1怎样把数学成绩提高一个层次
如图2
如图1
怎样把数学成绩提高一个层次
同学们来这里补习数学，主要是想把数学成绩提高一个层次，准备为明年的中考交一份满意的数学答卷。但是，怎样才能把数学提高一个层次？怎样才能在明年的中考中交一份满意的数学答卷呢？这是同学们要思考的问题，要奋斗的目标。我想：要学好数学，必需要有清晰的数学思维，也就是说，解数学题，要思路清晰。
前段时间，有一学生问我一道数学题，这道题她可思考了半天还没解出来。题目是：
如图：在六边形ABCDEF 中，每一个内角相等，且AB=AF=2，BC=CD=3，求六边形ABCDEF 的周长。
她们的解题思路是抓住AB=AF ，BC=CD ，从而连接BF 、BD 、BE,可依条件得到△ABF 与△BCD 为等腰三角形，△BEF 与△BDE 为直角三角形（如图1）。但是，这样不能求出周长。为什么呢？
对与这道题，她们有思路，但是思路不是很清晰，分析题意不是很完整，所以方法就错了。关键点是她们没有完全利用第一个条件-----每一个内角相等。
我的分析是：这个题目只有两个条件，由第一个条件可知，六边形的每一个内角相等，则每一个内角为120°，那么每一个外角是60°，我就想到等边三角形。于是，我就延长AB 、CD 、EF 构成一个等边三角形STU （如图2）。问题就很容易解决了。
等腰三角形AF=AB;BC=CD
等边三角形
每一个外角都是60度
每一个内角相等
题目
但是，清晰的数学思维怎样养成呢？我认为：数学的学习过程分为两个步骤：⑴ 简单学习------就是对单一的知识点进行理解、记忆、练习；⑵ 系统学习--------就是对知识进行归纳、总结、整理，也就是知识的联系。 解题过程就是建立不同的知识点的联系过程。因此，要养成清晰的数学思维，不仅要掌握单一的知识点，更重要的是进行系统的学习。尖子生与普通生的差别在哪里？就在与能否进行有效的系统学习。
⒈ 分析中考数学试卷，了解系统学习的重要性。 ⒉ 怎样进行系统学习?
第一步：建立知识的骨架。[画出完整的知识结构图（建骨架）]； 第二步：为骨架填充血肉。（把平时通过简单学习掌握的大量的学习内容进行整理。）然后从中提炼中有用的，精华的部分，填充到这个知识骨架当中去。形成一个和图中知识点一一对应的详细的说明文本，这样就把知识的骨架和内容密切的联系起来[（填充血肉）]。这个时候我们所得到的，才不再是一个一个零散的、杂乱无章的单一知识点，也不再是一个光秃秃的骨架，而是一个思路清晰的，内容完
整的，鲜活的有血有肉的知识的整体。
第三步：将这个相互联系的知识整体移植到头脑中。 3、举例说明怎样进行系统学习。
例如：我们学习《多项式》这一章后，可以系统的整理如下。
完全平方公式
平方差公式乘法公式
多项式*
单项式*
多项式单项式*单项式，合并同类项）
多项式的运算
多项式的有关概念：系数、项、次数
上面是建立知识的骨架，我们也可以填入血肉。
如：完全平方公式(a+b)2=a 2+b 2+2ab-----①； (a-b)2=a 2+b 2-2ab-----②； 由①+②得：(a+b)2+(a-b)2=2（ a 2+b 2）； ①-②得：(a+b)2-(a-b)2=4 ab 。 还有：(x ±x 1
)2=x 2+
2x
1
±2； 例1：若(a+b)2=m ，(a-b)2=n ，用含m 、n 的式子表示：
⑴ a 2+b 2； ⑵ ab ； ⑶ a
b
b a +。
例2：已知：a 2-3a+1=0，求2a
1
a 22
-+的值。
问题 1 如图，表示某人从家出发任一时刻到家的距离()S 与时间()t 之间的关系，请根据图象编一个故事．
讲解1 从上一世纪九十年代开始，经多年、多地、多次测试，同学们（包括初中、高中和大学）说的故事很多，但抽象出来的运动特征基本上都是：
●在OP 上匀速直线运动； ●在PQ 上静止；
●在QR 上匀速直线运动．
这里的认识封闭在于，面临“到一定点的距离为定长”的数学情景时，只想到静止、想不到运动（圆周运动），数与形的双向流动不够通畅．从知识上看，可能还有“距离”与“路程”的混淆：随着时间
的推移而路程不变，当然是静止，但随着时间的推移而距离不变，则可能是静止也可能是运动．（封闭1）
值得注意的是，当进一步问会有多少种运动方式时，对“静止或运动”也存在认识封闭现象，普遍没有考虑到在圆周上既可以运动又可以静止，既可以前进又可以来回走动，既可以原路返回又可以另路返回．（封闭2）
问题2 “糖水加糖变甜了”（糖水未饱和），请以这一生活常识为背景提炼出一个数学命题，然后给出严格的数学证明．
讲解 这是一个好问题：
（1）来源于日常生活中再简单不过的常识（托儿所小孩子都知道的生活现象），沟通生活与数学的联系非常自然．但是，“糖水”里有数学吗？能提炼出数学命题吗？能提炼出什么数学命题呢？如此等等，思维的齿轮启动了，趣味性、启发性与探究性都有了．
（2）含有“真分数不等式”的必要因素与必要形式，提供了一个简单而又典型的“数学建模”过程：
●怎样进行“变甜、变淡”状态的数学描述——用不等式； ●怎样进行“甜、淡”本身的数学描述——用浓度；
●怎样进行“加糖”的数学描述——分子、分母同时加一个正数．
这就得到：若0>>a b ，0>m ，则m
b m
a b a ++<．
（3）可以有分析法、综合法、反证法、放缩法，构造图形、构造定比分点、构造复数、构造函数等10多种证明方法，非常典型．
（4）情境本身有很大的拓展空间：
①将3小杯浓度相同的糖水混合成一大杯后，浓度还相同．由这一情境可得等比定理：
331231212123123123
a a a a a a a a a
b b b b b b b b b ++==?===++． ②将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又比浓的淡．这又是托儿所小孩都知道的事实，但这里有“中间不等式”的必要因素与必要形式：对011>>a b ，
022>>a b ，有
2
2
2121112211b a b b a a b a b a b a <
++
这已经是一个有挑战性的问题了，需比较
???? ??+221121b a b a 与2
121b b a a ++的大小，而这两者的关系是不确定的． 问题3. 如图1，在直线L 的同一侧有A 、B 两点，试在直线L 上找一点P ，使得PA+PB 的值最小。 如图2，在直线L 的异侧有A 、B 两点，试在直线L 上找一点P ，使得|PA －PB |的值最小。 如图3，在直线L 的异侧有A 、B 两点，试在直线L 上找一点P ，使得|PA －PB |的值最大。
B
A
B
A
L
L
L
如图1 如图2 如图3
分析：此题主要是利用三角形的三边的关系解题。
例3.若多项式22
28171642070P a ab b a b =-+--+,那么P 的最小值是 .
例4.如图1, ∠AOB=30O
, ∠AOB 内有一定点P,且OP=10.在OA 上有一点Q,OB 上有一点
R.若ΔPQR 周长最小,则最小周长是 .