06 除法竖式的教学与思考 修改 孙家芳 任景业
除法竖式的教学与思考
上海《小学数学教师》2009年第7～8期
孙家芳、任景业
一、问题
学生对于除法竖式的学习是学生整个运算学习中的一个难点。在除法竖式的书写过程中，学生常常出现图一的单位问题，图二的余数问题，图三商的位数问题1……。这些问题虽然表现形式各不相同，但实质是对最初的除法竖式的意义不清楚。除法竖式的“根”在哪？“理”在哪？怎样才能让学生明“根”晓“理”？
图二
图一
图三
象这样传统的内容，我们以前往往先进行分物活动，然后根据分物活动书写竖式，形成竖式的算法程序后再让学生“照此办理”，在重复操作中形成计算技能。的确，象除法竖式这样的内容似乎也很难有“理”可讲。然而，在课程改革日益深入的今天，我们需要越来越多地关注学生，关注学生的困惑，关注学生已有的经验，并在此基础上设计我们的教学。那么，在除法竖式的学习中，学生有什么样的困惑呢？有什么样的基础
1引自北京海淀区2008年说课比赛材料
呢？我们又应当如何设计我们的教学呢？
二、教材
新世纪小学数学教材把这部分的内容编排为两节课，两节课都有分实物，都有连减算式，都有口算，并且两节课都把连减算式放在首要位置——都是放在了第一种算法的位置（如下图）。分物与连减算式在学习除法竖式中真的那么重要吗？学生又是怎样理解的呢？
三、学生
学生解决这样的问题有什么样的经验？他们有什么样的知识基础？教材的编排是不是编者的“一厢情愿”？在学生学习除法竖式前，我们先让学生做下面的题目：解决问题并列出算式：有15枝花，一个花瓶放5枝，需要多少个花瓶？
学生列出的算式有下面几种：
（1）横式
15÷5=3（个），15-5-5-5=0 。
第一个式子是一般的除法横式，第二个式子用减法，体现了逐次减的过程，虽然没有写出结果，但能看出学生理解除法意义，能得到正确的结果。
（2）竖式
从这几个算式可以看出，学生列出的竖式明显受到了加减法与乘法竖式的影响。第
二个算式虽然出现了“”号，但从表达的形式上看，这位学生仅仅是曾经见过除法竖式，但对这种算式的意义并没有理解。
我们还对学过除法竖式的学生进行问卷访谈：学习完除法竖式你还有哪些不明白的问题？
从问卷和访谈中我们发现，学生虽然会用竖式计算，但仍有65%的学生对“除法竖式为什么从高位算起？”不理解，51%的学生不理解除法竖式的意义和算理。
由此，我们发现学生解决问题的基础是实物的“分”，列出的算式是一个逐次递减的过程。除法就是连续地减去相同的数。这些认识是我们重新思考除法竖式的教学的基础。
四、思考
由于学生理解除法与分物的关系，所以，我们可以从“分一分”引入除法教学，并探究多位数的除法与分物的对应关系。我们不妨以新世纪小学数学教材给出的“分桃子”入手。
有48个桃子，平均分给2只猴子，每只猴子分多少个？
不管我们先分整篮子的，还是先分篮子外面的，都可以得到正确的结果。与之对应的算式也不难理解。——这是从高位与低位算都可以顺利“分完”的情境。
当从高位或低位不能直接分完时，会怎么样呢？
问题：48个桃子，平均分给3只猴子，有几种分法？
第一种：先分整篮子的，第一次每个猴子一整篮（10个），还余下1整篮子（10个），把余下的1整篮子（10个）再和篮子外面的8个桃子一块分，……对应的算法就是从高位算起。
第二种：先分篮子外面的，那么8个桃子，平均分给3只猴子，还余2个；把余下的2个桃子再和整篮子的40个桃子合在一起分，需要先分4个整篮子，每个猴子1整篮（10个），还余下1整篮子（10个）、2个桃子，再分这12个，……从分的动作上解释，对应的竖式算法就是从低位算起。从逻辑上看，这种算法是可以的，但显然这种算法比上面的算法要复杂。
竖式作为心算的记录过程，我们是可以把这种从低位算起的方法结合心算的过程呈现给学生的。因为，无论采取哪种算法，都是把分的过程记录清楚，也就是：要分多少？分得了多少？分掉了多少？还余多少？一次分不完需要将余下的继续分。如此，不仅可以解开学生“除法为什么要从高位算起”的困惑，也能帮助学生理解除法的意义及竖式的写法。
五、尝试
问题：（1）48个桃子，平均分给2只猴子，每只猴子分到多少个？
用小棒代替桃子实际分一分。两人合作，一人边分边说分的方法，一人认真听，把每一次分的过程用算式表示出来，然后汇报交流。
学生给出的分法有：先分整捆的，再分单根的；先分单根的，再分整捆的，可以直接分完。（写出算式从略）
无论是从高位还是从低位，分法或说算法都行得通。我们大可不必归结到只能用其中的一种方法，而不能用另一种方法。而且，不管哪种分法，我们都发现：分的过程就是口算的过程，口算的过程就是分的过程，算式做为“分”的记录，可以清楚地表明每个数字代表的意义以及应写在的位置。
问题：（2）48个桃子，平均分给3只猴子，每只猴子分到多少个？
用小棒代替桃子实际分一分。你会吗？
从十位计算的学生完成了这样的算式：
从个位除的学生则遇到了困难，第一个孩子写下了这样的算式：
第二个孩子做了补充，但也未完成。在教师组织研讨下，学生说一说一次分不完怎么办，同时让学生结合情境，通过说每个数字的意义，得到了下面的竖式：
“这样写可以吗？”“为什么写了三层？”“你有什么感觉？”在对除法竖式不停地追问、思考、讨论中，学生得到了从低位算的除法竖式，而学生在观察、评价自己的创造中，收获的不仅是一种算法，更是对除法意义和竖式算法的进一步理解。
六、成效
马上就要下课了，执教老师问学生“这时你最想说什么？”足足两分钟没有一个人说话，一阵可怕的“冷场”过后，终于有三个学生说出了如下的话：
（1）加法、减法、乘法从个位算起比较方便，除法从十位算起比较方便。
（2）除法竖式和分小棒是有关系的。
（3）先分整捆的时候，如果有剩下的，要打开和单根的一起分。
学生的答案也许并不全面，从高位算起并不仅仅是可以避免麻烦，它还是除法“分”的必然，要“分”一个数，需要先从整体上去把握，也就是先从数的高位去把握，这也是为什么在除法中估算重要、为什么要试商的一个重要原因。这个问题，我们在以前的
教学中很少或说从没有过考虑。
几天后，我们访谈了20个教师，了解他们用这种教学方法后学生的情况，结果让我们长舒了一口气，他们说：
（1）商中间末尾有0的不用讲了。学生说：因为没有可分的，所以商0。
（2）测试的正确率很高，这是学生第一次得这么高的分数。而且，这么高的分数不是像以前那样一遍一遍“磨”出来的，是学生真正懂得了道理、明白了因由以后得的高分。
七、反思
“除法竖式能从低位算吗？”这是一个很有价值的问题，说这个问题有价值，并不是这个问题的答案有多重要，而是由这个问题的探索可以引发我们的一些思考。
1. 运算要明理清源。
从调研学生的计算经验入手，回到除法的原初意义，由此入手，让我们找到了问题的“根”与“理”。学生解决问题的原初方法，往往就含有我们苦苦寻找的最本质的内容。学生处理这样的问题，用到的是“分”，写成的算式是“减”。在这样的基础上怎么写成教材上已是千锤百炼的竖式？显然，要结合“分实物”、结合“口算”、结合“连减算式”这些学生的经验，让学生经历这个过程。于是有了（1），但（1）的形式太繁了，由乘法的意义，自然想到（2）,再想到（3）。
（3）81 200484 4 84 8484004021 0（2）12个412个1（1）……
……
31
1
1
1
4
2
6
30
4
44
4
44
4 4 8
沟通了学生分物（操作）、口算、笔算三者之间的联系，理清这其中的时序和因果关系，学生就明白了竖式算法的道理。由（1）到（3）让我们看到了乘法竖式由繁到简约的一个过程。从学生的困惑入手，从学生最本源的经验出发，我们可以发现，原本看似“高度抽象”的除法竖式内容，也可以设计为有意义的探索过程。
2. 明理是教学之基。
做为科学的数学是讲逻辑的、重推理的，做为教育的数学应当为学生积累说理的经验，培养学生明理清源的意识。恩格斯在《自然辩证法》中，曾提到这样一个故事：19世纪，德国化学家李比希发现工人生产染料时，总是一边搅拌铁锅里的溶液，一边敲打铁锅。师傅们说，不敲打铁锅染料的质量不高。这是什么道理呢？李比希经过研究发现，是铁元素提高了染色牢度，敲打铁锅，是让更多的铁元素参与其中。他随即提出新的生产工艺，在溶液中加入铁元素，免去了工人敲打铁锅的劳累。——“敲打铁锅”可以提高质量，这是经验，是传统，是技术，但并不科学。数学学习离不开适量的练习，也没有人否认过练习的作用。数学学习，“讲不会，练会”，无异于是让学生遭受 “敲打铁锅”的劳累。在这个意义上说，训练是提高计算能力的技术手段，但并一定是科学手段。
就象染料工搅拌铁锅，“技术的”并不一定是“科学的”。搞题海战术，盲目做题，缺乏对“理”和“根”的追问，与“敲打铁锅”别无二致。练习要明理，要让学生知道“敲打铁锅”的起作用的真正原因所在。不讲理的强化训练，会让大脑记忆和承载太多的东西，影响学习的正确的迁移，徒增“敲打铁锅”似的劳累。明理，讲理，学生的思维才会真正地参与到教与学的活动中来，数学教育才能达到发展学生的数学思维的目标，这是追求高效教学、培养创新能力的必然，是练习趋向科学的要求，也是发展和创造的根基。
3.明理是“以人为本”的体现。
人本好奇，好探究，对现象总想问个究竟，总想问个为什么，而我们一些按“既定方针办”、强迫学生接受的教学方法，是对学生求知愿望和好奇天性的压抑和摧残。上面的实验将原本是小学生很难理解的除法竖式，设计为有意义的探索过程，让学生真正的参与其中，也是对学生天性的满足。在这个意义上说，“理”是交流的基础，“理”是交流的前提，它远离了盲从与机械，趋向了对话与理解，也是民主、平等和理性精神的一种反映。
4.明理要重视“学生之理”。
其实，理，并不深奥，也不神秘，它常常隐含在朴素的经验和学生已有的知识中，学生最原始的算法体现的往往是最基本的原理，就象连减算式体现除法的意义一样。我们可从学生解决问题的策略中发现他们思维的轨迹，寻找他们究竟是如何理解一个问题的，这本质便是对“理”的追寻。而学会讲理，做起来也并不复杂，在学生经验的基础上，引导学生明白为什么做，而不是强迫学生接受一个怎样做的程序，便已经是在讲理了。由此可知，讲理，并不仅仅是指“科学之理”，还要重视“学生之理”。在学生已有经验、知识、困惑的基础上设计我们的教学，顺之而教。循着学生的逻辑，引向设定的目标，是科学教学的出发点。