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高考数学复习题测试题精练(17) 定积分与微积分基本定理

高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(十七) 定积分与微积分基

本定理

1．设函数f (x )＝x m

＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则??12

f (－x )d x 的值等于( )

A.56

B.12

C.2

D.16

2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )

A.1

2g B ．g C.3

D ．2g

(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图

形的面积为)

B.43

C.3

D.π2

4．函数f (x )＝?

???

x ＋1，－1≤x <0，cos x ，0≤x ≤π

2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )

A.3

2 B ．1 C ．2

D.12

5．(2011·新课标全国卷)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.10

3 B ．

4 C.

D ．6

6．设函数f (x )＝ax 2

＋b (a ≠0)，若∫3

0f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0等于( ) A ．±1

B. 2

C ．± 3

D ．2

7．(2013·吉林实验中学高三模拟)设函数f (x )＝ax 2

＋c (a ≠0)，若∫1

0f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则

x 0的值为______．

8．(2012·长春调研)设f (x )＝????

x 2

，x ∈[0，1]，1

，x ∈，e](e 为自然对数的底数)，则∫e

0f (x )d x 的值为

________．

9．(2013·珠海模拟)由三条曲线y ＝x 2

，y ＝x 2

4，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________．

10．求下列定积分．

(1)∫21? ??

??x －x 2＋1x d x ；(2)∫0－π(cos x ＋e x

)d x .

11．(2013·西安模拟)求函数y ＝∫x

0(sin t ＋cos t sin t )d t 的最大值． 12．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，∫1

0f (x )d x ＝－2.

(1)求f (x )的解析式；

(2)求f (x )在

[－1,1]上的最大值与最小值．

1．(2013·唐山统考)由曲线y ＝x 2

＋2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.1

B.13

C.56

D.23

2．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (1)＝4，f ′(1)＝1，∫1

0f (x )d x ＝316，则函数f (x )的解析式

为________．

3.(2012·石家庄模拟)如图，过点A (6,4)作曲线f (x )＝4x －8的切线l .

(1)求切线l 的方程；

(2)求切线l 、x 轴及曲线f (x )＝4x －8所围成的封闭图形的面

积S .

[答题栏]

答案

高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(十七)

A 级

1．A 2.C 3.B 4.A

5．选C 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，所以由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为

∫40(

x －x ＋2)dx ＝? ????23x 3

－

???12x 2＋2x 40＝163

. 6．选C ∫30f (x )d x ＝∫30(ax 2

＋b )d x ＝? ??

?13ax 3＋bx ??3

＝9a ＋3b ，

则9a ＋3b ＝3(ax 2

0＋b )，即x 2

0＝3，x 0＝± 3.

7．解析：∫10f (x )d x ＝∫10(ax 2

＋c )d x ＝? ??

?13ax 3＋cx ??1

＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 2

0＋c ，

∴x 0又∵0≤答案：

8．解析：依题意得∫e 0

f (x )d x ＝∫10

x 2d x ＋∫e 1

d x ＝

x 3

3 ??1

＋ln x ??e 1

＝13＋1＝43

. 答案：43

9．解析：解方程组?

y ＝x 2

，

y ＝1，和?????

y ＝x 2

4，

y ＝1，

得交点坐标(－1,1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1)．则S

＝2∫1

? ????x 2－x 2

4d x ＋∫2

11－x 2

4d x ＝2? ????14x 3

?10

＋x

???2

1－?

???

?112x 3

??2

1＝43. 答案：43

10．解：(1)∫21? ??

??x －x 2＋1x d x

＝∫21x d x －∫21x 2d x ＋∫211

d x

＝

x 2

??21

－x 3

??21＋ln x

??2

1＝32－73＋ln 2＝ln 2－56

. (2)∫0－π(cos x ＋e x )d x ＝∫0－πcos x d x ＋∫0－πe x

d x ＝sin x

－π

＋e

－π

＝1－1e

π.

11．解：y ＝∫x

0(sin t ＋cos t sin t )d t ＝∫x 0? ????sin t ＋12sin 2t d t ＝? ??

??－cos t －14cos 2t ??x 0

＝－cos x －14cos 2x ＋5

＝－cos x －14()2cos 2

x －1＋54

＝－12cos 2x －cos x ＋3

＝－12(cos x ＋1)2

＋2≤2，

当cos x ＝－1时取等号．

所以函数y ＝∫x

0(sin t ＋cos t sin t )d t 的最大值为2. 12．解：(1)设f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得???

a －

b ＋

c ＝2，b ＝0，

即???

c ＝2－a ，b ＝0，

故f (x )＝ax 2

＋(2－a )．

又∫1

0f (x )d x ＝∫1

0[ax 2

＋(2－a )]d x

＝??????13

ax 3＋－a

x ?

＝2－2

a ＝－2，

得a ＝6，故c ＝－4. 从而f (x )＝6x 2

－4.

(2)因为f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.

即f (x )在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－4.

B 级

1．选A 在直角坐标系内，画出曲线y ＝x 2

＋2x 和直线y ＝x 围成

的封闭图形，如图所示，由???

y ＝x 2

＋2x ，y ＝x ，

得曲线与直线的两个交点坐标为(－1，－

1)和(0,0)，故

封闭图形的面积为S ＝∫0－1[x －(x 2

＋2x )]d x ＝? ????－13

x 3－12x 2

??0

－1＝－? ????13－12＝16.

2．解析：由题意知f (1)＝a ＋b ＋c ＝4，①

f ′(1)＝2a ＋b ＝1.②

又由∫10f (x )d x ＝∫10(ax 2

＋bx ＋c )d x ＝316

，

知a 3＋b 2＋c ＝316

.③ ①②③联立，解得a ＝－1，b ＝3，c ＝2，从而所求的函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2

＋3x ＋2. 答案：f (x )＝－x 2

＋3x ＋2 3．解：(1)∵f ′(x )＝

x －2，∴f ′(6)＝1

2，

∴切线l 的方程为y －4＝1

2(x －6)，

即x －2y ＋2＝0.

(2)令f (x )＝0，则x ＝2，令y ＝1

x ＋1＝0，则x ＝－2.

故S ＝∫6－2? ????12x ＋1d x －∫6

24x －8d x

＝? ??

?14x 2＋x

??6

－2－16(4x －8)32

??6

2＝163.

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积）（1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据

微积分基本定理(17)

1.6 微积分基本定理（ 2）一、【教学目标】重点：使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点：利用微积分基本定理求积分；找到被积函数的原函数．能力点：正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力. 自主探究点：通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义. 易错点：准确找到被积函数的原函数，积分上限与下限代人求差注意步骤，以免符号出错. 考试点：高考多以填空题出现，以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义：如果函数() f x在区间[,] a b上连续，用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b，将区间[,] a b等分成n个小区间，在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n，作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分，记作() b a f x dx ?，即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?，这里a、b分别叫做积分的下限与上限，区间[,] a b叫做积分区间，函数() f x叫做被积函数，x叫做积分变量，() f x dx叫做被积式. 2．定积分的几何意义如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥，那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==（a b ≠），0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积.

定积分与微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义

定积分与微积分基本定理复习讲义[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解． 3.考查曲边梯形面积的求解． 4.与几何概型相结合考查． 1．定积分 (1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所

示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质：①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x. [探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)| b a，即∫b a f(x)d x＝F(x) |b a＝F(b)－F(a)．课前预测： 1.∫421 x d x等于( ) A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2

定积分及微积分基本定理练习题及答案

1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a2，c ＝??02sinxdx ＝－ cosx|02＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

高中数学~定积分和微积分基本原理

高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值难度:难解析过程：联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2），因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法：首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关系求解．利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路考查知识点： ? 用定义求定积分值难度:中解析过程：

规律方法：利用定积分的知识求解。知识点：定积分和微积分基本原理概述所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点：定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用知识点总结本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。

高中数学选修2-2公开课教案16微积分基本定理

1.6 微积分基本定理一、教学目标知识与技能目标通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感态度与价值观通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。二、教学重难点重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。难点了解微积分基本定理的含义三、教学过程 1、复习：定积分的概念及用定义计算 2、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 21()T T v t dt ?。另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有

()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。注：1：定理如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ=()x a f t dt ?与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）其中C 为某一常数。令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ?=0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。例1．计算下列定积分：（1）2 11dx x ?；（2）3211(2)x dx x -?。解：（1）因为'1(ln )x x =，所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=?。（2））因为2''211()2,()x x x x ==-，所以3332211111(2)2x dx xdx dx x x -=-??? 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。练习：计算 120x dx ? 解：由于313 x 是2x 的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 120x dx ?=3101|3x =33111033?-?=13 例2．计算下列定积分：

2020年全国高考数学·第15讲定积分和微积分基本定理

2020年全国高考数学第15讲定积分和微积分基本定理考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 命题趋势探究定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题. 知识点精讲基本概念 1.定积分的极念一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<<

7.微积分基本定理练习题

7、微积分基本定理一、选择题 1.??0 1(x 2 ＋2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43 2．∫2π π(sin x －cos x )d x 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.5 2 D ．3 5．如图，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7．??241 x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 8．若??1a ? ?? ??2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2 ，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10．设f (x )＝??? ?? x 2 0≤x <12－x 1

11．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________． 12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________． 13．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝5 4π，y ＝0所围图形的面积为________． 14．若a ＝??02x 2 d x ，b ＝??02x 3 d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________．三、解答题 15．求下列定积分： ①??0 2(3x 2＋4x 3 )d x ； ② sin 2 x 2 d x . 17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2 所围成的图形的面积． 18．(1)已知f (a )＝??0 1(2ax 2 －a 2 x )d x ，求f (a )的最大值； (2)已知f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??0 1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值． DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132－1) 13.4－2 2 [解析] 所求面积为＝1＋2＋? ?? ?? 1－22＝4－22. 14.[答案] c