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行列式在几何中的应用(黄洁定稿) (1)

上饶师范学院

本科毕业论文

论文题目：行列式在解析几何中的应用专业：数学与应用数学

班级：09级数计学院（2）班学号：09010213

学生姓名：黄洁

指导教师姓名：谭海女

上饶师范学院数学与计算机科学学院

2013 年 4 月

行列式在解析几何中的应用

摘要

行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。作为基本的数学工具，无论是几何、线性代数、多项式理论，还是在微积分学中，它都有着重要的应用。本文根据行列式在解析几何中的应用进行相关讨论与探究，介绍了行列式应用产生的背景，特点，以及行列式在解析几何中应用的优点。

关键词

行列式；解析几何；代数。

一．预备知识

引言 .......................................................................................1 §1.1一些定义和基本定理............................................................1 二．运用行列式解决解析几何问题的几个结果及证明 (2)

y y y =0是经过不同两点P 1 (1x ,y 1),P 2(2,2x y )的直线的方程………2 §2.2 三顶点为A (1x ,y 1)，B （2,2x y )，C 3,3()x y 的三角形的面积S=1

3111

x y x y x y 的绝对值 (3)

§2.3 平面上三点(1x ,y 1)，（2,2x y )，3,3()x y 共线的充要条件是1

x y x y x y =0……4 §2.4 方程1110a x b y c ++=，2220a x b y c ++=，3330a x b y c ++=表示三直线共点

的必要条件是1

223

a b c a b c a b c =0.....................................................................5 三. 行列式在解析几何中应用的意义......................................................6 四．结语..........................................................................................6 五．致谢..........................................................................................6 参考文献 (7)

一、预备知识

引言：行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追随到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国的数学家戈特弗里德莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。

1545年，卡当在著作《大术》中给出了一种解两个一次方程的方法。而这在后来就演变成行列式了。

在解析几何中，许多问题的解决都需要运用高等代数中行列式的知识，行列式是解决解析几何问题的重要桥梁。因此行列式与矩阵知识可以帮助我们更加深入和广泛地研究解析几何的问题。为此先介绍一些基本知识。详细内容可参阅【1】，【2】，【3】。

§1.1 一些定义与基本定理

1212221

n n n nn

a a a a a a ??????等于所有取自不同行不同列的几个元素的

乘积1212...n j j nj a a a （1）的代数和，这里12...n j j j 是1,2，...，n 的一个排列，每一项（1）都按下列规则带有符号：当12...n j j j 时偶排列时，（1）带有正号；当12...n j j j 是奇排列时，（1）带有负号。这一定义可以写成

11121

222

2n n

n n nn

a a a a a

a a a ???????=

121212(...)12...(1)...n n n

j j j j j nj j j j a a a ?-∑

，其中

12...n

j j j ∑

表示对所有n 级排列求

和。

定义1.2 在行列式11

1212221

n n n nn

a a a a a a a a a ???????中划去元素ij

a 所在的第i 行与第j 列，剩

下的2

)1(-n 个元素按原来的排法构成一个

n-1级的行列式

j n j n n n i j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a ...

...

.................................

...

(1)

,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111+-+++-++-+----+-称为元素

a 的余子式

定理1.1 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。

二、运用行列式解决解析几何问题的几个结果及证明

行列式在解析几何中的应用可谓是非常广范的，大致可以分为三类：第一类：借助行列式解决平面几何的相关问题，例如，求通过定点的曲线方程，求平面上的三点是否共线，求平面上三点所围成三角形的面积等等；

第二类：借助行列式解决空间二次曲线的相关问题，例如，求二次曲线的特征根，二次曲线方程的化简等等；

第三类：借助行列式解决空间二次曲面的相关问题，例如，求二次曲面的主径面与主方向、特征方程与特征根，应用部变量化简二次曲面等等。

下面我们主要介绍第一类，借助行列式解决平面几何的相关问题。 §2.1

借助行列式解决平面几何中的面积问

定理1 1

y x y x y =0是经过不同两点P 1 (1x ,y 1),P 2(2,2x y )的直线的方程。证明：由行列式的定义知

112

x y x y x y =121221120xy x y x y x y x y y x ++---= ○

1 而由解析几何知识，知过两点P 1 (1x ,y 1),P 2(2,2x y )的直线的方程为

x-x y-y x-x y-y =，化简即1221212xy xy x y x y xy xy x y y x --+=--- ○

2 ○

2的两边同时消去xy ，并将左式移到右边，得 121221120xy x y x y x y x y y x ++---=与一式相同。

命题得证。

例1 三角形的顶点为A(3,3),B （-1，-5），C （-6,0），求它的AB 边的中线方程。

解：因为AB 边的中点为（1，-1）， C （-6,0），

y -=0，

即所求中线方程为760x y ++=。

定理2 三顶点为A (1x ,y 1)，B （2,2x y )，C 3,3()x y 的三角形的面积S=1

211223

3111

x y x y x y 的绝对值。

证明：在XOY 平面内，已知点A (1x ,y 1)，B （2,2x y )，C 3,3()x y 构成一个三角形，即?ABC ，求?ABC 的面积。

首先，自A ，B ，C 各作X 轴的垂线AD ，BE 和CF ，由图可知： ABC S ?= S 梯形ADFC +S 梯形BEFC -S 梯形ADEB

=111

()()()222AD CF DF CF BE FE AD BE DE +?++?-+?

=1331322312211

[()()()()()(]2y y x x y y x x y y x x +-++--+-

=1221133123321

[()()()]2x y x y x y x y x y x y ---+-

=11221

)2x y x y x y x y x y x y -+

而最后一个表达式恰好是一个三阶行列式的展开式，即ABC S ?=

1211223

x y x y x y 的绝对值。上式是以行列式表示的三角形面积公式。

例2 在以A （1,1），B （8,4），C （3,10）为顶点的三角形内线一点P ，使它与各顶点的连线构成的三个三角形PAB,PBC,PCA 的面积相等。

解：设点P 位为（x ，y ），则三角形PAB ，PBC ，PCA 的各顶点都是按逆时针方向排列的，所以有：

11184131018413101111

y x

y ==

即，得

{x y == 故所求的点是（4，5）。定理3 证明：双曲线的任何一个切线和它的渐近线所围成的三角形的面积是一个常数。

证明：设双曲线为

222

1x y a b -

=，则过点(1x ,y 1)的切线

112

1x y a b x y -

=与渐近线

b y a

x =±的交点为22

1111

(

,)a a bx bx b

b ay ay ++，22

1111

(

)a a bx bx b

b ay ay --，

∴2211

2211

100

11a b

ab bx ay bx ay S a b ab bx ay bx ay -++=

---=

332

2221

a b b x a y

因为点(1x ,y 1)在双曲线上，所以2

222

b x a y a b -=，3322

a S a

b ab b =

=（定

值）

即得结论双曲线的任何一条切线和它的渐近线所围成的三角形面积是一

个常数。

§2.2 借助行列式解决平面几何中的共线问题

定理4 平面上三点(1x ,y 1)，（2,2x y )，

3,3()x y 共线的充要条件是1

12233111

x y x y x y =0。

证明：可利用定理2的结论：三顶点为(1x ,y 1)，（2,2x y )， 3,3()x y 的三角

形面积S=

211223

x y x y x y ，在同一平面内，若三点共线则无法构成三角形，故S=0。

可得结论三点共线的充要条件是1

3111

x y x y x y =0。例4 过(,),(,),(,)A a b c B b c a C c a b +++三点是否可以确定一个平面？

解：由11

11011

a b c a a b c b c a b a b c c a b c a b c ++++=++=+++

∴ A ，B ，C 三点在同一直线上，故不能确定一个平面。

推论1 方程1110a x b y c ++=，2220a x b y c ++=，3330a x b y c ++=表示三直线共点的

必要条件是1

112

223

a b c a b c a b c =0 证明：设直线方程311112222333:0,:0,:0l l l a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++=，因为1l 与2l 的交点坐标可由

111222

00{a x b y c a x b y c ++=++= 解得：1122112

x c b c b a b a b =--，11

22112

y a c a c a b a b =--，

如果3l 与1l ，2l 共点，则1l 与2l 的交点坐标必能满足方程3333:0l a x b y c ++=。所以， 1111113

0b c a c a c a b c b c a c a c -+=，即1

223

a b c a b c a b c =0，上式就是三条互不平行的直线相交于一点的必要条件，简单说就是三线共点的必要条件。

例5 已知直线20x ky ++=经过两条直线3290x y +-=和10x -=

的交点，求K 的值。

解：因为直线20x ky ++=与3290x y +-=和10x -=共点，

所以12

3290101

k -=-， 1k ?=

推论2 双曲线的一条渐近线和经过焦点而垂直于这条渐近线的直线以及与这焦点相应的准线三线必共点。证明：设双曲线

222

1x y a b -

=，它的一条渐近线为bx ay o -=，则经过焦点(,0)c 而

垂直于bx ay o -=的直线为0ax by ac +-=，与焦点(,0)c 相应的准线为

20cx a -=。

因为22242242

()00

b a

c a c b a a a a c

a --=--=?-=- 又以上三直线斜率互不相等，互不平行，必然相交。以上三直线必相交于一点。

三、小

行列式是高等代数的一个重要内容，它的学习对于学生数学能力的培养具有重要的作用，为许多后续课程打下了基础。而代数与几何之间有许多相通之处，在行列式的学习中融入解析几何思想，可以使代数更为直观，方便学生了解掌握，同时可以更好地帮助学生解决在解析几何学习过程中所遇到的困难。

很多学生都知道，在学习解析几何中，我们经常会遇到一些这样的几何问题。如：求通过定点的曲线方程，求平面上的三点是否共线，求平面上三点所围成三角形的面积等等。像这些问题很多学生一般都只是运用几何里面的知识加以解答。但是，如果借助于行列式来研究这些问题，那我们可以更清楚而快捷的给以解决。

通过上面几个简单的例题介绍，使我们明白行列式在解析几何中有着广泛地应用，它使得对几何问题的讨论变得简洁明了，从而加深了代数与几何之间的融入和理解。总之，随着科学技术的迅猛发展及其数学化的趋势，行列式在初等数学中的应用必将越来越广泛。系统的研究行列式在初等数学中的应用，对于培养学生学习兴趣、巩固基础知识、锻炼和提高能力无疑使非常有益的。

【致谢】

向在百忙之中给予我细心指导，支持及协助的谭海女老师致以最衷心的感谢，

谭老师治学严谨的学术作风和一丝不苟的工作态度给我留下了深刻的印象，祝福她工作顺利，桃李满天下！参考文献：

【1】王仁发，高等代数与解析几何[M].北京：高等教育出版社。

【2】同济大学数学教研室，工程数学：线性代数[M]，北京：高等教育出版社，1999。【3】巩子坤，解析几何[M]，重庆：西南师范大学出版社，2004。

【4】郁金祥，刘锦萍，高等代数与解析几何的教学实践与认识[J]，高等理科教育，

2006年01期。

【5】汤茂林，行列式在初等代数中的巧用[J]，廊坊师范学院学报，2008（3）.9-10。

行列式的应用讲解

摘要行列式是数学研究中一类重要的工具之一，行列式最早出现在16世纪，用于解决线性方程组的求解问题。现在，行列式经过几世纪的发展已经形成了一整套完备的理论，并且在数学这门学科中占有很重要的位置。本论文通过对行列式理论和行列式在线性方程组和中学数学中的应用展开研究。首先论述了行列式的历史意义，其次展示了行列式在线性方程组中的应用以及在中学数学中的应用,重点论述了行列式在中学代数领域以及中学几何领域的应用。论文以求解线性方程组和解中学几何与代数问题为例，论述了行列式在实际中的应用。主要通过文献研究的方法对行列式的应用进行研究，充分阐释了行列式在不同方面的应用。关键词：行列式，线性方程组，中学代数，中学几何

The Application of The Determinant Abstract The determinant is one of a kind of important tools in mathematical research, determinant first appeared in the 16th century, used to solve linear equations to solve the problem. now, the determinant after centuries of development has formed a set of complete theory, and the mathematics occupies very important position in the subject. This paper based on the theory and determinant determinant in the system of linear equations and the application of the middle school mathematics study. First discusses the historical significance of determinant, the second shows the determinant in the application of linear equations, and the middle school mathematics, the application of the determinant is emphasized in the field of high school algebra and applied in the field of high school geometry. Paper to solve the linear system of equations and middle school geometry and algebra problem as an example, this paper discusses the determinant in the actual application. Mainly through the literature research methods to study the application of the determinant, fully illustrates the application of determinant in different aspects. Key words: determinant, system of linear equations, algebraic secondary school, high school geometry

行列式的计算方法及应用

本科生毕业论文题目: 行列式的计算方法及应用专业代码: 070102 作者姓名: 李延雪学号: 2007200676 单位: 2007 级 1 班指导教师: 孙守斌 2011年 5 月20 日

原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证明书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期指导教师签名: 日期

目录前言 (1) 1.行列式的定义及其表示 (1) 1.1 行列式的定义 (1) 1.2 行列式的表示 (3) 2.行列式的性质 (4) 3.行列式的计算方法 (6) 3.1加边法 (6) 3.2利用已知公式 (7) 3.3数学归纳法 (10) 3.4递推法 (11) 3.5构造法 (12) 3.6拆项法 (13) 4.行列式的应用 (13) 4.1行列式在证明微分中值定理中的应用 (13) 4.2 行列式在求逆矩阵中的应用 (15) 4.3行列式在多项式理论中的应用 (15) 4.4 行列式在解析几何中的应用 (16) 结语 (17) 参考文献 (18) 致谢 (19)

摘要行列式是研究高等代数的一个重要工具.在对行列式的定义及其性质研究的基础上,总结了计算行列式的几种常见方法：加边法、构造法、递推法、拆项法、数学归纳法等.另外,归纳了二条线性行列式、“两岸”行列式、上（下）三角形行列式、二条线叉型行列式及箭型行列式几类特殊行列式的计算公式.利用行列式证明明微分中值定理；并通过一些具体的实例介绍了行列式在求逆矩阵、求解几何图形方程和计算图形面积体积等多个方面的实际应用. 关键词：行列式；计算方法；行列式的应用

线性方程组解的几何意义

设有三元非齐次线性方程组线性方程组解的几何意义 ???????=++=++=++,,,)1(22221111m m m m d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 我们来讨论一下三元非齐次线性方程组解的几何意义.

2) 有唯一解这时方程组(1) 中的m 个方?? ???=+--=--=+,423, 32,123z y x y x z x 该方程组有唯一解.817,21,4 7??? ??--则方程组(1) 的解有以下三种情况: 1) 无解这时方程组(1) 中的m 个方程所表示的平面既不交于一点, 也不共线、共面. 程所表示的平面交于一点. 例如

其几何意义如图3 -11 所示. 2x-y=-3 3x+2z=-1 x-3y+2z=4 图3-11

交直线所确定.3) 有无穷多组解这时又可分为两种情形:情形一自由变量, 基础解系中有两个向量，其一般解的形式为 γ=c 1η1+ c 2η2+ γ0(c 1, c 2为任意常数).这时方程组的所有解构成一个平面, 而这个平面是由过点γ0且分别以η1、η2为方向向量的两条相A 的秩=A 的秩= 1 .此时，有两个γ=c 1η1+ c 2η2+ γ0 称为平面的参数方程.

例如, 设保留方程组为 x + y + z = 3, 则可求得其通解为 . 11110101121???? ? ??+????? ??-+????? ??-=c c x

则过点P (1,1,1) 分别以(1,-1,0)T , (1,0,-1)T 为方向,1 10111:,0 11111:21--=-=--=--=-z y x L z y x L 则这两条相交直线L 1, L 2所确定的平面的方程即向量的两直线的方程分别为为x + y + z = 3 . 如图3-12

华南理工大学线性代数与解析几何习题答案 (6)

《线性代数与解析几何》勘误表第1章：行列式 p.13, 例题 4.1: 解的第二个等号后，应加一个负号。 p.15,第三行（等号后）：去掉; p.17, 第7-8行: (t=1,2,…, j-1,j+1,…,n) p.19,倒数第4-5行：假设对于n-1阶范德蒙行列式V_{n-1}结论成立，… p ．20，第2行: D_{n-1}改为V_{n-1} p.20, 第6行,定理5.2中: 去掉“若”字 p.21, 倒数第3行： …展开代入而得, p.24,倒数第1行: (-1)的指数应为“1+2+…+k +1+2+…+k ” 习题1：第1题（2）答案有误：应为sin2x-cosx^2. 第6题（3）答案有误：（3） n(3n-1)/2, 当n=4k 或者n=4k+3时为偶数,当n=4k+1或4k+2时为奇数. 第10题（4）（5）答案有误：（4）（-1）^{（n-2）(n-1)/2}；（5）(-1)^{n-1}a_n 第11题（6）答案有误： ….,当a\neq 0时，D=(-1)^{n(n-1)/2}a^{n-2}[a^2-(n-1)x^2] p.26, 第12题（2）：改为： (33333) 3222 222111 111=+++++++++y x x z z y y x x z z y y x x z z y （3）： …= ;)1](2 )2)(1([1--+-+ n a n n a (4): …=.0 ∑=-n i i n i b a p.27, 第14题（4）：(此题较难，可以去掉！) 答案有误,应为： n x n )2 )(1( n +=,当yz x 42=。第15题答案有误：为60(11-2) p ．27, 第16题：去掉条件“若x_1+x_2+x_3+x_4=1,则” 第二章：矩阵 p.32, 第7行：称其为n 阶对角矩阵，….. p.35, 第5-6行： b_21和b_12互换位置（两处） p.36, 第7行：去掉“设 A ，B ，C 分别为….矩阵,”在第10行后增加：当然，这里假定了矩阵运算是有意义的. p.39, 第4行：就得到一个2*2的分块矩阵。 p.46,第2行: 去掉 ′（3个） p ．46，倒数 4-6行：… 为满秩的（或非奇异的，非退化的）,…为降秩的（或奇异的，退化的），… p.47,倒数第6-7行：去掉 “,n α”（3处）,另：本页的 ”T j T i αα,”均改

几种特殊行列式的巧算

几种特殊行列式的巧算摘要：在高等代数课程中，n阶行列式的计算问题非常重要，它是行列式理论的重要组成部分。计算n阶行列式的一般方法有：按行（列）展开,化三角行列式法，降阶法等。对于这些解法，高等代数课本已做了详细介绍，本文重点探索关于三对角，爪型等具有一定特征的行列式的计算，跟几种具有特殊解法的行列式（如范德蒙行列式）计算，突出一个“巧”字，从而提高解题速度。关键词：“三对角”行列式分离线性因子法“爪型”行列式范德蒙行列式等. 引言： n阶行列式

11121212221 2 n n n n nn a a a a a a a a a 是所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a 的代数和，其中12 n j j j 是一个n 阶排列，每个项1212n j j nj a a a 前面带有正负号.当12n j j j 是偶排列时，项1212n j j nj a a a 前面带有正号，当12 n j j j 是奇排列时，项12 12n j j nj a a a 前面带有负号.即 11 121212221 2 n n n n nn a a a a a a a a a = 121212 () 12() (1) .n n n j j j j j nj j j j a a a τ-∑ 这里 12 () n j j j ∑ 表示对所有的n 阶排行求和. 行列式的计算是高等代数的一个重要内容，同时也是在工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对行列式的几种特殊类型，给出了每一种类型特殊的计算方法，具体如下：一三对角行列式的计算形如 b a b a b a b a b a b a b a b a D n +++++= 0000000000000的行列式称为“三对角”行列式.该类行列式的计算方法有：猜想法, 递推法, 差分法.下面我们首先用猜想法来解一下这个行列式. 当b a ≠时 b a b a b a b a b a b a b a b D b a D n n ++++-+=- 000000000000)(1 =21 )(---+n n abD D b a . 即有递推关系式21)(---+=n n n abD D b a D ,为了得到n D 的表达式,可先设b a ≠,采用

行列式在几何中的应用(黄洁定稿) (1)

上饶师范学院本科毕业论文论文题目：行列式在解析几何中的应用专业：数学与应用数学班级：09级数计学院（2）班学号：09010213 学生姓名：黄洁指导教师姓名：谭海女上饶师范学院数学与计算机科学学院 2013 年 4 月行列式在解析几何中的应用

摘要行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。作为基本的数学工具，无论是几何、线性代数、多项式理论，还是在微积分学中，它都有着重要的应用。本文根据行列式在解析几何中的应用进行相关讨论与探究，介绍了行列式应用产生的背景，特点，以及行列式在解析几何中应用的优点。关键词行列式；解析几何；代数。

目录一．预备知识引言 .......................................................................................1 §1.1一些定义和基本定理............................................................1 二．运用行列式解决解析几何问题的几个结果及证明 (2) 1 12 21 11 x y y y =0是经过不同两点P 1 (1x ,y 1),P 2(2,2x y )的直线的方程………2 §2.2 三顶点为A (1x ,y 1)，B （2,2x y )，C 3,3()x y 的三角形的面积S=1 2 1 12 23 3111 x y x y x y 的绝对值 (3) §2.3 平面上三点(1x ,y 1)，（2,2x y )，3,3()x y 共线的充要条件是1 12 23 31 11 x y x y x y =0……4 §2.4 方程1110a x b y c ++=，2220a x b y c ++=，3330a x b y c ++=表示三直线共点的必要条件是1 11 2 223 3 3 a b c a b c a b c =0.....................................................................5 三. 行列式在解析几何中应用的意义......................................................6 四．结语..........................................................................................6 五．致谢..........................................................................................6 参考文献 (7)

行列式的计算及应用毕业论文

行列式的计算及应用毕业论文目录 1. 行列式的定义及性质 (1) 1.1 行列式的定义 (1) 1.1.1 排列 (1) 1.1.2 定义 (1) 1.2 行列式的相关性质 (1) 2. 行列式的计算方法 (5) 2.1 几种特殊行列式的结果 (5) 2.1.1 三角行列式 (5) 2.1.2 对角行列式 (5) 2.2 定义法 (5) 2.3 利用行列式的性质计算 (5) 2.4 降阶法 (6) 2.5 归纳法 (7) 2.6 递推法 (8) 2.7 拆项法 (9) 2.8 用德蒙德行列式计算 (10) 2.9 化三角形法 (10) 2.10 加边法 (11) 2.11 拉普拉斯定理的运用 (12) 2.12 行列式计算的Matlab实验 (13) 3. 行列式的应用 (15) 3.1 行列式应用在解析几何中 (15) 3.2 用行列式表示的三角形面积 (15) 3.3 应用行列式分解因式 (16) 3.4 利用行列式解代数不等式 (17) 3.5 利用行列式来证明拉格朗日中值定理 (17) 3.6 行列式在实际中的应用 (18) 总结 (20) 参考文献 (21) 附录1 (22) 附录2 (22)

附录3 (23) 谢辞 (24)

1. 行列式的定义及性质 1.1 行列式的定义 1.1.1 排列[1] 在任意一个排列中，若前面的数大于后面的数，则它们就叫做一个逆序，在任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数. 1.1.2 定义[1] n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 = 就相当于全部不同行、列的n 个元素的乘积 n nj j j a a a 2121 (1-1-1) 的代数和，这里n j j j 21是n ,,2,1 的一个排列，每一项（1-1-1）都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，（1-1-1）是正值，当n j j j 21是奇排列时，（1-1-1）是负值.这一定义可以表述为 n n n nj j j j j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 21212121) (21 22221 11211 )1(∑-= = τ ， (1-1-2) 这里 ∑ n j j j 21表示对所有n 级排列求和. 由于行列指标的地位是对称的，所以为了决定每一项的符号，我们也可以把每一项按照列指标排起来，所以定义又可以表述为 n i i i i i i i i i nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a D 21)(21 22221 11211 212121)1(∑-== τ. （1-1-3） 1.2 行列式的相关性质记 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 112 11 = ,nn n n n n a a a a a a a a a D 212 2212 12111 '=,

矩阵行列式的概念与运算

知识点总结：一、矩阵的概念与运算 1、矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、矩阵乘法不满足交换率，如111 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记 2 211b a b a 叫做方程组的系数

华南理工大学线性代数与解析几何试卷

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试（A 卷）《 2007线性代数》试卷 20分）（1）设A 是n m ?矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =无解的充分必要条件是：（2）已知可逆矩阵P 使得1cos sin sin cos P AP θθθ θ-??= ?-?? ，则12007 P A P -= （3）若向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t= （4）若A 为2n 阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，则*A = （5）设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ??????是A 的n 个特征根，则1n i i E A λ=-∑ = 选择题（共20分）（1）将矩阵n m A ?的第i 列乘C 加到第j 列相当于对A ： A ，乘一个m 阶初等矩阵， B ，右乘一个m 阶初等矩阵

C，左乘一个n阶初等矩阵，D，右乘一个n阶初等矩阵（2）若A为m×n 矩阵，B是m维非零列向量，()min{,} r A r m n =<。集合{:,}n M X AX B X R ==∈则 A，M是m维向量空间，B，M是n-r维向量空间 C，M是m-r维向量空间，D，A，B，C都不对（3）若n阶方阵A，B满足，22 A B =，则以下命题哪一个成立 A，A B =±，B，()() r A r B = C，det det A B =±，D，()() r A B r A B n ++-≤ （4）若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立： A，矩阵1A-为正交矩阵，B，矩阵-1A-为正交矩阵 C，矩阵*A为正交矩阵，D，矩阵-*A为正交矩阵（5）4n阶行列式 111 110 100 -???-- -???- ?????? -??? 的值为： A，1，B，-1 C，n D，-n 三、解下列各题（共30分） 1．求向量 5 1 3 β ?? ? =- ? ? ?? ，在基 123 111 0,1,1 101 ααα ?????? ? ? ? === ? ? ? ? ? ? ?????? 下的坐标。

浅谈行列式的计算方法x

浅一、特殊行列式法 1．定义法当行列式中含零元较多时，定义法可行．例1 计算n 级行列式 α β βαβαβα000000 0000 00 =D . 解：按定义，易见121,2,,,n j j j n === 或 1212,3,,,1n n j j j n j -==== . 得 11(1)n n n D αβ-+=+- 2．三角形行列式法利用行列式性质，把行列式化成三角形行列式． nn a a a a a a 000n 222n 11211＝nn n n a a a a a a 212212110 0112233nn a a a a = 例2 计算n 级行列式1231 131 211 2 3 1 n n x n D x n x +=++ 解：将n D 的第(2,3,,)i i n = 行减去第一行化为三角形行列式，则 1230 1000 0200 1 (1)(2)(1) n n x D x x n x x x n -=--+=---+

3．爪形行列式法例3 计算行列式 0121 1 220 0000n n n a b b b c a D c a c a = ()0,1,2,,i a i n ≠= 解: 将D 的第i +1列乘以（i i a c - ）都加到第1列()n i ,2,1=，得 10 12 120000000 00n i i n i i n bc a b b b a a D a a - =∑= ＝011()n n i i i i i i b c a a a ==-∑∏ 4．范德蒙行列式法 1 2 3 2 2221 2 3 11111 2 3 1111n n n n n n n a a a a D a a a a a a a a ----= 1()i j j i n a a ≤<≤= -∏ 例4 计算n 级行列式 2 2221233 333 1 2 3 12 3 11 1 1 n n n n n n n x x x x D x x x x x x x x = 解：利用D 构造一个1n +阶范德蒙行列式 12222 212121111()n n n n n n n x x x x g x x x x x x x x x = 多项式()g x 中x 的系数为3(1)n D +-，而()g x 又是一个范德蒙行列式，即 1 ()() n i i g x x x ==-∏∏≤<≤-n i j j i x x 1)(

行列式的性质及应用

题目 (1) 摘要 (1) 正文 (1) 一.问题的提出 (1) 二.排列 (1) 三.行列式 (1) 四.n阶行列式具有的性质 (2) 五.行列式的计算 (3) (一)数字型行列式的计算 (3) (二)行列式的概念与性质的例题 (6) (三)抽象行列式的计算 (6) (四)含参数行列式的计算 (7) A 的证明 (7) (五)关于0 (六)特殊行列式的解法 (8) (七)拉普拉斯定理 (9) 参考文献 (10) 致谢 (11) 外文页 (12) 行列式的性质及计算

王峰摘要在线性代数中,行列式是一个重要的基本工具,直接计算行列式往往是困难和繁琐的,特别当行列式的元素是字母时更加明显,因此熟练地掌握行列式的计算方法是非常重要的。行列式的重点是计算,应当在理解n 阶行列式的概念,掌握行列式性质的基础上,熟练正确地计算三阶,四阶行列式,也会计算简单的n 阶行列式的值.计算行列式的基本方法是:按行(列)展开公式,通过降阶来实现。但在展开之前往往先通过对行列式的恒等变形,以期新的行列式中能构造出较多的零或有公因式,从而可简化计算,行列式计算的常用技巧有，三角化法，递推法，数学归纳法，公式法。关键词三角化法递推法数学归纳法公式法一.问题的提出在实践中存在许多解n 元一次方程组的问题，如 ①11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? ②11112211121222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? 对于①我们可以解出,但对于②,我们有什么方法解出呢?我想可以用行列式的知识。二.排列定义1 由1.2……n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列。n 级排列的总数为 (1)(2)21!n n n n ?-?-?= （n 的阶乘个）。定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。例1 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性 134782695 解逆序数为10，是偶排列。三．行列式：定义（设为n 阶）：n 阶行列式是取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和，它由n !项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，12()n j j j τ 表示排列 12n j j j 的 12121211 12121222()121 2(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a A a a a a a a τ= = -∑

行列式计算及应用

行列式的计算及应用毕晟 100220120 数字印刷一班【摘要】通过了一年的线性代数学习，行列式是学习的重点，因而我对行列式的计算和应用进行总结性的说明，并借此对行列式进行复习。【关键字】行列式引言：行列式在本册书中极为重要，并且与其他的章节知识点比如矩阵求逆、向量组、方程等有紧密的联系,所以学好行列式是很重要的，通过这次论文，也可以对期末考试中的行列式问题进行必要的复习。一．行列式的计算 1. 定义法根据定义公式解行列式。例如：二阶行列式中 2 521 = 85221-=?-? 三阶行列式中 4 213212 51=215644158531132221221135421=---++=??-??-??-??+??+?? 2.化成三角形行列式法例求D ＝3 1 1 1的值 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 解D ＝3 1 1 1＝6 1 1 1 1 3 1 1 6 3 1 1 1 1 3 1 6 1 3 1 1 1 1 3 6 1 1 3 =1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 =1 1 1 1=48 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 3. 分解行列法若行列式的某行（列）是两行（列）的和，则可将行列式分解成两个行列式的和． 4.分离线性因子法此法是把行列式看成含于其中的一个或一些字母的多项式，变换

它，若发现：它可被一些线性因子所整除，如果这些因子互素，它也可被这些因子的积所整除，然后将行列式个别项与线性因子积的项比较，求用这乘积除行列式的商，从而求得行列式的表达式。 5. 递推关系式法此法是变换已知行列式，并按行或按列把它展开成较低阶的同类型的行列式的表示式。所得到的等式为递推关系式。在递推关系是右端出现几个低阶的行列式，然后就按行列式的一般形式计算几个低阶的行列式。更高阶的行列式逐次由递推关系式算出，在表达n 阶行列式的递推关系中，把在递推关系式中的n-1 换n 所得到的关于n-1 阶行列式的表达式代入；其次，把n-2 阶行列式的类似表达式代入，依此类推，直到所求n 阶行列式的一般表达式为止，递推关系式法是所研究的方法中最常用的方法，它适用与较复杂的行列式。 6.拆分法可以将行列式化简后，拆分为余子式进行计算。但计算量较大。二．行列式的应用 2.1 应用行列式解线性方程组（主要应用克莱姆法则，这里要注意应用的条件） 2.2 雅可比行列式在隐函数组中的应用 2．3 非奇异矩阵的判别 2．4 计算矩阵的秩。求行列式的值下面就我们学过的2.1和2.4进行解释说明：用行列式解方程分为线性齐次方程和线性非齐次方程例如2.1： 5 26421 43321321321=++=++=++x x x x x x x x x 于是可以用行列式表示： D=111642143 2156421411=D 1516221132=D 5 112421 433=D 所以 D D x 11= D D x 22= D D x 33= 2.4 A=0 141114 21 我们将其化简为最简阶梯型的行列式如：0 002102 01 则 R （A ）=2 三．总结行列式在线性代数中很重要，而它的应用也很广泛，对此，我们深入学习，就可以开拓思维、拓宽视野。

行列式的若干应用毕业论文

行列式的若干应用 The Number of Applications of The Determinants 专业: 数学与应用数学作者: 指导老师:

摘要行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下三个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式; 最后综述了行列式在解析几何中的若干应用. 关键词: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组

Abstract Determinant is a kind of important tools in the mathematical study, it is a very wide range of applications. In this paper, we have been to discuss from the following three aspects of the applications of the determinants: To explore the relationship between the determinant and linear equations and the application in the solution of linear equations; examples of the application of the determinant in algebra, such as the application of factorization, to prove that inequality and identity; in the final, we have made overview of the number of applications of the determinants in analytic geometry. Keywords:Determinant; Matrix; Linear equations; Rank; Factorization; Plane group; Point group

行列式论文

行列式计算方法总结及简单应用摘要：行列式的计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊例子进行推广。并举出了几种常见的行列式应用。关键词：行列式；范德蒙行列式；矩阵；特征植；拉普拉斯定理；析因法；辅助行列式法；行列式的应用；方程组；平面几何。 Abstract: The formulation of the various calculation methods, and examples of theirapplications, and to promote a number of special cases Cited several common determinant applications . Keywords: determinant; Vandermonde determinant; matrix; characteristics of plants;Laplace theorem; factorial method; secondary determinant method Determinant of the application; equations; plane geometry 引言计算方法变化多样，本科期间只能解决一些初等的基本的或者说是有规律的行列式。而其方法又分为简单和复杂。最复杂的情形就是：任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况下不用此法。当然也有列外，假设行列式中有许多零元素，可考虑此法，但也只是考虑。特别需要注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。本论文要介绍的是有规律可循的行列式计算。而在高代课本中行列式的应用包括了求解方程组，求矩阵的特征向量等等，本论文就不再赘述，本论文中给出的应用是我在做题过程中总结出的行列式考题中的一些常见的问题，以例题的形式给出，可以引发进一步的思考。

行列式的计算技巧与方法总结(同名4612)

行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0 004003002001000. 解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑 1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故 004003002001000=() () 241413223144321=-a a a a τ. 2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：

nn n n n a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211nn 333223221131211000000=，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a K Λ M O M M M K K K 22113 2133323122211100 0000=. 例2 计算行列式n n n n b a a a a a b a a a a ++= +K M O M M M K K 21 211211n 1 11 D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得 121n 11210000D 000n n n a a a b b b b b += =K K M M M O M K . 2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．

行列式计算的若干种方法讲解

中南民族大学毕业论文(设计) 学院: 数学与统计学学院专业: 统计学年级:2008 题目: 行列式计算的若干方法学生姓名: 曹金金学号:08067005

指导教师姓名: 汪宝彬职称:讲师 2012年4月30日

中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 作者签名：年月日

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1 引言 (2) 2.1排列 (2) 2.2行列式的定义 (2) 2.2.1 二阶、三阶行列式 (2) 2.2.2 n阶行列式的定义 (3) 2.2.3 几种特殊的行列式的定义 (3) 2.3 行列式的基本性质 (5) 3几种常见的行列式的计算方法 (6) 3.1利用行列式定义直接计算 (6) 3.2 利用行列式的性质计算 (6) 3.3 三角化法 (7) 3.4 降阶法 (8) 3.5利用范德蒙德行列式求解 (10) 3.6 数学归纳法 (11) 3.7 拆项法 (12) 3.8析因子法 (13) 3.9 加边法(升阶法) (13) 3.10递推公式法 (14) 3.11超范德蒙行列式法 (15) 3.12利用分块计算行列式 (16) 4 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (17)

行列式计算的若干方法摘要：在线性代数中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介绍行列式的定义与性质；然后通过实例给出了计算行列式的几种方法.从文中可以看出，选择合适的计算方法可有效的计算行列式. 关键词：行列式；性质；计算方法 Some Methods of Determinant Calculation Abstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paper we first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant. Key words: determinant; property; the calculation methods

行列式在几何中的应用(黄洁定稿) (1)

行列式的应用讲解

行列式的计算方法及应用

线性方程组解的几何意义

华南理工大学 线性代数与解析几何 习题答案 (6)

几种特殊行列式的巧算

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矩阵行列式的概念与运算

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最新几种特殊类型行列式及其计算

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