当前位置：文档库 › 1-极限与连续性习题课(解答)

1-极限与连续性习题课(解答)

第十六章多元函数的极限与连续习题课

第十六章多元函数的极限与连续习题课一概念叙述题 1.叙述0 lim ()P P f P A →=，其中0,P P 的坐标为00(,),(,)x y x y ． lim ()0,0,P P f P A εδ→=??>?>当00(;)P U P D ∈I δ时，有()f P A ε-< （方形邻域）0,0,εδ??>?>当0x x δ-<，0y y δ-<， 00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-< （圆形邻域）0,0,εδ??>?>当0δ<，有(,)f x y A ε-<． 2. 叙述 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=+∞，00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=-∞，00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=∞的定义． 000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=+∞??>?>-<-<≠>当时，有 0,0,0(,)G f x y G δδ??>?>< <>当时，有000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=-∞??>?>-<-<≠<-当时，有 000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=∞??>?>-<-<≠>当时，有． 3.叙述 0(,)(,) lim (,)x y y f x y A →+∞=的定义． 00(,)(,) lim (,)0,0,0,,(,)x y y f x y A M x M y y f x y A εδδε→+∞=??>?>?>>-<-<当时，有 4.叙述 0(,)(,) lim (,)x y x f x y →-∞=+∞的定义． 00(,)(,) lim (,)0,0,0,,(,)x y x f x y G M x x y M f x y G δδ→-∞=+∞??>?>?>-<<->当时，有 5. 叙述 (,)(,) lim (,)x y f x y →-∞+∞=-∞的定义． (,)(,) lim (,)0,0,,(,)x y f x y G M x M y M f x y G →-∞+∞=-∞??>?><-><-当时，有．注：类似写出(,)(,) lim (,)x y f x y →=VW d 的定义，其中d 取,,,A ∞+∞-∞，?取0,,,x ∞+∞-∞， W 取0,,,y ∞+∞-∞． 6.叙述f 在点0P 连续的定义． f 在点0P 连续?ε?， 0δ?>，只要0(;)P U P D δ∈I ，就有0()()f P f P ε-< ?ε?， 0δ?>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-< ?ε?， 0δ?>，δ，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<．

1-7 两个重要极限练习题

1-7 两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限x x x sin lim → 问题1：观察当x →0时函数的变化趋势：当x 取正值趋近于0时， x x sin →1，即+ →0 lim x x x sin =1；当x 取负值趋近于0时，-x →0, -x >0, sin(-x )>0．于是 ) () s i n (lim sin lim 0 x x x x x x --=+ - →-→．综上所述，得一．1si n l i m =→x x x ． 1sin lim =→x x x 的特点： (1)它是“0 0”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0 0； (2)在分式中同时出现三角函数和x 的幂．推广如果a x →lim ?(x )=0,(a 可以是有限数x 0, ±∞或∞)，则 a x →l i m ()[] () x x ??s i n =()()[]() x x x ???sin lim 0 →=1．例1 求x x x tan lim →．解 x x x tan lim →=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim cos sin lim 0 =?=?=? =→→→→x x x x x x x x x x x x x ．例2 求x x x 3sin lim 0 →．解 x x x 3sin lim →=3sin lim 3)3(33sin 3lim 0==→→t t t x x x t x 令．例3 求2 cos 1lim x x x -→．解 2 cos 1lim x x x -→=212 2sin 2 2sin 21lim )2 (22sin lim 2sin 2lim 02 2 2 2 =? ? ==→→→x x x x x x x x x x x ．例4 求x x x arcsin lim →．

高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版

高等数学求极限的常用方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：

1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ

关于高等数学方法与典型例题归纳

关于高等数学方法与典型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→

大一高数第一章--函数、极限与连续

第一章函数、极限与连续由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节变量与函数一、变量及其变化范围的常用表示法在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????；满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<；满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤

高等数学求极限的14种方法(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则（5）两边夹挤准（夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（1）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成

求极限的常用方法典型例题

求极限的常用方法典型例题掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。例求下列极限：（1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即 x x x 1 0)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。（4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即

222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。（5）利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+?

极限计算方法总结

极限计算方法总结一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5)13(lim 2=-→x x ；??? ≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限（1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2 x - ～ 2x -。

微积分习题课一(多元函数极限、连续、可微及偏导)题目_777705511

习题课（多元函数极限、连续、可微及偏导）一．累次极限与重极限例.1 ()y x f ,= ? ?=?≠?+0,00,1sin 1sin y x y x x y y x 例.2 ??? ??=+≠++=0 03),(22222 2y x y x y x xy y x f 例.3 22 222(,)() x y f x y x y x y =+-，证明：()()0,lim lim ,lim lim 0000==→→→→y x f y x f y x x y ，而二重极限()y x f y x ,lim 0 →→不存在。一般结论：二．多元函数的极限与连续，连续函数性质例.4 求下列极限：（1） 1 1 ) 0,1(),() (lim -+++→+y x y x y x y x ；（2） )ln()(lim 22) 0,0(),(y x y x y x ++→; （3） (,)(0,0)sin() lim x y xy x →；（4）22lim x y x y x xy y →∞→∞ +-+；（5）2 2 () lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞ +。例.5 证明：极限0) ( lim 2 2 2) ,(),(=+∞∞→x y x y x xy ．

例.6 若()y x f z ,=在2 R 上连续, 且 ()22 lim ,x y f x y +→+∞ =+∞, 证明函数f 在2R 上一定有最小值点。例.7 )(x f 在n R 上连续,且 (1) 0x ≠时, 0)(>x f (2) ,0>?c )()(x x cf c f = 例.8 若),(y x f 在)0,0(点的某个邻域内有定义，0)0,0(=f ，且 a y x y x y x f y x =++-→2 2 2 2) 0,0(),(),(lim a 为常数。证明：（1）),(y x f 在)0,0(点连续；（2）若1-≠a ，则),(y x f 在)0,0(点连续，但不可微；（3）若1-=a ，则),(y x f 在)0,0(点可微。例.9 函数?? ???=+≠+++=0,00),sin(),(2 22 2222 2y x y x y x y x xy y x f 在)0,0(点是否连续? (填是或否)；在)0,0(点是否可微? (填是或否)．三．多元函数的全微分与偏导数例.10 有如下做法：设),()(),(y x y x y x f ?+=其中),(y x ?在)0,0(点连续, 则 [][] dy y x y x y x dx y x y x y x y x df y x ),()(),(),()(),(),(????+++++= 令0,0==y x , ))(0,0()0,0(dy dx df +=?. (1)指出上述方法的错误； (2)写出正确的解法. 例.11 设二元函数),(y x f 于全平面2 ?上可微，),(b a 为平面2 ?上给定的一点，则极限 =--+→x b x a f b x a f x ) ,(),(lim 。例.12 设函数),(y x f 在)1,1(点可微，1)1,1(=f ，2)1,1(='x f ，3)1,1(='y f ，

高等数学求极限的14种方法

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（1）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则（5）两边夹挤准（夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： ε δεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（1）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通

极限计算方法及例题

极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2 =-→x x ；???≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,) ()(lim 成立此时需≠= B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限（1） 1sin lim =→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。例如：133sin lim =→x x x ，e x x x =--→21 ) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3)31(lim ；等等。 4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

1-7两个重要极限练习题

1-7两个重要极限练习题教学过程: 弓I 入：考察极限 si nx lim ---- x 0 x 当x 取负值趋近于 0时，-X 0, -x>0, sin(-x)>0 .于是 sinx sin( x) lim -- lim —-__-. x 0 X x 0 ( x) 综上所述，得 sin X 一.lim 1 . x 0 X lim 沁1的特点： x 0 X (1) 它是“0 ”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是 (2) 在分式中同时出现三角函数和 X 的幕. 如果lim (x)=0,(a 可以是有限数X 0,或), x a sin x 出arcsinx 求 lim ------ . x 0 x 令 arcsinx=t ，贝U x=sint 且 x 问题1:观察当x 0时函数的变化趋势: 当x 取正值趋近于0时，sin 2L 1,即lim 耳巴仝=1 ； x x 0 x 推广 lim x a sin X x =lim x 0 sin X =1 x lim = lim x 0 x x 0 cosx x lim s ^nx x 0 x COSX lim sinx x 0 lim --- x 0 cosx 1 1 1. 求lim 沁. x 0 x sin3x 3sin3x lim ------- = lim x 0 x x 0 击，-1 cosx 求 lim -- 2 — x 0 x 2 3x (令3x t) 3ltim Sin t 1 cosx _ X 1叫二叫 2si n 2x _____ 2 x 2 .2 x sin — lim - 2 x 0 x c 2(-)2 x im .x sin — 2 .x sin — 2 x 2

极限计算方法总结(简洁版)

极限计算方法总结（简洁版）一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；? ??≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1） B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限（1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。定理4 如果函数 )(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ，)(x g ～

两个重要极限学习资料

2.5.1两个重要极限（第一课时） ——新浪微博：月牙LHZ 一、教学目标 1.复习该章的重点内容。 2.理解重要极限公式。 3.运用重要极限公式求解函数的极限。二、教学重点和难点重点：公式的熟记与理解。难点：多种变形的应用。三、教学过程 1、复习导入（1）极限存在性定理：A x f x f A x f x x x x x x ==?=- +→→→)(lim )(lim )(lim 000 （2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若）（0)(x x x f →∞→，则）（00)(1 x x x f →→ （3）极限的四则运算： [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=± [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ?=? )(lim ) (lim )()(lim x g x f x g x f = ()()0lim ≠x g （4）[])(lim )(lim x f c x cf =（加法推论）（5）[][]k k x f x f )(lim )(lim =（乘法推论）（6）[]0lim =?有界变量无穷小量（无穷小量的性质） eg: 0sin 1 lim sin lim =??? ???=∞→∞→x x x x x x

那么，？=→x x x sin lim 0呢，这是我们本节课要学的重要极限 2、掌握重要极限公式 1sin lim 0=→x x x 公式的特征：（1）0 0型极限；（2）分子是正弦函数；（3）sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题【例1】求 kx x x sin lim 0→()0≠k 解：kx x x sin lim 0→=k k x x k x 111sin lim 10=?=→ 【例2】求 x x x tan lim 0→ 解：x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim 000=?=?=?? ? ??→→→x x x x x x x x x （推导公式：1tan lim 0=→x x x ）【例3】求 x x x 5sin lim 0→ 解：51555sin lim 555sin 5lim 5sin lim 000=?=?=?=→→→x x x x x x x x x 4、强化练习（1）x x x 3sin lim 0→（2）x kx x sin lim 0→()0≠k （3）x x x 35sin lim 0→ (4) x x x 2tan lim 0→ 解：（1）x x x 3sin lim 0→=3 1131sin lim 310=?=→x x x （2） k k kx kx k kx kx k x kx x x x =?=?=?=→→→1sin lim sin lim sin lim 000 （3）3513555sin lim 353555sin lim 35sin lim 000 =?=?=??? ???=→→→x x x x x x x x x （4）x x x 2tan lim 0→=11122cos 1lim 22sin lim 22cos 12sin lim 000=??=??=?? ? ??→→→x x x x x x x x x 四、小结:

求极限的方法及例题总结

1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。注：本题也可以用洛比达法则。例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以。例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→

两个重要极限练习题

1-7两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限lim 匹 x 0 x 当x 取负值趋近于 0时，-x 0, -x>0, sin(-x)>0 .于是综上所述，得 sin x lim 1 . x 0 lim 泌1的特点： x 0 x 解血沁= lim5s 吐(令3x t)3lim 血3. x 0 x x 0 3x t 0 t 1 COSX 求 lim 2— x 0 x 2 例4 求 im arcSinX . X 0 X 解令 arcsinx=t ，贝U X =S int 且 X 0 时 t 0. 当x 取正值趋近于 0时，叱1,即lim 竺S=1 ； x x 0 x 问题1:观察当x 0时函数的变化趋势: si nx lim x 0 x li m sin( x) (x) x a 则 lim sin x .. sin x -=lim =1. x a X x 0 X 例1 求 tanx lim x 0 X sin x 解 lim tanx cosx sin x 1 si 1 li lim lim lim — lim x 0 x x 0 X x 0 x cosx x 0 X x 0 cosx 例2 求 ..sin3x lim 1. COSX 2 X =P 叫 2 X 2sin — 2 mo H X X- 2 2( X X sin sin lim 2 2 x 0 2 X X 2 2 (1) 它是“0 理，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是推广如果lim (x)=0,(a 可以是有限数X 0,或), x 0 x 1 1 2 X 一 2 2

关于计算极限的几种方法

目录摘要 (1) 引言 (2) 一．利用导数定义求极限 (2) 二．利用中值定理求极限 (2) 三．利用定积分定义求极限 (3) 四．利用施笃兹公式 (4) 五．利用泰勒公式 (5) 六．级数法 (5) 七．结论 (6) 参考文献 (6)

内容摘要摘要：极限是数学分析中最基本、最重要的概念之一,极限是微积分的重要基础，研究函数性质的重要手段.极限是描述函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，本文通过典型例题，举一反三，给出几种常用的求极限方法。极限的计算方法很多,并且有一定的规律和技巧性,对此,本文将根据实例进行分析、探讨,并归纳出一些计算方法. 关键词:极限；计算；方法 Abstract:the limit is one of the most basic, the most important concept in mathematical analysis, the limit is an important foundation for the calculus, an important means to study the function of the nature of the concept description. The limit is an important trend in the infinite process function, through typical examples, infer other things from one fact,several commonly used methods for the limits. A lot of calculation method of limit, and there are rules and skills, certain of