中考数学二次函数专题总复习学生用
二次函数专题复习
一、中考要求：
1．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
2．能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考和语言表达能力；能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系．
3．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验． 4．能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．
5．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 6．能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测． 二、中考卷研究
(一)中考对知识点的考查：
部分省市课标中考涉及的知识点如下表:
(二)中考热点：
二次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，本章主要考查二次函数的概念、图象、性质及应用，这些知识是考查学生综合能力，解决实际问题的能力．因此函数的实际应用是中考的热点，和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题．
三、中考命题趋势及复习对策
二次函数是数学中最重要的内容之一，题量约占全部试题的10％～15％，分值约占总分的10％～15％，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查学生的计算能力，逻辑思维能力，空间想象能力和创造能力。
针对中考命题趋势，在复习时应首先理解二次函数的概念，掌握其性质和图象，还应注重其应用以及二次函数与几何图形的联系，此外对各种函数的综合应用还应多加练习.
考点1：二次函数的图象和性质
一、考点讲解：
1．二次函数的定义：形如
c bx ax y ++=2
（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数． 2．二次函数的图象及性质：
⑴ 二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。
⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a ；当a ＞0时，抛物线开
口向上，图象有最低点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2b
a ，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2b
a ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2b
a ，y 随x 的增大而增大．
注意：分析二次函数增减性时，一定要以对称轴为分界线。首先要看所要分析的点是否是在对称轴同侧还是异侧，然后再根据具体情况分析其大小情况。 解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（y x ,1），（y x ,2），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线2
21x x x +=。
⑶ 当a ＞0时，当x=－2b
a 时，函数有最小值
244ac b a -；当a ＜0时，当 x=－2b
a
时，函数有最大值2
44ac b a -。
3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．
⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．
⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．
⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同． 注意：二次函数y=ax 2 与y =－ax 2 的图像关于x 轴对称。平移的简记口诀是“上加下减，左加右减”。 一、 经典考题剖析： 【考题１】（2009、贵阳）.抛物线y =-4(x +2)2+5的对称轴是______ 【考题2】（2009、宁安）函数y= x 2－4的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A.（2，0） B.（－2，0） C.（0，4） D.（0，－4）
【考题３】在平面直角坐标系内，如果将抛物线2
2x y =向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后二次函数的关系式是（）
Ａ．3)2(22+-=x y Ｂ．3)2(22++=x y Ｃ．3)2(22-+=x y Ｄ．3)2(22
--=x y
【考题４】（2009、贵阳）已知抛物线21
(4)33y x =-- 的部分图象（如图1-2-1），图象再次与x 轴相交时的坐标是（ ） A ．（5，0） B.（6，0） C ．（7，0） D.（8，0）
【考题５】（深圳）二次函数c bx ax y ++=2
图像如图所示，若点Ａ（１，1y ）
，Ｂ（２，2y ）是它的图像上两点，
则1y 与2y 的大小关系是（） Ａ．1y ＜2y Ｂ．1y ＝2y Ｃ．1y ＞2y Ｄ．不能确定
三、针对性训练：
1．已知直线y=x 与二次函数y=ax 2 －2x －1的图象的一个交点 M 的横标为1，则a 的值为（ ） A 、2 B 、1 C 、3 D 、 4
2．已知反比例函数y= k
x 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，则二次函数y=2kx 2 －x+k 2的图象大致为图1－2
－3中的（ ）
4．抛物线y=x 2－４x ＋5的顶点坐标是（ ） A ．（－2，1） B ．（－2，－1） C ．（2，l ） D ．（2，－1）
５．二次函数 y=2（x －3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A ．开口向下，对称轴x =－3，顶点坐标为（3,5） B ．开口向下，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5） C ．开口向上，对称轴x =－3，顶点坐标为(－3,5) D ．开口向上，对称轴x =－3，顶点(－3,－5）
６．二次函数c bx x y ++=2
的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） A ． 4=x B. 3=x C. 5-=x D. 1-=x
7．在平面直角坐标系内，如果将抛物线2
3x y = 向右平移3个单位，向下平移4个单位，平移后二次函数的关系式是（ ）
Ａ．4)3(32+-=x y Ｂ．4)3(32++=x y Ｃ．4)3(32-+=x y Ｄ．4)3(32
--=x y 8..已知，点A （－1，1y ），B （2-，2y ），C （－5，3y ）在函数2
x y -=的图像上，则1y ，2y ，3y 的大小关系
是（）
A . 1y ＞2y ＞3y B. 1y ＞3y ＞2y C. 3y ＞2y ＞1y D. 2y ＞1y ＞3y
9．已知二次函数c bx ax y ++=2
1(a ≠0）与一次函数y 2=kx+m(k ≠0）的图象相交于点A （－2，4）,B(8，2)，如图1－2
－7所示，能使y 1＞y 2成立的x 取值范围是
_______
10.（襄樊）抛物线c bx x y ++-=2
的图像如图所示，则抛物线的解析式为_______。 11.若二次函数c bx x y ++-=2
的顶点坐标是（2，－1），则b=_______，c=_______。
12直线y=x+2与抛物线y=x 2 +2x 的交点坐标为____．
13读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化． 例如：由抛物线22221y x mx m m =-++-①，有y=2()21x m m -+-②，所以抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即
??
?-==1
2,
m y m x ③④。 当m 的值变化时，x 、y 的值随之变化，因而y 值也随x 值的变化而变化，将③代人④，得y=2x —1l ⑤．可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足y=2x －1，回答问题：（1）在上述过程中，由①到②所
用的数学方法是________，其中运用了_________公式，由③④得到⑤所用的数学方法是______；（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线2
2
2231y x mx m m =-+-+顶点的纵坐标与横坐标x 之间的关系式_________. 14抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 15 已知M 、N 两点关于 y 轴对称，且点 M 在双曲线 y=
1
2x
上，点 N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为(a ，b)，则抛物线y=－abx 2+(a ＋b ）x 的顶点坐标为___.
16当b ＜0时，一次函数y=ax+b 和二次函数y=ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图1－2－9中的（ ）
考点2：二次函数的图象与系数的关系
一、考点讲解：
1、a 的符号：a 的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a ＞0；抛物线开口向下，则a ＜0．
2、b 的符号由对称轴决定，若对称轴是y 轴，则b=0；若抛物线的顶点在y 轴左侧，顶点的横坐标－2b a ＜0，即2b
a ＞0，则a 、
b 为同号；若抛物线的顶点在y 轴右侧，顶点的横坐标－2b a ＞0，即2b
a ＜0．则a 、
b 异号．间“左同右异”． 3．
c 的符号：c 的符号由抛物线与y 轴的交点位置确定．若抛物线交y 轴于正半，则c ＞0，抛物线交y 轴于负半轴．则c ＜0；若抛物线过原点，则c=0．
4．△的符号：△的符号由抛物线与x 轴的交点个数决定．若抛物线与x 轴只有一个交点，则△=0；有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ．
5、a+b+c 与a －b+c 的符号：a+b+c 是抛物线c bx ax y ++=2
(a ≠0）上的点(1，a+b+c ）的纵坐标，a －b+c 是抛物线
c bx ax y ++=2(a ≠0）上的点（－1，a －b ＋c ）的纵坐标．根据点的位置，可确定它们的符号. 二、经典考题剖析：
【考题1】（2009、潍坊）已知二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图 l －2－2所示，则a 、b 、c 满足（ ） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0
【考题2】（2009、天津）已知二次函数c bx ax y ++=2
(a≠0）且a ＜0，a －b+c ＞0，则一定有（ ） A ．b 2－4ac ＞0 B ．b 2－4ac ＝0 C ．b 2－4ac ＜0 D ．b 2－4ac≤0
【考题３】（2009、重庆）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－10，则点（b ，c a
）在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 三、针对性训练：
1．已知函数c bx ax y ++=2
的图象如图1－2－11所示，给出下列关于系数a 、b 、c 的不等式：①a ＜0，②b ＜0，③c ＞0，④2a ＋b ＜0，⑤a ＋b ＋c ＞0．其中正确的不等式的序号为___________-
2．已知抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴交点的横坐标为－1，则a ＋c=_________.
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3．抛物线c bx ax y ++=2
中，已知a ：b ：c=l ：2：3，最小值为6，则此抛物线的解析式为____________
4．已知二次函数的图象开口向下，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式： _______________.
5．抛物线c bx ax y ++=2
如图1－2－12 所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式是___________.
6．若抛物线过点(1，0)且其解析式中二次项系数为1，则它的解析式为___________．（任写一个）
7．已知二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y·轴正半轴的交点连点(0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；②2a+c ＞0；③4a+c< 0，④2a －b+l ＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________．
8．若二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”）
第8题图 9．二次函数
c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判
断正确的是（）
A ．ab ＜0
B 、bc ＜0
C ．a+b ＋c ＞0
D ．a －b 十c ＜0
10．抛物线c bx ax y ++=2
（a ＞0）的顶点在x 轴上方的条件是（ ）
A ．b 2－4ac ＜0
B ．b 2－4ac ＞ 0
C ．b 2－4ac ≥0
D ． c ＜0 11 二次函数⑴y=3x 2；⑵y= 23 x 2；⑶y= 4
3 x 2的图象的开口大小顺序应为（ ）
A ．（1）＞（2）＞（3）
B ．（1）＞（3）＞（2）
C ．（2）＞（3）＞（1）
D ．（2）＞（1）＞（3）
考点3：二次函数解析式求法
一、考点讲解：
1．二次函数的三种表示方法：
⑴表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系； ⑵图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；
⑶表达式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系． 2．二次函数表达式的求法：
⑴一般式法：若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得c bx ax y ++=2
；将已知的三个点的坐标分别代入解析式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可。
⑵顶点式法：若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：2
()y a x h k =-+其中顶点为(h ，k)，对称轴为直线x=h ；
⑶交点式法：若已知抛物线与x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：12()()y a x x x x =--,其中与x 轴的交点坐标为（x 1，0），（x 2，0）。
解题小诀窍：在求二次函数解析式时，要灵活根据题目给出的条件来设解析式。例如，已知二次函数的顶点在坐标原点可设2
ax y =；已知顶点（0，c ），即在y 轴上时可设c ax y +=2；已知顶点（h ，0）即顶点在x 轴上可设
2)(h x a y -=.
注意：当涉及面积周长的问题时，一定要注意自变量的取值范围。 二、经典考题剖析： 【考题1】（2009、长沙）如图1－2－16所示，要在底边BC =160cm ，高AD =120cm 的△ABC 铁皮余料上，截取一个
矩形EFGH ，使点H 在AB 上，点G 在AC 上，点E 、F 在BC 上，AD 交HG 于点M ，此时AM AD =HG BC
。
(1)
设矩形EFGH 的长HG =y ，宽HE =x ，确定y 与x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？
(3)以面积最大的矩形EFGH 为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围时，才能使铁桶的体积较大？请说明理由(注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备)
【考题2】在直角坐标系中，△AOB 的顶点坐标分别为A （0，2），O （0，0），B （4，0），把△AOB 绕O 点按逆时针方向旋转900
到△COD 。
（1）求C ，D 两点的坐标；
（2）求经过C ，D ，B 三点的抛物线解析式。
【考题3】如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于C 点。点A,C 的坐标分别是(－1，0)，(0，
2
3)。 （1）求此抛物线对应的函数解析式；
（2）若点P 是抛物线上位于x 轴上方的一个动点，求△ABP 的面积的最大值。
【考题4】（2009、南宁）目前，国内最大跨江的钢管混凝土拱桥——永和大桥，是南宁市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分（如图 1－2－18），在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为350米，拱高为8．5米。 ⑴在所给的直角坐标系中（如图1－2－19），假设抛物线的表达式为b ax y +=2，请你根据上述数据求出a 、b 的值，
并写出抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围，a 、b 的值保留
两个有效数字）。
⑵七月份汛期将要来临，当邕江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨4m 时，位于水面上的桥拱跨度有多大？（结果保留整数）
【考题5】（2009、海口）已知抛物线y=x 2+(2n －1)x+n 2
－1 (n 为常数).
(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；
(2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C.
①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；
②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.
【考题6】（2009、郸县）如图1－2－24，△OAB 是边长为2＋ 3 的等边三角形，其中O 是坐标原点，顶点B 在y 轴的正方向上，将△OA B 折叠，使点A 落在边OB 上，记为A ′，折痕为EF ． （1）当A ′E ∥x 轴时，求点A ′和E 的坐标； 当A ′E ∥x 轴，且抛物线c bx x y ++-=2
61
经过点A ′和E 时，求该抛物线与x 轴的
（2）
交点的坐标；
（3）当点A ′在OB 上运动但不与点O 、B 重合时，能否使△A ′EF 成为直角三角形．若能，请求出此时点A ′的坐标；若不能，请你说明理由．
【考题７】如图，已知二次函数图像的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与二次函数的图像交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（3,4），B 点在y 轴上。 （1）求m 的值及二次函数的解析式；
（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A,B 不重合），过点P 做x 轴的垂线与二次函数图像交于点E ，设线段PE 的长度为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）D 为直线AB 与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请说明理由。
三、针对性训练：
1．二次函数的图象经过点（－3，2），（2，7），（0，－1），求其解析式．
2．已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点 （－l ，－1），（－4，0）两点．求抛物线的解析式．
3．已知抛物线与 x 轴交于点（1，0）和(2，0)且过点 (3，4)，求抛物线的解析式．
4．已知二次函数c bx ax y ++=2
的图象经过点A （0，1）B(2，－1）两点．（1）求b 和c 的值；(2）试判断点P （－1，2）是否在此抛物线上？
5．已知一个二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图1－2－25所示，请你求出这个二次函数的表达式，并求出顶点坐标和对称轴方程．
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6．已知抛物线c bx ax y ++=2
过三点（－1，－1）、（0，－2）、（1，l ）． （1）求抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？
7．当 x=4时，函数c bx ax y ++=2
的最小值为－8，抛物线过点（6，0）．求：
（1）顶点坐标和对称轴；（2）函数的表达式；
（3）x 取什么值时，y 随x 的增大而增大；x 取什么值时，y 随x 增大而减小．
8．在ΔABC 中，∠ABC ＝90○
，点C 在x 轴正半轴上，点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 轴正半轴上(图1－2－26所示），若 tan ∠BAC= 1
2
，OB=2，求经过 A 、B 、C 点的抛物线的解析式．
9．已知：如图1－2－27所示，直线y=－x+3与x 轴、
y 轴分别交于点B 、C ，抛物线y=－x 2＋bx ＋c 经过点B 、C ，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 在直线BC 上，且S ΔPAC =1
2
S ΔPAB ，求点P 的坐标．
10 四边形DEFH 为△ABC 的内接矩形(图1－2－28)，AM 为BC 边上的高，DE 长为x ，矩形的面积为y ，请写出y 与x 之间的函数关系式，并判断它是不是关于x 的二次函数.
考点4：根据二次函数图象解一元二次方程的近似解
一、考点讲解：
1．二次函数与一元二次方程的关系：
（1）一元二次方程20ax bx c ++=就是二次函数c bx ax y ++=2
当函数y 的值为0时的情况．
（2）二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根．
（3）当二次函数c bx ax y ++=2的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2
有两个不相等的实数根；
当二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根；当二
次函数y ＝ax 2+ bx+c 的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2
没有实数根． 解题小诀窍：抛物线与x 轴的两个交点间的距离可以用| x 1－x 2|来表示。
二、经典考题剖析：
【考题1】（2009、湖北模拟）关于二次函数 c bx ax y ++=2
的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；
②当c ＞0且函数的图象开口向下时，a x’＋bx ＋c=0必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是2
44ac b a -；④当
b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【考题2】（2009、青岛模拟，8分） 已知二次函数y=x 2－6x+8，求：
（1）抛物线与x 轴y 轴相交的交点坐标； （2）抛物线的顶点坐标；
（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题： ①方程x 2 －6x ＋8=0的解是什 么？
②x 取什么值时，函数值大于0？ ③x 取什么值时，函数值小于0？ 【考题3】（2009、天津）已知抛物线y ＝x 2－2x －8， （1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积． 三、针对性训练：
1．已知函数y=kx 2－7x —7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） 7
7
. .k 04477
. .k 044A k B k C k D k >-≥-≠≥-
>-≠且且
2．直线y=3x －3与抛物线y=x 2 －x+1的交点的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．不能确定
3．函数c bx ax y ++=2
的图象如图l －2－30，那么关于x 的方程2
0ax bx c ++=的根的情况是（ ） A ．有两个不等的实数根B ．有两个异号实数根 C ．有两个相等实数根 D ．无实数根
4．二次函数c bx ax y ++=2
的图象如图l －2－31所示，则下列结论成立的是（ ）
A ．a ＞0，bc ＞0，△＜0 B.a ＜0，bc ＞0，△＜0 C ．a ＞0，bc ＜0，△＜0 D.a ＜0，bc ＜0，△＞0
5．函数c bx ax y ++=2
的图象如图 l －2－32所示，则下列结论错误的是（ ）
A ．a ＞0
B ．b 2－4ac ＞0
C 、20ax bx c ++=的两根之和为负
D 、20ax bx c ++=的两根之积为正 6．不论m 为何实数，抛物线y=x 2－mx ＋m －2（ ）
A ．在x 轴上方
B ．与x 轴只有一个交点
C ．与x 轴有两个交点
D ．在x 轴下方 7．画出函数y =x 2－2x －3的图象，利用图象回答： （1）方程x 2－2x －3=0的解是什么？ （2）b 取什么值时，函数值大于0？ （3）b 取什么值时，函数值小于0？
8．已知二次函数y =x 2－x －6·
（1）求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标；
（2）画出函数图象；
（3）观察图象，指出方程x 2－x —6=0的解；
（4）求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积
考点5：用二次函数解决实际问题
一、考点讲解：
1．二次函数的应用：
（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；
（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．
注意：二次函数实际问题主要分为两个方面的问题，几何图形面积问题和经济问题。解几何图形面积问题时要把面积公式中的各个部分分别用同一个未知数表示出来，如三角形S=
hl 2
1
，我们要用x 分别把h ，l 表示出来。经济问题：总利润=总销售额－总成本；总利润=单件利润×销售数量。解最值问题时，一定要注意自变量的取值范围。分为三类：①对称轴在取值范围内；②取值范围在对称轴左边；③取值范围在对称轴右边。 2．解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等． 二、经典考题剖析： 【考题1】（2009、贵阳，12分）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：
若日销售量y 是销售价x 的一次函数；
（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
（1）请你以上表中的各对数据（x ，y ）作为点的坐标，尝试在图1－2－34所示的坐标系中画出y 关于x 的函数图像；
（2）①填写下表：
②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x 表示y 的二次函数关系式：___________________. （3）当水面宽度为36m 时，一般吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8m 的货船能否在这个河段安全通过？为什么？
【考题3】我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P ＝－1
50 （x －30）2＋10万元。为了响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济
发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元。若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通。公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x 万元可获利润Q ＝－4950 （50－x ）2＋194
5 （50
－x ）＋308万元。
⑴若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？
⑵若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？ ⑶根据⑴、⑵计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。
【考题4】学校要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ．O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．且在过OA 的任意平面上的抛物线如图l －2－36所示，建立平面直角坐标系（如图l －2－37），水流喷出的高度y (m)与水面距离x (m)之间的函数关系式是2532
2
y x x =-++，请回答下列问题：
（1）花形柱子OA 的高度；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？
【考题5】（2009、青岛）某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机
器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
（1）如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；。
（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？
三、针对性训练：
1．小王家在农村，他家想利用房屋侧面的一面墙，围成一个矩形猪圈（以墙为长人现在已备足可以砌10米长的墙的材料．他想使猪圈的面积最大，你能帮他计算一下矩形的长和宽应当分别是多少米吗？此时猪圈的面积有多大？
2．数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱50元销售平均每天销售90箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．老师要求根据以上资料，解答下列问题，你能做到吗？
⑴写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价社元）之间的函数关系；
⑵写出平均每天销售利润W（元）与每箱售价x（元）之间的函数关系；
⑶求出⑵中M次函数的顶点坐标及当x=40、70时的W的值．
3．某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价l元，每天的销售量就会减少10件．
⑴写出售价x（元／件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式；
⑵每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？
4．图1－2－38所示是一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，点A和A1，点B和B1分别关于y轴对称，隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8米，点B离路面AA1的距离为6米，隧道的宽AA1为16米．
⑴求隧道拱抛物线BC B1的函数解析式；
⑵现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距
离为7米，它能否安全通过这个隧道？说明理由．
5．启明公司生产某种产品，每件产品成本是8元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投人的广告费是x(万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且
y=277101010
x x -++，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费： （1）试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？
（2）把(1）中的最大利润留出3万元做广告，其余的资金投资 新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：
如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问：有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目．
6．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产出的产品全部售出，已知生产X 只玩具熊猫的成本为R （(元)，售价每只为P （元）且R ，P 与X 的关系式为 R=500＋3.5x ，P=170 － 2x ． ⑴ 当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；
⑵ 当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
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【回顾1】（2010、嘉峪关，3分）抛物线y=x 2－2x ＋3的对称轴是直线（ ） A ．x =2 B ．x =－2 C ．x =－1 D ．x =1 【回顾2】（2010、嘉峪关，3分）如图1－2－39，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM= x ，则y 关于x 的函数关系式是（ ）
A ．2
1
4y x x =+
222
11
. .44
1.4
B y x x
C y x x
D y x x =-+=--=
-
【回顾3】（2010、南充，3分）二次函数y=x 2+2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－5 【回顾4】（2010、自贡，3分）抛物线y=x 2－x 的顶点坐标是（ ）
11111A.(1,1) .(,1) .(,) .(,)
22424
B C D - 【回顾5】（2010、自贡，3分）二次函数c bx ax y ++=2
的图象，如图1－2－40所示，根据图象可得a 、b 、c 与0的
大小关系是（ ）
A ．a ＞0，b ＜0，c ＜0
B ．a ＞0，b ＞0，c ＞0
C ．a ＜0，b ＜0，c ＜0
D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0
【回顾6】（2010、绍兴，4分）小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3．5 t －4．9 t 2(t 的单位s ；h 中的单位：m ）可以描述他跳跃时 重心高度的变化．如图1－2－41，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ） A ．0．71s B ．0.70s C ．0.63s D ．0．36s 【回顾7】（2010、温州，4分）已知抛物线的解析式为y=－（x —2）2＋l ，则抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（－2，1） B ．（2，l ）C ．（2，－1） D ．（1，2） 【回顾8】（2010、江西，3分）若二次函数y=x 2－x 与y=－x 2+k 的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ） A ．这两个函数图象有相同的对称轴 B ．这两个函数图象的开口方向相反 C ．方程－x 2+k=0没有实数根 D ．二次函数y=－x 2＋k 的最大值为1
2
【回顾9】（2010、衡州）抛物线y=x 2 +2x －3 与x 轴的交点的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【回顾10】（2010、金华）抛物线y=（x —l ）2 +2 的对称轴是（ ）
A ．直线x =－1
B ．直线x =1
C ．直线x =2
D ．直线x=2 【回顾11】（2010、湖州，3分）已知二次函数
c bx ax y ++=2
的图象如图l －2－42所示，则在“① a ＜0，②b ＞0，③c ＜ 0，④b 2－4ac ＞0”中，正确的判断是（ ）
A 、①②③④
B 、④
C 、①②③
D 、①④
【回顾12】（2010、武汉，3分）已知二次函数c bx ax y ++=2
(a ≠0）的图象如图 1－2－43所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x 的值只能取0．其中正确的个数是（ ） A ．l 个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【回顾13】（2010、丽水，4分）如图l －2－44，抛物线的顶点P 的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函数有（）
A ．最大值1
B ．最小值－3
C ．最大值－3
D ．最小值1
【回顾14】（2010、杭州，3分）用列表法画二次函数c bx ax y ++=2
的图象时先列一个表，当表中对自变量x 的值以相等间隔的值增加时，函数y 所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ）
A ．506
B ．380
C ．274
D ．182 【回顾15】（2010、江西）将二次函数y=x 2－4x+ 6化为 y=(x —h)2+k 的形式：y=___________ 【回顾16】（2010、金华，5分）在直角坐标系xoy 中O 是坐标原点，抛物线y=x 2－x －6与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，如图l －2－45，如果点M 在y 轴右侧的抛物线上，S △AMO = 23 S △CO
E ，那么点M
的坐标是_______- 【回顾17】（2010、衡州，5分）把二次函数y=x 2－4x+5化成y=(x —h)2+k 的形式：y=___________
【回顾18】（2010、温州）若二次函数y=x 2－4x+c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c=__ _________________（只要求写一个）． 【回顾19】（2010、重庆，3分）抛物线y=(x －1)2+3的顶点坐标是____________． 【回顾20】（2010、南充）已知点P (a ，m ）和 Q(0，m ）是抛物线y=2x 2+4x －3上的两个不同点，则a+b=_______. 【回顾21】（2010、嘉峪关）二次函数y=x 2－2x －3与x 轴两交点之间的距离为_________. 【回顾22】（2010、嘉峪关）如图l －2－46，已知两点A （－1，0）,B(4，0）在x 轴上，以AB 为直径的半圆P 交y 轴于点C
（1）求经过 A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
（2）设AC 的垂直平分线交OC 于D ，连结AD 并延长AD 交半圆P 于点E ， AC CE 与相等吗？
（3）设点M 为x 轴负半轴上一点，OM=1
2 AE ，是否存在过点M 的直线，使该直线与（1）中所得的抛物线的两个
交点到y 轴的距离相等？若存在，求出这条直线对应函数的表达式；若不存在，请说明 理由.
【回顾23】（2010、武汉，10分） 如图1－2－47，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为 8m ，宽 AB 为 2m ，以 BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点 E 到坐标原点 O 的距离为 6m ． （1）求抛物线的解析式；
（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4．2m ，宽2．4m ，这辆货运上车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
【回顾24】（2010、河南，11分）如图l －2－48，Rt △PMN 中，∠P ＝90○
，PM=PN ，MN=8cm ，矩形 ABCD 的长和宽分别为8cm 和2cm ，C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上，令 Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1cm 的速度移动(图l －2－49）直到C 点与N 点重合为止．设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为y cm 2 ,求y 与x 之间的函数关系式．
【回顾25】（2010、河北，12分）某食品零售店为食品厂供销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角． 设这种面包的单价为x(角)，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y （角）． ⑴ 用含x 的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数； ⑵ 求y 与x 之间的函数关系式；
⑶ 当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？
【回顾26】（2010、内江，12分）老师提出：如图1－2－50，教师提出：如图A （1，0），AB ＝OA ，过点A 、B 作ｘ轴的垂线交二次函数2x y =的图象于C 、D 两点，直线OC 交BD 于点M ，直线CD 交ｙ轴于点H ，记点C 、D 的横坐标分别为D C x x ,，点H 的纵坐标为H y 。同学讨论发现： ①＝梯形ABMC :S S CMD ? 2 ：3 ②-=?D C x x H y
⑴请你验证①②结论成立；
⑵请你研究：如将上述条件“A(1，0)”改为“A ()()00,>t t ”，其他条件不娈，结论①是否仍成立？
⑶进一步研究：在⑵的条件下，又将条件“2x y =”改为“()02>=a ax y ，其他条件不娈，那么D C x x ,和y H 有怎样的数值关系？(写出结果并说明理由)
二次函数课后练习
一、基础经典题( 分)
(一)选择题(每题2分，共20分)
【备考1】下列函数中，不是二次函数的是（）
A ．y=2x 2＋2x
B ．y=－x 2 +x 3 +1
C ．y=－x 2 +x
3 +1 D ．y=3－x(2－x)
【备考2】函数y=－1
2
（x －2）2+5的顶点为（）
A ．（2，5）
B ．（－2，5）．
C ．（2，－5）
D ．（－2，5） 【备考3】把抛物线y=－12
（x －2）2
－1经平移得到（ ）
A ．向有平移2个单位，向上平移1个单位
B ．向右平移2个单位，向下平移1个单位
C ．向左平移2个单位，向上平移1个单位
D ．向左平移2个单位，向下平移1个单位 【备考4】函数2283y x x =+-的对称轴为（ ）
A 、y =－2
B 、y =－2
C 、x =2
D 、x =－2
【备考5】某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（ ）
A ．y=x 2+a
B ．y= a （x －1）2
C ．y=a （1－x ）2
D ．y ＝a （l+x ）2 【备考6】设直线 y=2x —3，抛物线 y=x 2－2x ，点 P （1，－1），那么点P （1，－1）（ ）
A ．在直线上，但不在抛物线上
B ．在抛物线上，但不在直线上
C ．既在直线上，又在抛物线上
D ．既不在直线上，又不在抛物线上
【备考7】函数 y=x 2 +px+q 的图象是(3，2）为顶点的抛物线，则这个函数的解析式是（ ） A ．y=x 2＋6x+11 B ．y=x 2－6X －11 C ．y=x 2－6x+11 D ．y=x 2－6x+7
【备考8】如图1－2－51，把一段长1．6米的铁丝围长方形ABCD ，设宽为x ，面积为y ．则当y 最大时，x 所取的值是（ ）
A ．0.5
B ．0.4
C ．0.3
D ．0．6
【备考9】二次函数y=1－6x －3x 2 的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A ．顶点（1，4）， 对称轴 x=1
B ．顶点（－1，4），对称轴x=－1
C ．顶点（1，4）， 对称轴x=4
D ．顶点（－1，4），对称轴x=4
【备考10】若直线 y=ax －6与抛物线y=x 2－4x+3只有一个交点，则a 的值为（ ） A ．a=2 B ．a=10 C ．a=2或a=－10 D 、a=2或a=10 （二）填空题（每题2分，共18分）
【备考11】已知 y ＝（a －3）x 2+2x －l 是二次函数；当a______时，它的图象是开口向上的抛物线，抛物线与y 轴的交点坐标是________．
【备考12】通过配方把函数y =－1
2 x 2－2x －1表示为y____________,它的图象的顶点坐标是__________.
【备考13】抛物线y=－3
4
x 2 的开口，在对称轴左边，y 随x 的____________而增大．
【备考14】若二次函数y=2x 2的图象向下平移 3个单位，向右平移4个单位，得到的抛物线的关系式为
_______________.
【备考15】某涵洞是抛物线型，它的截面如图l 上52，得水面宽AB=1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为 2．4m ，在图中直角坐标系中，涵洞所在抛物线的函数关系式是_____________-． 【备考16】若将二次函数 y=x 2－2x+3配方为y=（x —h ）2＋k 的形式_______________ 【备考17】行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，
还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离S(m ）与车速工（km ／h ）间有下述的函数关系式：S=0.01x+0.002x ，现该车在限速140km/h 的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46．5m ．请推测刹车时汽车（是、否）_________超速．
【备考18】已知抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴为x=2，且经过点(0，4）和点（5，0），则该抛物线解析式为__________. 【备考19】已知两个正数的和是60，它们的积最大是 _____________. （三）解答题
【备考20】利用二次函数的图象求下列方程的近似根：（1）x 2＋x －12＝0； （2）2 x 2－x －3=0． 二、学科内综合题（8分）
【备考21】已知如图 1－2－53，△ABC 的面积为2400cm 2，底边BC 长为多80cm ，若点D 在BC 边上，E 在AC 边上，F 在AB 边上，且四边形BDEF 为平行四边形，设BD=xcm ，S □BDEF =y cm 2． 求：（1）y 与x 的函数关系式；
（2）自变量 x 的取值范围； （3）当x 取何值时，y 有最 大值？最大值是多少？
20XX 年二次函数中考真题分类选编
一、选择题
1．（2012菏泽）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数a
y x
=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（2012?烟台）已知二次函数y=2（x ﹣3）2
+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
3．（2012?广州）将二次函数y=x 2
的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ） A ．y=x 2
﹣1 B ．y=x 2
+1 C ．y=（x ﹣1）2
D ．y=（x+1）2
4．（2012泰安）将抛物线2
3y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A ．2
3(2)3y x =++ B ．2
3(2)3y x =-+ C ．2
3(2)3y x =+- D ．2
3(2)3y x =--
5．（2012泰安）二次函数2
y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为（ ）
A ．3-
B ．3
C ．6-
D ．．
6．（2012泰安）二次函数2
()y a x m n =++的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过（ C ）
A ．第一、二、三象限
B ．第一、二、四象限
C ．第二、三、四象限
D ．第一、三、四象限
7．（2012泰安）设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2
(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）
A ．213y y y >>
B ．312y y y >>
C ．321y y y >>
D ．312y y y >>
8．（2012?乐山）二次函数y=ax 2
+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t 值的变化范围是（ ）
A ．0＜t ＜1
B ．0＜t ＜2
C ．1＜t ＜2
D ．﹣1＜t ＜1 9．（2012?衢州）已知二次函数y=﹣x 2
﹣7x+，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值
y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ）
A ．y 1＞y 2＞y 3
B ．y 1＜y 2＜y 3
C ．y 2＞y 3＞y 1
D ．y 2＜y 3＜y 1
10．（2012义乌市）如图，已知抛物线y 1=﹣2x 2
+2，直线y 2=2x+2，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．例如：当x=1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M=0．下列判断：
①当x ＞0时，y 1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小； ③使得M 大于2的x 值不存在； ④使得M=1的x 值是或
．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
11．（2012?杭州）已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．(2012?扬州)将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是( ) A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2 13．（2012?资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ D ）
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5 14．（2012?德阳）在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x+1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是（）
A．（﹣1，1）B．（1，﹣2）C．（2，﹣2）D．（1，﹣1）15．（2012?德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A．c=3 B．c≥3C．1≤c≤3D．c≤3
16．（2012?兰州）抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是(C)
A．
直线B．
直线
C．y轴D．直线x＝2
17．（2012张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数y=在同一坐标系中的图象可能是（）
A． B．C D
18．（2012宜宾）给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，只这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：
①直线y=0是抛物线y=x2的切线
②直线x=﹣2与抛物线y=x2相切于点（﹣2，1）
③直线y=x+b与抛物线y=x2相切，则相切于点（2，1）
中考数学二次函数压轴题(含答案)
中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得；
故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 解答：
解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ，解得：即M（2，﹣3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．
2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质
2020年中考数学复习专题训练——二次函数的图像与性质 考点1：二次函数的顶点、对称轴、增减性 1.关于二次函数y=2x2+4x-1，下列说法正确的是( ) A.图像与y轴的交点坐标为（0，1） B.图像的对称轴在y轴的右侧 C.当时，x<0的值随y值的增大而减小 的最小值为-3 2.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax-a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x-1013 y-3131 下列结论：①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为x=1;③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4,其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.已知二次函数y=-(x-h)2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为( )
或6 或6 或3 或6 5.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（） 或2 或2 6.对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3，当x=1时，y，则这条抛物线的顶点一定在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点2：抛物线特征和a,b,c的关系 1.已知二次函数图形如图所示，下列结论：①abc；②；③；④点(-3,y1),(1,y2) 都在抛物线上，则有y1y 2. 其中正确的结论有( ) 个个个个 2.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( ) <4ac >0 b=0 b+c=0
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．
全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总及答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) y=﹣23 4x +94x+3；(2) 有最大值,365 ;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（ 73，256）或（173，﹣253）． 【解析】 试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）设P （m ，﹣ 34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣ 34x+3，表示PD=﹣2334m m ，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365 ，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94 n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34 n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析: （1）由OC=3OA ，有C （0，3）， 将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：
2017中考二次函数专题(含答案)
1.如图，抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为（﹣4，﹣5），点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P 运动到直线AB 下方某一处时，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为M ，连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点P 的坐标． 2. 在直角坐标系xoy 中，(0,2)A 、(1,0)B -，将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?. （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，
若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴的另一个交点为B .⑴若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；⑶设点P 为抛物线的 图15.1 C D O B A x y
对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为 （－2，0），（6，－8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；（2 ）试探究抛物线上是 第25题图
中考数学复习专题二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 ，可以为零．二次函数的定义域是全体 a≠，而b c 实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： =+的性质： y ax c 结论：上加下减。
总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结：
1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2 245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
初中数学二次函数复习求函数解析式优质课教案优质课教案教学设计
二次函数专题（一）——求二次函数表达式教学目标 会通过待定系数法求二次函数的关系式； 教学过程 二次函数是初中数学的一个严重内容，也是高中数学的一个严重基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的严重保证。 二次函数的解析式有三种基本形式： 1、大凡式：y=ax2 +bx+c (a≠0)。 2、顶点式：y=a(x－m)2 +k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。 3、交点式：y=a(x－x 1)(x－x 2) (a≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x轴的交点的横坐标。 求二次函数的解析式大凡用待定系数法，但要根据例外条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设大凡式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。 探究问题，典例指津：
例1、已知二次函数的图象经过(0,1),(2,4)，(3,10)三点,请你用待定系数法求这个函数的解析式。 例2、已知二次函数的图象经过(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个函数的解析式。 练习、已知抛物线的顶点在原点,且过(2,8),求这个函数的解析式。 例3、已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解析式． 练习1：根据下列已知条件，求二次函数的解析式： (1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5) (2)抛物线顶点为M(－1,2)且过点N(2,1) (3)抛物线过原点，且过点(3,－27),(-1,1) (4)已知二次函数的图象经过点（1，0），(3，0),(0，6)求二次函数的解析式。 例4、已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式． 练习2：根据下列已知条件，求二次函数的解析式： (1)抛物线y=ax2+bx+c经过(0，0)与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。 (2)已知当x=2是，函数有最小值为3，且过点（1,5） (3)二次函数的图像经过点（3，-8）对称轴为直线x=2，抛物线与X轴两个交点之间的距离为6课堂小结 本节课是用待定系数法求函数解析式，应注意根据例外的条件选择适合的解析式形式
2018中考数学专题二次函数
2018中考数专题二次函数 （共40题） 1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式； （2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标； （3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标； ②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值． 2．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D． （1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）； （2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值； （3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式． 3．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C． （1）求直线y=kx+b的函数解析式； （2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值． 4．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1 （1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标． （2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPN为矩形． ②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限取一点C，作CD垂直X轴于点D，AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值； （3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存
2019中考二次函数压轴题专题分类训练
中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一：面积问题 【例1】（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ； （3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式练习】 1.（2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． 图2
2.（2010绵阳）如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标； （2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积． 3．(2012铜仁)如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型二：构造直角三角形 【例2】（2010山东聊城）如图，已知抛物线y ＝ax 2 +bx +c （a ≠0）的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （－1，0）、C （0，－3）两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式； （2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，C E D G A x y O B F
备战中考数学二次函数的综合复习
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标； （3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣3x。 （2）点B的坐标为：（4，4）。 （3）存在；理由见解析； 【解析】 【分析】 （1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。 （2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。 （3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。 【详解】 解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。 ∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。 （2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，
令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。∴AO=3。 ∵△AOB 的面积等于6，∴ 1 2 AO?BD=6。∴BD=4。 ∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上， ∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。 又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4， ∴x 轴下方不存在B 点。 ∴点B 的坐标为：（4，4）。 （3）存在。 ∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 442=+=。 若∠POB=90°，则∠POD=45°。 设P 点坐标为（x ，x 2﹣3x ）。 ∴2 x x 3x =-。 若2x x 3x =-，解得x="4" 或x=0（舍去）。此时不存在点P （与点B 重合）。 若( ) 2 x x 3x =--，解得x="2" 或x=0（舍去）。 当x=2时，x 2﹣3x=﹣2。 ∴点P 的坐标为（2，﹣2）。 ∴22OP 222= += ∵∠POB=90°，∴△POB 的面积为： 12PO?BO=1 2 ×2×2=8。 2．已知，抛物线y ＝ax 2+ax+b （a≠0）与直线y ＝2x+m 有一个公共点M （1，0），且a ＜b ．
中考数学 二次函数知识点总结
中考数学二次函数知识 点总结 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 ，可以为零．二次函数的定义域是 a≠，而b c 全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 =+的 y ax c 性质：
结论：上加下减。 总结： 3. ()2 =-的性 y a x h 质： 结论：左加右减。 总结： 4.
()2 y a x h k =-+的性质： 总结： 二次函数图象 的平 移 1. 平移步 骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．
人教版数学中考复习二次函数专题练习题含答案
人教版数学 初三中考复习 二次函数 专题练习题 一、选择题 1 抛物线y ＝x 2＋2x ＋3的对称轴是( ) A ．直线x ＝1 B ．直线x ＝－1 C ．直线x ＝－2 D ．直线x ＝2 2．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－x －6向上(下)或向左(右)平移m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12x 2经过平移得到抛物线y ＝12 x 2－2x ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 4. 如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( ) A ．b 2 ＞4ac B ．ax 2＋bx ＋c≥－6 C ．若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上，则m ＞n D ．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的两根为－5和－1 5. 如图，观察二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，下列结论：①a ＋b ＋c ＞0；②2a ＋b ＞0；③b 2－4ac ＞0；④ac ＞0.其中正确的是( ) A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④ 6. 如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 的图象相交于P ，Q 两点，则函数y ＝ax 2 ＋(b －1)x ＋c 的图象可能是( )
7. 如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8 cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1 cm /s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动，设运动时间为t(s )，△OEF 的面积为S(cm 2)，则S(cm 2)与t(s )的函数关系可用图象表示为( ) 二、填空题 8．若y ＝(2－m)xm 2－3是二次函数，且开口向上， 则m 的值为 ． 9．已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在二次函数y ＝(x －1)2＋1的图象上，若x 1>x 2>1，则y 1____y 2.(填“>”“<”或“＝”) 10．已知二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1，当－3≤x ≤0时，它的最大值是____，最小值是____． 11．一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m )与足球被踢出后经过的时间t(s )之间具有函数关系h ＝at 2＋19.6t ，已知足球被踢出后经过4 s 落地，则足球距地面的最大高度是____m . 12. 如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，点D(0，1)，点P 是抛物线上的动点．若△PC D 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为 ． 三、解答题 13．如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线． (1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y ＝2x 2＋3x －4，请你写出一个不同于小敏的答案； (2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y ＝－x 2＋2bx ＋c ＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．
初中数学中考复习 二次函数知识点总结
二次函数知识点总结20110311 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：左图画2221,2,2 y x y x y x === ， 右图画22 21,2,2y x y x y x =-=-=- 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质：左图画221,1y x y x =+=-，右图画2 2 1,1y x y x =-+=-- 结论：上加下减。
总结： 3. ()2 y a x h =-的性质：左图画22(1),(1)y x y x =+=-，右图画22 (1),(1)y x y x =-+=-- 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质：左图画22(1)1,(1)1y x y x =++=--，右图画2 2 (1)1,(1)1y x y x =-++=---
总结： 二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2 245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．
(完整)初三中考二次函数专题复习
第二十六章 二次函数 【知识梳理】 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0
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