人教版高一数学必修4、必修5测试题

人教版高一数学必修4、必修5测试题

本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟. .

第一部分 选择题

一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 满分50分. 在每小题给出的四个选项中, 只

有一项是符合题目要求的. 1. cos120是（ ）

A. 12-

B. 32-

C. 12

D. 32

2. 已知{}n a 是等比数列，且12a =，41

4

a =

，则公比q =（ ） A ．2 B ．2

1 C ．1

2- D ．2-

3．不等式2

450x x -->的解集是（ ）

A ．{}|15x x -≤≤

B ．{}|51x x x ≥≤-或

C ．{}|15x x -<<

D ．{}|51x x x ><-或

4. 若1,x >则1

11

x x -+

-的最小值是（ ） A. 2- B. 1 C. 2 D. 3

5．若向量(2,1),(4,1),//x ==+a b a b ，则x 的值为（ ）

A ．1

B ．7

C ．-10

D ．-9 6. 要得到函数)4

2sin(π

+=x y 图像，只需把函数x y 2sin =图像 （ ）

A ．向左平移

4

π个单位 B ．向右平移4π

个单位

C ．向左平移8π个单位

D ．向右平移8

π

个单位

7. 在平面直角坐标系xOy 中，平面区域{}

()00A x y x y x y =+，≤2，且≥，≥的面积为（ ） Ａ．4

Ｂ．2

Ｃ．

1

2

Ｄ．

14

8. 若3sin ,5

αα=-是第四象限角，则tan 4πα??

-

??

?

的值是（ ）

Ａ．

45 B ．34- Ｃ．4

3

- Ｄ．7- 9. 已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．

是（ ）高考资源网

10. 在ABC ?所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC BC ++=，则PBC ?与ABC ?的

面积之比是（ ） A.

13 B. 12 C. 2

3

D. 2 第二部分 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 在0

360范围内，与30-角终边相同的角是 ．

12. 若1

cos sin 2

αα+=

，则sin 2α的值是 ． 13. 已知向量(cos ,sin )θθ=a ，向量(3,1)=b ，且⊥a b ，则tan θ的值是 .

14. 设实数,x y 满足20

240,230

x y y x y x y --≤??

+-≥??-≤?

则的最大值是 ．

三、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）

已知||1=a ，||2=b ，a 与b 的夹角为60?. （1）求a b ，()()-+a b a b ； （2）求||-a b .

16.（本小题满分12分）

设2

3

()cos sin 22

f x x x =+

． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间．

17.（本小题满分14分）

已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 340,4a S ==-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）当n 为何值时, n S 取得最小值.

18.（本小题满分14分）

某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过180000元，甲、乙两个电视台的广告收费标准分别为1000元/分钟和400元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为3000元和2000元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少元？

已知ABC △的周长为31+，且s i n s i n 3s i n A B C +=

，

ABC △的面积为3

sin 8

C ， （1）求边AB 的长； （2）求tan()A B +的值．

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11S =，1n n S n c S n

++=

（c 为常数，1c ≠，*

n ∈N ），且123,,a a a 成等差数列． （1）求c 的值；

（2）求数列{}n a 的通项公式；

（3）若数列{}n b 是首项为１，公比为c 的等比数列，记1122n n n A a b a b a b =++

+，

11122(1)n n n n B a b a b a b -=-+

+-，*n ∈N ．证明：224

3(14)3

n n n A B +=-．

参考答案

一、选择题：共10小题，每小题5分，满分50分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

A

B

D

C

A

C

B

D

D

A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 330 . 12. 34-

. 13. 3-. 14. 32

. 三、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤．

15.（本小题满分12分） 解：（必修4第2.4节例1、例2、例3的变式题） （1） 1

cos 601212

?=?=??

=a b a b -------------------3分 ()()143-?+=-=-=-22a b a b a b ------------┄┄┄┄┄6分 （2） 222()2-=

-=-?+a b a b a a b b ---------------------9分

1243=-+= ------┄-----┄┄┄┄12分 16.（本小题满分12分）

解：（必修4第1.4节例2、例5的变式题）

1cos 23

()sin 222x f x x +=

+ -----------------------------------2分 113cos 2sin 2222

x x =++ 1sin cos 2cos sin 2266x x ππ

=

++------------------------------4分 1sin(2)26

x π

=++-------------------------------------------6分 （1） ()f x 的最小正周期为22

T π

π==.---------------------------8分 另解：用周期的定义，得()f x 的最小正周期为π.---------------------8分 （2）当222()2

6

2

k x k k π

π

π

ππ-

≤+

≤+

∈Z 时，()f x 的单调递增，-----10分

故函数()f x 的单调递增区间是(),3

6k k k π

πππ??

-+

∈???

?

Z 。------------------12分

17.（本小题满分14分）

解: （必修5第2.3节例4的变式题）

（1） 340,4a S ==-，

1120,43

4 4.2

a d a d +=??

∴??+=-?? --------------4分 解得14,2a d =-=. --------------6分

()41226n a n n ∴=-+-?=-． -------------8分

（2）()()11412

n n n d

S na n n n -=+

=-+----------------------10分 2

5n n =-

2

52524n ?

?=-- ???

．-------------------------------12分

∈n Ｎ*

,

∴当2=n 或3=n 时, n S 取得最小值6-. ------------------14分 18.（本小题满分14分）

解：（2007年山东卷文19题改编题）

设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由

题意得3001000400000000.x y x y x y +??

+???

≤，≤18，≥，≥--------4分

目标函数为30002000z x y =+．---------5分

二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +??

+???

≤，≤，≥，≥----6分

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，

即可行域（如图）．-----------------------------------8分

作直线:300020000l x y +=，即320x y +=．

平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．-------------10分 联立30052900.

x y x y +=??

+=?，

解得100200x y ==，．

∴点M 的坐标为(100200)，

．---------------------------------------12分 max 30002000700000z x y ∴=+=（元）.-----------------------13分

0 100 200 300

100 200

300 400

500

y

x

l

M

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是700000元．------------------------------------------14分 19.（本小题满分14分） 解：（新编题） （1）因为ABC △的周长为31+，所以31AB BC AC ++=+．----------1分 又sin sin 3sin A B C +=，由正弦定理得3BC AC AB +=．--------------3分 两式相减，得1AB =．---------------------------------------4分 （2）由于ABC △的面积

13

sin sin 28

BC AC C C ?=，得34BC AC ?=，-----6分

由余弦定理得222

cos 2AC BC AB C AC BC

+-=? --------------------8分

22()2123

AC BC AC BC AB AC BC +-?-==?，--------------10分

又0180C <<，所以2

22

sin 1cos 3

C C =-=

．-------------12分 故tan()tan 22A B C +=-=-.--------------------14分

另解：由（1）得3BC AC +=，又34

BC AC ?=

， 所以3

2

AC BC ==

------------------------------------------6分 在ABC △中，作CD AB ⊥于D ，则2

2

CD =

，-----------------8分 所以tan tan 2A B ==-----------------------------------------------10分

故tan tan tan()221tan tan A B

A B A B

++=

=-----------------------------14分

20.（本小题满分14分） 解：（新编题） （1）∵11S =，

1n n S n c

S n

++=，∴11n n n n c a S S S n ++=-=，-----------2分

∴1121321,,(1)22

c c

a S a cS c a S c =====

=+． ∵123,,a a a 成等差数列，∴2132a a a =+，

即(1)212

c c c +=+，∴2

320c c -+=．-------------------------------5分 解得2c =，或1c =（舍去）．-------------------------------------6分

（2）∵11S =，

12

n n S n S n

++=

， ∴211

134

1(1)

1(2)12

12

n n n S S n n n S S n S S n -++=?

??

=????

=≥-，-------8分 ∴1(1)(1)

(2)22

n n n n n n n a S S n n -+-=-=

-=≥，--------------------9分 又11a =，∴数列{}n a 的通项公式是()n a n n *=∈N ．-----------------10分

（3）证明：∵数列{}n b 是首项为１，公比为c 的等比数列，∴1n n b c -=．---------11分 ∵2112222n n n A a b a b a b =++

+，2112222n n n B a b a b a b =-+-，

∴22113321212()n n n n A B a b a b a b --+=+++， ① 222244222()n n n n A B a b a b a b -=++

+， ②

①式两边乘以c 得 221234212()2()n n n n c A B a b a b a b -+=+++ ③

由②③得

()()()222222212434221232122

(1)(1)()222(1)

1n n n n n n n n n n n c A c B A B c A B a a b a a b a a b c c c c c c ----+=--+=-+-+

+-????

??=++

+?

?

-=

-

将2c =代入上式，得224

3(14)3

n n n A B +=

-．-------------------14分 另证: 先用错位相减法求,n n A B ,再验证2243(14)3

n

n n A B +=-.

∵数列{}n b 是首项为１，公比为2c =的等比数列，∴12n n b -=． --------------11分 又()n a n n *

=∈N ，所以

01212122222n n A n -=?+?+

+? ①

01212122222n n B n -=?-?+-? ②

将①乘以2得: 12222122222n n A n =?+?++? ③

①－③得: 20

1

21

2221(12)

222

222212

n n n

n n A n n ---=++

+-?=-?-,

整理得: 24(21)1n n A n =-+ -----------------------12分 将②乘以2-得: 12222122222n n B n -=-?+?-+? ④

②－④整理得: 20

1

2

21

2221(12)1432222

2222241(2)3

n n n n

n

n n B n n n ---=-+-

+-?=-?=-?--

-------------------13分

∴ 224

3(14)3

n n n A B +=- -------------------------14分