2018年浙江中考复习难题突破专题九：二次函数为背景的动态问题
难题突破专题九 二次函数为背景的动态问题
以函数为背景的动态问题是近年来中考的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来解．
类型1 动态下的面积最值问题
图Z 9－1
1 如图Z 9－1，抛物线y ＝12x 2－3
2x －9与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连结BC ，A C.
(1)求AB 和OC 的长；
(2)点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动(点E 与点A ，B 不重合)，过点E 作直线l 平行于BC ，交AC 于点D .设AE 的长为m ，△CDE 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并写出△CDE 面积的最大值．
例题分层分析
(1)已知抛物线的函数表达式，当x ＝0时，可确定C 点坐标；当y ＝0时，可确定点A ，B 的坐标，进而确定AB ，
OC 的长．
(2)①首先用m 列出△AEC 的面积表达式为__________；
②再根据直线l ∥BC ，可得出△AED 与△ABC 相似，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到△AED 的面积表达式为__________；
③△AEC 与△AED 的面积差即为△CDE 的面积，则△CDE 的面积S ＝________，根据二次函数的性质可得到S 的最大值．
解题方法点析
解此类问题的关键在于通过三角形相似、三角形面积公式以及面积转化等方法求出所求图形的面积表达式，然后根据函数性质求最值．
类型2 二次函数与几何图形综合型动态问题
2 如图Z 9－2所示，在平面直角坐标系中，已知点A (0，2)，B (－2，0)，过点B 和线段OA 的中点C 作直线BC ，
以线段BC 为边向上作正方形BCDE .
(1)填空：点D 的坐标为________，点E 的坐标为________；
(2)若抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)经过A ，D ，E 三点，求该抛物线的函数表达式；
(3)若正方形和抛物线均以每秒5个单位长度的速度沿射线BC 同时向上平移，直至正方形的顶点E 落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动．
①在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面积为S ，求S 关于平移时间t (秒)的函数表达式，并写出相应自变量t 的取值范围；
②运动停止时，求抛物线的顶点坐标．
图Z 9－2
例题分层分析
(1)构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D ，E 的坐标． (2)利用________法求出抛物线的函数表达式．
(3)①为求S 的函数表达式，需要识别正方形(与抛物线)的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时32秒，
期间可以划分成三个阶段：当0＜t ≤1
2时，当________时，当________时，每个阶段的函数表达式不同，请对照图形认
真思考；
②当运动停止时，点E 到达________，点E (－3，2)运动到点E ′? ??
??0，72，可知整条抛物线向右平移了________个单位长度，向上平移了________个单位长度．由此得到平移之后的抛物线的函数表达式，进而求出其顶点坐标．
专 题 训 练
1．[2017·丽水] 如图Z 9－3①，在△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2 cm /s 的速度沿折线A －C －B 运动，点Q 从点A 出发以a (cm /s )的速度沿AB 运动．P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x (s )，△APQ 的面积为y (cm 2
)，y 关于x 的函数图象由C 1，C 2两段组成，如图②所示．
(1)求a 的值；
(2)求图②中图象C 2段的函数表达式；
(3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围．
图Z9－3
2．[2017·广安] 如图Z9－4，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴相交于点A(0，3)，与x轴正半轴相交于点B，对称轴是直线x＝1.
(1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
(2)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M，N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形？
②当t>0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
图Z9－4
3．[2017·金华] 如图Z 9－5①，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别为O (0，0)，A (3，3 3)，
B (9，5 3)，
C (14，0)，动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线OA —AB —BC 运动，在OA ，AB ，BC 上运动的速度分别为3，3，52
(单位长度/秒)．当P ，Q 中的一
点到达C 点时，两点同时停止运动．
(1)求AB 所在直线的函数表达式；
(2)如图②，当点Q 在AB 上运动时，求△CPQ 的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值； (3)在P ，Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值．
图Z 9－5
参考答案
类型1 动态下的面积最值问题
例1 【例题分层分析】(2)①S △ACE ＝92m ②S △ADE ＝12m 2 ③92m －12m 2
解：(1)已知抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－3
2x －9，
当x ＝0时，y ＝－9，则C (0，－9)；
当y ＝0时，12x 2－3
2x －9＝0，得x 1＝－3，x 2＝6，则A (－3，0)，B (6，0)，
∴AB ＝9，OC ＝9. (2)∵ED ∥BC ， ∴△AED ∽△ABC ， ∴S △AED S △ABC ＝? ??
??AE AB 2
，
∴S △AED
1
2
×9×9＝? ??
??m 92
， ∴S △ADE ＝12
m 2
.
∵S △ACE ＝12AE ·OC ＝12m ×9＝9
2m ，
∴S ＝S △ACE －S △ADE ＝92m －12
m 2
，
∴当m ＝92时，S 取得最大值，最大值为81
8.
类型2 二次函数与几何图形综合型动态问题
例2 【例题分层分析】(2)待定系数 (3)①12＜t ≤1 1＜t ≤32 ②y 轴 3 3
2
解：(1)由题意可知：OB ＝2，OC ＝1.
如图所示，过点D 作DH ⊥y 轴于点H ，过点E 作EG ⊥x 轴于点G
.
易证△CDH ≌△BCO ，
∴DH ＝OC ＝1，CH ＝OB ＝2，∴D (－1，3)． 同理△EBG ≌△BCO ，
∴BG ＝OC ＝1，EG ＝OB ＝2，∴E (－3，2)． ∴D (－1，3)，E (－3，2)．
(2)因为抛物线经过点A (0，2)，D (－1，3)，E (－3，2)，
所以????
?c ＝2，a －b ＋c ＝3，9a －3b ＋c ＝2，解得
?????a ＝－12
，
b ＝－32，
c ＝2，
∴抛物线的函数表达式为y ＝－12x 2－3
2x ＋2.
(3)①当点D 运动到y 轴上时，t ＝1
2.
当0＜t ≤1
2时，如图(a )所示．
设D ′C ′交y 轴于点F ，
∵tan ∠BCO ＝OB
OC ＝2，又∠BCO ＝∠FCC ′，
∴tan ∠FCC ′＝2，即FC′
CC′
＝2.
∵CC ′＝5t ， ∴FC ′＝2 5t ，
∴S △C C ′F ＝12CC ′·FC ′＝12×5t ×2 5t ＝5t 2
.
当点B 运动到点C 时，t ＝1. 当1
2
＜t ≤1时，如图(b )所示． 设D ′E ′交y 轴于点G ，过点G 作GH ⊥B ′C ′于点H . 在Rt △BOC 中，BC ＝22
＋12
＝5， ∴GH ＝5，∴CH ＝12GH ＝5
2.
∵CC ′＝5t ，∴HC ′＝5t －52
， ∴GD ′＝5t －
52
， ∴S 梯形C C ′D ′G ＝12(5t －52＋5t )×5＝5t －5
4.
当点E 运动到y 轴上时，t ＝3
2.
当1＜t ≤3
2
时，如图(c )所示．
设D ′E ′，E ′B ′分别交y 轴于点M ，N ， ∵CC ′＝5t ，B ′C ′＝5， ∴CB ′＝5t －5，
∴B ′N ＝2CB ′＝2 5t －2 5. ∵B ′E ′＝5，
∴E ′N ＝B ′E ′－B ′N ＝3 5－2 5t ， ∴E ′M ＝12E ′N ＝1
2
(3 5－2 5t )，
∴S △MNE ′＝12×12(3 5－2 5t )·(3 5－2 5t )＝5t 2
－15t ＋454
，
∴S 五边形B ′C ′D ′MN ＝S 正方形B ′C ′D ′E ′－S △MNE ′＝(5)2－? ????5t 2－15t ＋454＝－5t 2
＋15t －254.
综上所述，S 关于t 的函数关系式为： 当0＜t ≤12时，S ＝5t 2
；
当12＜t ≤1时，S ＝5t －54； 当1＜t ≤32时，S ＝－5t 2
＋15t －254
.
②当点E 运动到点E ′时，运动停止，如图(d )所示． ∵∠CB ′E ′＝∠BOC ＝90°，∠BCO ＝∠B ′CE ′， ∴△BOC ∽△E ′B ′C ， ∴
OB B′E′＝BC
E′C
. ∵OB ＝2，B ′E ′＝BC ＝5， ∴2
5＝5E′C
，∴CE ′＝52，
∴OE ′＝OC ＋CE ′＝1＋52＝7
2
，
∴E ′? ??
??0，72. 由点E (－3，2)运动到点E ′? ????0，72，可知整条抛物线向右平移了3个单位长度，向上平移了32个单位长度． ∵y ＝－12x 2－32x ＋2＝－12? ????x ＋322＋25
8
，
∴原抛物线的顶点坐标为? ????－32，258，
∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为? ??
??32，378. 专题训练
1．解：(1)如图①，过点P 作PD ⊥AB 于点D .
∵∠A ＝30°，PA ＝2x ， ∴PD ＝PA ·sin30°＝2x ·1
2
＝x ，
∴y ＝12AQ ·PD ＝12ax ·x ＝12ax 2.由图象得，当x ＝1时，y ＝12，则12a ·12
＝12
，∴a ＝1.
(2)当点P 在BC 上时(如图②)，PB ＝5×2－2x ＝10－2x ，∴PD ＝PB ·sin B ＝(10－2x )·sin B ．∴y ＝12AQ ·PD ＝
1
2
x ·(10－2x )·sin B ．由图象得，当x ＝4时，y ＝4
3，∴12×4×(10－8)sin B ＝43，∴sin B ＝13
，
∴y ＝12x ·(10－2x )·13＝－13x 2＋5
3
x .
(3)由C 1，C 2的函数表达式，得12x 2＝－13x 2＋53x ，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2.由图象得，当0≤x ≤2时，函数y ＝12x
2
的最大值为y ＝12×22＝2.将y ＝2代入函数y ＝－13x 2＋53x ，得2＝－13x 2＋5
3x ，解得x 1＝2，x 2＝3，∴由图象得，x 的取
值范围是2＜x ＜3.
2．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，∴c ＝3. ∵对称轴是直线x ＝1，∴－b
2×（－1）
＝1，
解得b ＝2，
∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3. 令y ＝0，得－x 2
＋2x ＋3＝0，
解得x 1＝3，x 2＝－1(不合题意，舍去)， ∴点B 的坐标为(3，0)．
(2)①由题意得ON ＝3t ，OM ＝2t ，则点P (2t ，－4t 2
＋4t ＋3)， ∵四边形OMPN 为矩形，
∴PM ＝ON ，即－4t 2
＋4t ＋3＝3t ， 解得t 1＝1，t 2＝－3
4(不合题意，舍去)，
∴当t ＝1秒时，四边形OMPN 为矩形． ②能，在Rt △AOB 中，OA ＝3，OB ＝3， ∴∠ABO ＝45°.
若△BOQ 为等腰三角形，则有三种情况： 若OQ ＝BQ ，如图①所示， 则M 为OB 中点，OM ＝12OB ＝3
2，
∴t ＝32÷2＝3
4
(秒)；
若OQ ＝OB ，∵OA ＝3，OB ＝3，
∴点Q 与点A 重合，即t ＝0(不合题意，舍去)； 若OB ＝BQ ，如图②所示，则BQ ＝3， ∴BM ＝BQ ·cos45°＝3×
22＝3 2
2
， ∴OM ＝OB －BM ＝3－3 22＝6－3 2
2
，
最新最新中考二次函数动点问题(含答案)
二次函数的动点问题 1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求正方形ABCD 的边长． （2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度． （3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =o ∠的点P 有 个． （抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ?? -- ??? ，．
[解] （1）作BF y ⊥轴于F ． ()()01084A B Q ，，，， 86FB FA ∴==，． 10AB ∴=． （2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又1010101AB =÷=Q ，． P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位． （3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥． GA AP FA AB ∴ =，即610 GA t =． 35GA t ∴=． 3 105OG t ∴=-． 4OQ t =+Q ， ()113410225S OQ OG t t ? ?∴= ??=+- ?? ?．
2018年中考数学真题汇编：二次函数(含答案)
中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 （） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D.
【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点 和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④ （为实数）；⑤当时，，其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A
2018年山东十七地市数学中考题二次函数解答题
2019年山东十七地市数学中考题二次函数解答题 1．（2018德州）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D． （1）求m、n的值及该抛物线的解析式； （2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD 的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD 相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2（2018东营）．（12分）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． （1）求线段OC的长度； （2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2018菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D． （1）求此抛物线的表达式； （2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积； （3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．
中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ； （3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】 （1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可； （2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可； （3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】
最新中考二次函数---利润问题教学提纲
中考二次函数利润问题 题型一、与一次函数结合 1、某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元). (1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式. (2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150 元的销售利润,销售价应定为多少元? 2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数． (1)试求y与x之间的关系式； (2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？
题型二、寻找件数之间的关系 （一）售价为未知数 1、某商店购进一批单价为18元的商品，如果以单价20元出售，那么一个星期可售出100件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即当销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，如何提高销售单价，才能在一个星期内获得最大利润？最大利润是多少？ 2、某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个。在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个。考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角。设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）。 ⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数； ⑵求y与x之间的函数关系式； ⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？
2018年中考数学真题汇编二次函数含答案
1 / 17 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是
( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 2 / 17 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac
二次函数2015中考试题集锦.
二次函数 （一）、二次函数的平移 1.（2015湖北荆州第4题3分）将抛物线y =x 2﹣2x +3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ） A ．y =（x ﹣1）2+4 B ．y =（x ﹣4）2+ 4 C ．y =（x +2）2+6 D ．y =（x ﹣4）2+6 2.（2015?山东临沂,第13题3分）要将抛物线平移后得到抛物线 ，下列平移方法正确的是（ ） (A ) 向左平移1个单位，再向上平移2个单位. (B ) 向左平移1个单位，再向下平移2个单位. (C ) 向右平移1个单位，再向上平移2个单位. (D ) 向右平移1个单位，再向下平移2个单位. 3.（2015上海,第12题4分）如果将抛物线y ＝x 2＋2x －1向上平移，使它经过点A (0，3)，那么所得新抛物线的表达式是_______________． （二）、二次函数的性质 1.（2015湖南邵阳第18题3分）抛物线y =x 2+2x +3的顶点坐标是 （﹣1，2） ． 2. （2015?四川乐山,第6题3分）二次函数的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．（2015·湖南省益阳市，第8题5分）若抛物线y =（x ﹣m ）2+（m +1）的顶点在第一象限，则m 的取值范围为（ ） A ． m ＞1 B ． m ＞0 C ． m ＞﹣1 D ． ﹣1＜m ＜0 4．(2015?江苏苏州,第8题3分)若二次函数y =x 2＋bx 的图像的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx =5的解为 A ．120,4x x == B ．121,5x x == C ．121,5x x ==- D ．121,5x x =-= 5．（2015·四川甘孜、阿坝，第9题4分）二次函数y =x 2+4x ﹣5的图象的对称轴为（ ） A ．x =4 B ．x =﹣4 C ．x =2 D ．x =﹣2 （三）、二次函数a 、b 、c 符号的确定 1.（2015?山东莱芜,第9题3分）二次函数的图象如图所示， 则一次函数的图象不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
历届二次函数中考题集锦
历届中考二次函数试题精选 一、填空题 1．（2012?烟台）已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．（2012泰安）设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ） A ．213y y y >> B ．312y y y >> C ．321y y y >> D ．312y y y >> 3．（2012潜江）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0； ④8a+c＞0．其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 4. （2011湖北襄阳）已知函数12)3(2 ++-=x x k y 的图象与x 轴有交 点，则k 的取值范围是（ ） A.4 A ．31≤≤-x B ．31<<-x C ．31>- 2021年广东省中考数学总复习第15讲：二次函数 一．选择题（共27小题） 1．（2020?广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论： ①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0， 正确的有（） A．4个B．3个C．2个D．1个2．（2020?深圳）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（） A．abc＞0 B．4ac﹣b2＜0 C．3a+c＞0 D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根 3．（2020?广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（） A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3 4．（2020?禅城区二模）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式﹣2m2+2m+2020的值为（） A．2018B．2019C．2020D．2021 5．（2020?深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2020?盐田区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A．abc＞0B．a+b+c＝0C．4a﹣2b+c＜0D．b2﹣4ac＜0 7．（2020?南沙区一模）已知A（﹣3，y1），B（?3 2，y2），C（1，y3）为二次函数y＝﹣x 2 ﹣4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（） A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 8．（2020?罗湖区一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（） A．b2＜4ac B．ac＞0C．a﹣b+c＝0D．2a﹣b＝0 9．（2020?福田区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x ＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x2＜1，有下列结论：①b2﹣4ac＞0； ②4a﹣2b+c＞﹣1；③﹣3＜x1＜﹣2；④当m为任意实数时，a﹣b≤am2+bm；⑤3a+c ＝0．其中，正确的结论有（） 二次函数压轴题精选 1．如图，二次函数c x y +- =221的图象经过点D ??? ? ? -29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值； ⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用） 2．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ． （1）求证： AH AD ＝ EF BC ； （2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值； （3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点 C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面 积为S ，求S 与t 的函数关系式． 3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝1 6x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点 （1）求该抛物线的解析式； （2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点 P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横 坐标；若不存在，请说明理由 2018中考数专题二次函数 (共40题) 线于点G . (1 )求抛物线 y= - x 2+bx+c 的表达式; (2)连接GB , E0,当四边形GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标; (3)①在y 轴上存在一点 H ,连接EH , HF ,当点E 运动到什么位置时，以 A , E , 顶点的四边形是矩形？求出此时点 E , H 的坐标; ②在①的前提下，以点 E 为圆心，EH 长为半径作圆，点 M 为O E 上一动点，求 (x -3)与x 轴交于A , B 两点，与y 轴的正半轴交于点 C,其 (1) 写出C, D 两点的坐标(用含 a 的式子表示); (2 )设 & BCD ： Sz\ABD =k ,求 k 的值； (3)当厶BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式. 1.如图，抛物线 y=- x 2+bx+c 与直线AB 交于A (- 4, - 4) , B (0, 4)两点，直线 -_ x 2 -6交y 轴于点C .点E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作EF 丄x 轴交AC 于点F , AC: y= 交抛物 F ，H 为 AM+CM 它 顶点为D . 3.如图，直线y=kx+b ( k 、b 为常数)分别与 x 轴、y 轴交于点A (- 4, 0)、B (0, 3),抛 物线y=- X 1 2+2X +1与y 轴交于点 C . (1) 求直线y=kx+b 的函数解析式; (2) 若点P ( X , y )是抛物线y=- X 2+2X +1上的任意一点，设点 P 到直线AB 的距离为d , 求d 关于x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点P 的坐标; (3)若点E 在抛物线y=- X 2+2X +1的对称轴上移动，点 F 在直线AB 上移动，求CE+EF 的最 1 求此抛物线的解析式以及点 B 的坐标. 2 动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 X 轴正方向运动，同时动点 N 从 点O 出发，以每秒3个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，当 N 点到达A 点时，M 、N 同 时停止运动.过动点 M 作X 轴的垂线交线段 AB 于点Q ,交抛物线于点 P ,设运动的时间为 t 秒. ① 当t 为何值时，四边形 OMPN 为矩形. ② 当t >0时，△ BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由. (0, 3),与X 正半轴相交于点 B,对 称轴是直线X =1 1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标； （4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标． 2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）． 已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）． （1）求d（点O，△ABC）； （2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围； （3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）． （1）求线段AB的长； （2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点 H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值； （3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M． ①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标． 2015年中考真题初中数学---二次函数（1） 一．选择题（共30小题） 1．（2015?兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（） A ．y=3x﹣1 B ． y=ax2+bx+c C ． s=2t2﹣2t+1 D ． y=x2+ 2．（2015?宁夏）函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（） A ．B ． C ． D ． 3．（2015?锦州）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（） A ．B ． C ． D ． 4．（2015?沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（） A ．B ． C ． D ． 5．（2015?泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（） A ．B ． C ． D ． 6．（2015?安徽）如图，一次函数y 1=x 与二次函数y 2=ax 2 +bx+c 图象相交于P 、Q 两点，则 函数y=ax 2 +（b ﹣1）x+c 的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．（2015?咸宁）如图是二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2 +bx+c 的最大值为4； ②4a+2b+c ＜0； ③一元二次方程ax 2 +bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0． 其中正确的个数有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 8．（2015?衢州）下列四个函数图象中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的是（ ） A ． B ． C ． D ． x D x O y A y x O B y x O O y C 2018年中考江苏十三市二次函数汇编 1. （常州）已知函数2 2y x x c =-++的部分图象如图所示,则c=______,当x______时,y 随x 的增大而减小. 2．宿迁在平面直角坐标系中,函数1+-=x y 与 2)1(2 3 --=x y 的图象大致是 3、泰州二次函数342 ++=x x y 的图象可以由二次函数 2 x y =的图象平移而得到，下列平移正确的是 A 、先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B 、先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C 、先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D 、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 4、（常州）如图,抛物线2 4y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O ,它的顶点为A ,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l ,设P 是直线l 上一动点. (1) 求点A 的坐标; (2) 以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写 出这些特殊四边形的顶点P 的坐标; (3) 设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当 462682S +≤≤+时,求x 的取值范围. 5、徐州.已知二次函数的图象以A （－1，4）为 （第7题） o x 13l y x -1-2 -1 -2 -4 -3 1 24 3 5123 顶点，且过点B（2，－5） ①求该函数的关系式； ②求该函数图象与坐标轴的交点坐标； ③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′， 求△O A′B′的面积. 27.解：（1）223 y x x =--+ （2）（0,3），（－3,0），（1,0） （3）略 6、南京26．（8分）已知二次函数2 y x bx c =++中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x (1) -01234… y…1052125… （1）求该二次函数的关系式； （2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？ （3）若 1 () A m y ，， 2 (1) B m y +，两点都在该函数的图象上，试比较 1 y与 2 y的大小． 7、镇江．福娃们在一起探讨研究下面的题目： 参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（） 贝贝：我注意到当0 x=时，0 y m =>． 晶晶：我发现图象的对称轴为 1 2 x=． 欢欢：我判断出 12 x a x <<． 迎迎：我认为关键要判断1 a-的符号． 函数2 y x x m =-+（m为常数）的图象如左图， 如果x a =时，0 y<；那么1 x a =-时，函数值（） A．0 y 二次函数中含45度角题型 1. 如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ， 两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°， 求点P 的坐标． 2. 如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数22 53 y x b x =-++的图像与x 轴、y 轴的公共点分 别为A （5，0）、B ，点C 在这个二次函数的图像上，且横坐标为3． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求∠BAC 的正切值； （3）如果点D 在这个二次函数的图像上， 且∠DAC = 45°，求点D 的坐标． A C D O x y （第24题图） B Q P M A B C O y x 3．如图10，已知抛物线 c bx x y ++-=2过点A （2，0），对称轴为y 轴，顶点为P . (1) 求该抛物线的表达式，写出其顶点P 的坐标，并画出其大致图像； (2) 把该抛物线先向右平移m 个单位，再向下平移m 个单位(m > 0 )，记新抛物线的顶点为B ，与y 轴的交点为C . ① 试用m 的代数式表示点B 、点C 的坐标； ② 若∠OBC =45°，试求m 的值. 4．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题9分） 如图，抛物线22y ax ax b =-+经过点30,2C ? ?- ?? ?，且与x 轴交于点A 、点B ，若 2 3 tan ACO ∠= ． （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为M ，点P 是线段OB 上一动点（不与点B 重合），45MPQ ∠=，射线PQ 与线段BM 交于点Q ，当△MPQ 为等腰三角形时，求点P 的坐标． y A O x ( 图10 ) 1 1 二次函数压轴题精讲 1．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 例1. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴的交点分 别为A、B，将∠对折，使点O的对应点H落在直线上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的对称轴与直线的交点为T，Q为线段上一点，直接写出﹣的取值范围． 2．如图，直线2与抛物线26（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线 段上异于A、B的动点，过点P作⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△为直角三角形时点P的坐标． 中考复习《二次函数的综合》精选 1．如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点D ??? ? ? -29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值； ⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用） 解：⑴ ∵抛物线经过点D (2 9 ,3-) ∴29)3(212=+-?-c ∴c=6. ⑵过点D 、B 点分别作AC 的垂线，垂足分别为E 、F ，设AC 与BD 交点为M ， ∵AC 将四边形ABCD 的面积二等分，即：S △ABC =S △ADC ∴DE =BF 又∵∠DME =∠BMF ， ∠DEM =∠BFE ∴△DEM ≌△BFM ∴DM =BM 即AC 平分BD ∵c =6. ∵抛物线为621 2+-=x y ∴A （0,32-）、B （0,32） ∵M 是BD 的中点 ∴M （ 4 9 ,23） 设AC 的解析式为y =kx +b ，经过A 、M 点 ∴ ? ? ? ? ? = + = + - 4 9 2 3 3 2 b k b k 解得 ? ? ? ?? ? ? = = 5 9 10 3 3 b k ∴直线AC的解析式为 5 9 10 3 3 + =x y. ⑶存在．设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AQN中，易得AN=43，于是以A点为圆心，AB=43为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP． 2．已知一次函数y＝1 2 1 + x的图象与x轴交于点A．与y轴交于点B；二次函数c bx x y+ + =2 2 1 图象与一次函数y＝1 2 1 + x的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点的坐标为)0,1(（1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEF的面积S； （3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）∵由题意知:当x=0时,y=1, ∴B（0，1）,当y=0时,x=－2, ∴A（－2，0） ∴ ?? ? ? ? = + + = 2 1 1 c b c 解得 ?? ? ? ? - = = 2 3 1 b c ,所以1 2 3 2 1 2+ - =x x y （2）当y=0时, 0 1 2 3 2 1 2= + -x x,解得x1=1,x2=2,∴D(1,0) E(2,0) ∴AO=3,AE=4. S=S△CAE －S△ABD，S=OB AD AE? - ? 2 1 3 2 1 ，S=4.5, (3)存在点P(a,0),当P为直角顶点时,如图,过C作CF⊥x轴于F, ∵Rt△BOP∽Rt△PFC, 由题意得，AD＝6，OD＝1，易知，AD∥BE， 初中数学二次函数难题汇编 一、选择题 1．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【答案】B 【解析】 【分析】 利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】 解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得 01442b c b c =-+?? =++? 解得：13 23b c ? =????=-?? ∴二次函数的解析式为：2 21212533636 ??=+-=+ ???-y x x x ∴当x=16-时，y 的最小值为25 36 -，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意； C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得 1 2 01b b c ?-=???=-+? 解得：23b c =-??=-? ∴223y x x =-- 当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】 此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键． 2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（ ） A ．①④ B ．②④ C ．②③ D ．①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】 ①抛物线与x 轴由两个交点，则240b ac ->，即24b ac >，所以①正确；②由二次函数图象可知，0a <，0b <，0c >，所以0abc >，故②错误； ③对称轴：直线12b x a =- =-，2b a =，所以24a b c a c +-=-，240a b c a c +-=-<，故③错误； ④对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴一个交点132x -<<-，则抛物线与x 轴另一个交点201x <<，当1x =时，0y a b c =++<，故④正确． 【详解】 解：①∵抛物线与x 轴由两个交点， ∴240b ac ->， 即24b ac >， 所以①正确； ②由二次函数图象可知， 0a <，0b <，0c >， 1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P，N． ①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； ②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值． 2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′． （1）求抛物线C的函数表达式； （2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围． （3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由． 3．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M 的关联点． （1）当⊙O的半径为2时， ①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是． ②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B （3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C． （1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式； （2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值． 5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x 轴的垂线，垂足为E，连接BD．广东省中考数学总复习第15讲：二次函数
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