(x)上 设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则 b n a n f x x x x x x n n ++++? =+++ 2 1 21 )( （1） ∵f(x) 是凸函数，切线在函数图像上方 ∴b a f x x +≤11)(;b a f x x +≤22)(;…;b a f x x n n +≤)(
高中数学利用导数研究函数的性质( 极值与最值)
3.2利用导数研究函数的性质 第2课时导数与函数的极值、最值 一、基础知识 1．函数的单调性（复习） 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2．函数的极值 (1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 知识拓展 (1)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． (2)函数的极大值不一定比极小值大．
(3)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的必要不充分要条件． 二、基本题型 1.根据函数图象判断极值 【例1-1】 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 D 解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2
凸函数的性质与应用
学院数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 年级2009级 姓名zym 论文题目凸函数的性质与应用 指导教师555职称副教授成绩 2011 年06月10日
目录 摘要 (2) 关键词 (2) Abstract (2) Keywords (2) 前言 (2) 1 凸函数的定义 (2) 2 凸函数的性质 (4) 2.1f为I上凸函数的充要条件 (4) 2.2 f为区间I上的可导函数的相关等价论断 (4) 3凸函数的应用 (6) 参考文献 (7)
函数的性质与应用 学生姓名: *** 学号: 20095031390 数学与信息科学学院 数学与应用数学 指导教师: *** 职称: 副教授 摘 要：本文从凸函数的定义出发,总结了凸函数的性质与应用 关键词：凸函数;性质;应用 The properties and application of convex function Abstract: From the definition of convex function, summarizes the convex function of the properties and application. Key word: the definition of convex function; properties; application 前言 我们已经熟悉函数()2f x x =和()f x =的图象,它们不同的特点是:曲线 2y x =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线y 则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的,相应的函数称为凸函数;后一种曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数.下面通过一些例子来讨论凸函数的性质及应用,利用凸函数判断不等式的大小. 1 凸函数的定义 定义 1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x ,2x 和任意实数 ()0,1λ∈总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-， ()1 则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≥+-, ()2 则称f 为I 上的凹函数. 如果若()1、()2中不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格
导数研究函数性质
1．导数与导函数的概念 (1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作f ′(x 0)． (2)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )． 2．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；
(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ) (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 1．(教材改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为 ________． 2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是________． 3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________. 4．已知点P 在曲线y ＝ 4e x ＋1 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________． 5．(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．
对数性凸函数和几何凸函数的一些性质解读
对数性凸函数和几何凸函数的一些性质 张晶晶 (楚雄师范学院数学系2004级1班,) 指导老师郎开禄 摘要: 在本文中，获得了对数性凸函数的五个性质和几何凸函数的六个性质。 关键词: 凸函数; 对数性凸函数; 几何凸函数；基本性质 The research on some properties of logarithmatical convex function and geometric convex function Abstract: In this paper, the author gives five properties of logarithmatical convex function and six properties of geometric convex function by studying the fundamental properties. Key Words: Convex Function; Logarithmatical Convex Function; Geometric Covex Function;Fundamental Property 导师评语： 在文[1] ( [1]. 刘芳园,田宏根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》, 2006, 25(3): 22-25.)及文[2]( [2] .王传坚.对数性凸函数的性质及应用[D].楚雄师范学院03级优秀毕业 论文)等中，引入对数性凸函数的概念,获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数的 基本性质的一些应用.文[3]( [3] .吴善和.几何凸函数与琴生型不等式[J].《数学的实践与认识》，2004,34(2),155-163)讨论了几何凸函数与琴生型不等式的关系. 受文[1]- [3]的启发,在文[1]- [3]的的基础上, 张晶晶同学的毕业论文<<对数性凸函数和几何凸函数的一些性质>>进一步研究对数性凸函数和几何凸函数的性质,获得了对数性凸函数的五个性质 (论文中的定理7至定理11),获得了几何凸函数的六个性质 (论文中的定理13至定理17及推论). 张晶晶同学的毕业论文<<对数性凸函数和几何凸函数的一些性质>>选题具有理论与实际意义,通过深入研究, 在文[1]- [3]的基础上,该论文获得了对数性凸函数的五个性质,获得了几何凸函数的六个性质.该论文完成有相当的技巧性和难度,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中,悟性好,爱钻研,能吃苦,独立性强. 对数性凸函数和几何凸函数的一些性质 前言 凸函数是一类重要的函数，它有许多很好的性质,并有广泛的应用，特别是在不等式的证明中发挥着无可代替的作用，受文[1]、[2]、[3]的影响，本文得到了对数性凸函数和几何凸函数的几个性质。 1.对数性凸函数的基本性质
对数性凸函数的性质及应用解读
对数性凸函数的性质及应用 王传坚 (楚雄师范学院数学系2003级1班) 指导老师郎开禄 摘要:在本文中，得到了对数性凸函数的四个性质，并讨论了对数性凸函数的性质的应用。 关键词:凸函数;.对数性凸函数; 基本性质; 应用. The research and application on some properties of logarithmatic convex function Wang Chuanjian (Department of Math, Chu Xiong Normal University, Chu Xiong,Yun Nan ,675000) Abstract: In this paper, the author gives some properties of logarithmatic convex function by studying the fundamental properties, and give some application about the properties of logarithmatic. Key Words:Convex Function; Logarithmatic Convex Function; Fundamental Property; Application. 导师评语： 凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]( [1] 刘芳园，田宏 根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》，2006,25(3):22-25.)中,刘芳园，田宏根 引入对数性凸函数的概念,研究获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数基本性 质的一些应用. 受文[1]的启发,在文[1]的基础上,王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性性质及其应用>>进一步研究了对数性凸函数性质,获得了对数性凸函数的两个性质(推论1,推论2)和四个基本结果(定理3, 定理4, 定理5, 定理6),并讨论了对数性凸函数的性质及其应用. 王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性质及其应用>>选题具有理论与实 际意义,通过研究所获结果具有理论与实际意义.该论文的完成需要较好的数学分析基础,主要结果 的证明有一定的技巧,论文的完成有一定的难度,是一篇创新型的毕业论文.论文语言流畅,打印行文 规范.该同学在撰写论文过程中,悟性好,独立性强.
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力，
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 https://www.wendangku.net/doc/205589141.html,work Information Technology Company.2020YEAR
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 数学计算机科学学院 摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式 最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果. 关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用 Nature of Convex Function and its Application in Proving Inequalities Chen Huifei, College of Mathematics and Computer Science Abstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which makes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality).
凸函数的性质
凸函数的性质 【摘自[前苏]克拉斯诺西尔斯基等著《凸函数与奥尔里奇空间》（中译本）】 通常称函数)(x f 在区间),(b a 内是“下(上)凸函数”，若对于),(b a 内任意两点1x 和 2x )(21x x ≠与任意)1,0(∈t ，都满足“琴生(Jesen)不等式” 1212() [(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x >+-<+- (※) 或 () 11221122()()()f t x t x t f x t f x >+<+ (※※) [其中1t 和2t 为正数且121=+t t ] 它的特别情形(取2 1 = t )是 ()()()121222f x f x x x f >++?? < ??? ()21x x ≠ (※※※) 在§2-7中曾把它作为下(上)凸函数的定义.。我们将证明，对于连续函数来说，不等式(※※※)与琴生不等式(※)是等价的。正因为这样，我们在教科书中就用简单的不等式(※※※)定义了下(上)凸函数（因为我们研究的函数都是连续函数）。下凸函数简称为凸函数，上凸函数简称为凹函数。请读者注意．．．．．，这些称呼同国内某些教科书中的称呼是不一致的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。但是，我们的上述称呼与新近出版的许多教科书或发表的论文中的称呼是一致的。 因为函数的“上凸”与“下凸”是对偶的，所以，下面只讨论下凸函数的性质。相信读者一定能够把下面得出的结论，类比到上凸函数上。 （一）琴生不等式的几何意义 我们先解释一下琴生不等式的几何意义。如图一， 设231x x x <<，则21 21 3112323x x x x x x x x x x x --+--=（根据解析几何中的定比分点公式（*））。 根据琴生不等式(※※)， )(3x f )()(2121311232x f x x x x x f x x x x --+--< [注意1 213212321,x x x x t x x x x t --=--=] 图一
高中数学高考总复习利用导数研究函数的性质习题及详解
高中数学高考总复习利用导数研究函数的性质习题及详解 一、选择题 1．(文)函数y ＝ax 3 －x 在R 上是减函数，则( ) A ．a ＝1 3 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ≤0 [答案] D [解析] y ′＝3ax 2－1， ∵函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数， ∴3ax 2－1≤0在R 上恒成立，∴a ≤0. (理)(2010·瑞安中学)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调递增函数，则实数m 的取值范围是( ) A.? ???? 13，＋∞ B.? ???? －∞，13 C.???? ??13，＋∞ D. ? ?? ?? －∞，13 [答案] C [解析] f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知，f ′(x )≥0恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥1 3 ，故选C. 2．(文)(2010·柳州、贵港、钦州模拟)已知直线y ＝kx ＋1及曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1,3)，则b 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－5 [答案] A [解析] 由条件知(1,3)在直线y ＝kx ＋1上，∴k ＝2. 又(1,3)在曲线y ＝x 3＋ax ＋b 上，∴a ＋b ＝2， ∵y ′＝3x 2＋a ，∴3＋a ＝2，∴a ＝－1，∴b ＝3. (理)(2010·山东滨州)已知P 点在曲线F ：y ＝x 3－x 上，且曲线F 在点
P处的切线及直线x＋2y＝0垂直，则点P的坐标为( ) A．(1,1) B．(－1,0) C．(－1,0)或(1,0) D．(1,0)或(1,1) [答案] C [解析] ∵y′＝(x3－x)′＝3x2－1，又过P点的切线及直线x＋2y＝0垂直，∴y′＝3x2－1＝2，∴x＝±1，又P点在曲线F：y＝x3－x上，∴当x＝1时，y＝0，当x＝－1时，y＝0，∴P点的坐标为(－1,0)或(1,0)，故选C. 3．(2010·山东文)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)及年产量 x(单位：万件)的函数关系式为y＝－1 3 x3＋81x－234，则使该生产厂家获 取最大的年利润的年产量为( ) A．13万件B．11万件 C．9万件D．7万件 [答案] C [解析] 由条件知x>0，y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9，当x∈(0,9)时，y′>0，函数单调递增，当x∈(9，＋∞)时，y′<0，函数单调递减，∴x＝9时，函数取得最大值，故选C. [点评] 本题中函数只有一个驻点x＝9，故x＝9就是最大值点． 4．(文)(2010·四川双流县质检)已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为其导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为( ) A．(2,3)∪(－3，－2) B．(－2，2) C．(2,3) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
第16课时利用导数研究函数的性质
第16 课时 利用导数研究函数的性质 编者：仇小华 审核：刘智娟 第一部分 预习案 一、知识回顾 1． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的 条件． 2． f (x )在(a ，b )上是增函数的充要条件是 ． 3． 对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件 对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的 条件，但并不 ． 4． 如果不间断的函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．在解决实际问题中经常用到这一结论． 二、基础训练 1． 已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x 在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________． 2． 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________． 3． 若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝－x (x ＋1)，则函数g (x )＝f (log a x )(0 摘要 高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。 同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。 本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。 关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题 Abstract Convex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines. Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's. The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply. Key words：Convex function；Inequality；Economics；Optimization problem 专题三 利用导数研究函数的性质 1． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分不必要条件． 2． f (x )在(a ，b )上是增函数的充要条件是f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0在有限个点处取到． 3． 对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件 对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的必要条件，但并不充分． 4． 如果连续函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．在解决 实际问题中经常用到这一结论． 1． 已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x 在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________． 答案 [e ，＋∞) 解析 f ′(x )＝1x ·x －(ln a ＋ln x )x 2＝1－(ln a ＋ln x )x 2，因为f (x )在[1，＋∞)上为减函数，故 f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝1－ln x ，φ(x )max ＝1，故ln a ≥1，a ≥e. 2． 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________． 答案 4 解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1 x 3，则g ′(x ) ＝ 3(1－2x ) x 4 ， 所以g (x )在区间????0，12上单调递增，在区间????12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ????1 2＝4，从而a ≥4. 当x <0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1 x 3. 函数凹凸性判别法与应用 作者：祝红丽 指导老师：邢抱花 摘要 函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过 它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸 性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并 结合相关例题做了较详细的论述. 关键词 凹凸性 导数 不等式 应用 1 引言 函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变 量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识更加精确. 以函数()y f x 在某区间I 上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量x 的稳定增 加，当函数y 的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数y 的增量越来越小时，函数图 形是凸的，当函数y 的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分 析. 作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学 者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研 究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛. 本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方向，从而引出函 数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹 凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导函数判别函数的凹凸性， 及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判 别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函 数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都 能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其它方法不可替代 的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函 数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的 函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化. 凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 数学计算机科学学院 摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果. 关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用 Nature of Convex Function and its Application in Proving Inequalities Chen Huifei, College of Mathematics and Computer Science Abstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which 专题二——利用导数研究函数的性质200９-2-24 高考趋势 导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大.常利用导数研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、求函数的极值和最值,这些内容都是近年来高考的重点和难点，大多数试题以解答题的形式出现,通常是整个试卷的压轴题。试题主要先判断或证明函数的单调区间,其次求函数的极值和最值，有时涉及用函数的单调性对不等式进行证明。 考点展示 1.二次函数y f x =()的图象过原点且它的导函数y f x ='()的图象是如图所示的一条直线，则y f x =()图象的顶点在第 一 象限 2．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A B C ，，的坐标分别 为(04)(20)(64)，，，，，,则((0))f f = 2 ; 函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= -２ . ３.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为 4５° 4．设曲线2 ax y =在点(1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a 1 5.设R a ∈，若函数ax e y x +=,R x ∈有大于零的极值点，则a 的取值范围1-，对于任意实数x ,有()0f x ≥，则 (1) (0) f f '的最小值为 ２ ． ７.已知函数3 ()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为M ,m ,则M m -=__３2＿ _ 8．过点P （２,８）作曲线3 x y =的切线,则切线方程为＿ １2x-y －１6=0或3ｘ-ｙ+２＝０ 样题剖析 例1、设函数32 3()(1)1,32 a f x x x a x a = -+++其中为实数。 (Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； (Ⅱ)已知不等式'2 ()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。 解: (1) ' 2 ()3(1)f x ax x a =-++，由于函数()f x 在1x =时取得极值，所以 ' (1)0f = 即 310,1a a a -++==∴ （2) 方法一:由题设知:2 2 3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即2 2 (2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立 设 2 2 ()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈ 所以对任意(0,)a ∈+∞,()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥ 即 2 20x x --≥，20x -≤≤∴ 于是x 的取值范围是}{ |20x x -≤≤ 方法二:由题设知:2 2 3(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即2 2 (2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立 于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22 202 x x x +≤+ 20x -≤≤∴ 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤ 点评：函数在某点处取得极值,则在这点处的导数为０,反过来,函数的导数在某点的值为0，则在函数这点处取得极值。 变式1.若f(ｘ)=2 1ln(2)2 x b x - ++∞在(-1,+)上是减函数,则b 的取值范围是 1b ≤- 由题意可知' ()02 b f x x x =-+<+,在(1,)x ∈-+∞上恒成立， 即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-,所以1b ≤-, 变式２．已知函数1 1()3 x p f x -=,2 2()23 x p f x -=?（12,,x R p p ∈为常数）.则()()12f x f x ≤对所有实 数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）为 （1)由()f x 的定义可知,1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于 ()()12f x f x ≤(对所有实数x )这又等价于1 2 3 23 x p x p --≤,即 12 3log 23 32x p x p ---≤=对所有实数x 均成立. (＊） 由于121212()()()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12p p -， 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4凸函数的性质及其应用
(整理)利用导数研究函数的性质.
函数凹凸性判别法与应用讲解
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用
高中数学二轮复习专题二—利用导数研究函数的性质