【精选】高中数学第04章圆与方程专题4.1.2圆的一般方程试题新人教A版必修2

4.1.2圆的一般方程

一、圆的一般方程

1．圆的一般方程的定义

当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为________________，半径_________________.

2．圆的一般方程的推导

把以为圆心，为半径的圆的标准方程展开，并整理得

.取，得：

①.

把①的左边配方，并把常数项移到右边，得.

当且仅当_______________时，方程表示圆，且圆心为__________，半径长为___________；

当时，方程只有实数解，所以它表示一个点____________；

当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

3．点与圆的位置关系

点与圆的位置关系是：

在圆内?_______________________，

在圆上?_______________________，

在圆外?_______________________.

二、待定系数法求圆的一般方程

求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：

①根据题意，选择____________________；

②根据条件列出关于或的________；

③解出或，代入标准方程或一般方程．

三、轨迹和轨迹方程

1．轨迹和轨迹方程的定义

平面上一动点M，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点M的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程.

2．求轨迹方程的五个步骤

①________：建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点M的坐标；

②________：写出适合条件的点的集合；

③________：用坐标表示条件，列出方程；

④________：化方程为最简形式；

⑤査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

K知识参考答案：

一、1．

2．

3．

二、①标准方程或一般方程②方程组

三、2．①建系②设点③列式④化简

1．圆的方程的判断

判断二元二次方程是否表示圆的方法:

（1）利用圆的一般方程的定义,求出利用其符号判断.

（2）将方程配方化为的形式,根据的符号判断. 【例1】判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程.

(1)x2+y2+2x+1=0;

(2)x2+y2+2ay-1=0;

(3)x2+y2+20x+121=0;

(4)x2+y2+2ax=0.

【例2】方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的条件是

A．1

C．m1

【答案】B

【解析】由于二元二次方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示一个圆，则D2+E2-4F=16m2+4-20m>0，解得m>1或m<. 2．用待定系数法求圆的一般方程

应用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：

【例3】已知圆经过点(4,2)和(-2,-6),且该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2,求圆的方程.

【解析】设圆的一般方程为.

由圆经过点(4,2)和(-2,-6),得，

设圆在x轴上的截距为x1,x2,

则x1,x2是方程x2+Dx+F=0的两个根,得x1+x2=-D.

设圆在y轴上的截距为y1,y2,

则y1,y2是方程y2+Ey+F=0的两个根,得y1+y2=-E.

由已知,得-D+(-E)=-2,即D+E-2=0.③

联立①②③,解得D=-2,E=4,F=-20,

故所求圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.

【例4】试判断，，，四点是否在同一个圆上.

解法二：因为，所以，

所以是过三点的圆的直径，线段的中点即圆心

．

因为，

所以点在圆上，所以四点在同一个圆上．

【名师点睛】判断四点是否在同一个圆上，一般可先求过其中三点的圆的方程，然后把第四个点的坐标代入，若满足方程，则四点在同一个圆上，若不满足方程，则四点不在同一个圆上.

3．与圆有关的轨迹问题

求与圆有关的轨迹方程的常用方法：

（1）直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：

（2）定义法:当动点的轨迹符合圆的定义时,可直接写出动点的轨迹方程.

（3）相关点法:若动点随着圆上的另一动点运动而运动,且可用表示,则可将

点的坐标代入已知圆的方程,即得动点的轨迹方程.

【例5】已知点P(x,y),A(1,0),B(-1,1),且|PA|=|PB|.

(1)求点P的轨迹方程;

(2)判断点P的轨迹是否为圆,若是,求出圆心坐标及半径;若不是,请说明理由.

【解析】(1)由题意得·,

两边同时平方,化简得x2+y2+6x-4y+3=0,

即点P的轨迹方程为x2+y2+6x-4y+3=0.

(2)解法一：由(1)得(x+3)2+(y-2)2=10,

故点P的轨迹是圆,

其圆心坐标为(-3,2),半径为.

解法二：由(1)得D=6,E=-4,F=3,

所以D2+E2-4F=36+16-12=40>0,

故点P的轨迹是圆.

又,,

所以圆心坐标为(-3,2),半径r=.

【例6】已知直角的斜边为,且,求:

（1）直角顶点的轨迹方程;

（2）直角边中点的轨迹方程.

解法二：同解法一得且.

由勾股定理得，即，

化简得.

因此,直角顶点的轨迹方程为.

解法三：设中点为,由中点坐标公式得,由直角三角形的性质知,,

由圆的定义知,动点的轨迹是以为圆心,以2为半径的圆（由于三点不共线,所以应除去与轴的交点）.

设,则直角顶点的轨迹方程为.

（2）设点,

因为是线段的中点,由中点坐标公式得 (且),,

于是有.

由（1）知,点在圆上运动,将代入该方程得,

即.

因此动点的轨迹方程为.

4．忽视圆的一般方程应满足的条件致错

【例7】已知点在圆外，求的取值范围.

【错解】∵点在圆外，∴，解得

∴的取值范围是．

【错因分析】本题忽视了圆的一般方程表示圆的条件为，而导致错误．

【正解】∵方程表示圆，∴，即，解得

又∵点在圆外，∴，解得或.

综上所述，的取值范围是．

【易错点睛】一个二元二次方程是否满足表示圆的条件，这是将二元二次方程按圆的方程处理时应首先考虑的问题．

1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为

A．（4，－6），16 B．（2，－3），4

C．（－2，3），4 D．（2，－3），16

2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是

A．B．

C．D．

3．设圆的方程是，若，则原点与圆的位置关系是A．在圆上B．在圆外

C．在圆内D．不确定

4．与圆同圆心，且过的圆的方程是

A．B．

C．D．

5．若的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为A．x2+y2=25(y≠0) B．x2+y2=25

C．(x-2)2+y2=25(y≠0) D．(x-2)2+y2=25

6．圆心是（－3，4），经过点M（5，1）的圆的一般方程为．

7．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A（0,1），则点B的坐标为．8．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．

（1）；

（2）；

（3）．

9．已知方程(m∈R)表示一个圆.

(1)求m的取值范围.

(2)若m≥0，求该圆半径r的取值范围.

10．已知三点坐标分别是A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),求过A,B,C的圆的一般方程,并判断点M(1,4),N(6,4),P(0,1)与所求圆的位置关系.

11．若圆的圆心位于第三象限，那么直线一定不经过A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

12．已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于A．πB．4π

C．8πD．9π

13．当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+2=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为A．x2+y2-2x+6y=0 B．x2+y2+2x+6y=0

C．x2+y2+2x-6y=0 D．x2+y2-2x-6y=0

14．如图，设定点，动点在圆上运动，以为邻边作平行四边形，求点

的轨迹．

15．（2016新课标II）圆的圆心到直线的距离为1，则a= A．B．

C．D．2

16．（2016新课标I）设直线与圆相交于两点,若,则圆的面积为.

1．【答案】C

【解析】由圆的一般方程可知圆心坐标为（－2，3），半径故选C.

2．【答案】A

【解析】由方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，可得，解得.故选A.

3．【答案】B

【解析】将原点坐标代入圆的方程得，∵，∴，∴原点在圆外．4．【答案】B

【解析】把圆化成标准方程为，由于两圆共圆心，可设另一个圆的方程为：，把代入所设方程，得：

∴，所以所求的圆的方程为，化简为：，故选B. 5．【答案】C

【解析】线段AB的中点坐标为(2,0)，因为为直角三角形，C为直角顶点，所以点C到点(2,0)的距离为|AB|=5,所以点C(x,y)满足=5(y≠0),即(x-2)2+y2=25(y≠0).

8．【解析】（1）∵，∴.

∴方程（1）不表示任何图形．

（2）∵，

∴.

∴方程（2）表示点．

（3）方程两边同除以2，得，

∴，

∴.

∴方程（3）表示圆，它的圆心为，

半径.

9．【解析】(1)依题意，得4(m＋3)2＋4(2m－1)2－4(5m2＋2)＞0，即8m＋32＞0，解得m＞－4，所以m的取值范围是(－4，＋∞).

(2)，

因为m∈[0，＋∞)，所以，

所以r的取值范围是.

11．【答案】D

【解析】圆的圆心为（a，），则a<0，b>0.直线y＝－，其斜率k

＝>0，在y轴上的截距为－>0，所以直线不经过第四象限，故选D．

12．【答案】B

【解析】设点P的坐标为(x,y),则(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],即(x-2)2+y2=4,所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径长的圆,所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π.

13．【答案】C

【解析】直线方程可化为(x+1)a-(x+y-2)=0，直线过定点,即对任意的实数a，方程恒成立，故有

,解得，即直线过定点C(-1,3)，故所求圆的方程为(x+1)2+(y-3)2=10，即x2+y2+2x-6y=0.

15．【答案】A

【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得

，解得，故选A .

16．【答案】

【解析】圆，即，圆心为，

由且圆心到直线的距离为，得

，则

所以圆的面积为.

【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r、弦长l、圆心到弦的距离

d之间的关系：在求圆的方程时常常用到.