北大版高等数学第4章习题集解答
习题
4.1
3212121.()32[0,1][1,2]Rolle 0,(0)(1)(2)0,()[0,1][1,2]Rolle 620,33(0,1),(1,2),()()0.33
2.f x x x x f f f f f x x x x
x x f x f x =-+==='-+===+''=
∈===2验证函数在区间及上满足定理的条件并分别求出导数为的点.
处处可导故在区间及上满足定理的条件.f (x)=3x 讨论下列
解1111()[1,1]Rolle ,,(1,1),()0.
(1)()(1)(1),,;(2)()1(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)()0,(1,1),()0.1
(2)(m n m n m n m n f x c f c f x x x m n f x f x m x x n x x m n
x x m mx n nx c f c m f x -----∈-'==+-='=+--+--'=+----==
∈-=+'函数在区间上是否满足定理的条件若满足求使为正整数解1/32
),(0).
3
3.()ln [1,],?11
(),()(1)ln ln11(1), 1.
https://www.wendangku.net/doc/2c7956858.html,grange (1)|sin sin |||;
(2)|tan tan |||,,(/2,/2);
(3)
ln x f f x x e c f x f e f e e c e x c
y x x y x y y x x y b a b b b a ππ-'=-=='=-=-==-=--≤--≥-∈--<<不存在写出函数在区间上的微分中值公式并求出其中的应用中值定理,证明下列不等式:解222(0).(1)|sin sin ||(sin )|()||cos |||||.(2)|tan tan ||(tan )|()|sec ||||.
(3)ln ln ln (ln )|()((,)).5.()(1)(4)x c x c x c a
a b a
x y x x y c x y x y y x x y x c y x y x b a b b a b a
b a x b a
c a b a a c a
P x x x ===-<<'-=-=-≤-'-=-=-≥----'<=-=-=∈<=--证明多项式的导函数的证1,212,.
()1,2,Rolle ,,,()(2,1),(1,1),(1,2).
6.,,,:()cos cos 2cos (0,).
n n P x P x c c c f x c x c x c nx π±±---=+++L L 三个根都是实根并指出它们的范围有四个实根根根据定理它的导函数有三个实根又作为四次多项式的导函数是三次多项式,最多三个实根,故的导函数的三个根都是实根,分别在区间设为任意实数证明函数在内必有根证
1211
()sin sin 2sin [0,]2((0)()0),()(0,).n g x c x c x c nx n
g g f x πππ=+++==L 在满足定理的条件
故其导函数在内必有根证22
(()()
7.()()(,),()0,0,(,).
()()
:,()(),(,).
(()()()()()()()()()
0,()()()()
,,,()(),()
f x
g x f x g x a b g x x a b f x g x k f x kg x x a b f x g x f x g x f x f x g x f x g x g x g x g x f x k k f x kg x g x ≠=∈''=∈'''''??-=== ???
==设函数与在内可微且证明存在常数使根据公式的一个推论存在常数使即
证(,).
8.()(-,)(),.:(),,,.
(())()0,.,(),.9.(1)arcsin arccos /2,-11;
(2)arctan .
x a b f x f x k x f x kx b x k b f x kx f x k k k x f x kx b x x x x x x π∈'∞+∞=-∞<<+∞=+-∞<<+∞''-=-=-=-∞<<+∞-=-∞<<+∞+=≤≤=-∞<<+∞设在上可微且证明其中为常数证明下列等式:
证
证(1)2
arcsin arccos arcsin arccos 0,(1,1),arcsin arccos [1,1],arcsin
arccos ,arcsin 0arccos 0,arcsin
arccos .
2
2
(2)arctan
1
1x x x x x x x x x C C x x x x ππ'''+??
=
+=∈-+- ?+==+=+=
'??- ?=-+在连续故()=()+()210,1arctan ,00,arctan 0,
(,).
x x C x C x x =-=+-===-=∈-∞+∞以代入得故
22
02
10.:sin ,0/2.
sin ()(0/2),(0)1,[0,/2],cos sin cos (tan )
(0,/2),()0.2[0,/2],()()(0)1,0/2.
2
11.()(,),(,),li x x x x x
f x x f f x
x x x x x x f f x x x f f f x f x f x a b x a b ππ
ππππ
πππ<<<<=
<≤=--'==<=<<=<<∈证明不等式在连续在可导在严格单调递减设函数在内可微对于任意一点若证 0
0000000
m (),lim ()().
()()lim
lim (01)
lim ()lim ().
12.(Darboux )()(,),[,](,),()().::x x x x x x x x x f x f x f x f x x x f x x
f x x f x y f x A B a b A B f a f b θθθη→→?→?→?→→'''='+???'==<
中值定理设在区间中可导又设且证明对于任意给定的00f(x +x)-f(x )
证x 1011222()(),(,)().
()()
()0().()lim 0,)/20,
()()
00,()()0.()().
:0()/2,()().[,]x f a f b c a b f c f a x f a f a f b f a b a x
f a x f a x f a x f a f a f a x b a f b f b f a b c ηηδδδδδδ?→+
''<<∈'=+?-'''<<=<->>?+?-
即特别类似存在某点取最小证1,()()(),,,.(,),Fermat ()0.:()().()().()(),()()0,()()0,,(,)()()0,().
f c f a f a c a c b c a b c f c f a f b
g x f x x g x f x g a f a g b f b c a b g c f c f c δηηηηηηηη≤+<≠≠∈'''''=<<=-=-''''=-<=->∈'''=-==值f(c)同理是极小值点, 由引理,再设考虑由前面的结果存在使得即
习题4.2
0000000L Hospital :
212ln 2ln 21.lim lim .313ln 3ln 3
cos 1sin sin 2.lim lim lim 1.ln(1)11/(1)13.lim ln(1)lim x x x x x x x x x x x x x x
x x x x
x →→→→→→→'-==---==-=--+-+??-??+?
?=用
法则求下列极限000/2lim lim 1lim .
2tan 34.lim lim tan x x x x x x x π→→→→???==??==-=2
22/22
2001000000001/5010003sec 3 3.sec ln(cos )(1/(cos ))(sin )5lim lim .ln(cos )(1/(cos ))(sin )ln 1/16.lim ln (0)lim lim lim 0.()7.lim lim x x a x x x x x x y x x ax ax ax a a bx bx bx b b
x x x x x x x e y x e παα
αααα→→→---→+→+→+→+-→→+∞=-==->===-=-=505050
/50/50/50220
2
2
2
2000222
50lim lim lim 0.8.lim (tan ).(tan ),lim ln lim (2)ln tan ln tan sec /tan lim lim 2lim 122(2)y y y y y y y x x x x x z x x y y e e e x y x y x x
x x x x x πππ
π
π
πππππ→+∞→+∞→+∞--→-→-→-→-→-→-?????
?==== ? ? ???????==-===----(
)02
2ln 2000
22
lim ln 01/0033000tan 0,lim lim sin 1.
1ln 9.lim 1(0)lim lim ln .1
arcsin arcsin 10.lim lim sin x y
x x y
y y x
x y y y y y z z y e
z e
e a a a
a x a a y y y y y
y y π
ππ→-→-→-→∞→→→→→=====-->===--==
2
0011111230111
.3361ln 111.lim lim 1ln (1)ln ln 11ln lim lim ln (1)/ln (1)1/1lim .ln 22
112.lim l sin y y y y y y y x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y x e x x →→→→→→→-→==-=-????-+-= ? ?--????????+-== ? ?+-+-??????== ?+??--=2
2
2
24200001/1/022
20002011im lim 11lim lim .222arctan arctan 13.lim ,,
arctan arctan 1ln (/arctan )lim ln lim lim 2(1)arctan lim 2x y x y y y y y x x x x x x x x e y e x y e e y x x y x x x
x x
x x x x x y x x
x x x --→→--→→→→→→→----=-+-===-????
= ? ?
?
??
?-+?==-+=2
32001/1/301
1ln ln 112arctan 1arctan 1lim lim ,633arctan lim .
14.lim arctan .arctan .22ln arctan 2lim ln lim lim ln arctan (12x x x x x
x
x x x x x x x x x x x e x x y x x x y x x ππππ→→-→→+∞→+∞→+∞→+∞--==-=-??= ??
?????
-=- ? ?????
??- ?
?
?==-??- ???
2
1
ln 12222200000)lim
lim 1,lim arctan .
112arctan (1)(1)
tan sec 1tan 215.lim lim lim lim lim 2.sin 1cos 1cos 1cos sin x
x x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x x x x x π-→+∞→+∞→+∞→→→→→+??
=-=-=--= ???????++ ? ?????
--=====---- 2000111cosh cos sinh sin cosh cos 16.lim
lim lim 1.22
(ln 1)1(ln 1)1
17.lim lim lim ln 11/11x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x →→→→→→-++===-+-+-==-+--
21
122
2/(ln 1)lim 2.1
2218.lim arctan .arctan .21ln(arctan )(1/arctan )21lim ln lim lim
,112lim arctan .x x x x
x
x x x x x
x x x x x y x x x x y x x x e ππππππ-→→+∞→+∞→+∞→+∞-→+∞++==--????= ? ?????
?+===--??
= ???
习题4.3
221221223212222211.0Taylor :
(1)sinh 2
111()22!(21)!2!(21)!().
3!(21)!
111(2)ln 2122221x x
n n n n n n n o o x e e x x x x x x x x n n x x x x n x x x x x x x n n -+++++-=-=
??????=++++--++-+ ? ? ?++??????=++++++??-=--+---- ?+-??L L L L 求下列函数再点的的局部公式2221232122422121
2223()2221().
32111(2)(2)(2)(3)sin (1cos 2)(1)().
222!4!(2)!21
(4)(21)(1())
1
(n n n
n n n
n n n n o o o o x x x x n n x x x x n x x x x x x n x x x x x x x x x x x ---+????+-++ ? ?-??????=-++++ ?-?
???=-=-++-+ ???
+-=-+-++++-=-+++L L L L L 2221123663
6342333())2(())(1())1222().
(5)cos 1(1)().2!(2)!
2.0Taylor :(1)sin ()
sin 1()266n n n n n n n n n
n n x x
o o o o o o x x x x x x x x x x x x x x x x x n x e x x x x x e x x x x ++++++-+++++++++=-----+=-++-+=??=++++-+ ???L L L L 求下列函数再点的的局部公式至所指定的阶数
解342
442423445234
4333()().
3()
11151()1()2816128224153251().
2816384)111(2)(228o o o o o x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ??=+++ ???
????=+-+-+-++ ?
?????
=+--++=+-+--+233222231)(2)161111(3)(3)(3)2816x x x x x x x x ??+-+ ?
????
-+-+--++-+ ?
??
323223332331111(2)(4)(8)28161111(3)(96)(27)()28161115
().2816
o o x x x x x x x x x x x x x x ??
=+-+-+- ?
????
-+-+--+-+ ???
=+++
2222
2121
2
003521
211/23.0Taylor (1)arctan .
11(1)()11(1)(2)arcsin ()121
(1)().3521
11111222(1)n n n k n x k n k n n n o o o x x x x x x
x dt x x t k x x x x x n k x ++=++-==-++-++-==+++=-+++-++??????
-----+ ??? ?
???
??=+=∑?L L L 求下列函数在点的局部公式:解
20200
021
2100()
!(21)!!(1)()
(2)!!(21)!!(),
(2)!!
(21)!!arcsin ()(2)!!
(21)!!().
(2)!!(21)
4.Taylor :
1(1)lim n k n k n
k k
n k n
k
n k n
x x k n
k n
k n k x o o o o o x x k k x x k k x x k k x t dx t dt k k x t k k ====++=→?+-=-+-=+-=+-=++-∑∑∑
∑??∑
利用公式求下列极限2
42
2423402
200000011()21lim
.sin 2816
()111112(2)lim lim lim lim .
1(1)(1)(())21cos 1sin cos (3)lim lim sin sin sin x x x x
x x x x x x x x x o o o x x x x x e x x x x x e x e x x e x e x e x x x x x x x x x x x x -→→→→→→→??---++ ?-??==-+----??-==== ?---+??-??-= ???3
2333001sin ()1()
62sin cos 1lim lim .3
x x o x
x x x x x x x x x x →→?? ?????---+ ?-??===
习题4.4
53
222
222
122
1.:
(1)35.
1515(1),
15(1)15(1)(1)0,1,0, 1.
y x x
x x x
y x x x x x x x x
=-
'-=-
'=-=-+==-==
求下列函数的单调性区间与极值点
4
解y=15x
2
1
323
11
(2).0.
211
0, 1.
y x
x x
x
y x
x x x
=-≠
-
'=-+=== x (-∞,0) (0,1) 1 (1,+ ∞)
x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+ ∞) y'+ 0 -0 -0 +
y 极大值?无极值?极小值
2
22
2
5.,sin cos sin(),,
||/2.
()sin()(sin cos)
(0)0,()cos()cos,
()sin().
()sin()
()(0)(0),
22
|()||sin()(sin cos)|
2
x a x a a x a
x
f x a x a x a
f f x a x a
f x a x
f c a c
f x f f x x x
x
f x a x a x a
++
=+-+
'
==+-
''=-+
''-+
'
=++=
=+-+≤
当较小时可用近似代替其中为常数试证其误差
不超过
证
23
4
4
1/3
234234
4
.
11
6.01/3,1,
26
810.
11111 1,1
26242624243
.000717810.
x x
x x
x x
x e x x x e
e e e
e x x x x e x x x x
θθ
-
-
<≤=+++
?
????=++++-+++=≤?
? ?
????
=
L
设按公式计算的近似值试证公式误差不超过证
y'+ -0
+
y ?极小值
2
222
2222
2
(3),(,).
1
121
220, 1.
(1)(1)
x
y x
x
x x x
y x
x x
=∈-∞+∞
+
+--
'=?=?==±
++
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) y'-0 + 0 -
y ?极小值-1 极大值1 ?
2
22
2
222
1
(4)ln,0.
2(ln)(1/)ln2(ln)ln ln[2ln]
0,1,.
y x x
x
x x x x x x x x
y x x e
x x x
=>
---
'====== x (0,1) 1 (1,e2) e2(e2,+ ∞) y'-0 + 0 -
y ?极小值 极大值?
32222.()29122[1,3],.
()618126(32)6(1)(2)0,1,2.(1)21,(1)7,(2)6,(3)11.
(1)21,(3)11f x x x x f x x x x x x x x f f f f f f =-++-'=-+=-+=--==-=-===-=-=求函数在区间上的最大值与最小值并指明最大值点与最小值点是最小值是最大值.
解()()()()2222
203.22()()2(),/2.3222()(2)430,33
33,(/2)()0.().44
31
2.22p x V x p x p x px p p x p x p V p p x px p px p x p V p V p V p p p p ππππ=
---=--≤≤'=---=-+=====-=将周长为的等腰三角形绕其底边旋转一周,求使所得旋转体体积最大
的等腰三角形的底边长度.
设腰长为则是最大值等腰三角形的底边长度 解,
23x
32
2
324.,()12,(),[0,3].()32,320,1 2.
3,0.
()3.()333(1)(1)0,1,()6,(1)6,(1),(l k f x x lx kx x l k f x f x x lx k l k l k k l f x x x f x x x x x f x x f f f =++=-'=++-+=-+-==-='=-=-=-+=''''=±=±=±求出常数与的值使函数在处有极值并求出在这样的与之下的所有极值点以及在上的最小值和最大值是极小值解 1).(0)0,(1)2,(3)18.(1)2,(3)18.
f f f f f -==-==-=是极大值是最小值是最大值5.,,,.
sin OB OA a O A K
?
π
设一电灯可以沿垂直线移动是一条水平线长度为.问灯距离点多高时点有最大的照度
6.,,?
a b 若两条宽分别为及的河垂直相交若一船从一河转入另一河
问其最大的长度是多少3000/2
csc sec ,0.
2
sec tan csc cot
sec tan 0,
,
csc cot tan ,tan arctan lim (),lim (),02l a b a
l a b b
a b l l l θθπθπνθθθθθθθθθθθθπθθθ→→=+<<
'=-+=====??
=+∞=+∞ ???设船与一岸夹角为则船长为
在，有最小值，是最小值点.解,()()
()()22222
2220
.7.()(),0.3
2()323
3
323()0,.333a a a x V a x a x x a V x a x a x x ax a a
x ax a x a x a x ππ
π
π
π
=
=-+≤≤'=-++-=
--+=-
+-=-
-+==在半径为问其高及底半径应是多少?
设球心到内接圆锥体底的距离为,则锥体体积=
解3332(0),()0,().()333273
a a
V a V a V a V ππ===?为最大值．
a
b
202
22
2
22
224,0,4,0,(4)2.
89.4(18,0)()1818(),0().
44lim (),()[01
18180,44
8z h a V h a V V a r a a
y x y z d f y y z g z z z y g z g z z z z →+∞
''<<>>===????
==-+=-+=≤<+∞= ? ?????
=+∞+∞??'-+=-= ???当时当时为最小值,此时在曲线上求出到点的距离最短的点．
在，）有最小值．
g (z)=2解()()2
222264,(0)324,(64)68(0),
(64)8,16.
4
4(18,0)(16,8),(16,8)10.,.,(),0.
2()232g g g y g y z x y x H H x H
V x R x x R R
V x R x x Rx x x R ππππ===<==±===-=-≤≤'=--=-=为最小值．曲线上到点的距离最短的点．试求内接于已知圆锥且有最大体积的正圆柱的高度．
设已知圆锥的高度为底半径为设内接正圆柱的底半径为则其体积为
解()22
222
30,0,.
3
22(0)()0..().
33311.1.
cos ,02.
sin (,0),cos (1sin ),0.
2
x x R H H V V R V R h R R R x y x a b
x a t t y b t b S ab t t t S ππ
-==??
==-= ???+==?≤≤?=?-=+≤≤
'为最大值此时内接正圆柱的高度=试求内接于椭圆且其底平行于轴的最大等腰三角形的面积设内接等腰三角形的顶点在而底边上的一个顶点在第一象限.内接三角形面积解22200[sin (1sin )cos ][1sin 2sin ](sin )
1
(21)(21)(1)0,sin .
2
1133
(0),()0,()11.
242ab t t t ab t t t z ab z z ab z z z t S ab S S t ab ab π=-++=--==-+-=--+===??===-+= ???为最大值
222012.8m/min ,50m ,,6m/min.??.()(8)(506),0.
lim (),()0.
()12812(506)2006000, 3.(0)50,t A O B x x A B s f t t t t f t f t t f t t t t t f f →+∞
==+-≥=+∞≥'=--=-===设动点自平面坐标的原点开始以速度沿y轴正向前进而点在轴的正向距离原点处同时沿轴向原点作匀速运动速度为问何时与距离最近最近的距离是多少在取最小值解222(3)24321600,40.
340m.
d d =+===开始后分钟达到最近距离
习题4.5
()()()()2
2
2
2
2
2
2
2
222321.()()212,()12(2)4642320,0,x x x x x x
x x f x xe f x e x e e x f x e x x xe e x x xe x x --------='''-=-=---=-+=-+==求函数 的凸凹性区间及拐点.
解=
x
(-∞,-
32
)
-
32
(-
32
,0) 0
(0, -
32) 32
(
3
2
,+∞)
f " - 0 + 0 - 0 + f
?
拐点
?
拐点
?
拐点
?
x
(,0)-∞
0 (0,1)
1 (1,2)
2 (2,)+∞
y '
- 0 + + 0 - y ''
+ + - - y
??
极小值
?
拐点
?
极大值
??
2321
,(,).32(2)0,0,2.220, 1.y x x x y x x x x x y x x =-∈-∞∞'=-=-==''=-==作下列函数的图形：2.
222223.
,(,).2(2)(2)0,0,2;(2)(22)(42)0,2 2.
x x x x x x x x y x e x y xe x e e x x e x x x y e x x e x e x x x --------'=∈-∞+∞=-=-=-==''=--+-=-+==±
x
(,0)
-∞
(0,22)
-
22
-
(22,2)
-
2
(2,22)
+
22+ (22,)
++∞
y '
-
+ +
-
-
y ''
+
+
-
-
+
y
]? 极小值 Z ? 拐点 Z ?
极大值 ]? 拐点 ]?
x
(,1)-∞-
1-
(1,0)- (0,1)
1
(1,)+∞
y ' + 0 - -
0 + y ''
- -
+ + y
?
极大值
??
??
极小值
?
222
314.,0.11
10,2
1;.y x x x
x y x x x
y x =+≠-'=-=
=''=±=
x
(
,1)-∞- -1
(1,1)- (1,5)
5
(5,)
+∞
y ' + 0 + - 0 + y ''
-
+
+
+
y
Z ?
拐点 Z ? ]? 极小值 Z ?
3
2
2234
2224432
3
2
2
6
(1)5., 1.(1)3(1)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(3322)(1)(1)(5)(1)(5),(1)(1)(1)
0,1,5.[2(1)(5)(1)](1)3(1)(5)(1)
(1)[2(x y x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x +=≠-+--+-'=
-+----+--+-===---'==-+-++--+--''=
-+=
224
424
2244
1)(5)(1)](1)3(1)(5)(1)(1){[2(5)(1)](1)3(1)(5)}(1)(1){(39)(1)3(45)}(1)(1){(3129)3(45)}24(1)0 1.(1)(1)
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++--+--+-++--+-=
-+-----=
-+-+---+====---，
2
2
433
3/2
ln
6.,0.
1ln
0,.
1
2(1ln)12(1ln)32ln)
,
0,.
x
y x
x
x
y x e
x
x x x x x
x
y
x x x
y x e
=>
-
'===
-?--+--
''==-=-
''==
x (,)e
-∞ e 3/2
(,)
e e3/2
e3/2
(,)
e+∞y'-0 + +
y''+ + 0 -
y ]?极小值Z?拐点Z?
22
1221221121
1221
21
()(,)()(,).()0,(,).
()(,)(,),,(,),,
()()()(),()()()().
0(()())(),
y f x a b f x a b f x x a b y f x a b a b x a b x
f x f x f x x x f x f x f x x x
f x f x x x
x x
''''
=≤∈=∈<
''
≤+-≤+-
''
≤--
->
11
7.设函数在内有二阶导数且在内向上凸证明
在在内向上凸故对于任意x x
两式相加得
消去得
证
1221
0()(),()(),(),()0, (,).
f x f x f x f x f x f x
x a b
'''''''
≤-≤≤
∈
即是单调递减函数故
习题4.6
32223/223/2
21.:111(1)31,;
399(2)3,12(3)()(sin ),()(1cos ),,|6|
(1)91,18, 6.(1)(10)112(2)1,1,1(1)(y x x x y x x t a t t y t a t a t y y x y x K y y x y y x x π??
=-+- ???
??=
?-??
=-=-''-'''=-==
=
='++'''=++
=-=--求下列曲线在指定点的曲率在处在处;其中为常数在=/2处.
解33/22
2
23/2
22223/2
1
164..91)125(1)16
(3)(1cos ),sin ,sin ,cos ,()2.21(0,1)(1)
(1)154,40,1,44||14,(1)4K x a x a t x a t y a t y a t K a a y x y y y y x y y y y y K R y αβ==-+''''''=-=====+=+'''++'''==-==+=+=''''''==='+求曲线在点处的曲率圆方程.
00解.
=x 2
2
2223/2
23/251,:().443.243?.4
4-4, 4.1,(1,1)(1)
(1(44)).
x y y x x y y x y K x y x ??+-= ???
=-+'''''====='++-曲率圆方程问曲线上哪一点处曲率最大并对其作几何解释当时最大对应点恰是抛物线的顶点解
第四章总练习题
000000001..()()[()()].
()(),[0,].()()(),(0)0.
Lagrange ,(0,1)()(0)(),f x h f x h f x h f x h h f x x f x x x h g g x f x x f x x g g h g g h h θθθθθθ''+--=++-+--∈'''=++-=∈'-=00设y=f(x)在[x -h,x +h](h>0)内可导证明存在,0<<1使得令g(x)=(x)在[0,h]内可导,根据公式存在使得
证00000
()()[()()].2.:0,()1/4()1/2lim ()1/4,lim ()1/2.4(())211()(124x x f x h f x h f x h f x h h x x x x x x x x x x θθθθθθθθ→→+∞
''+--=++-≥=
≤≤===
=
=+=++=+即证明当时中的满足且
00).
11()(12),
441
11()(12)(1(1)2).
442
11
lim ()lim (12).44
1
lim ()lim (12)4
1
lim 4
x x x x x
x x x x x x x x x x x θθθθ→→→+∞→+∞≥+=-=+≤+++-==+==+=由算术几何平均不等式得
2
2111lim lim .442
3,012
3.()()[0,2]1, 1,01
(2)(0)1().120
, 1x x
x x f x f x x x
x x f f f x x x
=
===?-≤≤??=??<<+∞??-≤≤?-?
'==?--<<+∞??设求在闭区间上的微分中值定理的中间值.
解2/23/21.
221111,;,()[0,2]222x x x f x x -=--=-=-=-=1
在闭区间上的微分中值定理的中间值为2
北大版高等数学第4章习题集解答
习题 4.1 3212121.()32[0,1][1,2]Rolle 0,(0)(1)(2)0,()[0,1][1,2]Rolle 620,33(0,1),(1,2),()()0.33 2.f x x x x f f f f f x x x x x x f x f x =-+==='-+===+''= ∈===2验证函数在区间及上满足定理的条件并分别求出导数为的点. 处处可导故在区间及上满足定理的条件.f (x)=3x 讨论下列 解1111()[1,1]Rolle ,,(1,1),()0. (1)()(1)(1),,;(2)()1(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)()0,(1,1),()0.1 (2)(m n m n m n m n f x c f c f x x x m n f x f x m x x n x x m n x x m mx n nx c f c m f x -----∈-'==+-='=+--+--'=+----== ∈-=+'函数在区间上是否满足定理的条件若满足求使为正整数解1/32 ),(0). 3 3.()ln [1,],?11 (),()(1)ln ln11(1), 1. https://www.wendangku.net/doc/2c7956858.html,grange (1)|sin sin |||; (2)|tan tan |||,,(/2,/2); (3) ln x f f x x e c f x f e f e e c e x c y x x y x y y x x y b a b b b a ππ-'=-=='=-=-==-=--≤--≥-∈--<<不存在写出函数在区间上的微分中值公式并求出其中的应用中值定理,证明下列不等式:解222(0).(1)|sin sin ||(sin )|()||cos |||||.(2)|tan tan ||(tan )|()|sec ||||. (3)ln ln ln (ln )|()((,)).5.()(1)(4)x c x c x c a a b a x y x x y c x y x y y x x y x c y x y x b a b b a b a b a x b a c a b a a c a P x x x ===-<<'-=-=-≤-'-=-=-≥----'<=-=-=∈<=--证明多项式的导函数的证1,212,. ()1,2,Rolle ,,,()(2,1),(1,1),(1,2). 6.,,,:()cos cos 2cos (0,). n n P x P x c c c f x c x c x c nx π±±---=+++L L 三个根都是实根并指出它们的范围有四个实根根根据定理它的导函数有三个实根又作为四次多项式的导函数是三次多项式,最多三个实根,故的导函数的三个根都是实根,分别在区间设为任意实数证明函数在内必有根证
北大版高数答案
习题 1.1 22 22222222222222 22. ,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b ====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4. ,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.: 6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z L 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证 7.(,),(,).1/10.|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2
北大版高等数学课后习题答案完整版
习题 1.1 22 22222222222222 223. 33,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p p a a p a b p a pb b b ====+=+=++=++======证明为无理数若不是无理数,则为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数证明是无理数设为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||5,(1,5)(5,1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?--+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11n n n n x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a a n n a a b a a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><-<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若显然解(1)证5.: 6.120000(1)(1)(1). (,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n n n a b b n a a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m ---+++>-<-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.{2|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=+ ∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2
北大版高等数学第5章习题解答
习题5.1 1.,,,,,().11 ,,().22 ABCD AB AD AC DB MA M AC DB MA AM AC ===+=-=-=- =-+设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解a b.a b a b a b a b () 2.,1 (). 2 11 22 1 ().2 M AB O OM OA OB OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+=+-=+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明 证 3.,,1 (). 3 221 () 332 1 (), 3 1(),3M ABC O OM OA OB OC OM OA AM OA AD OA AB AC OA AB AC OM OB BA BC OM OC =++=+=+=+?+=++=++=设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1 (). 3 1 3,(). 3 CA CB OM OA OB OC OM OA OB OC ++=++=++ 4.,1 ,(). 4 1 (), 2 11 (),(), 221 (). 2 4ABCD M O OM OA OB OC OD OM OA AM OA AB AD OM OB BA AD OM OC BA DA OM OD AB DA OM OA OB OC OD =+++=+=++=++=++=++=+++设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1 ,(). 4 OM OA OB OC OD =+++
2222225.?(1)()();(2)();(3)()(). (1).:()().(2).:()0, 1.(3),6.==?=?======0对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b a b i c =j.a b c =j,b c a =a i b j,a b a b a,b c .,1122 11 ().22DE DA AE BA AC BA AC BC =+= +=+=于第三边并且等于第三边长度之半.证 2227.: (1),;(2).(1)()()()()||||0. ()cos |||||||||||||AC BD AB BC BC CD AB BC BC CD BC CD AB AC AB AB AD AB AB AB AD a AB AD AB AC AB AC AB AC α=++=+-=-=+++===利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2, ||()cos cos . ||||||||||| ,. a AC AD AB AD AD AB AD AD a AB AD AB AC AB AC a AC βααβαβ+++=====与都是锐角故 22 2 2 2 (2)||()()||||2||||. AC AC AC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC ==++=++=+ 2222222222222222228.()()||||. ()()||||cos ||||sin ||||(cos sin )||||.9..||.AB AC ABC ABC ABDC AB AC αααα?+=?+=+=+=?=?证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11 的面积= 的面积22 证解a b a b a b a b a b a b a b a b a b 2222222 2 2210.,,,()()2(). ()()()()()()222(). =++-=+++-=+++--=-+给定向量记为即现设为任意向量证明证a a a a a a a.a b , :a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a +b b +a b +a a +b b a b =a b
北大版高等数学第一章 函数及极限答案 第一章总练习题
第一章总练习题 221.:581 2. 3|58|1422.|58|6,586586,. 3552 (2)33,5 2 333,015. 5 (3)|1||2| 1 (1)(2),2144,. 2 2|2|,. 2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2. 解22231231 2,4,(2). 3 2,41 (2), 4.3 1 3.1. 2 2,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.22222 121 1,.22 123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤??=?->??<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++ 的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则 解证1231111 12 1 2 112 22 11231222222 2124(1)(1)3222,2222 1..1(1)(2)123(1). (1)1(11)1(1)1,(1)(1) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nx x x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===-- 即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1 21 2 .1(1)123(1)(1)(1) n n n n n n n x nx x x nx n x n x x +--++++++++=++- 等式成立设等式对于成立,则
北大版高等数学第一章-函数及极限答案-习题1.2
习题 1.2 2 22 2 22 ln(4);(2) 40,||4,||2,(,2)(2,). 1010 1 (2)0..11,(1,1). 1010 1 5 (3)1,540.540,( 4 y x y y y x x x D x x x x D x x x x x x x x x x =-=== ->>>=-∞-?+∞ ->-< ?? + >-<<=- ?? +>+< -?? - >--<-+= 求下列函数的定义域 或 1.: (1) 解(1) 12 2 12 2 1)(4)0,1, 4. (1,4). (4)2530.(21)(3)0,3,1/2.(,3)(1/2,). (), ()1,(0,3).()(1,10). (2)()ln(1sin),(/2,],()(,ln2]. (3)( x x x D x x x x x x D f X X f x x X f X f x x X f X f x ππ --=== = +->-+==-==-∞-?+∞ =+== =+=-=-∞ 求下列函数的值域其中为题中指定的定义域 2.. (1) 22 12 2 )[1,3],320,230,(1)(3)0, 1,3,()[0,(1)][0,4]. (4)()sin cos,(,). ()cos(/4)cos sin(/3))/4),()[ ln (1)(),(1) ln10 X x x x x x x x x f X f f x x x X f x x x x f X x f x f πππ ==-+-=--=+-= =-=== =+=-∞+∞ =+=+= =- 求函数值： 设求 3. 2 ,(0.001),(100); (2)()arcsin,(0),(1),(1); 1 ln(1),0, (3)()(3),(0),(5). , 0, cos,01, (4)()1/2,1,(0),(1),(3/2),(2). 2, 13 (1)()l x f f x f x f f f x x x f x f f f x x x x f x x f f f f x f x - =- + --∞<≤ ? =- ? -<<+∞ ? ?≤< ? == ? ?<≤ ? = 设求 设求 设求 解264 og,(1)log10,(0.001)log(10)6,(100)log10 (2)(0)0,(1)arcsin(1/2)/6,(1)arcsin(1/2)/6. (3)(3)ln4,(0)0,(5) 5. (4)(0)cos01,(1)1/2,(3/2)(2) 4. 2 4.(), 2 x f f f f f f f f f f f f f x f x x x ππ - -==-==-= ===-=-=- -===- ===== + =≠ - =4.设函数 11 2,(),(1),()1,,. () 2213 (),2;(1),1,3, 2211 f x f x f x f x f x x x x f x x f x x x x x x ?? ±-++ ? ?? -+++ -=≠±+==≠≠- +--- 求 解
最新北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总练习题
北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总 练习题
第四章总练习题 000000001..()()[()()]. ()(),[0,].()()(),(0)0. Lagrange ,(0,1)()(0)(),f x h f x h f x h f x h h f x x f x x x h g g x f x x f x x g g h g g h h θθθθθθ''+--=++-+--∈'''=++-=∈'-=00设y=f(x)在[x -h,x +h](h>0)内可导证明存在,0<<1使得令g(x)=(x)在[0,h]内可导,根据公式存在使得 证00000 ()()[()()].2.:0,()1/4()1/2lim ()1/4,lim ()1/2.4(())211()(124x x f x h f x h f x h f x h h x x x x x x x x x x θθθθθθθθ→→+∞ ''+--=++-≥= ≤≤=== = =+=++=+即证明当时中的满足且 00). 11()(12), 441 11()(12)(1(1)2). 442 11 lim ()lim (12).44 1 lim ()lim (12)4 1 lim 4x x x x x x x x x x x x x x x x θθθθ→→→+∞→+∞≥+=-=+≤+++-==+==+=由算术几何平均不等式得 2 2 111lim lim .442 3,012 3.()()[0,2]1, 1,01 (2)(0)1().12 0, 1x x x x f x f x x x x x f f f x x x = ===?-≤≤??=??<<+∞??-≤≤?-? '==?--<<+∞??设求在闭区间上的微分中值定理的中间值. 解2/23/21. 221111,;,()[0,2]222x x x f x x -=--=-=-=-=1 在闭区间上的微分中值定理的中间值为2
高等数学( 北大版)答案一习题1.3
习题1.3 1.(1,2,),lim 1,0,,2 |-1|,: n n n n n x n x N n n N x εε→∞= ==>+>< 设证明即对于任意求出正整数使得 当时有 并填下表 220,1,|-1|| 1|,2,2222,,|-1|. 2.lim 0,lim ||||. 3.{}(1)n n n n n n n n x n n n N n N x a N a l a εεεε εεε→∞ →∞ ?><=-=<>-++?? =->?=不妨设要使只需取则当时就有设设证证(2){}(1) ||||| 1. (2) -31(1)lim 23n n n a l l l M N n n εε→∞-+<+=+-对于令4.用证23/23/2(3)lim 1(5)lim 1223(1)11(6)lim 0.(1)(2)3 1311(1),2322(23)n n n n n q n n n n n n n n εεε→∞→∞→∞?+ ?-????++= ?+?? +?-=<-- 不妨设要使只需证>0,<1,311 3, 2113133133,,,lim . 22322321 (2),,, n n n N n N n n n εεεεεεε →∞>+++?? =+>-<=??--?? ?<≤<>取当时故>0,
32222333331,. 1 (3)||(0).41||(1)(1)(2)(1)126 6242424,,max{4,}.(1)(2)!111(4) ,,. n n n n N n N q n n n n q n n n n n n n n N n n n n n N εεαααααααεααεαεαε?? =>>+==---++++++?? <<<>=??--???? ≤<>=?? 取当 5. n =2222226.4.(1)(1)(1)12 7.: (1)l n n n n n n n εεεεεεεε? ??-+-?? ++故而 求下列各极限的值证证32232244 432 220. 310013/100/1(2)lim lim .4241/2/4(210)(210/)(3)lim lim 16.11/11(4)lim 1lim 1.n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n e n n →∞→∞→∞→∞→∞---→∞ →∞==+-+-==-+-+++==++?? ????+=+=?? ? ??? ??????
北大版高等数学课后习题答案完整版
习题1.1 2 222 2 2222 22222 2 22 2 . ,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,3 1.3,93,3,3., ,. ,,,, p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b === =+=+=++=++ === === 为互素自然数除尽 必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾. 设是正的素数 为互素自然数,则素 证 2. 证 1. 2 22222 2 ,, .,.., : (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0); 01,13,13,(0,1); 1,13,3/2,(1,3/2). (1,0)(0,1) p a p a a pk p k p b pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X === +-<-< <-+-<>->-- <<+-<< >+-<< =-? 数除尽故除尽 类似得除尽此与为互素自然数矛盾. 解下列不等式 若则 若则 若则 3. 解 (1) 222 (1,3/2). (2)232,15,1||5,1||(1). ,(1)||||||;(2)||1,|||| 1. (1)|||()|||||||||,||||||. (2)|||()|||||| x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ? -<-<<<<<<<=?- +≥--<<+ =++-≤++-=+++≥- =+-≤+-< 设为任意实数证明设证明 证 4. , | 1. (1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,). (2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11 x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a + +>-> +>+<->-<-=-∞-?-+∞ >=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞ - ><< >=>-=-= 解下列不等式 或或 若若若 若证明其中为自然数 若 解(1) 证 5.: 6. 12 00 00 1)(1)1). (,),(,). 1/10. {|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10, /10(1)/101/10 n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m -- +++> <- =∈?=?=?=?≥ =?≤-∈ -≤- Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数 取自然数 满足考虑有理数集合 =若则 中有最小数 -= 证 7. (,),(,). 1/10.|}. 10 n n n n a b a b m n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数 取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题. 8. 证 习题1.2
北大版高等数学第三章 积分的计算及应用答案 习题3.2
习题3.2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2111.ln ln ln ln 2 2 2 111 ln ln ln .2 2 222 4 1 1112 2.1212212 a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x xd x xd x x x d x x x x x x x d x x xd x x C x x e d x x d e x e e d x x e xe d x a a a a a x x e xd e x e e e d x a a a a a x e a == - =- =-= -+==- = - =-=-+=- ??? ???????? 求下列不定积分 ：2 2 2 3 2232 122 122.1 11 3.sin 2co s 2co s 2co s 22 2 2 11co s 2sin 2. 2 4 4.arcsin arcsin arcsin arcsin 1arcsin 2 a x a x a x a x a x x xd e x e e e C a a a a x e x C a a a x xd x xd x x x xd x x x x C xd x x x xd x x x x x x = - + +??=-++ ? ??=-=- + =- + +=-=- =+ =? ????? ? ? arcsin . x C + 2 2 2 2 222222225.arctan arctan arctan arctan 11(1)1arctan arctan ln (1).2 12 1116.co s 3co s 3co s 3co s 32 2 2 1313co s 3sin 3co s 3sin 3222 4 1x x x x x x x x xd x xd x x x xd x x x x d x x x x x x C x I e xd x xd e e x e d x e x e xd x e x xd e =-=- ++=-=- +++== =- =+= + =?? ?? ?????() ()22222223 co s 3sin 33co s 324 139co s 3sin 3, 24 44131co s 3sin 32co s 33sin 3.132413sin 37.sin 3sin 33co s 3sin 33co s 3sin 33x x x x x x x x x x x x x x x e x e x e xd x e x e x I I x x e C x x e C x I d x xd e e x e xd x e e x xd e e x e -------+-=+ - ??= ++=++ ? ?? ==-=-+=--=--?? ???( )co s 33sin 3x x e xd x -+?
北大版高等数学答案
2012-2013学年第一学期 《C程序设计基础》期中考试2012.11 所有答案全部写在答卷纸上！ 一、填空题（共20分，每空2分） [1]若有定义语句：int a=4;，则表达式：(a--)+(--a)的值是__6__。 [2]若有语句double x=21;int y;，当执行y=(int)(x/5)%2;之后y的值为 ________1________。 [3]若变量x、y已定义为int类型且x的值为99，y的值为9，请将输出语句 printf("x/y=%d\n", x/y);补充完整，使其输出的计算结果形式为：x/y=11。[4]在printf格式字符中，以小数形式输出实数，并保留小数点后三位数字的输 出格式是__%0.3f____。 [5]以下程序的输出结果是__9.70__。 #include
(整理)北大版高等数学第五章向量代数与空间解析几何答案习题53.
习题5.3 1.: (1)5310(2)270(3)50(4)290(5)50(6)0.(1).(2).(3). (4).(5).(6). 2.: (1)(1,5,1)(3,2,2); (2)(5,2,8); (3)x z x y z y y z x y x y Oxz x z Oyz y Oxz -+=+-=+=-=--==---指出下列平面位置的特点平行于轴过原点平行于平面过轴平行于轴平面求下列各平面的方程平行于轴且通过点和平行于平面且通过点垂直于平解451(2,7,3)(0,0,0); (4)(5,4,3)(2,1,8). (1)(0,1,0),(2,7,3),01 0(3,0,2).2733(1)2(1)0,3250. (2) 2. (3)(1,4,5),(2,7,3),145(47,13,1). 273 47x y z Oyz x z x z y -+=---==-==-------=+-===-=-=-=----面且通过点及垂直于平面且通过点及解i j k a b n i j k a b n 1310. (4)(1,0,0),(7,5,5),100(0,5,5)5(0,1,1). 755 (4)(3)0,70.x y y z y z ++===-==-=---++-=-+=i j k a b n 3.(2,4,8),(3,1,5)(6,2,7). (5,3,3)(4,6,1). 533(15,17,42),461 15(2)17(4)42(8)0,1517422380. 4.1,A B C x y z x y z y z a a --=---=-----=--------+-=+-+=++=求通过点及的平面方程设一平面在各坐标轴上的截距都不等于零并相等,且过点(5,-7,4),求此平面的方程. x 5 a 解解a ,b i j k n =741,2,20.5.(2,1,2)(8,7,5),. (6,8,7).6(8)8(7)7(5)0,6871390. a x y z a a A B B AB x y z x y z -++==++-=--=-+-+-=++-=a 已知两点及求过且与线段垂直的平面解n
北大版高等数学第三章 积分的计算及应用答案 习题3.5
习题3. 2 1 3 2 1 2 2.,1. 4 3 (. 22 x y x y y y S y d y y === ?? =+=+= ? ?? ? 与 解 2 2 2 2 3 2 1 3 2 3 1 3.21 1. 21 (1)21, 1 40,0,1;4, 3. 1 1(1) 2 3116 . 2263 y x x y y x x x x y x x x y x y S y y d x y y y - - =+-= ?=+ -=+ ? -= ? -===-== ?? =+-- ? ?? ?? =+-= ? ?? ? 与 解 22 2 22 2 5.42. 4 42, 2 y x y x x y x x x x y x x =-=-- ?=- ? -=-- ? =-- ?? 与 解 22 2 4 2 2 1 1 23/22 : 1.. ,, (1)(1)0,0, 1. 211 ). 333 y x x y y x x x x y x x x x x x S x d x x x == ?= ? = ? = ?? -++=== ?? ==-= ? ?? ? 求下列曲线所围成的的图形的面积 与 求交点 解 : 2 2 22 2 2424 00 /2 242 2 (sin) 4.0 02(a>0) (1co s) (1co s)(sin) (1co s) 4sin8sin 2 3 16sin16 422 3. x a t t y t y a t S a t d a t t a t d t t a d t a ud u a ud u a a π π ππ π π π π =- ? =≤≤ ? =- ? =-- =- == == = ? ? ?? ? 与
高等数学( 北大版)答案一习题1.4
习题1.4 22 1.- (1)lim0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos. 1)0,|, ,||.,||,|,lim (2)0 x a x a x a x a x a x a a x a e e x a x a x a εδ εε εδδεε →→→→ →=>=== ?>=<< <-<=-<<=?> 直接用说法证明下列各极限等式: 要使由于 只需取则当时故 证( 22 2222 ,|| 1.||||||, |||||2|1|2|, 1|2|)||,||.m in{,1},||, 1|2|1|2| ||,lim (3)0,.||(1),01),1 x a x a a x a x a x a x a x a x a x a x a a a a x a x a x a a a x a x a x a e e e e e ε εε εδδε ε → -- -<-=+-< +≤-+<+ +-<-<=-< ++ -<= ?>>-=-<<-< 不妨设要使由于 只需(取则当时故 设要使即( . 0, ||, x a x x a ε ε δ → < ?≤- = 故 取 (4) 2.() |() (1)lim x x u f x f x → =设在该邻 对 求 证 3. 2 22 000 00 2 2 1 2 2 (2)lim lim lim1. 222 2 (3)lim lim0). 22 (4)lim. 2233 2 (5)lim 22 x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x →→→ →→ → → ???? ? ==== ? ? ?? ==> --- = --- -- -- 2 . 33 - = -
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