数据的集中趋势和离散程度.

海豚教育个性化简案

学生姓名：年级：科目：

授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时

教学目标1. 巩固平均数、中位数、众数、极差、方差的概念与意义；

2. 经历数据的收集、整理、描述和分析的过程；能根据数据处理的结果，做出合理的判断和预测；

3. 综合运用上述知识复习解决具体问题。

重难点导航1. 熟悉数据的收集、整理、描述和分析，做出合理的判断和预测；

2. 对数据的收集、整理、描述和分析.

教学简案：

数据的集中趋势和离散程度

考点1：算术平均数

考点2：加权平均数

考点3：众数、中位数

考点4：从统计图中分析集中趋势考点五：方差、标准差

授课教师评价：□ 准时上课：无迟到和早退现象

（今日学生课堂表□ 今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□ 上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况

（大写）□ 海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象审核人签字：学生签字：教师签字：

备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效（可另附教案内页）大写：壹贰叁肆签章：

海豚教育个性化教案（真题演练）

1.（2014徐州）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：

甲：8，8，7，8，9

乙：5，9，7，10，9

（1）填写下表：

平均数众数中位数方差

甲8 ▲8 0．4

乙▲9 ▲3．2

（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？

（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差．（填“变大”、“变小”或“不变”）

海豚教育个性化教案

数据的集中趋势和离散程度

考点1：算术平均数

【考点讲解】

1. 算术平均数：一般地，对于n 个数1x ，2x ，3x n x 。我们把)(1

21n x x x n

x +++= 叫做这n 个数的算术平均数，简称为平均数。

2. 算术平均数的简化公式：设1x ，2x ，3x n x 的平均数为x ，,11x a x =-，,22x a x =- ,

n n x a x =-。,1x ， ,2

x ，,3x ,

n x 的平均数为,x ，则a x x +=, 1.一组数1x ，2x n x 的平均数为x ，则将每个数据都乘以常数a 后再加上b ，得一组新数b ax +1，b ax +2，

b ax +3 ，b ax n +，的平均数为b x a +。

【经典例题】

例1：某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是______。

例2：设两组数a 1,a 2,a 3……a n 和b 1,b 2,b 3……b n 的平均数为和，那么新的一组数a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3……a n +b n 的平均数是 [ ]

A. (+)

B. +

C. (+)

D. 以上都不对

例3：从鱼塘打捞草鱼240尾，从中任选9尾， 称得每尾的质量分另是1.5，1.6，1.4，1．6，6.2，1.7，1.8，1.3．1.4（单位：kg ），估计这240尾草鱼的总质量大约是（ ） A ．300kg B. 360kg C ．36kg D. 30kg

例4：期中考试后，学习小组长算出全组5位同学数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成另一个同学的分数，与原来的5个分数一起，算出6个分数的平均值为N ，那么M ：N （ ） A 、56 B 、1 C 、6

5 D 、2

【针对性训练】

l ．已知数据x 1，x 2，x 3，的平均数是a ，那么5 x 1 +7，5 x 3 +7，5 x 3 +7的平均数为（ ） A ．5a+7 B ．a+7 C ．7a D ．5a

2．一组数据：4，－1，9，5，3，x 的平均数是4，那么x 等于（ ） A 、3 B ．4 C ．5 D ．6

3．2004年5月16 日是世界第14 个助残日，这天某 校老师为本区的特殊教育中心捐款情况如下：该校教师

平均每人捐款约_______元（精确到1元）

4．北京是一个严重缺水的城市，为鼓励居民节约每一滴水，某小区居委会表扬了100个节水模范用户，4月份这10 0户节约用水情况如下表：那么，4月份这100户平均每户节约用水______吨．

一、考点讲解：

1．权：各指标在总结果中所占的百分比称为每个指标获得的权重，权重越大，这个数据对这组数据影响越大．2．加权平均数：各指标乘以相应的权重后所得平均数叫做加权平均数．

3．加权平均数公式：有n个数，其中x1的权重为k1，x2的权重为k2…，k m的权重为k m(其中k1+ k2+ k3…+ k m=1)，

则平均数：

112233+x

m m

x x k x k x k k

=+++…

经典例题

例1：某学校要了解期末数学考试成绩，从考试卷中抽取部分试卷，其中有一人得100分，2人得95

分，8人得90分，10人得80分，15人得70分。求这些同学的平均成绩。

例2：某校把学生的纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按5 0％20 0％、30％的比例计人学期总评成绩，9 0分以上为优秀，甲、乙、丙三人的各项成绩如下表（单位：分），学期总评成绩优秀的是（）

A．甲B．乙、丙C．甲、乙D．甲、丙

【针对性训练】

1．为了调查某一路口某时段的汽车流量，记录了10天同一时段通过该路口的汽车辆数，其中有2天是

150辆，3天是145辆，5大是155辆，那么这10天在该时段通过该路口的汽车平均辆数为（）

A．145 B．150 C．151 D．155

2．某学习小组有9人，在一次数学竞赛中，得100分的有3人，得90分的有4人，得82分的有1 人，

得77分的有1人，那么这个小组平均成绩为分．

3．初中三年级共有四个班，在一次考试中，三（1）班51人，平均分87.5分；三(2)班共50人，平均分89．l分；三⑶共有48人，平均分88．2分；三⑷班共有53人，平均分90．5分．求初中三年级的平均

分．

4．在思想品德评定中，个人自评占20％，小组评定占40％，班主任评定占40％，小明这三项得分分别

为8 0分、96分、94分；小亮这三项得分分别为96分、80分、94分，请你计算两人谁的综合得分高．

5．某风景区对5个旅游景点的门票价格进行调整，据统计，调价前后各景点的旅客人数基本不变，有关

数据如下表所示：

（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收人持平，风景区是怎样计算的？（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收人相对于调价前，实际增加了9．4％，问游

客是怎样计算的？

（3）你认为风景区和游客哪个说法较能反映实际情形？

考点讲解

1．众数：在一组数据中，出现次数最多的数叫做这组数据的众数，众数可能不止一个．

2．中位数：将一组数据接从小到大的顺序排列后，处在最中间或最中间两个数据的平均数叫做中位数．平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的特征数．

经典例题

例1选择题：

(1)已知一组数据为1，0，-3，2，-6，5，这组数据的中位数为[ ]

A．0 B．1 C．1.5 D．0.5

(2)已知一组数据为-3，6，-3，6，13，20，6，1，这组数据的众数是[]

A．2 B．-3C．6D．3.5

例2求下列数据的众数

(1)3，2，5，3，1，2，3

(2)5，2，1，5，3，5，2，2

例3求下面这组数据的平均数、中位数、众数。

（1）249，252，250，246，251，249，252，249 ；

（2）253 ，254，249，256，249，252，255，253。

例4：某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数。

例5：已知一组数据5，15，75，45，25，75，45，35，45，35那么40是这组数据的（）

A．平均数但不是中位数B．平均数也是中位数C．众数D．中位数但不是平均数

例6：某地连续九天的最高气温统计如下表，则这组数据的中位数与众数分别是（）

A．24，25 B．24．5，25

C．25，24 D．23．5，24

例7：为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查用么最终买什么水果，下面的调查数据最值得关注的是（）

A．中位数B．平均数C．众数D．加权平均数

【针对性训练】

1．某部队一位战士连续射靶5次，命中的环数如下：0，2，5，2，7那么这组数据的中位数和众数分别

为（）

A．2和2 B．2和5 C．2和7 D．5和7

2．某地区六月份某一周每天最高气温如上表：则这一周的最高气温的中位数为____________。

3. 某公司员工的月工资如下：

⑴ 该公司员工月工资的中位数是_____，众数是____； ⑵ 该公司员工月工资的平均数是多少？

⑶ 用平均数还是用中位数和众数描述该公司员工月工资的一般水平比较恰当？

4. 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动．初中三个年级根据初赛成绩分 别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分为100分）如下表所示：

⑴ 请你填写下表：

⑵ 请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析： ① 从平均数和众数相结合看,分析哪个年级成绩好些； ② 从平均数和中位数相结合看，分析哪个年级成绩好些．

③ 如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加决赛，你认为哪个年级的实力更强一些？并说明理由。

考点4：从统计图分析数据的集中趋势 经典例题

例1：在中国旅游日（5月19日），我市旅游部门对2011年第一季度游客在丽水的旅游时间作抽样调查，统计如下： 旅游时间 当天往返 2~3天 4~7天 8~14天 半月以上 合计 人数（人）

76

120

80

19

5

300

若将统计情况制成扇形统计图，则表示旅游时间为“2~3天”的扇形圆心角的度数为 .

例2：某初中学校的男生、女生以及教师人数的扇形统计图如图所示，若该校男生、女生以及教师的总人数为1200人，则根据图中信息，可知该校教师共有___________人.

例3：根据第五次、第六次全国人口普查结果显示：某市常住人口总数由第五次的400万人增加到第六次的450万人，常住人口的学历状况统计图如下（部分信息未给出）：

解答下列问题：

（1）计算第六次人口普查小学学历的人数，并把条形统计图补充完整；

（2）第六次人口普查结果与第五次相比，该市常住人口中高中学历人数增长的百分比是多少？ 第五次人口普查中某市常住人口

38%

小学高中

32%

初中17%

其他3%

大学第六次人口普查中某市常住人

口 36

55180

49

人数（万人）

学历类别大学高中初中小学其他100608012014016018040200

例4：某市对九年级学生进行了一次学业水平测试，成绩评定分A 、B 、C 、D 四个等第．为了解这次数学测试成绩情况，相关部门从该市的农村、县镇、城市三类群体的学生中共抽取2 000名学生的数学成绩进行统计分析，相应数据的统计图表如下：

（1）请将上面表格中缺少的三个数据补充完整；

（2）若该市九年级共有60 000名学生参加测试，试估计该市学生成绩合格以上（含合格）的人数．

针对性训练

1. 在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后,唐老师计划安排60课时用于总复习,根据数学内容所占课时比例,绘制如下统计图表(图7-1～图7-3),请根据图表提供的信息,回答下列问题: (1)图7-1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度； (2)图7-2、7-3中的a = ,b = ；

(3)在60课时的总复习中,唐老师应安排多少课时复习“数与代数”内容？

2. 2011年5月19日，中国首个旅游日正式启动，某校组织了由八年级800名学生参加的旅游地理知识竞赛。李老师为了了解 对旅游地理知识的掌握情况，从中随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格、不及格4个级别进行统计，并绘制成了如图的条形统计图和扇形统计图 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）求被抽取的部分学生的人数；

（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中表示及格的扇形的圆心角度数； （3）请估计八年级的800名学生中达到良好和优秀的总人数。

图7-1 45%

5%实践与综合应

统计与概率

数与代数

空间与图

40%

67a

44

数与式函数数与代数(内容)图7-2 课时数

方程(组)

与不等式(组)

A 一次方程

B 一次方程组

C 不等式与不等式组

D 二次方程

图7-3

18

b

12

A B C D

369121518方程(组) 与不等式

课时数

13

3

E

30% 30%

40%

农村

县镇

城市

各类学生人数比例统计图

考点5：极差、方差、标准差

考点讲解

极差：一组数据中最大数据与最小数据的差称为极差。 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数，即])()()[(1

222212

x x x x x x n

s n -++-+-=

，其中 x 是n x x x ,,21 的平均数，2s 是方差。

标准差：方差的算术平方根。即2s s =

经典例题

例1：从一个班抽测了6名男生的身高，将测得的每一个数据（单位：cm ）都减去165.0cm ，其结果如下：?1.2，0.1，?8.3，1.2，10.8，?7.0这6名男生中最高身高与最低身高的差是 ；这6名男生的平均身高约为 （结果保留到小数点后第一位）

例2：一组数据-1，0，1，2，3的方差是________．

例3：已知一个样本：1，3，5，x ，2，它的平均数为3，则这个样本的方差是

例4：下表给出了合肥市2006年5月28日至6月3日的最高气温，?则这些最高气温的极差是_____℃

日期

5月 28日 5月 29日 5月 30日 5月 31日 6月 1日 6月 2日 6月 3日 最高气温 26℃

27℃

30℃

28℃

27℃

29℃

33℃

例5：数学老师对小明在参加高考前的5次数学模拟考试进行统计分析，判断小明的数学成绩是否稳定，于是老师需要知道小明这5次数学成绩的（ ）

A ．平均数或中位数

B ．方差或极差

C ．众数或频率

D ．频数或众数

例6：人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试，班级平均分和方差如下：80==乙甲x x ，

2402

=甲s ，1802=乙

s ，则成绩较为稳定的班级是（ ） A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定

例7：为了从甲、乙两名学生中选择一人参加电脑知识竞赛，?在相同条件下对他们的电脑知识进行了10次测验，成绩如下：（单位：分）

甲成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84 乙成绩 82

86

87

90 79 81

93

90

74

78

（1）请填写下表

平均数 中位数 众数 方差 85分以上的频率 甲 84 84 14.4 0.3 乙

84

84

90

（2）利用以上信息，请从三个不同的角度对甲、乙两个同学的成绩进行分析．

针对性训练

1．衡量样本和总体的波动大小的特征数是（ ）

2．数据8，10，12，9，11的平均数和方差分别是（）

A．10和2B．10和2 C．50和2D．50和2

3. 计算一组数据：8，9，10，11，12的方差为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

4. 甲、乙二人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均数甲＝乙＝7，方差S甲2＝3，S乙2＝1.2

则射击成绩较稳定的是（）

A．甲B．乙C．一样D．不能确定

5. 5名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（?单位：cm）：2，－2，－1，1，0，

则这组数据的极差为______cm．

6.若样本1，2，3，x的平均数为5，又样本1，2，3，x，y的平均数为6，则样本1，2，3，x，y的极

差是_______，方差是_______，标准差是______．

7. 已知一组数据0，1，2，3，4的方差为2，则数据20，21，22，23，24的方差为_____，?

标准差为________．

8. 一组数据－8，－4，5，6，7，?7，?8，?9?的极差是______，?方差是_____，?标准差是______．

9. 若样本x1，x2，……，x n的平均数为＝5，方差S2＝0.025，则样本4x1，4x2，……，4x n的平均数＇

＝_____，方差S＇2＝_______．

10. 某校八年级有甲，乙两个合唱小组，各成员的身高（单位：cm）如下

甲166 164 164 165 163 165 163 170 162 168

乙167 163 164 166 165 166 160 169 159 171

（1）用散点图表示各组数据的值，并求出甲，乙两小组各成员的平均身高；

（2）甲组10名同学身高的最大值是多少?最小值又是多少?它们差是多少?乙组呢?

（3）你认为哪个组的身高更整齐？

11. 某校学生报要招聘记者一名，小明、小凯和小萍报名进行了三项素质测试，成绩如下：（单位：分）

学生采访写作计算机创意设计

小明706086

小凯907551

小萍608478

（1）分别计算三人的素质测试的平均分，根据计算，那么谁将被录取？

（2）学校把采访写作、计算机和创意设计成绩按5：2：3的比例来计算三人的测试平均成绩，那么谁将被录取？

海豚教育错题汇编

1. 如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN 上一动点，则PA+PB的最小值为。

海豚教育1对1出门考（_______年______月______日 周_____）

学生姓名_____________ 学校_____________ 年级______________ 等第______________

1、已知一组数据2，1，x ，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是（ ） A ．2 B ．2.5 C ．3 D ．5

2、2009年6月12日某地区有五所中学参加中考的学生人数分别为：320，250，280，293，307，以上五个数据的中位数为（ ）

A.320

B.293

C.250

D.290 3、某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是（单位：千克）： 67,59,61,59,63,57,70,59,65这组数据的众数和中位数分别是

A. 59，63

B.59，61

C. 59，59

D. 57，61 4、一组数据4，5，6，7，7，8的中位数和众数分别是（ ） A ． 7， 7 B ．7， 6.5 C ． 5.5， 7 D ．6.5， 7 5、学业考试体育测试结束后，某班体育委员将本班50名学生的测试成绩制成如下的统计表．这个班学生体育测试成绩的众数是（ ）

成绩（分） 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 人数（人）

1

1

2

4

5

6

5

8

10

6

2

A ．30分

B ．28分

C ．25分

D ．10人

6、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：

测试项目 测试成绩 甲 乙 丙 教学能

力 85 73 73

科研能

力 70 71 65

组织能

力

64 72 84

（1）如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；

（2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．

评语： 5A 练习：

该5A 练习要求在 月 日之前完成

数据的离散程度(一)

§6.4.1数据的离散程度（一） 学习目标： 1.了解刻画数据离散程度的三个量度——极差、标准差和方差，能借助计算器求出相应的数值。 2.通过实例体会用样本估计总体的思想，进一步认识“离散程度”的意义。 3.能借助计算器求出一组数据的方差、标准差，并在具体问题情景中加以运用。 活动过程： 活动一：回顾旧知 1.平均数计算公式是什么？ 2.平均数反映数据的什么趋势？ 活动二：新知探究 1.想一想 阅读课本149页，完成下列问题 （1）你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量吗？ （2）求甲、乙两厂被抽取的鸡腿的平均质量。 （3）在图中画出表示平均质量的直线（画在书上），观察图象你发现了什么？ （4）从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值呢？它们差几克？乙厂呢？ （5）如果只考虑鸡腿规格，你认为外贸公司应购买哪个厂的鸡腿？为什么？ 2.概念引入 生活中数据除了“平均水平”外还有离散程度。离散程度是指数据相对于“平均数”的 ___________程度。数据的离散程度可以用极差、方差、标准差来刻画。 极差：是指一组数据中最_____数据与最______数据的差，极差是用来刻画数据离散程度的一个统计量。

方差：各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作s2，设有一组数据：x1, x2, x3,……，xn,其平均数为x 则()()()()[]2 23222121 x x x x n s x x x x n -++-+-+-=Λ 标准差（即方差的算术平方根） ()()()()[]2 2322211x x x x n s x x x x n -++-+-+-=Λ 3.练一练 如果丙厂也参加了竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿质量如下：（单位：g ） 75 74 73 78 72 76 74 76 74 75 74 72 73 72 78 76 77 77 77 79 （1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差是多少？ （2）如何刻画丙厂这20只鸡腿质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与对应平均数的差距。 （3）在甲、丙两厂中，你认为哪个厂鸡腿质量更符合要求？为什么？ 小结: 当几组数据的平均数相等或比较接近时,我们可以用极差，方差或标准差来比较数据的离散程度.一组数据的极差、方差或标准差越小,说明数据的离散程度越_____(填“大”或“小”)，数据的波动越_______,说明数据越稳定。 练习反馈“ 1.五个数1,2,4,5,a,的平均数是3,则a=__ __,这五个数的方差是______； 2.甲、乙两个小组各10名学生的某次数学测验成绩如下：（单位：分） 甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83 乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74 （1）甲组数据的众数是____________,乙组数据的中位数是_________________ （2）若甲组数据的平均数为x ,乙组数据的平均数为y ，则x 与y 的大小关系是 （3）经计算知：s 2甲=13.2, s 2乙=26.36, s 2甲______s 2乙(填＞、=、＜符号)，这说明___________________________________________________________

北师大版八年级数学上册数据的离散程度练习题

6.4 数据的离散程度 1.如图是甲.乙两位同学5次数学考试成绩的折线统计图，你认为成绩较稳定的是（ ）. A.甲 B.乙 C.甲.乙的成绩一样稳定 D.无法确定 2.人数相等的甲.乙两班学生参加了同一次数学测验，班级平均分和方差如下： 甲x =80，乙x =80，s 2甲 =240，s 2乙 =180，则成绩较为稳定的班级为（ ）. A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定 3.下列统计量中，能反映一名同学在7～9 年级学段的学习成绩稳定程度的是 （ ） A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 4.某车间6月上旬生产零件的次品数如下（单位：个）：0，2，0，2，3，0，2， 3，1，2则在这10天中该车间生产零件的次品数的（ ）. A.众数是4 B.中位数是1.5 C.平均数是2 D.方差是1.25 5.在甲.乙两块试验田内，对生长的禾苗高度进行测量，分析数据得：甲试验田内禾苗高度数据的方差比乙实验田的方差小，则（ ）. A.甲试验田禾苗平均高度较高 B.甲试验田禾苗长得较整齐 C.乙试验田禾苗平均高度较高 D.乙试验田禾苗长得较整齐 6. 5名同学目测同一本教科书的宽度时， 产生的误差如下（单位：cm ）：0，2，－2，－1，1，则这组数据的极差为_______cm ． 7.五个数1，2，4，5，a 的平均数是3，则a= ，这五个数的方差为 . 8.已知一组数据1，2，1，0，－1，－2，0，－1，则这组数据的平均数为 ，中位数为 ，方差为 . 9.某校高一新生参加军训，一学生进行五次实弹射击的成绩（单位：环）如下：8，6，10，7，9，则这五次射击的平均成绩是____环，中位数_____环，方差是______. 10.已知数据a.b.c 的方差是1，则4a ，4b ，4c 的方差是 . 11.某学生在一学年的6次测验中语文.数学成绩分别为（单位：分）： 语文：80，84，88，76，79，85 数学：80，75，90，64，88，95 试估计该学生是数学成绩稳定还是语文 成绩稳定？ 12.在某次体育活动中，统计甲.乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位：次）情况如下表：

如何衡量数据的离散程度

如何衡量数据的离散程度 我们通常使用均值、中位数、众数等统计量来反映数据的集中趋势，但这些统计量无法完全反应数据的特征，即使均值相等的数据集也存在无限种分布的可能，所以需要结合数据的离散程度。常用的可以反映数据离散程度的统计量如下： 极差（Range） 极差也叫全距，指数据集中的最大值与最小值之差： 极差计算比较简单，能从一定程度上反映的数据集的离散情况，但因为最大值和最小值都取的是极端，而没有考虑中间其他数据项，因此往往会受异常点的影响不能真实反映数据的离散情况。 四分位距（interquartile range，IQR） 我们通常使用箱形图来表现一个数据集的分布特征： 一般中间矩形箱的上下两边分别为数据集的上四分位数（75%，Q3）和下四分位数（25%，Q1），中间的横线代表数据集的中位数（50%，Media，Q2），四分位距是使用Q3减去Q1计算得到：

如果将数据集升序排列，即处于数据集3/4位置的数值减去1/4位置的数值。四分位距规避了数据集中存在异常大或者异常小的数值影响极差对离散程度的判断，但四分位距还是单纯的两个数值相减，并没有考虑其他数值的情况，所以也无法比较完整地表现数据集的整体离散情况。 方差（Variance） 方差使用均值作为参照系，考虑了数据集中所有数值相对均值的偏离情况，并使用平方的方式进行求和取平均，避免正负数的相互抵消： 方差是最常用的衡量数据离散情况的统计量。 标准差（Standard Deviation） 方差得到的数值偏差均值取平方后的算术平均数，为了能够得到一个跟数据集中的数值同样数量级的统计量，于是就有了标准差，标准差就是对方差取开方后得到的： 基于均值和标准差就可以大致明确数据集的中心及数值在中心周围的波动情况，也可以计算正态总体的置信区间等统计量。 平均差（Mean Deviation） 方差用取平方的方式消除数值偏差的正负，平均差用绝对值的方式消除偏差的正负性。平均差可以用均值作为参考系，也可以用中位数，这里使用均值： 平均差相对标准差而言，更不易受极端值的影响，因为标准差是通过方差的平方计算而来的，但是平均差用的是绝对值，其实是一个逻辑判断的过程而并非直接计算的过程，所以标准差的计算过程更加简单直接。 变异系数（Coefficient of Variation，CV） 上面介绍的方差、标准差和平均差等都是数值的绝对量，无法规避数值度量单位的

如何衡量数据的离散程度精编版

如何衡量数据的离散程 度精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】

如何衡量数据的离散程度 我们通常使用均值、中位数、众数等统计量来反映数据的集中趋势，但这些统计量无法完全反应数据的特征，即使均值相等的数据集也存在无限种分布的可能，所以需要结合数据的离散程度。常用的可以反映数据离散程度的统计量如下： 极差（Range） 极差也叫全距，指数据集中的最大值与最小值之差： 极差计算比较简单，能从一定程度上反映的数据集的离散情况，但因为最大值和最小值都取的是极端，而没有考虑中间其他数据项，因此往往会受异常点的影响不能真实反映数据的离散情况。 四分位距（interquartilerange，IQR） 我们通常使用箱形图来表现一个数据集的分布特征： 一般中间矩形箱的上下两边分别为数据集的上四分位数（75%，Q3）和下四分位数（25%，Q1），中间的横线代表数据集的中位数（50%，Media，Q2），四分位距是使用Q3减去Q1计算得到： 如果将数据集升序排列，即处于数据集3/4位置的数值减去1/4位置的数值。四分位距规避了数据集中存在异常大或者异常小的数值影响极差对离散程度的判断，但四分位距还是单纯的两个数值相减，并没有考虑其他数值的情况，所以也无法比较完整地表现数据集的整体离散情况。 方差（Variance） 方差使用均值作为参照系，考虑了数据集中所有数值相对均值的偏离情况，并使用平方的方式进行求和取平均，避免正负数的相互抵消： 方差是最常用的衡量数据离散情况的统计量。 标准差（StandardDeviation） 方差得到的数值偏差均值取平方后的算术平均数，为了能够得到一个跟数据集中的数值同样数量级的统计量，于是就有了标准差，标准差就是对方差取开方后得到的： 基于均值和标准差就可以大致明确数据集的中心及数值在中心周围的波动情况，也可以计算正态总体的置信区间等统计量。

数据的离散程度【公开课教案】

6.4 数据的离散程度 第一环节：情境引入 内容：为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分，某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿．现有2个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质也相近。 质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：g）如下： 甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74 74 75 75 76 73 76 73 78 77 72 乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75 80 71 76 77 73 78 71 76 73 75 把这些数据表示成下图： 质量/g 甲厂乙厂 （1）你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量是多少？ （2）求甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量，并在图中画出表示平均质量的直线。 （3）从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值又是多少？它们相差几克？从乙厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值又是多少？最小值呢？它们相差几克？ （4）如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪家公司的鸡腿？说明你的理由。 在学生讨论交流的的基础上，教师结合实例给出极差的概念：

极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。它是刻画数据离散程度的一个统计量。 目的：通过一个实际问题情境，让学生感受仅有平均水平是很难对所有事物进行分析，从而顺利引入研究数据的其它量度：极差。 注意事项：当一组数据的平均数与中位数相近时，学生在原有的知识与遇到问题情境产生知识碰撞时，才能较好地理解概念。 第二环节：合作探究 内容1： 如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿，它们的质量数据如下图： 78 质量/g （1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？ （2）如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其相应平均数的差距。 （3）在甲、丙两厂中，你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求？为什么？ 数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差刻画。 方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即： ()()()[] 222212...1x x x x x x n s n -++-+-= 注：x 是这一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数，s 2是方差，而标准差就是方差的算术平方根。一般说来，一组数据的极差、方差、标准差越小，这组数据就越稳定。 说明：标准差的单位与已知数据的单位相同，使用时应当标明单位；方差的单位是已知单位的平方，使用时可以不标明单位。 目的：通过对丙厂与甲、乙两厂的对比发现，仅有极差还不能准确刻画一组

6.4 数据的离散程度(1)同步练习(含答案)

数据的离散程度（2） 1.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9．2环，方差分别为 ，则成绩最稳定的是（） （A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁 2.某射击队要从四名运动员中选拔一名运动员参加比赛，方差2s 如表所示．如果要选择一个成绩高且发挥稳定的人参赛，则这个人应是（）． （A ）甲 （B ）乙 (C ）丙 （D ）丁 3.七年级（1）班与（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为17．5，（2）班成绩的方差为15，由此可知 A ．（1）班比（2）班的成绩稳定 B ．（2）班比（1）班的成绩稳定 C ．两个班的成绩一样稳定 D ．无法确定哪班的成绩更稳定 4.甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均成绩都相同，方差分别是 20.65S =甲，20.55S =乙，20.50S =丙20.45S =丁，则射箭成绩最稳定的是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 5.在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9．1环，方差分别是2 =1.2S 甲，2 =1.6S 乙，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确的是（） A ．甲比乙稳定 B ．乙比甲稳定 C ．甲和乙一样稳定 D ．甲、乙稳定性没法对比 6.甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表： 2222s s 0.60,0.56,s 0.50,s 0.45==== 甲乙丁丙

则这四人中射击成绩发挥最稳定的是． 7.有一组数据3?5?7?a?4，如果它们的平均数是5，那么这组数据的方差是． 8.已知一组数据1，2，3，4，5的方差为2，则另一组数据11，12，13，14，15的方差为． 9.甲、乙两组数据的平均数都是5 的是． 10.已知一组数据-1，0，1，2，3，x的平均数为1，则这组数据的方差为_______． 11.甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：9，7，8，9，7，6，10，10，6，8；乙：7，8，8，9，7，8，9，8，10，6 （1）分别计算甲、乙两组数据的方差； （2）根据计算结果比较两人的射击水平． 12.有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中分别随机抽取了16台，记录下某一天各自的销售情况（单位：元）： 甲：l8，8，10，43，5，30，10，22，6，27，25，58，14，18，30，41 乙：22，31，32，42，20，27，48，23，38，43，12，34，18，l0，34，23 小强用如图所示的方法表示甲城市16台自动售货机的销售情况． （1）请你仿照小强的方法将乙城市16台自动售货机的销售情况表示出来； （2s2 甲_____s2 乙 ； （3）请说出此种表示方法的优点． 13.甲、乙两位运动员进行射击比赛，各射击了10次，每次命中环数如下： 甲：8，6，7，8，9，10，6，5，4，7 乙：7，9，8，5，6，7，7，6，7，8 （1）甲、乙运动员的平均成绩分别是多少？ （2）这十次比赛成绩的方差分别是多少？ （3）试分析这两名运动员的射击成绩.

数据的离散程度

数据的离散程度 一、选择 1、国家统计局发布的统计公报显示：2001到2005年，我国GDP 增长率分别为8.3％，9.1％，10.0％，10.1％，9.9％。经济学家评论说：这五年的年度GDP 增长率之间相当平稳。从统计学的角度看，“增长率之间相当平稳”说明这组数据的（ ）较小。 A 、标准差 B 、中位数 C 、平均数 D 、众数 2、刘翔为了备战2008年奥运会，刻苦进行110米跨栏训练，为判断他的成绩是否温度，教练对他10次训练的成绩进行统计分析，则教练需了解刘翔这10次成绩的（ ） A 、众数 B 、方差 C 、平均数 D 、频数 3、若一组数据1、2、3、x 的极差是6，则x 的值为（ ） A 、7 B 、8 C 、9 D 、7或-3 4、下列说法中，错误的有 （ ） ①一组数据的标准差是它的差的平方；②数据8，9，10，11，1l 的众数是2；③如果数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么(x 1－x ）＋（x 2－x ）+…（x n －x ）=0；④数据0，－1，l ，－2，1的中位数是l ． A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、l 个 二、填空 5、数据：1、3、4、7、2的极差是 。 6、对某校同龄的70名女学生的身高进行测量，其中最高的是169㎝，最矮的是146㎝，对这组数据进行整理时，可得极差为 。 7、甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400 克的茶叶.从它们各自分装的茶叶中分别随机 抽取了10盒，测得它们的实际质量的方差如下表所示： 根据表中数据，可以认为三台包装机中， 包装机包装的茶叶质量最稳定。 8、小明和小兵两人参加学校组织的理化实验操作测试，近期的5次测试成绩如右图所示，则小明5次成绩的方差S 12与小兵5次成绩的方差S 22之间的大小关系为S 12 S 22．（填“＞”、“＜”、“＝”） 9、一组数据的方差 ])10()10()10[(15 1 222212-++-+-= n x x x s ，则这组数据的平均数是 ，n x 中下标 n= 。 10、已知一组数据ｘ1，ｘ2，…，ｘn 的方差是a 。则数据ｘ1－4，ｘ2－4，…，ｘn －4的方差是 ；数据 3ｘ1，3ｘ2，…，3ｘn 的方差是 。 三、解答 11、在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶。如图是其中的甲、乙段台阶路的示意图。请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题： 16 14 14 16 15 15 甲路段 17 19 10 18 15 11 乙路段

评价数据离散程度的指标

标准差 标准差（Standard Deviation），也称（mean square error），是各数据偏离的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。 标准差（Standard Deviation），在统计中最常使用作为程度（statistical dispersion）上的。标准差定义为的，反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质： 为非负数值，与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。 标准计算公式 假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn（皆为），其平均值为μ，公式如图1. 图1 标准差也被称为，或者实验标准差，公式如图2。 图2 简单来说，标准差是一组数据分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，两组数的集合{0, 5, 9, 14} 和{5, 6, 8, 9} 其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。 标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的。标准差数值越大，代表回报远离过去值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。 例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.078分，B组的标准差为2.16分（此数据是在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。 如是总体，根号内N=n，如是，标准差公式根号内N=（n-1)，因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1)。 公式意义 所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一，即变异数)，再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。 深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在中，此范围所占比率为全部数值之68%。根据正态分布，两个标准差之内（深蓝，蓝）的

数据集中趋势和离散程度(名师总结)

数据的集中趋势和离散程度 【知识点1】正确理解平均数、众数和中位数的概念 一、平均数：平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数 据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化． 例1：有四个数每次取三个数,算出它们的平均数再加上另一个数,用这种方法计算了四次,分别得到以下四个数:86, 92, 100, 106,那么原4个数的平均数是________ . 例2：有几位同学参加语文考试,赵峰的得分如果再提高13分,他们的平均分就达到90分,如果赵峰的得分降低5分,他们的平均分就只得87分,那么这些同学共有________人. 例3：有5个数,其平均数为138,按从小到大排列,从小端开始前3个数的平均数为127,从大端开始顺次取出3个数,其平均数为148,则第三个数是_______ . 例4：某5个数的平均值为60,若把其中一个数改为80,平均值为70,这个数是________ . 例5：A、B、C、D四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数,这样计算了4次,得到下面4个数. 23, 26, 30, 33 A、B、C、D 4个数的平均数是多少 例6：有5个抽屉，分别有图书33本、42本、20本、53本和32本，平均每个抽屉里有图书多少本？ 例7：小明参加了四次数学测验，平均成绩是88分，他想再通过一次数学测验将五次的平均成绩提高到最少90分，那么在下次测验中，至少要得多少分？ 例8：四个数的平均值是30，若把其中一个改为50，平均值就变为40，这个数原来是多少？ 例9：有甲、乙、丙三个数，甲数和乙数的平均数是42，甲数和丙数的平均数是46，乙数和丙数的平均数是47，求甲、乙、丙三个数各是多少？ 例10：某人沿一条长为12千M的路上山，又从原路返回，上山的速度是2千M/小时，下山的速度是6千M/小时。那么，他在上山和下山的全过程当中的平均速度是多少千M每小时？ 例11：若不选择教材中的引入问题，也可以替换成更贴近学生学习生活中的实例，下举一例可供借鉴参考。 某校初二年级共有4个班，在一次数学考试中参考人数和成绩如下： 求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？ 二、众数：在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着

数据的离散程度

6．4 数据的离散程度 1．了解极差的意义，掌握极差的计算方法； 2．理解方差、标准差的意义，会用样本方差、标准差估计总体的方差、标准差．(重点、难点) 一、情境导入 从图中我们可以算出甲、乙两人射中的环数都是70环，但教练还是选择乙运动员参赛． 问题1：从数学角度，你知道为什么教练员选乙运动员参赛吗？ 问题2：你在现实生活中遇到过类似情况吗？ 二、合作探究 探究点一：极差 欢欢写了一组数据：9.5，9，8.5，8，7.5，这组数据的极差是( ) A ．0.5 B ．8.5 C ．2.5 D ．2 解析：这组数据的最大值是9.5，最小值是7.5，因此这组数据的极差是：9.5－7.5＝ 2.故选D. 方法总结：要计算一组数据的极差，找出最大值与最小值是关键． 探究点二：方差、标准差 【类型一】 方差和标准差的计算 求数据7，6，8，8，5，9，7，7，6，7的方差和标准差． 解析：一组数据的方差计算有两个常用的简化公式：(1)s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－nx 2]；(2)s 2＝1n [(x 1′2＋x 2′2＋…＋x n ′2)－nx ′2]，其中x 1′＝x 1－a ，x 2′＝x 2－a ，…，x n ′＝x n －a ，a 是

接近原数据平均数的一个常数，x′是x1′，x2′，…，x n′的平均数． 解：方法一：因为x＝1 10(7×4＋6×2＋8×2＋5＋9)＝7，所以s2＝ 1 10 [(7－7)2＋(6－7)2 ＋(8－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2]＝1.2. 所以标准差s＝30 5 . 方法二：同方法一，所以s2＝1 10 [(72＋62＋82＋82＋52＋92＋72＋72＋62＋72)－10×72]＝ 1.2，标准差s＝30 5 . 方法三：将各数据减7，得新数据：0，－1，1，1，－2，2，0，0，－1，0.而x′＝0， 所以s2＝1 10 [02＋(－1)2＋12＋12＋(－2)2＋22＋02＋02＋(－1)2＋02－10×02]＝1.2.所以标准 差s＝30 5 . 方法总结：计算一组数据的方差和标准差的步骤：先计算该组数据的平均数(或需加减的数值)，然后按方差(或标准差)的计算公式计算． 【类型二】方差和标准差的应用 在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄(单位：岁)如下： 甲队：26，25，28，28，24，28，26，28，27，29； 乙队：28，27，25，28，27，26，28，27，27，26. (1)两队参赛选手的平均年龄分别是多少？ (2)利用标准差比较说明两队参赛选手年龄波动的情况． 解析：先求出两队参赛选手年龄的平均值，再由标准差的定义求出s甲与s乙，最后比较大小并作出判断． 解：(1)x甲＝1 10 ×(26＋25＋28＋28＋24＋28＋26＋28＋27＋29)＝26.9(岁)， x乙＝1 10 ×(28＋27＋25＋28＋27＋26＋28＋27＋27＋26)＝26.9(岁)． (2)s2甲＝ 1 10 ×[(26－26.9)2＋(25－26.9)2＋…＋(29－26.9)2]＝2.29， s2乙＝1 10 ×[(28－26.9)2＋(27－26.9)2＋…＋(26－26.9)2]＝0.89. 所以s甲＝ 2.29≈1.51， s乙＝0.89≈0.94， 因为s甲>s乙， 所以甲队参赛选手年龄波动比乙队大． 方法总结：求标准差时，应先求出方差，然后取其算术平方根．标准差越大(小)其数据

数据的集中趋势和离散程度专项练习

2015秋苏科版数学九上第三章《数据的集中趋势和离散程 度》word单元测试题 课题: 数据的离散程度测试 一、填空题(每空3分，共30分) 1、数据-5，6，4，0，1，7，5的极差为___________ 2、某校初三年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班能参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数，经统计的个数，经统计和计算后结果如下表: 班级参加人数平均字数中位数方差 甲 55 135 149 191 乙 55 135 151 110 有一位同学根据上面表格得出如下结论:?甲、乙两班学生的平均水平相同;?乙班优秀人数比甲班优秀人数多(每分钟输入汉字达150个以上为优秀);?甲班同学比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大。 上述结论正确的是_______(填序号) 3、已知数据a，a，a，的方差是2，那么2a，2a，2a的标准差(精确到0.1)是_________ 。 123123 4、一组数据库，1，3，2，5，x的平均差为3，那么这组数据的标准差是 ______。 5、已知数据1，2，3，4，5的方差为2，则11，12，13，14，15的方差为_________ ，标准差为_______ 。 ，，，，xx6、数据x，x，x，x的平均数为，标准差为5，那么各个数据与之差的平方和为1234 __________。

7、甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩为7环，10次 22射击成绩的方差分别是:S=3，S=1.2，成绩较稳定的是 __________(填“甲”或“乙”)。甲乙 8、九年级上学期期末统一考试后，甲、乙两班的数学成绩(单位:分)的统计情况如下表所示: 班级考试人数平均分中位数众数方差甲 55 88 76 81 108 乙 55 85 72 80 112 从成绩的波动情况来看，________班学生的成绩的波动更大 19、已知一组数据x，x，x，x，x的平均数是2，方差是，那么另一组数据 3x-2，3x-2，1234 5123 3x-2，3x-2，3x-2的平均数是________，方差是________。 34 5 10、一组数据中若最小数与平均数相等，那么这组数据的方差为________。 二、选择题(每小题3分，计30分) 11、在学校对学生进行的晨检体温测量中，学生甲连续10天的体温与36?的上下波动数据 为:0.2, 0.3, 0.1, 0.1, 0, 0.2, 0.1, 0.1, 0.1, 0,则对这10天中该学生的体温 波动数据分析不正确的是( ) A、平均数为0.12 B、众数为0.1 C、中位数为0.1 D、方差为0.02 2，，，，xx12、对甲、乙两同学100米短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得;甲=乙，S甲 2=0.025,S=0.026,下列说法正确的是( ) 乙 A、甲短跑成绩比乙好 B、乙短跑成绩比甲好 C、甲比乙短跑成绩稳定 D、乙比甲短跑成绩稳定

如何衡量数据的离散程度

如何衡量数据的离散程度 Revised by Jack on December 14,2020

如何衡量数据的离散程度 我们通常使用均值、中位数、众数等统计量来反映数据的集中趋势，但这些统计量无法完全反应数据的特征，即使均值相等的数据集也存在无限种分布的可能，所以需要结合数据的离散程度。常用的可以反映数据离散程度的统计量如下： 极差（Range） 极差也叫全距，指数据集中的最大值与最小值之差： 极差计算比较简单，能从一定程度上反映的数据集的离散情况，但因为最大值和最小值都取的是极端，而没有考虑中间其他数据项，因此往往会受异常点的影响不能真实反映数据的离散情况。 四分位距（interquartile range，IQR） 我们通常使用箱形图来表现一个数据集的分布特征： 一般中间矩形箱的上下两边分别为数据集的上四分位数（75%，Q3）和下四分位数（25%，Q1），中间的横线代表数据集的中位数（50%，Media，Q2），四分位距是使用Q3减去Q1计算得到： 如果将数据集升序排列，即处于数据集3/4位置的数值减去1/4位置的数值。四分位距规避 了数据集中存在异常大或者异常小的数值影响极差对离散程度的判断，但四分位距还是单纯的两个数值相减，并没有考虑其他数值的情况，所以也无法比较完整地表现数据集的整体离散情况。 方差（Variance） 方差使用均值作为参照系，考虑了数据集中所有数值相对均值的偏离情况，并使用平方的方式进行求和取平均，避免正负数的相互抵消： 方差是最常用的衡量数据离散情况的统计量。 标准差（Standard Deviation） 方差得到的数值偏差均值取平方后的算术平均数，为了能够得到一个跟数据集中的数值同样数量级的统计量，于是就有了标准差，标准差就是对方差取开方后得到的：

数据的集中趋势和离散程度教案

第三章 数据的集中趋势与离散程度-----第01课时 课题：平均数（1） 目标： 1、了解平均数的意义，会计算一组数据的算术平均数，平均数。 2、在求实际问题的平均数的过程中，体会简化平均数算法的必要性，能灵活地用3数。 3重点：计算一组数据的平均数 教学过程： 一、基础训练 1、数据17，19，16，21，19，22的平均数是＿＿＿＿＿； 2、数据2、 3、x 、4的平均数是3，则x=________； 3、5个数的平均数是14，3个数的平均数是6，则这8个数的平均数是＿＿＿＿＿； 4、若两组数x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 的平均数分别为x 和y ，则x 1＋y 1，x 2＋y 2＋y n 的平均数是_________； 5、一场突如其来的地震给玉树带来了巨大的灾难！ 45 则全班平均捐款为________元； 6、强烈某食品厂为加强质量管理，对某天生产的罐头抽查了10342，348，346，340，344，341，343，350，340，342 求样本的平均数。 7、某班有50名学生，数学期中考试成绩90分有9人，84分的有12人，73分的有10有13人，56分有2人，45分有4位） 161cm ，B 均身高约为163cm ，小明一定比小丽矮吗？ （二）引入新课，梳理知识 题1、2、3、4引入平均数的定义及直接算法，题5、6引入平均数的简便运算，题7穿插引入新课： 1、平均数的概念和计算方法 通常，我们用平均数表示一组数据的“平均水平”，即：这组数据都“接近”这个数。对于n x 2……，x n ，我们把 n 1 （x 1＋x 2＋…＋x n ），叫做这n 个数的算术平均数，简称为平均数，记为x n 1 （x 1＋x 2＋…＋x n ）（公式一）x 读作：“x 拔” 剖析：⑴公式x ＝n 1 （x 1＋x 2＋…＋x n ），是平均数的 “直接算法”；

数据的离散程度

广才成学明志致远学案编号：2014080243编写：王效鼎审核：王效鼎班级：组别：姓名：一评：二评： 6.4数据的离散程度 【学习目标】 1、了解方差、标准差的概念. 2、会求一组数据的方差、标准差，并会用他们表示数据的离散程度． 3、能用样本的方差来估计总体的方差． 4、通过实际情景，提出问题，并寻求解决问题的方法，培养学生应用数学的意识和能力． 【学习重难点】 教学重点：本节教学的重点是方差的概念和计算。. 教学难点：方差如何表示数据的离散程度，学生不容易理解，是本节教学的难点. 自主学习 第一次第二次第三次第四次第五次 甲命中环数7 8 8 8 9 乙命中环数10 6 10 6 8 ①请分别算出甲、乙两名射击手的平均成绩； ②请根据这两名射击手的成绩在图中画出折线图； 合作交流 请根据统计图，思考问题： ①、甲、乙两名射击手他们每次射击成绩与他们的平均成绩比较，哪一个偏离程度较低？ ②、射击成绩偏离平均数的程度与数据的离散程度与折线的波动情况有怎样的联系？ ③、用怎样的特征数来表示数据的偏离程度？可否用各个数据与平均的差的累计数来表示数据的偏离程度？ ④、是否可用各个数据与平均数的差的平方和来表示数据的偏离程度？⑤、数据的偏离程度还与什么有关？要比较两组样本容量不相同的数据的偏离平均数的程度，应如何比较？ 概括总结 根据以上问题情景，在学生讨论，教师补充的基础上得出方差的概念、计算方法、及用方差来判断数据的稳定性。 1、方差的单位和数据的单位不统一，引出标准差的概念。 （注意：在比较两组数据特征时，应取相同的样本容量，计算过程可借助计数器） 2、现要挑选一名射击手参加比赛，你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？ （这个问题没有标准答案，要根据比赛的具体情况来分析，作出结论） 巩固新知 1、已知某样本的方差是4，则这个样本的标准差是。 2、已知一个样本1，3，2，X，5，其平均数是3，则这个样本的标准差是。 3、甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且中环的平均数X甲=X乙，如果甲的射击 成绩比较稳定，那么方差的大小关系是S2甲S2乙 4、已知一个样本的方差是S= 5 1 [（X1—4）2+（X2—4）2+…+（X5—4）2]，则这个样本的平均数是，样本的容量是。 ５、八年级（５）班要从黎明和张军两位侯选人中选出一人去参加学科竞赛，他们在平时的５次测试中成绩如下（单位：分） 黎明：652 653 654 652 654 张军：667 662 653 640 643 如果你是班主任，在收集了上述数据后，你将利用哪些统计的知识来决定这一个名额？（解题步骤：先求平均数，再求方差，然后判断得出结论）

表示一组数据离散程度的指标

表示一组数据离散程度的指标（1） 知识技能目标 1.了解极差的意义，会计算一组数据的极差． 2.会根据所给数据绘制相应的折线图． 3.会根据所给折线图求出极差． 过程性目标 1.感受自主探索的乐趣． 2.初步体验科学研究中观察和分析的方法. 教学过程 一、创设情境 小明初一时对数学不感兴趣，遇到问题不爱动脑筋，作业能做就做，不会做就不做，因此他的数学成绩不太好，初一的一学年中四次考试的数学成绩分别是75、78、77、76．初一暑假时，小明参加了科技活动小组，在活动中，小明体会到学好数学的重要性，逐渐对数学产生了兴趣，遇到问题时从多方面去思考，深入钻研．因此小明的数学成绩进步很快，初二的一学年中，小明在四次考试的数学成绩是80、85、92、95． 看完这则小通讯，请谈谈你的看法．你以为在这些数据中最能反映学习态度重要性的是哪一对数据?两者相差多少? (学生充分讨论,允许有多种答案.) 的确，相比较而言最能反映学习兴趣重要性的是初一时的75分和初二时的95分，两者相差达20分. 这个20分在数学上就称为极差. 二、探究归纳 那么,到底何为极差?我们来看下面这个问题： 表20.2.1显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温：

试对这两段时间的气温进行比较． (由表20.2.1所给数据可知，2002年和2001年2月下旬的气温相比，有4天的温度相对高些，有3天的温度相对低些，还有1天的温度相同．) 我们可以由此认为2002年2月下旬的气温比2001年高吗？两段时间的平均气温分别是多少？ (经计算可以看出，对于2月下旬的这段时间而言，2001年和2002年上海地区的平均气温相等，都是12℃．) 这是不是说，两个时段的气温情况没有什么差异呢？请同学们根据上表提供的数据,绘制出相应的折线图．(完成后与下图作比较) 图20.2.1是根据两段时间的气温情况绘成的折线图． 图20.2.1不同时段的最高气温 观察一下，它们有差别吗？把你观察得到的结果写在下面的横线上： _________________________________________________________________．通过观察，我们可以发现：图(a)中折线波动的范围比较大——从6℃到22℃，图(b)中折线波动的范围则比较小——从9℃到16℃． 思考 什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？ 我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围．用这种方法得到的差称为极差(range)． 极差＝最大值－最小值． 三、实践应用 例1观察图20.2.1，分别说出两段时间内气温的极差． 解由图可知，图(a)中最高气温与最低气温之间差距很大，相差16℃，也就是极差为16℃；图(b)中所有气温的极差为7℃，所以从图中看，整段时间内气温变化的范围不太大． 例2你的家庭中年纪最大的长辈比年纪最小的孩子大多少岁？ 例3 自动化生产线上，两台数控机床同时生产直径为40.00毫米的零件，为了检验产品质量,从产品中各抽出10件进行测量，结果如下(单位：毫米)．

数据离散程度的指标

数据的离散程度表示一组数据离散程度的指标（1） 知识技能目标 1.了解极差的意义，会计算一组数据的极差． 2.会根据所给数据绘制相应的折线图． 3.会根据所给折线图求出极差． 过程性目标 1.感受自主探索的乐趣． 2.初步体验科学研究中观察和分析的方法. 教学过程 一、创设情境 小明初一时对数学不感兴趣，遇到问题不爱动脑筋，作业能做就做，不会做就不做，因此他的数学成绩不太好，初一的一学年中四次考试的数学成绩分别是75、78、77、76．初一暑假时，小明参加了科技活动小组，在活动中，小明体会到学好数学的重要性，逐渐对数学产生了兴趣，遇到问题时从多方面去思考，深入钻研．因此小明的数学成绩进步很快，初二的一学年中，小明在四次考试的数学成绩是80、85、92、95． 看完这则小通讯，请谈谈你的看法．你以为在这些数据中最能反映学习态度重要性的是哪一对数据?两者相差多少? (学生充分讨论,允许有多种答案.) 的确，相比较而言最能反映学习兴趣重要性的是初一时的75分和初二时的95分，两者相差达20分. 这个20分在数学上就称为极差. 二、探究归纳 那么,到底何为极差?我们来看下面这个问题： 表20.2.1显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温： 试对这两段时间的气温进行比较．

(由表20.2.1所给数据可知，2002年和2001年2月下旬的气温相比，有4天的温度相对高些，有3天的温度相对低些，还有1天的温度相同．) 我们可以由此认为2002年2月下旬的气温比2001年高吗？两段时间的平均气温分别是多少？ (经计算可以看出，对于2月下旬的这段时间而言，2001年和2002年上海地区的平均气温相等，都是12℃．) 这是不是说，两个时段的气温情况没有什么差异呢？请同学们根据上表提供的数据,绘制出相应的折线图．(完成后与下图作比较) 观察一下，它们有差别吗？把你观察得到的结果写在下面的横线上： _________________________________________________________________． 通过观察，我们可以发现：图(a)中折线波动的范围比较大----从6℃到22℃，图(b)中折线波动的范围则比较小----从9℃到16℃． 思考 什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？ 我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围．用这种方法得到的差称为极差(range)． 极差＝最大值－最小值． 三、实践应用 例1 观察图20.2.1，分别说出两段时间内气温的极差． 解由图可知，图(a)中最高气温与最低气温之间差距很大，相差16℃，也就是极差为16℃；图(b)中所有气温的极差为7℃，所以从图中看，整段时间内气温变化的范围不太大． 例2 你的家庭中年纪最大的长辈比年纪最小的孩子大多少岁？ 例3 自动化生产线上，两台数控机床同时生产直径为40.00毫米的零件，为了检验产品质量,从产品中各抽出10件进行测量，结果如下(单位：毫米)． (2) 就所生产的10个零件的直径变化范围,你认为哪个机床生产的质量好? (2) 因为甲的极差为0.12，乙的极差为0.22，所以甲机床生产的质量较好．

6.4.1数据的离散程度

6.4.1 数据的离散程度 【学习目标】 1．经历表示数据离散程度的几个量度的探索过程； 2．了解刻画数据离散程度的三个量度——极差、方差、标准差； 3．能借助计算器求出相应的数值，并在具体问题情境中加以应用； 4.通过实例体会用样本估计总体的思想。 过程与方法： 经历表示数据离散程度的几个量度的探索过程， 通过实例体会用样本估计总体的统计思想，培养 学生的数学应用能力。 一、复述回顾：（二人小组完成） 1.我们研究过刻画数据的“平均水平”的统计量有哪些？分别是怎样刻画数据的“平均水平”的？ 2.求平均数有哪几种方法？ 二、设问导读： 阅读课本P149-151完成下列问题： 1．甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量分别是x甲=_____,x乙=______,甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是_____,最小值是______,极差为_____克, 乙厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是_____,最小值是______,极差为_____克. 如果只考虑鸡腿的规格，外贸公司应购买____厂的鸡腿,因为___厂鸡腿规格比较_____，在______左右摆动幅度较___. 2.如果两组数据的平均值一样，这种情况下，人们除了关心数据的“平均值”即“_______”外，人们往往还关注数据的________，即相对于“________”的_________.从上图也能很直观地观察出：甲厂相对于“平均水平”的偏离程度比乙厂相对于“平均水平”的偏离程度____. 3. 甲、丙厂20只鸡腿的质量与其平均数的差的和都为____,由此可知不能用各数据与平均数的差的和来衡量这组数据的_______.这种情况下，可以用各个数据与平均数之___的____的______来刻画,即方差. 4. 描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的_____、_____、_______；标准差就是_____的_____平方根. 一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越_____. 5.阅读P150例题，并仿照例题格式完成做一做：(1)丙厂20只鸡腿的平均质量x丙=___，方差S2 丙 =___. (2)∵___________，___________ ∴_____厂的产品更符合规格. 6.使用计算器计算一组数据的标准差与方差的大体步骤是；进入_______状态，输入_____，按键就可得出_______.再 ______即可求出_______.利用器可求 s甲2=______ s丙2=________.根据计算的结果，____厂的产品更符合要求. 三、自学检测： 1.一组数据：473、865、368、774、539、474的极差是 . 2.下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是（） A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差 3.为了判断甲、乙两个小组学生英语口语测验成绩哪一组比较整齐，通常需要知道两组成绩的（） A.平均数 B.方差 C.众数 D.中位数 4.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下： 甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4 乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7 经过计算，两人射击环数的平均数相同，但S2 甲S2 乙 ，所以确定去参加比赛。 5.求数据98，100，101，102，99的样本标准差。 四、巩固训练： 1.一组数据3,1,0，3，-2的极差是 . 平均数为_____,方差为_____. 2.一组数据1,3,2, X的极差是6，且X为整数，则X= . 3.已知一组数据2.1、1.9、1.8、X、2.2的平均数为2，则极差是。