C-P-011-一个新的高分子熔体周线变量本构方程-齐拴虎

C-P-011

一个新的高分子熔体周线变量本构方程

齐拴虎，严大东

中国科学院化学研究所，北京市中关村北一街2号 邮编100080

关键词：本构方程，取向，拉伸，松弛

高分子熔体的本构方程指的是应力和应变或应变速率之间的关系，是高分子微观性质的宏观反映[1]。应力反映的是对外力的抵抗。从分子的尺度上讲，表现为高分子链的拉伸和取向。由此可见，外在的流场引起了高分子链的拉伸和取向，从而产生了内在的应力。高分子熔体属于非交联体系，所以链的拉伸和取向是要发生松弛的，最后达到稳定状态。松弛的机制主要有以下几种:“蛇行”（reptation ）松弛[2], 对流运动松弛（convective motion ）[3]及链的涨落运动松弛[4]。 搞清楚高分子链运动的动力学和各种松弛机制是建立本构方程的关键[5]。

本文以管子模型[4]为基础，通过研究剪切流下链的运动以及各种松弛机制，建立了一个链的拉伸、取向和松弛都与链的周线位置有强烈依赖关系的本构方程的新模型。用数值计算的方法对所得到的方程进行了求解，并对结果作了分析和讨论。

模型描述如下：“对流松弛”的速率由下式给出描述了在流场的作用下由链相对流动所引起的松弛的快慢，

0000(,)

(,):(,)(,)q s t k s t s t q s t t

?=?

?κS ， 其中，κ是流场的速度梯度张量，q 表示形变，0/q s s =??，s 定义了一个局域的拉伸函数。表示的是取向张量：

0(,)s s s t =0(,)s t S 00(,,)

(,)((,))t

G s t t s t dt t t t ?∞′?′

′=′

?∫S Q E ，

其中

1u u u u ′′??=′

′

??E E Q E E v v v

v

叫做形变张量，u 是链上某一位置的单位切向量，E 表示链的形变。q 满足如下方

程：

v

国家自然科学基金资助（20490220）

2222220331:(:(1)2q Z x q q q q q t x s t

βπ?+??1)=+???????κS κS ， 此方程描述的是链在剪切流场下的伸长程度。其中，2(1)/(3)2βα=??α，它与链的非高斯性相联系。α是一可调参数，0α=对应于高斯链。0ma /L L x α=，是平衡时链的长度，是其最大可伸长的长度。0L max L x q α≡是一参量。Z 是每条链缠结的数目。链的存活几率函数描述了过去时刻所生成的链到现在还存在的几率，表

达式如下

20222230000111(,)(:)(1)G G q s G s q

v s t f q q G t q s q s q t s s t ππ???????????=+??+???????

???????????

κS ， 其中

00

(,):(,)(,)s v s t s t q s t ds 00′′′=∫κS ， 是链上处的速率。最终的应力表达式如下：

0s 221/2

2

0022

1/23()(,)(,)1q t q s t s t ds q αβ

α??=?∫σS 0y 。 以上的方程都已做标度变换，即，变换，其中是链的蛇行时间。

/d t T t →000/s L s →d T 计算结果表明，在简单剪切流场下（/x v γ=??&），高分子链的拉伸和取向与链的周线位置有很强的依赖关系，如图1和图2所示。

-0.6

-0.4-0.20.00.20.40.6

0.8

1.01.21.41.61.8

2.02.22.4Fig. 1

q (s 0)

s 0

0.1 1 10 100 500

-0.6

-0.4-0.20.00.20.40.6

-0.02

0.00

0.020.040.060.080.100.120.140.160.18

0.20Fig. 2

S (s 0)

s 0

0.001 0.1 1 10 100 500

Fig. 2 Non-uniform segmental orientation with different shear rates under steady shear.

γ&=0.001, 0.1, 1, 10, 100, 500, respectively,

and Z =20, α=0.

Fig. 1 Non-uniform segmental stretching with different shear rates under steady shear.

γ&= 0.1, 1, 10, 100, 500,

respectively, and Z=20, α=0.

图3是在不同的Z 值下剪切应力和剪切粘度的计算结果；图4是在不同的α值下剪切应力和第一法向应力差的计算结果。

结果表明，链的拉伸和取向非常依赖于所处的链的位置，链的拉伸在链的中间位置最大，两边逐渐减小；而取向的xy 分量在剪切速率小时，也是中间位置取向大两边小，可当剪切速率大到某一值时，在链中间和末端的某一位置会出现极值，在此处取向的应力的贡献最大。取向xy 分量的这种较强的对链周线位置的依赖关系，最终影响了剪切应力的值，尤其是当剪切速率比较大的时候。另外，当剪切速率比较小时，剪切应力不受Z 的影响，因为此时流场不足以使链拉伸；当剪切速率比较大时，链就出于拉伸状态，而且链伸长的越长，对应力的贡献越大。同样，当剪切速率小时，对链用高斯统计还是非高斯统计计算的结果基本没有差别；当剪切速率较大时，使用高斯统计会使得应力的结果偏大。实际上，在大剪切下链的分布已经偏离了高斯分布，使用非高斯统计会更接近真实。总之，当剪切速率比较小时，DE 理论很好地描述了高分子熔体的粘弹性质。反之，当剪切应力比较大时，就要需要考虑有流场所带来的各种效应，并对DE 理论进行修正，才

能得到更接近实验的结果。

参考文献：

[1] Larson RG, Constitutive Equation for Polymer Melts and Solutions, Butterworths, Guildford, 1988

[2] de Gennes, PG, J. Chem. Phys., 1971, 55: 572

[3] Ianniruberto G and Marrucci G, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 1996, 65: 241

[4] Doi M and Edwards SF, The Theory of Polymer Dynamics, Clarendon, Oxford, 1986

[5] Mead DW and Larson RG, Macromolecules, 1998, 31: 7895

A New Contour-Variable Model of Constitutive Equations

Shuanhu Qi, Dadong Yan

Institute of Chemistry, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100080

Abstract：

Constitutive equations in polymer melts are mathematical relationships between the stress and the external flow conditions. In a flow, the long linear polymer chains become oriented and stretched, which generate stress as the response to the external flow. The optical-stress law guarantees a linear relationship between stresses and the orientational tensor, while the relationship between the stress and the stretching is more complicated. The entanglements in polymer melts are non-crosslinked. They continuously generate and become relaxed. The stress is in relation with the rate of relaxation. The segmental stretching and orientation are functions of contour variables, and they are non-uniform.

A new contour-variable model including non-uniform segmental stretching, non-uniform rate of convective constraint release and non-Gaussian chain is developed. The case of simple shear is focused at and the closed equations are solved numerically. The dynamics of polymer chains and some rheological properties of the melts are studied. The results indicate that segmental stretching and orientation are strongly dependent on the location of this segment. This subsequently influences the value of the shear stress, especially in the large shear rate region.

Key Words: constitutive equations, orientation, stretching, relaxation

高分子材料的高弹性和粘弹性

第二节高分子材料的高弹性和粘弹性 本章第二、三节介绍高分子材料力学性能。力学性能分强度与形变两大块，强度指材料抵抗破坏的能力，如屈服强度、拉伸或压缩强度、抗冲击强度、弯曲强度等；形变指在平衡外力或外力矩作用下，材料形状或体积发生的变化。对于高分子材料而言，形变可按性质分为弹性形变、粘性形变、粘弹性形变来研究，其中弹性形变中包括普通弹性形变和高弹性形变两部分。 高弹性和粘弹性是高分子材料最具特色的性质。迄今为止，所有材料中只有高分子材料具有高弹性。处于高弹态的橡胶类材料在小外力下就能发生100-1000%的大变形，而且形变可逆，这种宝贵性质使橡胶材料成为国防和民用工业的重要战略物资。高弹性源自于柔性大分子链因单键内旋转引起的构象熵的改变，又称熵弹性。粘弹性是指高分子材料同时既具有弹性固体特性，又具有粘性流体特性，粘弹性结合产生了许多有趣的力学松弛现象，如应力松弛、蠕变、滞后损耗等行为。这些现象反映高分子运动的特点，既是研究材料结构、性能关系的关键问题，又对正确而有效地加工、使用聚合物材料有重要指导意义。 一、高弹形变的特点及理论分析 （一）高弹形变的一般特点 与金属材料、无机非金属材料的形变相比，高分子材料的典型高

弹形变有以下几方面特点。 1、小应力作用下弹性形变很大，如拉应力作用下很容易伸长100%~1000%（对比普通金属弹性体的弹性形变不超过1%）；弹性模量低，约10-1~10MPa（对比金属弹性模量，约104~105MPa）。 2、升温时，高弹形变的弹性模量与温度成正比，即温度升高，弹性应力也随之升高，而普通弹性体的弹性模量随温度升高而下降。 3、绝热拉伸（快速拉伸）时，材料会放热而使自身温度升高，金属材料则相反。 4、高弹形变有力学松弛现象，而金属弹性体几乎无松弛现象。 高弹形变的这些特点源自于发生高弹性形变的分子机理与普弹形变的分子机理有本质的不同。 （二）平衡态高弹形变的热力学分析 取原长为l0的轻度交联橡胶试样，恒温条件下施以定力f，缓慢拉伸至l0+ d l 。所谓缓慢拉伸指的是拉伸过程中，橡胶试样始终具有热力学平衡构象，形变为可逆形变，也称平衡态形变。 按照热力学第一定律，拉伸过程中体系内能的变化d U为： dU- = dQ dW （4-13） 式中d Q为体系吸收的热量，对恒温可逆过程，根据热力学第二定律有， dQ= TdS （4-14）

高分子物理考研习的题目整理07聚合物地黏弹性

1 黏弹性现象 1.1 黏弹性与松弛 ①什么是聚合物的力学松弛现象？什么是松弛（弛豫）时间？ 聚合物的力学性质随时间变化的现象称为力学松弛现象。在一定的外力和温度下，聚合物受外力场作用的瞬间开始，经过一系列非平衡态（中间状态）而过渡到与外力性质相适应的平衡态（终态）所需要的时间称为松弛时间，这个时间通常不是很短。 ②有什么物理量表示松弛过程的快慢？聚合物为什么具有松弛时间谱？ 用松弛时间τ。聚合物是有多重结构单元组成的，其运动是相当复杂的。它的力学松弛过程不止一个松弛时间，而是一个分布很宽的连续的谱，称为松弛时间谱。 ③什么是黏弹性？ 聚合物的形变的发展具有时间依赖性，这种性质介于理想弹性体和理想黏性体之间，称为黏弹性。黏弹性是一种力学松弛行为。 ④（1）分别列举两例说明聚合物弹性中伴有黏性（称为黏弹性）和黏性中伴有高弹性（称为弹黏性）的现象。（2）分别说明橡胶弹性中带黏性和聚合物中黏性熔体中带弹性的原因。（3）成型加工中如何降低橡胶的黏性和聚合物熔体的弹性？ （1）橡胶的应力松弛和拉伸断裂后有永久变形都是黏弹性。挤出物长大效应和爬杆效应是弹黏性。 （2）橡胶分子链构象改变时需要克服摩擦力，所以带有黏性。聚合物分子链质心的迁移是通过链段的分段运动实现的，链段的运动会带来构象的变化，所以高分子带有弹性。 （3）降低橡胶黏性方法是适度交联。在成型加工中减少成型制品中的弹性成分的办法是：提高熔体温度，降低挤出速率，增加口模长径比，降低相对分子质量，特别是要减少相对分子质量分布中高相对分子质量尾端。 ⑤用松弛原理解释非晶态聚合物的力学三态行为。 聚合物在低温或快速形变时表现为弹性，松弛时间短，形变瞬时达到瞬时恢复，此时处于玻璃态。聚

用分离变量法解常微分方程

用分离变量法解常微分 方程 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

用 分离变量法解常微分方程 . １ 直接可分离变量的微分方程 形如 dx dy = ()x f ()y ? 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（）改写成 ) (y dy ?= ()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到 通解：? )(x dy ?=? dx x f )(+c. 其中，c 表示该常数，? )(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程的解. 例1 求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量： (2)两边积分： c x dx y dy +-=-? ? 2 2 11 ， 得 c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.

例2 曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率. 解：由题意得 y '- =1法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1 x X y y Y -' - =-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(1 2x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='， 分离变量，解得 x +2 其中c 为任意正数，如图1. ２ 变量可替换的微分方程 种可化为变量分离方程的类型: 齐次方程 形如 ?? ? ??=x y dx dy ?

高分子材料熔体的拉伸粘度测量方法

研究生课程论文(2010-2011学年第二学期) 高分子材料性能测试与表征 研究生：周婷

高分子材料熔体的拉伸粘度测量方法 周婷 （华南理工大学聚合物成型加工工程教育部重点实验室聚合物新型成型装备国家工程研究中心，广东广 州510640） 摘要：材料的拉伸流变性能对加工工艺过程和制品的最终性能都会产生重要影响。为此，本文介绍了近年来应用较广的几种聚合物流体拉伸流变测量技术：拉伸蠕变技术，Meissner拉伸流变技术（RME）、改进旋转流变技术（MRR）、纤维撕扯流变技术（FSR）、Sentmanat拉伸流变技术（SER），虚拟仪器技术。分析和总结了它们的结构原理、发展趋势和应用中存在的问题。 关键词：高分子材料；拉伸粘度；拉伸流变测量 The measuring method of melt’s extensional viscosity for polymer fluid Zhou Ting (The Key Laboratory of Polymer Processing Engineering of Ministry of Education, National Engineering Research Center of Novel Equipment for Polymer Processing, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China) Abstract:The extensional rheology property of polymer play an important role in the processing technological process and the ultimate performance. So, several measuring techniques of extensional rheological parameters for polymer fluids that are mostly used in recent years, which include Tensile creep technology, Meissner-type rheometer(RME), modified rotational rheometer(MRR), filament stretching rheometer(FSR), Sentmanat extensional rheometer (SER), and virtual instrument technology are introduced. Their structure principles, development trends and problems within applications are analyzed and summarized. Keywords: polymer fluid; extensional viscosity; extensional rheology measurements 近年来，聚合物流体拉伸流变测量技术渐渐成为聚合物加工领域研究的焦点。这是因为在纺丝、发泡、吹膜、吹塑、注塑及挤出等许多聚合物加工过程中，拉伸流体的拉伸粘度、应变硬化、弹性及稳定性等因素都会对产品的最终性能产生重要影响[1-5]。 相对于剪切流变参数而言，测量拉伸流变参数难度要大很多，一方面是因为难以得到维持稳定的拉伸流动状态；另一方面，对于很多实际的聚合物加工过程，最重要的参数并非流体的稳态拉伸粘度，而是它的瞬态拉伸粘度。同时，在拉伸流变参数的测量过程中，还常常受到多种因素的干扰，使得测量失去准确性。这些因素包括材料粘度属性、端部效应、温度控制、试样准备以及仪器校正等。 1 拉伸粘度 如果引起聚合物熔体的流动不是剪切应力而是拉伸应力时，则有拉伸粘度[6]： （1）式中为拉伸应变速率，为拉伸应力或真实应力，是以拉伸时真正断面面积计算的。一个流体单元长度由原长l0变至l0+d l0的拉伸流动时，形状发生了不同于剪切流动的变化。 由此可见剪切流动是与拉伸流动有区别的，前者是流体中一个平面在另一个平面的滑动，而后者则是一个平面两个质点问的距离拉长。此外，拉伸粘度还随所拉应力是单向、双

高数可分离变量的微分方程教案

§7. 2 可分离变量的微分方程 观察与分析: 1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得 y =x 2+C . 一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=?)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解. 因为y 是未知的, 所以积分? dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为 xdx dy y 212 =, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C x y +-=21, 可以验证函数C x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=?(x , y )能写成 g (y )dy =f (x )dx 形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C , 由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程: 一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 在这种方程中, 变量x 与y 是对称的. 若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x P y x Q dy dx -=.

可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成 g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=?(x )ψ(y )) 的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ?y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ?dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是. (4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ?y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ?10-y dy =10x dx . (6)x y y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法: 第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式; 第二步 两端积分:??=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y ) G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dx dy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得 xdx dy y 21=, 两边积分得 ??=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2 112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2 x Ce y =. 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律.

第三章 高分子溶液(2).

π 渗透压的产生是由于溶液的蒸汽压的降低 由于： 故：

溶剂可从良溶剂转变为劣溶剂，或从劣溶剂转变为良溶剂，从而导致高分子在溶剂中的溶解能力的变化。 G ?<聚合物与溶剂在任意比例下完全互溶?'?'' a ? b ?下变化时可能发生相分离，称为亚稳态。 ?'?'' a ? b ?当： 相分离的临界条件即为： 211C ?= +21C ?= 当 有： 1x 111 C χ=+熵的贡献

14 二、相分离的动力学 1、旋节线机理 体系的总组成位于两拐点之间，相分离按照旋节线机理进行。相分离自发缓慢进行，两相组成随时间逐渐变化，接近平衡组成。 分散相微区有一定的连接 最终形成双连续结构 相畴（即微区）尺寸的增长： 扩散 液体流动16 2、成核与生长机理 体系的总组成位于极小值和拐点之间，相分离按成核和生长机理进行。相分离必须克服热力学位垒，形成两分散相的核，然后不断生长。 分散相一般不会相互连接。 所需的界面能有关，即依赖于界面张力系数和核的表面积。 形态结构为：珠滴/基体型（海岛结构） 18 ★处于均相的共混物，当因温度的改变而进入旋节线和双节线之间的区域时，体系在热力学上处于亚稳态，不会进行相分离，但“相核”一旦形成，相分离便按成核和生长机理进行。★当体系随温度变化进入旋节线内的区域时，体系在热力学上是不稳定的，会自动产生相分离，相分离按照旋节线机理进行。

20含结晶性聚合物共混物的相分离过程（了解） Phase diagram of Polycaproloactone/Polystyrene (PCL/PS, 聚己内酯/聚苯乙烯) blends A ：旋节相分离和结晶同时进行 B ：双节线相分离和结晶同时进行 C ：结晶诱导相分离 D ：相分离诱导结晶 E ：共混物淬冷到玻璃态，随后加 热过程中发生旋节相分离，同时诱导聚合物结晶。 凝胶和冻胶高分子溶液失去流动性

第7章聚合物的粘弹性

第7章聚合物的粘弹性7.1基本概念 弹：外力→形变→应力→储存能量→外力撤除→能量释放→形变恢复 粘：外力→形变→应力→应力松驰→能量耗散→外力撤除→形变不可恢复 理想弹性： 服从虎克定律 σ＝E·ε 应力与应变成正比，即应力只取决于应变。 理想粘性：服从牛顿流体定律 应力与应变速率成正比，即应力只取决于应变速率。 总结：理想弹性体理想粘性体 虎克固体牛顿流体

能量储存能量耗散 形状记忆形状耗散 E＝E(σ.ε.T) E＝E(σ.ε.T.t) 聚合物是典型的粘弹体，同时具有粘性和弹性。 E＝E(σ.ε.T.t) 但是高分子固体的力学行为不服从虎克定律。当受力时，形变会随时间逐渐发展，因此弹性模量有时间依赖性，而除去外力后，形变是逐渐回复，而且往往残留永久变形(γ∞)，说明在弹性变形中有粘流形变发生。 高分子材料(包括高分子固体，熔体及浓溶液)的力学行为在通常情况下总是或多或少表现为弹性与粘性相结合的特性，而且弹性与粘性的贡献随外力作用的时间而异，这种特性称之为粘弹性。粘弹性的本质是由于聚合物分子运动具有松弛特性。 7.2聚合物的静态力学松弛现象 聚合物的力学性质随时间的变化统称为力学松弛。高分子材料在固定应力或应变作用下观察到的力学松弛现象称为静态力学松弛，最基本的有蠕变和应力松弛。 (一)蠕变 在一定温度、一定应力的作用下，聚合物的形变随时间的变化称为蠕变。

理想弹性体：σ＝E·ε。 应力恒定，故应变恒定，如图7-1。 理想粘性体，如图7－2， 应力恒定，故应变速率为常数，应变以恒定速率增加。 图7-3 聚合物随时间变化图聚合物：粘弹体，形变分为三个部分; ①理想弹性，即瞬时响应：则键长、键角提供； ②推迟弹性形变，即滞弹部分：链段运动 ③粘性流动：整链滑移

高分子材料成型加工课后部分习题参考答案

2．分别区分“通用塑料”和“工程塑料”，“热塑性塑料”和“热固性塑料”，“简单组分高分子材料”和“复杂组分高分子材料”，并请各举2～3例。 答：通用塑料：一般指产量大、用途广、成型性好、价廉的塑料。通用塑料有：PE，PP，PVC，PS等； 工程塑料：是指拉伸强度大于50MPa，冲击强度大于6kJ/m2 ,长期耐热温度超过100℃的，刚性好、蠕变小、自 润滑、电绝缘、耐腐蚀等，可代替金属用作结构件的塑料。工程塑料有：PA，PET，PBT，POM等； 工程塑料是指被用做工业零件或外壳材料的工业用塑料，是强度、耐冲击性、耐热性、硬度及抗老化性均优的塑料。日本业界将它定义为“可以做为构造用及机械零件用的高性能塑料，耐热性在100℃以上，主要运用在工业上”。 热塑性塑料：加热时变软以至流动，冷却变硬，这种过程是可逆的，可以反复进行。聚乙烯、聚丙烯、聚氯乙烯、聚苯乙烯、聚甲醛、聚砜、聚苯醚，氯化聚醚等都是热塑性塑料。(热塑性塑料中树脂分子链都是线型或带支链的结构，分子链之间无化学键产生，加热时软化流动、冷却变硬的过程是物理变化；) 热固性塑料：第一次加热时可以软化流动，加热到一定温度，产生化学反应一交链固化而变硬，这种变化是不可逆的，此后，再次加热时，已不能再变软流动了。正是借助这种特性进行成型加工，利用第一次加热时的塑化流动，在压力下充满型腔，进而固化成为确定形状和尺寸的制品。这种材料称为热固性塑料。(热固性塑料的树脂固化前是线型或带支链的，固化后分子链之间形成化学键，成为三维的网状结构，不仅不能再熔触，在溶剂中也不能溶解。)酚醛、脲醛、三聚氰胺甲醛、不饱和聚酯、有机硅等塑料，都是热固性塑料。 简单组分高分子材料：主要由高聚物组成(含量很高，可达95%以上)，加入少量(或不加入)抗氧剂、润滑剂、着色剂等添加剂。如：PE、PP、PTFE。 复杂组分高分子材料：复杂组分塑料则是由合成树脂与多种起不同作用的配合剂组成，如填充剂、增塑剂、稳定剂等组成。如：PF、SPVC。 用天然或合成的聚合物为原料，经过人工加工制造的纤维状物质。可以分类两类 1）人造纤维：又称再生纤维，以天然聚合物为原料，经过人工加工而改性制得。如：粘胶纤维、醋酸纤维、蛋白质纤维等 2）合成纤维：以石油、天然气等为原料，通过人工合成和纺丝的方法制成。如：涤纶、尼龙、腈纶、丙纶、氨纶、维纶等 3．高分子材料成型加工的定义和实质。 高分子材料成型加工是将聚合物(有时还加入各种添加剂、助剂或改性材料等)转变成实用材料或制品的一种工程技术。 大多数情况下，聚合物加工通常包括两个过程:首先使原材料产生变形或流动，并取得所需要的形状，然后设法保持取得的形状(即硬化)，流动-硬化是聚合物工过程的基本程序。 高分子材料加工的本质就是一个定构的过程，也就是使聚合物结构确定，并获得一定性能的过程。 第一章习题与思考题 2．请说出晶态与非晶态聚合物的熔融加工温度围，并讨论两者作为材料的耐热性好坏。 答：晶态聚合物：Tm～Td；非晶态聚合物：Tf～Td。 对于作为塑料使用的高聚物来说，在不结晶或结晶度低时，最高使用温度是Tg，当结晶度达到40%以上时，晶区互相连接，形成贯穿整个材料的连续相，因此在Tg以上仍不会软化，其最高使用温度可提高到结晶熔点。熔点（Tm）：是晶态高聚物熔融时的温度。表征晶态高聚物耐热性的好坏。 3．为什么聚合物的结晶温度围是Tg～Tm？ 答：T>Tm 分子热运动自由能大于能，难以形成有序结构 T

第三章 高分子溶液课后习题

第3章高分子溶液 一、思考题 1．与高分子稀溶液相比，高聚物的浓溶液有何特性？ 2．为高聚物选择溶剂时可采用哪几个原则？对某一具体高分子—溶剂体系，这几个原则都适用吗？ 3．非晶态高聚物溶解与结晶高聚物溶解有何特点？为何说结晶高聚物比非晶高聚物的抗溶剂性好？结晶高聚物分别为极性和非极性时溶解机理有何不同？ 4．什么叫高分子的θ溶液，它与理想溶液有何区别？ 5．什么是溶剂化？结晶度、交联度和对聚合物的溶解度有怎样的影响？ 6．高分子溶液晶格模型与小分子溶液晶格模型有何不同？写出Flory-Huggins 理论中M S ?、M H ?、M G ?的表达式，该理论的假设有哪些不合理之处？Huggins 参数的物理意义是什么？ 7．何谓高聚物的溶胀比？如何测定它的数值？它与交联高聚物的网链平均分子量有何关系？ 8．增塑剂对高聚物的增塑机理有哪两种较极端的情况？实际高聚物中的增塑机理如何？ 9．什么是凝胶和冻胶？它们的结构区别是什么？何者能被加热溶解？ 二、选择题 1．下列哪个溶剂是θ溶剂？ （ ） ①1χ=0.1 ② 1χ=0.5 ③ 1χ=0.9 2．以下哪种溶剂是良溶剂？ ( ) ①1χ=1 ② 2A =1 ③α=1 3．对于给定相对分子质量的某一聚合物，在何时溶液黏度最大？ （ ） ①线型分子链溶于良溶剂中 ②支化分子链溶于良溶剂中 ③线型分子链溶于不良溶剂中 4．高分子良溶液的超额化学位变化 （ ） ①小于零 ②等于零 ③ 大于零 13．PVC 的沉淀剂是 （ ） ①环已酮 ② 氯仿 ③四氢呋喃 5．在高分子—良溶剂的稀溶液中，第二维利系数是 （ ） ①负数 ②正数 ③零 6．对于Flory-Huggins 的高分子溶液似晶格模型，符合其假定的是 （ ） ①V ?=0 ② H ?=0 ③ S ?=0 7．将高聚物在一定条件下（θ溶剂、θ温度）配成θ溶液，此时 ( ) ①大分子之间作用力=小分子之间作用力=大分子与小分子之间作用力 ②大分子之间作用力＞大分子与小分子之间作用力 ③大分子之间作用力＜大分子与小分子之间作用力 8．对非极性高聚物，选择溶剂应采用哪一原则较为合适？ （ ） ①极性相似原则 ②溶剂化原则 ③溶度参数相近原则

聚合物的粘弹性

第7章聚合物的粘弹性 7.1基本概念 弹：外力→形变→应力→储存能量→外力撤除→能量释放→形变恢复 粘：外力→形变→应力→应力松驰→能量耗散→外力撤除→形变不可恢复 理想弹性： 服从虎克定律 σ＝E·ε 应力与应变成正比，即应力只取决于应变。 理想粘性：服从牛顿流体定律 应力与应变速率成正比，即应力只取决于应变速率。 总结：理想弹性体理想粘性体 虎克固体牛顿流体 能量储存能量耗散 形状记忆形状耗散 E＝E(σ.ε.T) E＝E(σ.ε.T.t) 聚合物是典型的粘弹体，同时具有粘性和弹性。 E＝E(σ.ε.T.t) 但是高分子固体的力学行为不服从虎克定律。当受力时，形变会随时间逐渐发展，因此弹性模量有时间依赖性，而除去外力后，形变是逐渐回复，而且往往残留永久变形(γ∞)，说明在弹性变形中有粘流形变发生。 高分子材料(包括高分子固体，熔体及浓溶液)的力学行为在通常情况下总是或多或少表现为弹性与粘性相结合的特性，而且弹性与粘性的贡献随外力作用的时间而异，这种特性称之为粘弹性。粘弹性的本质是由于聚合物分子运动具有松弛特性。 7.2聚合物的静态力学松弛现象 聚合物的力学性质随时间的变化统称为力学松弛。高分子材料在固定应力或应变作用下观察到的力学松弛现象称为静态力学松弛，最基本的有蠕变和应力松弛。 (一)蠕变 在一定温度、一定应力的作用下，聚合物的形变随时间的变化称为蠕变。

理想弹性体：σ＝E·ε。 应力恒定，故应变恒定，如图7-1。 理想粘性体，如图7－2， 应力恒定，故应变速率为常数，应变以恒定速率增加。 图7-3 聚合物随时间变化图 聚合物：粘弹体，形变分为三个部分; ①理想弹性，即瞬时响应：则键长、键角提供； ②推迟弹性形变，即滞弹部分：链段运动 ③粘性流动：整链滑移 注：①、②是可逆的，③不可逆。 总的形变: (二)应力松弛 在一定温度、恒定应变的条件下，试样内的应力随时间的延长而逐渐减小的现象称为应力松弛。 理想弹性体：，应力恒定，故应变恒定 聚合物： 由于交联聚合物分子链的质心不能位移，应力只能松弛到平衡值。 应力松弛的原因是由于试样所承受的应力逐渐消耗于克服链段运动的内摩擦力。一般分子间有化学键交联的聚合物，由于不发生粘流形变，应力可以不松弛至零。 蠕变及应力松弛过程有强的温度依赖性，当温度低于Tg时，由于τ很大，蠕变及应力松弛过程很慢，

第三章高分子溶液

第三章高分子溶液 第四章聚合物的分子量和分子量分布 一、 基本概念 1、溶胀；无限溶胀；有限溶胀 2、数量分数；重量分数 3、数均分子量；粘均分子量；重均分子量；Z均分子量 4、多分散性指数；分子量分布宽度指数；分子量分布 5、哈金斯参数；第二维列系数；溶度参数 6、混合熵；混合热；混合自由能 7、凝胶；冻胶 8、级分；校正曲线；普适校正曲线 9、θ溶剂；θ温度；θ溶液 10、特性粘数；溶胀度 11、粘度；爱因斯坦粘度定律 12、物理交联和化学交联 13、散射；瑞利散射；瑞利因子 14、过量化学位 15、临界共溶温度；上临界共溶温度；下临界共溶温度 16、体积排斥理论 17、柱效；分辩率 18、Ｚimm作图法 19、数量微分分布，重量微分分布，积分分布 20、内干涉，外干涉 21，凝胶渗透色谱法 二、选择题 1、下列四种聚合物在各自的良溶剂中，常温下不能溶解的为（）。 A、聚乙烯， B、聚甲基丙烯酸甲酯， C、无规立构聚丙烯， D、聚氯乙烯 2、高分子溶液与小分子理想溶液比较，说法正确的是（）。 A、高分子溶液在浓度很小时，是理想溶液。 B、高分子溶液在θ温度时，△μ1E＝0，说明高分子溶液是一种真的理想溶液。 C、高分子溶液在θ条件时，△H M 和△S M 都不是理想值，不是理想溶液。 D、高分子溶液在θ条件时，高分子链段间与高分子链段和溶剂分子间相互作用不等。 3、聚合物溶度参数一般与其（）无关。 A、分子量 B、极性大小 C、分子间力 D、内聚能密度 4、Huggins参数χ1在θ温度下的数值等于（） A、0.0， B、0.5 ， C、1.0， D、2.0 5、溶剂对聚合物溶解能力的判定原则，说法错误的是（）。 A、“极性相近”原则 B、“高分子溶剂相互作用参数χ1大于0.5”原则 C、“内聚能密度或溶度参数相近”原则 D、“第二维修系数A2大于0”原则 6、下列哪种高聚物是单分散的为（） A、HDPE B、PVC C、DNA 7、渗透压法测得的平均分子量，其物理意义为（） A、数均分子量 B、粘均分子量 C、重均分子量

第二章 分离变量法(§2.1)

第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><

第三章高分子溶液

第三章习题 一、概念 1.溶度参数： 2. Huggins参数： 3.第二维利系数： 4. θ溶液： 二、选择答案 1、下列四种聚合物在各自的良溶剂中，常温下不能溶解的为（ A ）。 A、聚乙烯， B、聚甲基丙烯酸甲酯， C、无规立构聚丙烯， D、聚氯乙烯 2、高分子溶液与小分子理想溶液比较，说法正确的是（C ）。 A、高分子溶液在浓度很小时，是理想溶液。 B、高分子溶液在θ温度时，△μ1E＝0，说明高分子溶液是一种真的理想溶液。 C、高分子溶液在θ条件时，△H M 和△S M 都不是理想值，不是理想溶液。 D、高分子溶液在θ条件时，高分子链段间与高分子链段和溶剂分子间相互作用不等。 3、聚合物溶度参数一般与其（A ）无关。 A、分子量 B、极性大小 C、分子间力 D、内聚能密度 4、Huggins参数χ1在θ温度下的数值等于（B ） A、0.0， B、0.5， C、1.0， D、2.0 5、溶剂对聚合物溶解能力的判定原则，说法错误的是（B ）。 A、“极性相近”原则 B、“高分子溶剂相互作用参数χ1大于0.5”原则 C、“内聚能密度或溶度参数相近”原则 D、“第二维修系数A2大于0”原则 6、下列四种溶剂（室温下Huggings相互作用参数）中，室温能溶解聚氯乙烯的为（ A ）。 A、四氢呋喃（χ1＝0.14） B、二氧六环（0.52） C、丙酮（0.63）， D、丁酮（1.74） 7、下列四种溶剂中，对PVC树脂溶解性最好的是（ A ）。 A 环己酮， B 苯， C 氯仿， D 二氯乙烷 8、同一种聚合物在（ A ）中，其分子链的均方末端距最大。 A、良溶剂， B、浓溶液， C、熔体， D、θ溶液 三、填空题 1、Huggins参数和第二维利系数都表征了高分子“链段”与溶剂分子间之间的相互作用。 2、判定溶剂对聚合物溶解力的原则有(1)极性相近原则、(2) 溶度参数相近原则 和(3) 。 3、在高分子的θ溶液中，Huggins参数χ1＝1/2 ，第二维列系数A2＝0 ，此时高分子链段间的相互作用力等于高分子链段与溶剂分子间的作用力。 四、回答下列问题 1、为何称高分子链在其θ溶液中处于无扰状态？θ溶液与理想溶液有何本质区别？

高分子课后习题答案

第一章 1、请用粘弹性的滞后效应相关理论解释塑料注射成型制品的变形收 缩现象以及热处理的作用。 答： （1）粘弹性滞后效应是指在外作用力下，聚合物分子链由于跟不上外力作用速 度而造成的形变总是落后于外力作用速度的效应。 （2）当注射制件脱模时大分子的形变并非已经停止，在贮存和使用过程中，大 分子重排运动的发展，以致密度增加，体积收缩。 （3）在Tg—Tf温度范围对成型制品进行热处理，可以缩短大分子形变的松弛时间，加速结晶聚合物的结晶速度，使制品的形状能加快的稳定下来。 2、比较塑性形变和粘弹性形变的异同点。 答：同：都是不可逆变形。 异：（1）温度区间不同，塑性形变温度区间为Tg—Tf；粘性形变温度区间为Tf以上。 （2）作用力和时间不同，塑性形变需较大外力和较长时间；粘性形变要 很小的外力和瞬时。 3、什么是聚合物的力学三态，各自的特点是什么？各适用于什么加 工方法？ 答：玻璃态、高弹态、粘流态称为聚合物的力学三态。 （1）玻璃态：聚合物模量高，形变小，故不宜进行大形变的成型加工。适用：二次加工 （2）高弹态：产生较大的可逆形变；聚合物粘性大，且具有一定的强度。适用：较大变形的成型工艺。 （3）粘流态：很大的不可逆形变；熔体黏度低。适用：流动性要求较高的成型加工技术。 第二章 1、画出几种典型流体的剪切力-剪切速率流动曲线，并简单说明各自的流变行为特征。

1 答：宾汉流体：与牛顿流体相同，剪切速率～剪切应力的关系也是一条直线，不 同处：它的流动只有当高到一定程度后才开始。 假塑性流体：流体的表观粘度随剪切应力的增加而降低。也即切力变稀现象。 膨胀性流体：流体的表观粘度随剪切应力的增加而增加。也即切力增稠现象。 2、怎么样根据聚合物粘度的温敏特性以及切敏特性选择加工条件？ 答：（1）根据聚合物粘度的温敏特性，当聚合物处于粘流温度以上不宽的温 度范围内时，用 Andrade公式：选择尽可能打 的温度作为加工条件。当温度包括从玻璃化温度到熔点这样打的温度范围时，用 W.L.F方程： 计算温度T时的年度选择加工条件。 （2）根据切敏特性，加工过程中，通过调整敏感参数来实现对粘度的有效控制。 对于粘度对剪切速率敏感的一类聚合物，通过调整熔体剪切速率（或剪切力）来 改变熔体粘度。 3、影响聚合物粘度的因素分别有哪些？

2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc

2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc

第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （1.1） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈， 则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此

聚合物流变学复习题参考答案2

高分子流变学复习题参考答案 一、名词解释： 1、蠕变：在一定温度下，固定应力，观察应变随时间增大的现象。 应力松弛：在温度和形变保持不变的情况下，高聚物内部的应力随时间而逐渐衰减的现象。 或应力松弛：在一定温度下，固定应变，观察应力随时间衰减的现象。 2、时－温等效原理：升高温度和延长时间对分子运动及高聚物的粘弹行为是等效的，可用一个转换因子αT将某一温度下测定的力学数据变成另一温度下的力学数据。 3、熔体破裂：聚合物熔体在高剪切速率时，液体中的扰动难以抑制并易发展成不稳定流动，引起液流破坏的现象。 挤出胀大：对粘弹性聚合物熔体流出管口时，液流直径增大膨胀的现象。 4、.熔融指数：在标准熔融指数仪中，先将聚合物加热到一定温度，使其完全熔融，然后在一定负荷下将它在固定直径、固定长度的毛细管中挤出，以十分钟内挤出的聚合物的质量克数为该聚合物的熔融指数。 5、非牛顿流体：凡不服从牛顿粘性定律的流体。 牛顿流体：服从牛顿粘性定律的流体。 6、假塑性流体：流动很慢时，剪切粘度保持为常数，而随剪切速率或剪切应力的增大，粘度反常地减少——剪切变稀的流体。 胀塑性流体：剪切速率超过某一个临界值后，剪切粘度随剪切速率增大而增大，呈剪切变稠效应，流体表观“体积”略有膨胀的的流体。 7、粘流活化能：在流动过程中，流动单元（即链段）用于克服位垒，由原位置跃迁到附近“空穴”所需的最小能量。 8、极限粘度η∞：假塑性流体在第二牛顿区所对应的粘度（即在切变速率很高时对应的粘度）。 9、拉伸流动：当粘弹性聚合物熔体从任何形式的管道中流出并受外力拉伸时产生的收敛流动。 或拉伸流动：质点速度仅沿流动方向发生变化的流动。 剪切流动：质点速度仅沿着与流动方向垂直的方向发生变化的流动。 10、法向分量：作用力的方向与作用面垂直即称为应力的法向分量。 剪切分量：作用力的方向与作用面平行即称为应力的剪切分量。 11、粘流态：是指高分子材料处于流动温度（T f）和分解温度（T d）之间的一种凝聚态。 12、宾汉流体：在流动前存在一个剪切屈服应力σy。只有当外界施加的应力超过屈服应力才开始流动的流体。 13、稳定流动：流动状态不随时间而变化的流动。 14、零切黏度——剪切速率趋向于零时的熔体黏度，即流动曲线的初始斜率。 15、非牛顿性指数：幂律公式 ? =n s Kγ σ中的n是表征流体偏离牛顿流动的程度的指数，

第二章 分离变量法(§2.2,§2.3)

§2.2 有限杆上的热传导 定解问题：一均匀细杆，长为l ，两端坐标为l x x == ,0。杆的侧面绝热，且在端点0=x 处温度为零，而在l x = 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为)(x ?，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题： .0 ),(u 0, ,0hu ,0u 0, l,0 ,0002 2 2l x x t x u t x x u a t u t l x x ≤≤=>=+??=><<=??-??===? 仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤，设)()(),(t T x X t x u =，代入上面的方程可得 ?????=+=+?-==. 0)()(,0)()() ()()()( 2 ' '22'2 2'''x X x X t T a t T x T a x T x X x X βββ 从而可得通解 x B x A x X ββsin cos )(+= 由边界条件知 .0)()(,0)0('=+=l hX l X X 从而 ?? ???-=?=+=.tan 0sin cos , 0h l l h l A βββββ 令 αγ γαβγ=?- ==tan 1 ,hl l 上方程的解可以看作曲线γtan 1=y ，αγ=2y 交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根 ,,21n γγγ 于是得到特征值问题的无穷个特征值

1,2,3...) (n ,2 2 2== l n n γβ 及相应的特征函数 x B x X n n n βsin )(= 再由方程0)()(22'=+t T a t T β， 可得 t a n n n e A t T 2 2)(β-=， 从而我们得到满足边界条件的一组特解 x e C t x u n t a n n n ββsin ),(2 2-= 由于方程和边界条件是齐次的，所以 ∑∞ =-=1 sin ),(2 2n n t a n x e C t x u n ββ 仍满足此方程和边界条件。 下面研究一下其是否满足初始条件。 )(sin 1 x x C n n n ?β=∑∞ = 可以证明}{sin x n β在区域[0,l]上具有正交性，即 ?≠=l m n xdx x 0 n m ,0sin sin ββ 证明： ) )((sin cos cos sin ))((2)sin()()sin()( ) (2)sin()(2)sin( ))cos()(cos(2 1sin sin 00=+--- =+-+---+=++- --=--+- =??m n m n m n n m n m m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n l m n m n l m n l l l l l l l l dx x x xdx x ββββββββββββββββββββββββββββββββββββ 完成。 令 ?=l n n n xdx x L 0 ,sin sin ββ 于是， ?= l n n n xdx x L C 0 sin )(1β ?