Bessel方程及Bessel函数

第一部分 Bessel 函数

(阶数或自变量趋于0或无穷时，各种Bessel 函数的极限值，可以利用Mathematica 试算推得。)

一、Bessel 方程及其通解

0)(2

2

2

2

2

=-++y n x

dx

dy x

dx

y d x

（1）

上式称为以x 为宗量的n 阶Bessel 方程。

●当n 为整数时，（1）式的通解为

)()(x BY x AJ

y n n

+= （2）

其中，A 、B 为任意实数；

)(x J n 为n 阶第一类Bessel 函数；

)(x Y n 为n 阶第二类Bessel 函数（或称为“诺依曼(Neumann)函数”）。

●当n 不为整数时，例如，v n =，（1）式的通解可表示为如下两种形式

)()(x BJ

x AJ y v

v -+= （3）

)()(x BY x AJ y v v += （4）

其中，A 、B 为任意实数；

)(x J v 和)(x J v -分别称为v 阶和v -阶第一类Bessel 函数； )(x Y v 称为v 阶第二类Bessel 函数。

另外，Bessel 方程的通解还可以表示为

)()()2()1(x BH

x AH

y v

v

+=

其中，)()()()

1(x iY x J x H v v v +=，)()()()

2(x iY x J x H v v v -=分别称为称为第一类和第二类汉克尔（Hankel ）函数，或统称为第三类Bessel 函数。

●值得注意的是， ∞=-→)(lim 0

x J v x ，∞=→)(lim 0x Y v x ，∞=→)(lim 0

x Y n x ，当所研究的问题的区域

包含0=x 时，由于要求Bessel 方程的解在0=x 处取有限值，所以，此时对（2）、（3）、（4）式而言，必有0=B 。此条件称为“Bessel 方程的自然边界条件”。

例1：02

2=+'+

''y x y x y x λ （10<≤x ）

此式为以x λ为宗量的0阶Bessel 方程，其通解为

)()(00x BY x AJ y λλ+=

另外，由于所求解问题的区域10<≤x 包含0=x ，根据Bessel 方程的自然边界条件，必然有0=B ，通解最后简化为

)(0x AJ y λ=

例2：0)413(2

2=-+'+

''y x

y x y x 为以x 3为宗量的21阶Bessel 方程，其通解为

)3()3(2

12

1x BJ

x AJ

y -+= 或 )3()3(212

1x BY x AJ

y +=

例3：0)(12

22

=-

+'+

''y x

m k

y x

y

上式两边同乘以2

x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的m 阶Bessel 方程

0)(2

2

2

2

=-+'+''y m k

x y x y x （0≠x ）

例4：012

=+'+

''y k y x

y

上式两边同乘以2

x ，可将其化为如下的以kx 为宗量的0阶Bessel 方程

02

2

2

=+'+''y k x y x y x （0≠x ）

即：0)0(2

222=-+'+''y k x y x y x （0≠x ）

例5：0)]1([22

22

2

2

=+-++R l l r k r

d R d r

r

d R d r

令r k x =，x

x y r R 2)

()(π=，则可以将上式化为如下的21+l 阶Bessel 方程

0])21([2

22

2

2

=+-++y l x x

d y d x

x

d y d x

二、虚宗量Bessel 方程及其通解

0)(2

2

2

2

2

=+-+y n x

dx

dy x

dx

y d x

（5）

上式称为“n 阶虚宗量的Bessel 方程”或“n 阶修正的Bessel 方程”，其通解为

)()(x BK

x AI y n

n += （6）

其中，A 、B 为任意实数；

)(x I n 为“n 阶第一类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第一类虚宗量Bessel 函数”； )(x K n 为“n 阶第二类修正的Bessel 函数”，或称为“n 阶第二类虚宗量Bessel 函数”。

n 阶虚宗量的Bessel 方程也常常写为

0)1(12

22

2

=+

-+

y x

n dx

dy x dx

y d （7）

（7）式与（5）式的区别仅在于0≠x 。

三、Bessel 函数

1．第一类Bessel 函数

1.1 第一类Bessel 函数的定义式

Bessel 函数)(x J n 的定义式为

∑

∞

=+?

?

? ??++Γ-=

22)1(!)

1()(k k

n k

n x k n k x J （8）

当n 不为整数时，例如，v n =，非整数阶Bessel 函数)(x J v 为

∑

∞

=+?

?

? ??++Γ-=

22)1(!)

1()(k k

n k

v x k v k x J （9）

注：求)(x J v 的方法

方法1）先求)1(++Γk v 的数值解，再用（9）式求)(x J v 。 方法2）非整数阶Bessel 函数也可以通过后文的递推关系得出。

当n 为正整数或零时，)!()1(k n k n +=++Γ，整数阶Bessel 函数)(x J n 的表达式为

∑

∞

=+?

?

? ??+-=

22)!(!)

1()(k k

n k

n x k n k x J （10）

注：求)(x J n 的方法

方法1）直接用（10）式求)(x J n 。

方法2）整数阶Bessel 函数也可以通过后文的递推关系得出。

注：奇数阶Bessel 函数为奇函数；偶数（包括零）阶Bessel 函数为偶函数；——可以在Mathematica 中作图来观察。

整数阶Bessel 函数)(x J n 还有如下的积分表达式

θθθπ

π

πd n x x J n ?-

-=

)sin cos(

21)( （11）

上式还写为

?---+Γ=

1

1

2

12)

1()

21

()

2()(dt e

t n J t

i n n

n ξπξξ

例如，

)(111

01

1

2

ξπ

ξJ dt e

t t

i =-?

- （注意：π=

Γ)21(）

或：

)(11

022

ξπ

ξc J dt e

t

c c

c

t

i =-?

-

整数阶Bessel 函数)(x J n 还有如下的加法表达式

∑

∞

-∞

=-=

+k k n k n b J a J b a J )()()( （12）

当0>=N n 时，由于)1(,,2,1,0-=N k 时，

)

1(1

++-Γk N 均为零，所以

)()

1(2)1(!)

1()(2x J x k N k x J N N

N

k k

N k

N -=?

?

? ??++-Γ-=

∑

∞

=+--

当n 为整数时，)cos()()()1()(πn x J x J x J n n n

n =-=-。 由（8）式可得：

1)0(0=J ，0)0(=m J （0≠m ）。

1)(lim 00

=→x J x ， 0)(lim 0

=±→x J n x （0≠n ，n 为整数）

1.2 第一类Bessel 函数的递推公式

)()()(211x J x J x J x

v v v v +-+= （13）

[])()(1x J x x J x v v v v

-=' 或 []

)()(1x J x x J x v v

v v ξξξ-=' （14） [])()(1x J x x J x

v v v v

+---=' 或 []

)()(1x J x x J x v v

v v ξξξ+---=' （15）

-------------------------------------------------------------------------------------------- 上面（14）、（15）的第二种写法在Penny-shaped crack 问题中有重要应用。其推导为：

)()()

d()

()(d d )

d()

d()()(d d )

()(d 1x J x x x J x x

x x x J x x

x J x v v

v v

v v

v v

ξξξξξξξ

ξξξξξξ-===

?

)()(d )

()(d 1x J x x x J x v v v v

ξξξξξ-=两边同除以v

ξ得：

)(d )

(d 1x J x x

x J x v v

v v

ξξξ-=；

同理：

)()

()

d()

()

(d d )

d()

d()()

(d d )

()

(d 1x J x x x J x x

x x x J x x

x J x v v

v v

v v

v v

ξξξξξξξ

ξξξξξξ+-----===

?

)()

(d )

()

(d 1x J x x

x J x v v

v v

ξξξξξ+---=两边同除以v

-ξ

得：

)(d )(d 1x J x

x

x J x

v v

v v

ξξξ+---=

--------------------------------------------------------------------------------------------

)()()(211x J x J x J v v v

+--=' （16） 类似地，有：)()()(211x J x J x J v v v ξξξξξ+--='——这种写法在Penny-shaped crack 问题中有重要应用。

由（13）式和（16）式还可得

)()()(1x J x v x J x J v v v

-='-

类似地，有：)()()(1x J x

v x J x J v v v ξξξξ-='-——这种写法在Penny-shaped crack 问题中有重要应

用。

注意：递推公式中v 为任意实数。

由（15）式可得：

)()(10

x J x J -='或)()(10x J x J ξξξ-='——这种写法在Penny-shaped crack 问题中有重要应用。 （14）式和（15）式还可以用积分关系表示为

Const x J x dx x J x n n

n n

+=?-)()(1 （17） Const x J x

dx x J x

n n

n n

+-=-+-?

)()(1 （18）

由（18）式可得：

Const x J dx x J

+-=?)()(01

（19）

由递推公式可见：

（1）利用)(0x J 和)(1x J 的值可以递推出任意正整数阶的Bessel 函数的值。

)

()

!(2

)

1()

!3(2)

!2(22

12)!()1()(2

222

6

6

2

4

4

2

20

22

0x J k x x

x

x x k x J n k

k

k

k k

k

=+-++-

+

-

=???

??-=

∑

∞

= （20）

++-++-

+

-

=

?

?? ??+-=

++∞

=+∑

)!

1(!2

)

1(!

4!32!

3!22!

222

2)!1(!)

1()(1

21

27

7

5

5

33

21k k x x

x

x

x x k k x J k k k

k k

n k

（21）

注：其实任意整数阶Bessel 函数直接利用（10）式计算即可，不必通过递推来得到。

（2）利用)(21x J 和)(21x J -的值可以递推出任意半奇数阶的Bessel 函数的值。

x x

x J s i n 2

)(21π=

（22）

x x x J cos 2

)(21π=

- （23）

??

? ????? ??-

=x x dx d x x

x J sin 12

)(2

323π （24） ??

? ????? ??=

-x x dx d x x

x J cos 12

)(2

323π

（25） ??

? ????? ??-=++x x dx d x x x J n

n n

n sin 12

)

1()(2121π （26） ??

?

????? ??=

++-x x dx d x x

x J n

n n cos 12

)(2

1)21(π

（27） 其中，算子n

dx d x ???

??1是算子dx d x 1连续作用n 次的缩写。例如????

?

???? ??=??? ????? ??x x dx d x dx d x x x dx d x sin 11sin 12

。 （26）式和（27）式还可以显式地表示为

????????? ??

-+??? ??-=

+2cos )(2sin )(2)(21πππn x x B n x x A x x J n ????????? ?

?

+-??? ??+=

+-2sin )(2cos )(2)()21(πππn x x B n x x A x x J n 其中， ∑

=-+-=

2

2)

2(1

)!2()!2()!2()1()(n r r

r

x r n r r n x A

??

???=≠--+++-=∑-=+)

0(0)0()

2(1

)!12()!12()!12()1()(2)1(01

2n n x r n r r n x B n r r r

附：第一类Bessel 函数的导函数的统一递推公式

)()]([x J x x J x dx

x d m v m v v v m

--=???

?

?? （A1-1） m v m v m v v m x x J x

x J dx

x d ++-=?????????? ??)()1()( （A1-2） 其中，v 为任意实数。

2．第二类Bessel 函数

非整数阶第二类Bessel 函数)(x Y v 的定义式为

)

sin()

()cos()()(ππv x J v x J x Y v v v --=

（28）

当v 为整数时，例如，n v =，

)

sin()

()cos()(lim

)(απαπαααx J x J x Y n

n -→-=

此时，可以按下述公式计算整数阶第二类Bessel 函数

)

,3,2,1(11

11

)

2

()!(!)

1(1

)

2

(!)!1(1

)5772.02

ln

)((2

)(1

1020

1

02 =??

?

??++++-----

+=

∑

∑∑

∑

-=-+=+∞

=-=+-n k k x

m n m x m m n x x J x Y m k m n k m

n m m

n m m

n n n π

ππ

（29）

∑

∑

-=∞

=+--

+=

10

20

2

001

1)2

()!()

1(2

)5772.02

ln

)((2

)(m k m

m m

k x

m x x J x Y π

π

（30）

∞=→)(lim 0

x Y n x ；

)()1()(x Y x Y n n

n -=-

)(x Y v 的递推公式：（注：与)(x J v 的递推公式完全一样！）

)()()(211x Y x Y x Y x

v v v v +-+= （31） []

)()(1x Y x x Y x v v

v v

-=' （32） []

)()(1x Y x x Y x

v v

v v

+---=' （33）

)()()(211x Y x Y x Y v v v +--=' （34）

由（31）式和（34）式还可得

)()()(1x Y x v x Y x Y v v v -

='-

（31）——（34）式的递推关系中，v 为任意实数。

（1）利用)(0x Y 和)(1x Y 的值可以递推出任意正整数阶第二类Bessel 函数的值。 （2）利用)(21x Y 和)(21x Y -的值可以递推出任意半奇数阶第二类Bessel 函数的值。

x x

x J x J x J x Y cos 2

)()

2sin()

()2cos()()(21212121πππ-

=-=-=-- （35）

x x

x J x J x J x Y sin 2

)()2sin()

()2cos()(lim

)(2121212

121πππα=

=---=--→- （36）

??

? ????? ??-=+++x x dx d x x x Y n

n n n cos 12

)

1()(211

21π （与)(21x J n +不一样！） ??

?

????? ??=

++-x x dx d x x

x Y n

n n sin 12

)(2

1)21(π

（与)()21(x J n +-不一样！

）

附：第二类Bessel 函数的导函数的统一递推公式（注：与)(x J

v

的递推公式完全一样！）

[]

)()(x Y x

x Y x

x d x d m v m

v v v

m

--=???

? ?? （A2-1）

m v m v m v v m

x x Y x x Y x d x d ++-=?????

????? ??)

()1()( （A2-1）

3．修正的Bessel 函数（虚宗量的Bessel 函数）

3.1 第一类修正的Bessel 函数

()∑

∞

=+-++Γ+Γ=

=0

2)

1()1(2)()(k k

v v v

v k v k x x i J i

x I （37）

++

+

+

=2

6

6

2

4

4

2

20)

!3(2)

!2(22

1)(x

x

x x I （38）

)()(x I x I n n =- （n 为非负整数）

)()1()(x I x I n n

n -=- （n 为非负整数，0≥x ）

递推公式： )]()([2)(11x I x I v

x x I v v v +--=

（与)(x J v 、)(x Y v 不一样！）

)]()([2

1)(11x I x I x I v v v +-+=' （与)(x J v 、)(x Y v 不一样！）

还可得： )()()(1x I x

v x I x I v v v -

='- （与)(x J v 、)(x Y v 一样！）

[]

)()(1x I x x I x

v v

v v

-=' （与)(x J v 、)(x Y v 一样！） v v v v x x I x x I )

()(1+='??

???? （与)(x J v 、)(x Y v 不一样！）

[]

)()(x I x

x I x

x d x d m v m

v v v

m

--=???

? ?? （与)(x J v 、)(x Y v 一样！）

m v m v v v m

x x I x x I x d x d ++=?????

????? ??)()( （与)(x J v 、)(x Y v 不一样！） 半奇数阶第一类修正的Bessel 函数： （与)(x J v 、)(x Y v 不一样！）

x x k x

x

x I k k sinh 2

)!12(2

)(0

1

221ππ=

+=

∑∞

=+；

x x

k x

x

x I k k

cosh 2

)!

2(2

)(0

221ππ=

=

∑

∞

=- ；

其中，双曲正弦2)()!12(sinh 01

2x

x k k e

e k x

x -∞

=+-=+=

∑

）；

双曲余弦2)()!

2(cosh 0

2x

x k k

e

e k x

x -∞

=+==

∑

??? ???

??? ??

=

++x x x d x d x x I n

n n sinh 2

)(2121π ???

???

??

? ??=

++-x x x d x d x x I n

n n cosh 2)(21)21(π 第一类修正的Bessel 函数的渐近公式：

当x 的值很大时，x

e

x I x

v π2)(=

可见，)(x I v 的渐近公式与阶数v 无关。

1)(lim 0

=→x I v x ， ∞=∞

→)(l i m x I v x

3.2 第二类修正的Bessel 函数（又称为白塞特（Basset ）函数）

()?????

???

?

??=??

?

??? ??+

-???+++Γ+Γ-+?

?? ??+Γ-Γ-≠-=∑

∑∑∑=+=∞

=++-=+--)

(11215772.02ln )1()1(2)1(2)1()()1(21

)()]()([)sin(2)(1

1021

1

02n v m m x r n r x x r r n n v x I x I v x K r

m r n m r r n n n r r n r v v v ππ

（39）

可见：)()(x K x K v v =- （其中，v 为任意实数）

第二类修正的Bessel 函数的递推公式：

)]()([2)(11x K x K v x x K v v v -+-=

（与)(x J v 、)(x Y v 、)(x I v 都不一样！） （40）

)]()([2

1)(11x K x K x K v v v +-+-=' （与)(x J v 、)(x Y v 、)(x I v 都不一样！）

还可得： )()()(1x K x

v x K x K v v v -

-='- （与)(x J v 、)(x Y v 、)(x I v 都不一样！）

[]

)()(1x K x x K x

v v

v v

--=' （与)(x J v 、)(x Y v 、)(x I v 都不一样！） v v v v x x K x x K )()(1+-='

?????? （与)(x J v 、)(x Y v 、)(x I v 都不一样！） []

)()1()(x K x

x K x

x d x d m v m

v m v v

m

---=???

?

?? （与)(x J v 、)(x Y v 、)(x I v 都不一样！）

m v m v m v v m

x x K x x K x d x d ++-=?????

????? ??)

()1()( （与)(x J v 、)(x Y v 一样！与)(x I v 不一样！） 半奇数阶第二类修正的Bessel 函数： （与)(x J v 、)(x Y v 、)(x I v 都不一样！）

x

e

x

x K -±=

2)(21π （千万注意：这里是

x

2π而不是

x

π2

） ；

???

?

???

??

? ??

-=-++±x e x d x d x x K x n

n n

n 21)21(2)

1()(π

第二类修正的Bessel 函数的渐近公式：

当x 的值很大时，x

v e

x

x K -=

2)(π

可见，)(x K v 的渐近公式与阶数v 无关。

∞=→)(lim 0

x K v x ， 0)(l i m =∞

→x K v x

4．第一类Bessel 函数的零点与正交性

4.1 第一类Bessel 函数的零点

（1）第一类 Bessel 函数)(x J n 有无穷多个单重实零点，且这些零点在x 轴上关于原点呈对称分布，故)(x J n 有无穷多个正零点。

（2）)(x J n 的零点与)(1x J n +的零点是彼此相间分布的。

（3）以)

(n m μ表示n 阶第一类 Bessel 函数)(x J n 的第m 个正零点，则当∞→m 时，)

()

(1n m n m μμ-+无限地接近于π，故)(x J n 几乎是以π2为周期的函数。

为了便于工程应用，第一类 Bessel 函数)(x J n （ ,2,1,0=n ）的零点)

(n m μ（ ,2,1,0=n ；

,2,1=m ）已被编制成表格供查用。

第一类 Bessel 函数)(x J n （ ,2,1,0=n ）的零点)

(n m μ（ ,2,1,0=n ； ,2,1=m ）还可以用如下的公式计算

??????++++--

= 6

42)

()4(105)4(5)4(3181A E

A D A C A

B A n m

μ （41） 其中，)22

1(2

m n A +-=

π， 24m B =， 317-=B C ， 3779982832

+-=B B

D ,

6277237158574315385569492

3

-+-=B B B E

4.2 第一类Bessel 函数的正交性

求如下问题的固有值λ及固有函数

??

??

???+∞<=<<=-+'+''=)

()()0()(0)()()

0(0

)()()()(222c P b r P a R r r P n r r P r r P r R r 自然边界条件

λ （a ）式的通解为

)()()(r BY r AJ r P n n λλ+=

由自然边界条件，得 0=B ，所以

)()(r AJ

r P n

λ=

将上式代入(b)式，可得

0)(=R J n λ

所以，固有值λ为：2

)

()(???

?

?

?=R n m n m

μλ

（ ,2,1=m ） （42）

与固有值λ相对应的固有函数为

?

??

?

??=r R J r P n m n m )()(μ （ ,2,1=m ） （43） 上述固有函数系??

?

???????????

??r R J n m n )(μ （ ,2,1=m ） 具有如下的正交性 ?

????==≠=???? ?????? ??+-?

)

()(2)(2

)(0)

(212)(212

)()

(k m J R J R k m dr r R J r R J r n m n n m n R n k n n m n μμμμ （44）

5．将函数展开为Fourier-Bessel 级数（或称为“广义Fourier 级数”）

5.1 Bessel 函数的模

(1) 对于第一类齐次边界条件0)()

(=n m n J μ，则Bessel 函数的模)

(n m N 可由下式确定

[]

[]

[]

2

)

(1

2

2

)

(1

2

2

)

()(2

1)(2

1n m n n m n n m

J

R

J

R

N μμ-+=

=

（45）

(2) 对于第二类齐次边界条件0)()

(='n m n

J μ，则Bessel 函数的模)

(n m N 可由下式确定 []

()[]

2

)

(2)(222

)

()(12n m n n m n m

J n

R

N μμ???

?

????-

=

（46）

(3) 对第三类齐次边界条件0)()()

()

(='+n m n

n m n J H J μμ，则Bessel 函数的模)

(n m N 可由下式确定 []

()()[]

2

)(2)(22)(22

2

)

()(112n m n n m n m n m

J H R n R

N μμμ????????+-=

（47）

5.2 将函数展开为Fourier-Bessel 级数

在区间],0[R 上，具有连续的一阶导数及分段连续的二阶导数的函数)(r f ，只要在0=r 处有界，在

R r =处等于零，则可以展开成如下的Fourier-Bessel 级数

∑

∞

=?

??

? ??=

1

)

()(m n m n m r R J A r f μ （48） 其中，dr r r R J r f N

A R n m n n m

m ?

?

??

?

??=

)

(2

)()(]

[1μ )

(n m N 需根据边界条件由（45）式、（46）式、（47）式来确定。

6．Bessel 函数的渐近公式

当x 的值很大时，Bessel 函数具有如下的渐近公式

)2

4

1cos(2

)(πππv x x

x J v --

≈

（49）

)2

4

1sin(2

)(πππv x x

x Y v -

-

≈

（50）

其中， v 为任意实数。

可见，)(x J v 和)(x Y v 都为振荡减函数，0)(lim =∞

→x J v x ，0)(lim =∞

→x Y v x ； -∞==→→)(lim )(lim 10

00

x Y x Y x x 。

7．整数阶Bessel 函数的母函数、积分表示式、加法表示式

由于)

1(2

1

z

z x e

-

可以用整数阶第一类Bessel 函数表示为如下级数（证明略）

∑

∞

-∞=-

=

n n

n z

z x z x J e

)()

1(2

1

（∞<

所以，将)

1(2

1

z z x e -

称为整数阶第一类Bessel 函数的母函数。

令ζ

i e

z =，2πψζ-=，πθψ+=，则（51）式还有如下三种写法：

∑

∞

-∞

==

n n i n x i e

x J e ζ

ζ

)(sin （52）

∑∞

-∞=--=

n n i n n

x i e

x J i e

ψ

ψ

)()

(cos （53）

∑∞

-∞

==

n n i n n

x i e

x J i

e

θ

θ

)(cos （54）

其中，1-=i 。

将（52）式看作复数形式的Fourier 级数，则)(x J n 就是ζ

sin x i e 的Fourier 系数，所以，可得整数阶)

(x J n 的积分表达式如下

[]?

???-=--=-+-==

-

-

-

-ππ

ππ

ππ

πζ

ζζ

ζζπ

ζζζζ

ζζπζ

ζζζζπζ

π0

sin )sin cos(1

)

)sin sin(()sin cos(

21)sin sin()sin cos(

2121)(d n x n x d n x d n x i n x d e

x J n i x i n 的奇函数

为因为 （55）

)(x J n 的积分表达式（55）还可以用（52）——（54）中的ψ和θ分别表示为

?-

+-=

π

πψ

ψψπ

d e

i x J n i x i n

n cos 2)()( （56）

?-

+-=

π

π

θ

θθπ

d e

i

x J n i x i n

n cos 2)( （57）

由（51）式可得

)

1(2

1

)

1(2

1

)

1)((2

1

)(z

z b z

z a z

z b a n n

n e e e z

b a J -

-

-

+∞

-∞

===+∑

（58）

对上式右边两个因子分别应用（51）式，可得

∑

∑

∑

∞

-∞

=∞

-∞

=∞

-∞

==

+m m

m k k

k n n

n z

b J z

a J z

b a J )()()( （59）

比较上式两边n

z 的系数，可得整数阶)(x J n 的加法表达式如下

∑

∞

-∞

=-=

+k k n k n b J a J b a J )()()( （60）

8．Bessel 函数的积分公式

8.1 第一Sonine 有限积分公式

)()

1(2cos

sin

)sin (11

20

1

21

x J x

v d x J v v v

v ++++++Γ=

?

μπμμθθθθ

其中，1->μ，1->v 。

例：设m 、p 、δ为大于零的常数，计算?--=

δ

ξδξ0

01

22

)()

1()(r d r J r

r p m q m 。

解：令θδsin =r ，则有 θθδd r d cos = 当0=r 时，0=θ；

当δ=r 时，2πθ=。

所以可得：

?

-=20

1

202

cos

sin )sin ()(πθθθδξδ

ξr d J p m q m

上式中的积分相当于0=μ、1-=m v 、δξ=x 时的第一Sonine 有限积分公式，所以

)()

(2

)(2

1ξδδ

ξξm m m

m J m mp

q --Γ=

注：这里利用θδsin 将],0[δ转变为]2,0[π，类似地，在断裂力学中我们还利用??

????)0(~)0(~arctan 2

θθτσ

πr 将

),0(∞转变为)1,0(。

8.2 第二Sonine 有限积分公式

1

2

2

2

2120

1

1

)

(

)

(

cos

sin

)cos ()sin (++++++++=

?

v v v

v v y x y x J y x d y J x J μμμπμμθθθθθ

其中，1->μ，1->v 。

8.3 诺依曼（Neumann ）积分公式

?

-=

+2

)c o s ()c o s 2(2

)()(πμμθθμθπ

d v x J x J x J v v

其中，1->+v μ。

8.4 含Bessel 函数的无穷积分公式

(1)

2

2

01)(r

z x d x r J e

x

z +=

?

∞-

(2)

??

????

?>-<--=?

∞-)

1(1

1)

1(1)(22

0r r r r i x d x r J e x

i

? ??

???

><-=?

∞)1(0)1(11sin )(2

0r r r x d x x r J ；

???

??>-<=?

∞)

1(1

1

)1(0

c o s )(2

0r r r x d x x r J

此二式还可以表示为如下更一般的形式：

?????

<>-=?

∞)(0)(1)()sin(2

20

0b a b a b a x d x b J x a ；

???

??<->=?

∞)

(1

)(0)()cos(220

0b a a

b b a x d x b J x a

（3）)2

sin

2

(cos

1)(1)(2

20

0)(??i R

r

i z x d x r J e

x

i z -=

++=

?

∞+-

其中，2

2

224)1(z

z r R +-+=

， 1

2a r c t a n 2

2

-+=z r z

? 。

?

2

sin

1sin )(0

0?R

x d x e

x r J x

z =

-∞?

；

2

c o s

1c o s )(0

0?R

x d x e

x r J x

z =-∞?

。

（4）3

2

2

0)

()(r z z x d x r J e

x x

z +=

?

∞-

（5）??

?

???

?

>-<--=?

∞-)

1()1()

1()1(1)(323

20

0r r i r r x d x r J e x x

i

?

??

?

?

?>--<=?

∞)

1()

1(1)

1(0sin )(3

2

0r r

r x d x x x r J ；

????

?><--

=?

∞)

1(0

)

1()

1(1cos )(3

2

0r r r x d x x x r J

此二式还可以表示为如下更一般的形式：

????

?><--

=?

∞)(0)

()

()()sin(3

22

0b a b a a b

a x d x

b xJ x a ；

??

?

?

?>--<=?

∞)

()

()(0)()cos(3

22

0b a b a

a b a x d x b xJ x a

（6）????????? ??

-+??? ??-+=

+++=

?

∞+-23sin 23cos 1]

)[()(3

2

3

2

2

0)(?θ?θi R

z r i z i z x d x r J e

x x

i z ?

??

? ??

-+-

=?

∞-23sin 1sin )(3

2

0?θR

z x d x e

x x r J x

z

??? ?

?

-+=

?

∞-23c o s 1c o s )(3

2

0?θR

z x d x e

x x r J x

z

其中，2

2224)1(z

z r R +-+=， 1

2a r c t a n 2

2

-+=z r z

?， z

1

a r c t a n =θ 。

（7）3

220

1)

()(r z r

x d x r J e

x x

z +=

?

∞-

（8）??

?

???

?

<-<--=?

∞-)

1()1()

1()1()(323

20

1r r r r r r i x d x r J e x x

i

?

?????

<<-=?

∞)

1(0)

1()

1(sin )(3

20

1r r r r x d x x x r J

?

??

?

?<-<=?

∞)

1()

1()1(0c o s )(320

1r r r r x d x x x r J

此二式还可以表示为如下更一般的形式：

?

??

?

?>-<=?

∞)

()()(0

)()sin(3220

1b a b a b b a x d x b xJ x a ；

?

??

??

><-=?

∞)(0)

()()()cos(3

220

1b a b a a b b x d x b xJ x a

(9)

??? ?

?

-=

++=

?

∞+-23sin 23cos ]

)[()(3

3

2

2

1)(??i R r

r i z r

x d x r J e

x x

i z ?

23sin

sin )(3

1?R

r x d x x e

x r J x

z =

?

∞-

2

3cos

cos )(3

1?R

r x d x x e

x r J x

z =

?

∞-

其中，2

2224)1(z

z r R +-+=

， 1

2a r c t a n 2

2

-+=z r z

? 。

（10）

r

r z z x d x r J x

e

x

z 2

2

0ln

)(1++

=-?

∞-

（11）

??

?

???

?><-+

+=-+

=-?

∞-)

1(1arcsin )

1(11ln 2

1ln

)(12

20

0r r i r r

r i r r i x d x r J x

e

x

i π

?

??????

?><=-+=?

∞)

1(1arcsin )

1(21ln

)(sin 2

0r r r r

r i x d x r J x

x π

??

???><-+

=-?

∞)

1(0

)1(11ln

)(cos 12

0r r r

r x d x r J x x

此二式还可以表示为如下更一般的形式：

???????><=?

∞)

(arcsin )

(2

)()sin(0

0a b b a

a b x d x b J x ax π ；

?

???

?><-+

=-?

∞)

(0

)(ln

)()cos(12

2

0a b a b b

r

a a x d x

b J x ax

（12）

z

R R i r

R z R r

r i z i z x d x r J x e

x

i z +++?

?

?

?

?

++??? ?

?+=++++=-?

∞+-2

cos

12

sin

arctan

12sin 2cos ln

)(ln

)(12

2

2

20

0)(?

?

?

?

?

z

R R x d x r J e

x

x x

z ++=?

∞-2

cos

1

2

sin

arctan

)(sin 0

0??

r

R z R x d x r J e

x

x

x

z 2

2

012s i n 2c o s ln

)(cos 1?

?

?

?

?

++??? ??+=-?

∞-?

?

（13）???

?

?

?

+-

=?∞

-2

2

111)(r

z

z r x d x r J e

x

z （14）???

???

?>???

? ?

?--

? ??--=?

∞-)

1(111)

1(1111)(2

2

1r r

i r r r r x d x r J e x

i

?

???

?

?>-<=?

∞)

1(1

1)

1(0sin )(2

1r r

r

r x d x x r J

??????

?>

? ?

?--=?

∞)

1(1)

1(1111cos )(2

1r r

r r

r

x d x x r J

此二式还可以表示为如下更一般的形式：

???

??>-<=?

∞)

()(0)sin()(220

1a b a

b b a

a b x d ax x b J ；

??????

?>

? ?

?--=?

∞)

()

(11)cos()(2

2

1a b b

a a

b b

a

b

a x d ax x

b J

(15)

?

?? ??

-+-???

????

?

??? ??-+-=???

????

?

+++-

=?

∞+-2sin 12cos 111)(11)(2

2

2

2

1)(?θ?θR r z i R

z r r

i z i z r x d x r J e

x

i z

?

??? ??

-+=

?

∞-2sin 1sin )(2

1?θR

r

z x d x e

x r J x

z

???

????

?

??? ??

-+-

=?

∞-2c o s 111c o s )(2

1?θR

z r x d x e

x r J x

z

(16)

()

z r

z

r

x d x r J x

e

x

z -+=

?

∞-2

2

11

)(

(17)

()

()

??????

?>--<---=?

∞-)

1(11)

1(11)(22

1r i

r r

r r r

i x d x r J x

e

x

i

?

????

?

??><--=?

∞)1(1

)

1(11)(sin 2

1r r

r r

r x d x r J x x

?

?

?

??>-<=?

∞)

1(1

)

1(0)(cos 20

1r r r r x d x r J x

x

此二式还可以表示为如下更一般的形式：

????

?

??><--=?

∞)

()

()()sin(2

2

1a b b

a

a b b

b

a a x d x

b J x ax

?

??

??>-<=?

∞)

()

(0

)()cos(2

20

1a b b a b a b x d x b J x ax

(18)

[]

??

?

??

?

??? ?

?

-+-=

+-++=

?∞+-12sin

2cos

1)()(1

)(2

20

1)(?

?

R i z R r i z r

i z r

x d x r J x

e

x

i z ?

??

?

??

-=

?

∞-2sin

11)(sin 0

1?R r x d x r J e

x x x

z ??

? ?

?-=

?

∞-z R r x d x r J e

x

x x

z 2cos

1)(cos 0

1?

(19)

?

?

? ??+-Γ??

?

??+Γ=

-∞-?

2222

)(1

1

μμμ

μμv r v x d x r J x

v

?

r x d x r J 1)(00=?

∞

r

x d x r J 1)(0

1=?

∞

(20)

()()()()

2121212

)

(21)

()(0

+Γ+Γ++Γ+ΓΓ=

+∞+?

v v v t d t

t J t J v

v

v μμμμμμ

?

π2

)

()(0

01=

?∞t d t t J t J π

34

)

()(0

2

11=

?∞

t d t

t J t J

1)

()(0

2121=?

∞t d t

t J t J

Bessel函数介绍

第一类贝塞尔函数 图2 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线 （在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J函数”，敬请读者留意。） 第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在x= 0 时有限。这样选取和处理Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在x= 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）： 上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。第一类贝塞尔函数的 形状大致与按速率衰减的正弦或余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介 绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数Jα(x)的曲线（α = 0,1,2）。 如果α不为整数，则Jα(x)和J?α(x)线性无关，可以构成微分方程的一个解系。反之若α是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系： 于是两函数之间已不满足线性无关条件。为寻找在此情况下微分方程与Jα(x)线性无关的另一解，需要定义第二类贝塞尔函数，定义过程将在后面的小节中给出。 贝塞尔积分

α为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出： （α为任意实数时的表达式见参考文献[2]第360页） 这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。另一种积分表达式为： 和超几何级数的关系 贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式： 第二类贝塞尔函数（诺依曼函数） 图3 0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔Y函数）曲线图 （在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y函数”，敬请读者留意。）

数理方程期末试题B答案

北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ） （参考答案） 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分） 2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力 作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求 出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题 [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π sin ，其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法，有 于是 6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得

以及 设0ρβλn n = 为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为 问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题（共2分，每题10分） 7． 证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。 [证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有 再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令 得到 交换u,v ，得到 上面第二式减去第一式，得到 证毕。 8． 证明关于Bessel 函数的等式：

数理方程与特殊函数教学大纲

数理方程与特殊函数 课程简介：本课程为电子与通信工程类专业的基础课。学分2，周学时2。本课程由“数学物理方程”与“特殊函数”两大部分组成。“数学物理方程”讲授物理学的一个分支——数学与物理所涉及的偏微分方程。主要介绍物理学中常见的三类偏微分方程及其有关的定解问题和这些问题的几种常用解法。“特殊函数”讲授贝塞尔函数与勒让德多项式，以及如何利用这两种特殊函数来解决数学物理方程的一些定解问题的过程。 教学目的与基本要求：通过数理方程与特殊函数课程的学习，使学生系统的掌握工程数学中数学物理方法的知识和技能，培养学生分析问题解决问题的能力，为后续课程的学习及研究奠定重要的数学基础。本课程的先修课程为：高等数学，复变函数，积分变换 主要教学方法：课堂讲授与课外习题。 第零章预备知识（4学时） 复习先修课程中相关的一些内容，主要包括：二阶线性常微分方程解的结构以及常系数情形解的求法；积分学中的一些重要公式和技巧；傅里叶（Fourier）分析；解析函数的极点及其留数；拉普拉斯（Laplace)变换。 第一章典型方程和定解条件的推导（４学时） 在讨论数学物理方程的求解之前，应建立描述某种物理过程的微分方程，再把一个特定物理现象所具有的具体条件用数学形式表达出来。本章学习的重点和难点是了解数学物

理方程的推导及定解问题的确定过程，学会推导一些简单物理过程的微分方程并能确定某些具体物理现象的定解条件。 第一节基本方程的建立 通过几个不同的物理模型，推导出数学物理方程中的三种典型偏微分方程：波动方程、电磁场方程和热传导方程。 第二节初始条件与边界条件 方程决定了物理规律的数学形式，但具体的物理问题所具有的特定条件也应用数学形式表达出来。用以说明某一具体物理现象的初始状态的条件称为初始条件，用以说明其边界上约束情况的条件称为边界条件。 第三节定解问题的提法 由于每一个物理过程都处在特定的条件之下，所以我们要求出偏微分方程适合某些特定条件的解。初始条件和边界条件都称为定解条件。把某个偏微分方程和相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。 本章习题：3-5题 第二章分离变量法（8学时） 本章主要介绍在求解偏微分方程的定解问题时，如何设法把它们转化为常微分方程来求解。本章学习的重点和难点是掌握分离变量法这一“化繁为简”的典型方法的实质，学会求解常见的定解问题。

贝塞尔函数

贝塞尔函数 当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 §5.1 贝塞尔方程的引出 下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。 这个问题可以归结为求解下述定解问题： 22222 2222 22222 0(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ?=+=???=++<>???=+≤= (5.3)?????? ??? 用分离变量法解这个问题，先令 (,,)(,)() u x y t V x y T t =

代入方程（5.1）得 2 2 2 2 2 ( )V V VT a T x y ??'=+ ?? 或 2 2 2 2 2 (0)V V T x y a T V λλ??+'??= =-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程 2 0T a T λ'+= （5.4） 2 2 2 2 0V V V x y λ??+ +=?? （5.5） 从（5.4）得 2 ()a t T t Ae λ-= 方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件 2 2 2 0x y R V +== （5.6） 的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得 22 222 110,,02, (5.7)0,02, (5.8)R V v V V R V ρλρθπρρρρθθπ=????+++=<≤≤??????=≤≤? 再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ， 代入（5.7）并分离变量可得 ()()0θμθ''Θ+Θ= （5.9） 2 2 ()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-= （5.10）

第十一讲解方程与定义新运算

第十一讲解方程与定义新运算 1、解下列一元一次方程 （1）4x+15=6x+3 （2）5x+5=10(x-3) 解：15-3=6x-4x 解：5x+5=10x-30 12=2x 30+5=10x-5x x=6 35=5x 经检验x=6是原方程的解x=7 经检验x=7是原方程的解2、已知x=6是一元一次方程3（x+a）-6=5(2x-7)+2的解，那么a=（）【解析】把x=6带入方程 3（6+a）-6=5（2×6-7）+2解得a=5 3、解方程组 x+2y=11 ① 3x?y=12 ② 解：由①得，x=11-2y ③ 把③代入②得，y=3 把y=3代入③得，x=5 经检验，原方程组的解是x=5 y=3 4、解方程组 26x+17y=205 ① 35x+16y=214 ② 解：②-①得，9x-y=9 ③ ③×16得，144x-16y=144 ④ ②+④得，179x=358 x=2 把x=2代入③得，y=9 经检验，原方程组的解是x=2 y=9 5、（1）若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 【解析】由A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312

（2）定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4） 【解析】3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1 6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7 6、对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7， 求x的值。 【解析】将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x， 又根据已知< 1、3、5、x >＝7， 故1＋x＝7，x＝6。 7、规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算 下式：[（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）] 【解析】[（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）] ＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ] ＝6×5 ＝30 8、如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋3333 计算：（5※3）×5。 【解析】通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。（5※3）×5。 ＝（5＋55＋555）×5 ＝3075

贝塞尔函数及其应用

题目：贝塞尔函数及其应用

摘要 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。 本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程,并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等,并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶－贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用,一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。 关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式

目录 一、起源.......................................................................................................... 错误!未定义书签。 （一）贝塞尔函数的提出...................................................................... 错误!未定义书签。 （二) 贝塞尔方程的引出?错误!未定义书签。 二、贝塞尔函数的基本概念.......................................................................... 错误!未定义书签。 (一）贝塞尔函数的定义........................................................................ 错误!未定义书签。 1. 第一类贝塞尔函数....................................................................... 错误!未定义书签。 2. 第二类贝塞尔函数 (6) 3. 第三类贝塞尔函数?错误!未定义书签。 4. 虚宗量的贝塞尔函数................................................................... 错误!未定义书签。 （二）贝塞尔函数的递推公式?错误!未定义书签。 （三）半奇数阶贝塞尔函数?错误!未定义书签。 (四) 贝塞尔函数的零点?错误!未定义书签。 （五) 贝塞尔函数的振荡特性................................................................ 错误!未定义书签。 三、 Fourｉer－Bｅssｅｌ级数?错误!未定义书签。 (一) 傅里叶－贝塞尔级数的定义?错误!未定义书签。 （二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开?错误!未定义书签。 四、贝塞尔函数的应用?错误!未定义书签。 (一）贝塞尔函数在光学中的应用...................................................... 错误!未定义书签。 (二）贝塞尔函数在调频制中的应用.................................................... 错误!未定义书签。附录 ................................................................................................................... 错误!未定义书签。

第五章_贝塞尔函数

n阶第一类贝塞尔函数() J x n 第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数() Y x n 第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)() H x n 第一类变形的贝塞尔函数() I x n 开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数 在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所

以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 §5.1 贝塞尔方程的引出 下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。 这个问题可以归结为求解下述定解问题： 2222 22222 22222 0(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ?=+=???=++<>???=+≤= (5.3)?????? ??? 用分离变量法解这个问题，先令 (,,)(,)()u x y t V x y T t = 代入方程（5.1）得 222 22()V V VT a T x y ??'=+?? 或

选修11双曲线的标准方程和几何性质教案

本节课的教学要注意双曲线方程的推导过程，字母a,b,c的意义和关系式，方程的特点。 【知识导图】 ■教学过程pi 一、导入 教材整理双曲线的标准方程 阅读教材P39?P40例1以上部分，完成下列问题 【教学建议】 合理利用教材上的导入课程进行导入。提问和互动，进行概念辨析和公式推导。与椭圆方程进行对比辨析。 二、知识讲解 【教考建议1双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点F,、F2的距离的差的绝对值等于常数2a （小于| F, F21）

的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件 2a v | F 1 F 21，这一条件可以用 “三角形的两边之差小于第三边 ”加以理解.若2a=| F 1 F 2|，则动点的轨迹是两条射线； 若 2a > 1 F 1 F 21，则无轨迹. 若MF r v MF 2时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若 MF j > MF 2时，轨迹 为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为 “差的绝对值”. 考点2双曲线的标准方程 2 2 2 2 双曲线的标准方程： X 2~y 2 =1和 笃一仔=1 (a >0, b >0).这里b 2 =c 2 - a 2，其 a b a b 中I F r F 2 |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同 双曲线的标准方程判别方法是：如果 x 2项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果y 2项的系 数是正数，则焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比 较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上 求双曲线的标准方程，应注意两个问题： ⑴正确判断焦点的位置； ⑵设出标准方程后， 运 用待定系数法求解. 如果已知双曲线过两个点 （不是在坐标轴上的点）， 求其标准方程时，为了避免对焦点的讨

数理方程与特殊函数试卷 3套

2010年6月 一、填空题（20分） 1、微分方程的固有值为 ____________，固有函数为____________。 2、勒让德多项式的母函数为________________________。 3、一长为的均匀直金属杆，x=0端固定，x=l端自由，则纵向震动过程中的边界条件为 ________________________。 4、二阶线性偏微分方程属于____________型方程。 5、微分方程，在条件下的拉氏变换表 达式为____________________________________。 6、埃尔米特多项式的微分表达式为____________________________________。 7、函数是区域内的调和函数，它在上有一阶连续偏导数，则 ____________. 8、定解问题的解为________________________。 9、在第一类奇次边界条件下=____________。 10、=____________，=____________。 二、证明题（10分） 三、建立数学物理方程（10分） 一长为l、截面积为s、密度为、比热容为的均匀细杆，一端保持零度，另一端有恒定的热量q流入，初始温度为试建立热传导方程，写出定界条件（要有必要的步骤）。四、写出下列定解问题的解（35分） 1、

2、 3、 五、将函数展开为广义傅里叶级数（25分） 1、设是的正零点，试将函数展开成的傅里叶贝塞尔级数。 2将函数按埃尔米特多项式展开成级数。 2009年6月 一、填空题（20分） 11、微分方程的固有值为 ____________，固有函数为____________。 12、勒让德多项式的母函数为________________________。 13、一长为的均匀直金属杆，x=0端温度为零，x=l端有恒定的热流流出，则热传导过 程中的边界条件为________________________。 14、二阶线性偏微分方程属于____________型方程。 15、微分方程，在条件下，其拉氏 变换表达式为____________________________________。 16、埃尔米特多项式的微分表达式为____________________________________。 17、函数是区域内的调和函数，它在上有一阶连续偏导数，则 ____________. 18、定解问题的解为 ________________________。 19、在第一类奇次边界条件下=____________。 20、=____________，=____________。 二、证明题（10分）

数学物理方程与特殊函数课后答案

29.0(,)11 cos , sin (,)(cos ,sin ),cos sin ; sin cos . sin cos ;s xx yy rr r r x y x y x r y laplace u u r u u u r r x r y r u x y u r r u u u u r u r u u u u r u θθθθθθ θθθθθθθθθ+=++==??=?∴==+??? =?+??=??=∵ 证明方程在极坐标下为 证明： sin cos ;cos cos in .sin .sin ()cos () sin sin cos cos r xx x r r u u r y r r u u u x x r r x u u r r r r θθθθθθθθθθθθθθθθθθ???????=??????????????? ???????+=+?????????? ? ?????? ?==????????? ?????? ??=???????????? 从而 2222222222222 sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin .cos ()sin () sin yy u u u u r r r r r r u u u r r r r u u u y y r r y θθθθθθθθ θθθθθθθθθθθ?????? ?=+ ?+?????????++???????????==+?????????= 2222 22 2222222 cos cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos cos .1u u r r r r u u u u r r r r r r u u u r r r r u u u u θθθθθθθθθθθθθθ θθθθθθθθ ????? ???++???????????? ????=?++????????+?+????+=+ 所以 1 0. u +=

11等式的性质与方程的解集学案(无答案)-山东省昌乐县第二中学人教A版(版)高中数学选择性必修一

学习活动1 课题：等式的性质与方程的解集 使用时间：2019.9.28 ------会求方程的解集 学习目标 1.自主研究课本，说出等式的性质，写出和的平方等常用的恒等式； 2.探究求一元二次方程解的方法，能够求方程组的解集； 3.分享逻辑推理在表达问题中的严谨性和准确性。 -----理解等式的性质及常用的恒等式 请同学们仔细阅读课本P43-P57页的内容完成下面的问题： 1.写出用符号语言和量词表示的等式的性质； 2.完成下面常见的恒等式： （1）2 2 a b -= （2）()2 a b += （3）()2 a b -= （4）3 3 a b -= （5）3 3 +a b = （6）()()=x a x b ++ 思考与探究 --------- 请同学们思考以下问题： 1.举例说明用十字相乘法分解因式； 2.一元二次方程02 =++c bx ax 的根21x x 、与系数有何关系？ 归纳生成 1.求一元二次方程02 =++c bx ax 的解； 2.结合前面学过的知识，总结二元一次方程组的解法. ------ 求方程或方程组的解 1.已知{} 0532|2 =--=x x x A ，? ?? ???=- +=025|2 bx ax x B ，且B B A = ,求方程02=+-b ax x 的解. 2.已知方程0132 =+-x x 的两根为21x x 、，求下列各式的值： （1）2 112x x x x + （2）3 231x x + （3）||21x x - 学习活动2

实践生成 总结出一元二次方程根与系数的关系 迁移提升 1.满足方程组22 26 a b a b -=?? +=?，则3a b +的值是（ ） A.-8 B.8 C.4 D.-4 2.小林买了7本数学书和2本语文书共花了100元，小敏买了4本语文书和2本数学书共花了80元，则买2本数学书和1本语文书要花（ ） A.25元 B.30元 C.35元 D.45元 3.若02m <<，则关于x 的一元二次方程()()3337x m x m mx -++=+根的情况是（ ） A.无实数根 B.有两个正根 C.有两个根，且都大于3m - D.有两个根，其中一根大于m - 4.写出下列方程（组）的解集： （1）02)2(2 =+++a x a x . （2）012 12=-+x x . （3）42 2730x x -+= . （4）?? ??? =+=--0202 532x y y x . 5.已知关于x 的方程04)222 2=++-+m x m x （ 有实数根，并且两根的平方和比两根之积大21，求实数m 的值. 【自助餐】求关于x 的方程012 =++ax x 的解.

Bessel函数应用例

《复变函数与数理方程》Project 名称：Bessel函数应用例 组别：第十三组 小组成员：唐文岐、高成振、 林慧平、邹三泳、 郭凯

目录 封面 (1) 目录 (2) 文章说明 (3) 摘要 (3) 关键词 (3) 正文 (4) Section 1Bessel函数在衍射中的应用 (4) 一，菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式 (4) 二，衍射的分类 (5) 三，夫琅禾费圆孔衍射数学模型的建立 (6) 四，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的推导 (6) 五，夫琅禾费圆孔衍射常见结论的推导 (8) 六，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的另一种推导 (11) Section 2 Bessel函数在通信电路中的应用 (14) 一，单音信号的调频 (15) 二，贝塞尔函数的渐进公式 (16) 三，贝塞尔函数图像与调制频率的关系 (17) 四，卡森公式的推导 (20) 五，贝塞尔函数级数展开的理论说明 (21) 总结 (22) 参考文献 (23)

文章说明： 本学期我们在数理方程的课堂上学习了贝塞尔函数的相关内容，贝塞尔函数性质很特殊，它在物理和工程中的广泛应用更是引起我们强烈的兴趣。而学以致用，这是我们学习应用数学的目的之一。联想到在之前的课程中曾经遇到过Bessel函数，但是老师只是直接给出结论，并没有说明原因。因此，我们小组主要从《大学物理》课程中遇到的夫琅禾费圆孔衍射和《电子电路与系统基础》课程中遇到的单音信号调频两个例子对Bessel函数的应用进行讨论，希望能对Bessel 函数的魅力有更深一些的理解。 摘要： 物理学中我们熟知的夫琅禾费圆孔衍射的振幅和电路系统中单音信号调频的幅度都可以用Bessel函数来表示。因此，利用Bessel 函数对夫琅禾费圆孔衍射的振幅和单音信号调频的幅度的表达式进行推导很有必要，同时也可以根据推导得到的公式进行理论的分析和现有结果的解释。另外，根据得到的函数表达式，还可以利用数学软件进行模拟，以期得到更直观的结果，也可以加深对于Bessel函数以及夫琅禾费圆孔衍射、单音信号调频的理解。 关键词： Bessel函数，夫琅禾费圆孔衍射，振幅，光强，调频，频率，幅度，调制指数

数学物理方程与特殊函数期末考试试题卷子2011

XXXXX 大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共 2小时） 课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2011年 12 月 28 日 成绩 1．化方程2220xx xy yy x y x u xyu y u xu yu ++++=为标准形. (10分) 2. 把定解问题：(10分) 212(0)(0,)(),(,)() (,0)(),(,0)(),(0) tt xx x x t u a u x l u t h t u l t h t u x x u x x x l ?ψ?=<

3．有一带状的均匀薄板(0x a ≤≤,0y ≤<+∞), 边界0y =上的温度为0u ，其余边界上的温度保持零度，并且当y →+∞时，温度极限为零. 求解板的稳定温度分布. (用分离 变量法求解).(20分) 4．求下面的定解问题：（10分） 090,(,0) 0,sin tt xx t t t u u x R t u u x ==-=∈>??? ==??. 第2页

5．求()2 1,1 (),()0,1 x x F f x f x x ?-≤?=?>??，其中()F ?表示Fourior 变换.（10分） 6．求()2(),()sin(),03 L f t f t t t π =-≥，其中()L ?为Laplace 变换.（10分） 第3页 学 号 姓 名 学 院 教师 座位号 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………

人教版小学数学六年级下册专题训练11第十一讲 式与方程

第十一讲式与方程 一、知识梳理 1.列代数式 2.解方程 3.用方程解应用题（鸡兔同笼问题、盈亏问题、调配问题） 二、方法归纳 1.列代数式的方法：直接法、间接法（先列等式，然后将等式变形） 2.解方程的方法：算式各部分关系法（倒推法）、天平原理法、移项法。 3.列方程的方法：找到等量关系，把文字语言转化为数学语言。

三、课堂精讲 （一）列代数式 例1学校有男生x人，女生人数比男生的3倍少20人，女生有（）人，女生比男生多（）人。 【变式训练1】某水果店运进苹果m千克，比梨的4倍少n千克，运进梨多少千克？正确的是（） A.m÷4-n B. （m-n）÷4 C. (m+n)÷4 D.m×4-n 例2如图，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形。观察规律填下表： （1）填表 （2）用99根火柴可以摆多少个三角形？ 【变式训练2】有一棵树苗，刚栽下去时，树高2.1米，一年后树高2.4米，二年后树高2.7米，三年后树高3米，按照这种规律，预测n年后树高（）米。 【规律方法】代数式表达数量关系、表达规律。

（二）解方程 例3 4 (1)275 x x += （2）5×3.82-4x=9.5 （3）7（x+1.3）=56 （4）（x-6）÷1.5=5 （5）4x-24=2x+20 （6）一个数的60%是35的3 7 ，求这个数。 【变式训练3】 （1）x-80%x=600 （2）74.950.82x ÷-= （3）2 23 x x =- （4）8（x+9）=112 （5）8（x —2）=2（x+7） （6）4631 54 x x --= （7）一个数的5倍减去15与0.8的积，差是6.8，求这个数。 （8）规定a ＃b= ,a b a b +÷已知x ＃(5＃1)=6，求x 的值。 【规律方法】解方程用算式中各部分关系法，移项法。

贝塞尔函数

贝塞尔函数 基本概念编辑 是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数： 这类方程的解无法用初等函数系统地表示。 贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数变化而变化（相应地，被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为n阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。 基本内容编辑 贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。 这类方程的解无法用初等函数系统地表示。但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。 这里，被称为其对应贝塞尔函数的阶数。实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来

好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。 定义 贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。 历史 几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。 现实背景和应用范围 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：* 在圆柱形波导中的电磁波传播问题； * 圆柱体中的热传导定律|热传导问题；

研究生数理方程与特殊函数考题2014

科技大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共 2小时） 课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2014年 12 月 日 成绩 考核方式： （学生填写） 1．化简方程22222 (,)(,)(,) 1280u x y u x y u x y x x y y ???++=????并求其通解. (10分) 2. 设有一长度为L 的均匀细棒，其侧面和两端均绝热，初始温度分布为已知。(1)求以后时刻的温度分布；(2)证明：当初始温度分布为常数时，以后时刻的温度分布也必为常数. (20分) 第 1页 3．求解定解问题：(15分) 学 号 姓 名 学 院 教师 座位号 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………

200000 (0,0),t xx x x l t u a u x l t q u u u k u u ===?=<<>? ? ==?? ?=?,00,,,a u k q 均为常数. 4．求函数()() 2 1 ()13f s s s =+- 的Laplace 逆变换.（10分） 第2页 5．求下面的定解问题：（15分） 号 效……………………

2 00,(,0) ,sin tt xx t t t u a u x at x R t u x u x ==?-=+∈>?? ==??. 6．求3()J x dx ? .（10分） 第3页 7．写出平面第一象限的Dirichlets 问题对应的Green 函数及其定解问题.（10分）

数理方程期末试题B答案

数理方程期末试题B答 案 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷 （B ） （参考答案） 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分） 2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3．设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为 零，又没有外力作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ， 并由此求出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题

[ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n πsin ，其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法，有 于是 6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得 以及 设0ρβλn n =为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为 问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题（共2分，每题10分） 7．证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。

贝塞尔函数

20.3.1 贝塞尔函数的递推公式 由贝塞尔函数的级数表达式（20.2.1）容易推出 1J () J ()d []d v v x x x x x νν+=- (20.3.1) 1d [J ()]J ()d v v v v x x x x x -= (20.3.2) 以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式. 诺伊曼函数N ()v x 和汉克尔函数也应该满足 上述递推关系． 若用()v Z x 代表v 阶的第一或第二或第三类函数,总是有 1d [()]()d v v v v x Z x x Z x x -= (20.3.3) 1d [()]()d v v v v x Z x x Z x x --+=- (20.3.4) 把两式左端展开, 又可改写为 1()()() v v v Z x Z x Z x x ν+'-=- (20.3.5) 1()() v v v Z Z x Z x x ν-'+= (20.3.6) 从(20.3.5)和(20.3.6)消去Z ν或消去Z ν'可得 11()()2()v v v Z x Z x Z x +-'=- 112()()()v v v v Z x Z x Z x x +-=-+ 即为从)(1x Z v -和)(x Z v 推算)(1x Z v +的递推公式. 上式也可以写成为 11()()2() v v v v Z x Z x Z x x -++= （20.3.7） 11()()2()v v Z x Z x Z x ν-+'-= （20.3.8） 任一满足一组递推关系的函数)(x Z v 统称为柱函数． 例 20.3.1 求 2 J ()d x x x ? 【解】 根据公式 (20.3.8) 11()()2()v v Z x Z x Z x ν-+'-= 有 201 J ()J ()2J ()x x x '=- 2 1 1 1 1 1 1 1 J ()d J ()d 2J ()d J ()2[J ()J ()d ]J ()2[J ()J ()d ]J ()2J ()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x c '=-=--'=-+=--+????? 20.3.2贝塞尔函数正交性和模 1．正交性 对应不同本征值的本征函数分别满足 2()2()2dJ d []{[]}J ()0 d d m m m i m i m k k ρρρρρ+-= (20.3.9)

贝塞尔函数表

貝塞爾函數（Bessel Function），它們的數值可由查有關貝塞爾函數曲線或查表得出，貝塞爾函數值與m f的關係如圖4-6所示。 表4-1載頻、邊頻振幅與關係表 圖4-1第一類貝塞爾函數 根據式（4-18），可以得出如下結論︰ 1.一個調頻波除了載波頻率外，還包含無窮多的邊頻，相鄰邊頻之間的頻率間隔仍是。第

條譜線與載頻之差為。 2.每一個分量的最大振幅等於。而由貝塞爾函數決定。 理論上，相角調變信號的邊頻分量是無限多的，也就是說，它的頻譜是無限寬的。一路信號要佔用無限寬的頻帶，是我們不希望的。實際上，已調信號的能量絕大部分是集中在載頻附近的一些邊頻分量上，從某一邊頻起，它的幅度便非常小（工程上習慣，凡是振幅小於未調變載波振幅的10% 的邊頻分量可以忽略不計）。根據貝塞爾函數的特點，當階數時，貝塞爾函數的數值隨著n的增加而迅速減小。所以，實際上我們可以認為，也即高低邊頻的總數等於 個，因此調頻波的頻譜有效寬度為，即頻帶寬度可以方便地算出，為 (4-19） 由於，所以式(4-19)也可寫成下列形式，即 (4-20) 這與調變頻率相同的調幅波比起來，調角波的頻帶要寬。通常，所以相角調變的頻帶要比調幅波寬得多。因此，在同樣的波段中，能容納相角調變信號的數目，要少於調幅信號的數目。因此，調頻只宜用於頻率較高的、甚高頻和超高頻段中。 關於頻帶寬度區分以下兩點說明： 3.當，也就是寬頻帶FM（WBFM）情況，式(4-19)及式(4-20)適用之。 4.當，為窄頻帶FM（NBFM），此時式（4-19）及（4-20）不再適用，由表6-1可以看出， 邊頻只取一對就夠了，即窄頻帶調頻頻譜寬度為

第11课 函数与方程(提分宝典)

第11课 函数与方程 1．函数零点所在区间的判断 a ．零点存在性定理法判断函数零点所在区间 (1)(2019河南模拟，5分)已知单调函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，对于定义域内任意x, f [f (x )－log 2x ]＝3，则函数g (x )＝f (x )＋x －7的零点所在的区间为( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，4) D ．(4，5) 答案：C 解析：因为对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f [f (x )－log 2x ]＝3，且f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，所以f (x )－log 2x 为定值．设t ＝f (x )－log 2x ，则f (x )＝log 2x ＋t .又由f (t )＝3，得log 2t ＋t ＝3，解得t ＝2，所以f (x )＝log 2x ＋2，所以g (x )＝log 2x ＋x －5，且g (x )是(0，＋∞)上的连续递增函数．又因为g (3)＝log 23－2＜log 24－2＝0，g (4)＝log 24－1＝1＞0，所以g (3)·g (4)＜0.根据零点存在性定理可得，函数g (x )的零点所在的区间为(3，4)．故选C. b ．数形结合法判断函数零点所在区间 (2)(2019山东菏泽一模，5分)函数f (x )＝log 8x －1 3x 的一个零点所在的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4) 答案：B 解析：(法一)令f (x )＝log 8x －13x ＝0，可得log 8x ＝1 3x . 令g (x )＝log 8x ，h (x )＝1 3x ，则函数f (x )的零点即为g (x )，h (x )图像的交点的横坐标．在同 一平面直角坐标系中画出函数g (x )，h (x )在(0，＋∞)内的图像，如图所示．由图知g (x )，h (x )图像的交点的横坐标在(1，2)内，所以函数f (x )的零点所在区间为(1，2)．故选B. (法二)因为y ＝log 8x 和y ＝－13x 均在(0，＋∞)上单调递增且连续，所以f (x )＝log 8x －1 3x 在 (0，＋∞)上单调递增且连续．又f (1)＝0－13＝－13＜0, f (2)＝log 82－16＝1 6＞0，所以f (1)·f (2)＜ 0.由函数零点存在性定理可知，函数f (x )在(1，2)内存在零点．故选B. 2．函数零点个数的判断 a ．利用零点存在性定理法判断函数零点的个数 (3)(经典题，5分)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：B