数值分析第四章习题答案

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )

数值分析最佳习题(含答案)

第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-?=x ，325* 102 1 1021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值* π具有4位有效数字，必需 41*1021 -?≤-ππ，3*3102 11021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：3* 1021-?≤ -a a ，2*102 1 -?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2 123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知 δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 解： * 2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 π ππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v

数值分析试卷及答案

二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2）

（3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故 又，故， 即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式 求证：（1）对任意初始向量，收敛； （2）收敛到的解。 证明（1）所给格式可化为 这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有 因正定，故，从而，格式收敛。

数值分析习题集及答案

（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令

数值分析第4章答案

第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。 令4 ()f x x =，则

数值分析试卷及答案

二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。

3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，，

4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端

这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵

，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ，

数值分析习题与答案

第一章绪论 习题一?1．设x＞0，x＊的相对误差为δ,求f(ｘ)=ln x的误差限。 解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(１.2.４）有 已知x*的相对误差满足，而 ,故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解:直接根据定义和式（１.2.２)(1.２.3）则得?有５位有效数字，其误差限,相对误差限 有２位有效数字， 有5位有效数字， 3．下列公式如何才比较准确？ (１)?(2） 解:要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1)?(2） 4.近似数x*=０.０３１0,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用 :式计算误差最小。 四个选项: 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln０．5４的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n＝1及n＝２的Laｇrange插值或Neｗｔo ｎ插值，并应用误差估计（5.8)。线性插值时,用0．５及0．6两点，用Newton插值??误差限 ，因,

故? 二次插值时，用0.5，0．6,０.7三点,作二次Ｎewton插值 ?误差限，故? 2. 在－4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过,函数表的步长ｈ应取多少? 解：用误差估计式（５．8), ?令 因?得 3. 若,求和.

解：由均差与导数关系 ?于是 4. 若互异,求 的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性 可知当有?而当P＝n ＋1时 ?于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 ? 6. 已知的函数表

数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案

第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=

令4()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 （2）若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1014h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=

数值分析试卷及其答案

1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为

数值分析复习题及答案

数值分析复习题 一、选择题 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式()()2 11211()(2)636f x dx f Af f ≈++?，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．() 00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=??++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+= C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=- 二、填空 1. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= . 2.设一阶差商 ()()()21122114,321f x f x f x x x x --= ==---， ()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--

则二阶差商 ()123,,______f x x x = 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。 4．求方程 2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么 1______x =。 5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =??=?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 6、 1151A ??= ?-??，则A 的谱半径 ＝ 。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+== ，则[]12,,n n n f x x x ++= 和[]123,,,n n n n f x x x x +++= 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为 。 10、为了使计算 23123101(1)(1)y x x x =+ +----的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写 成 。 11. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 12. 一阶均差()01,f x x = 13. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么 ()33C = 14. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。 15. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y y x y ?'=+???=?的计算公式 . 16.设 * 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*x 有 位有效数字。

数值分析复习题要答案

第一章 1、ln2＝0.69314718…，精确到 10－3 的近似值是多少？ 解 精确到 10－3＝0.001，即绝对误差限是 e ＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2≈0.693。 2、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x ， 21x x +的绝对误差限 解：记126.1025, 80.115x x == 则有11232411 10, | 102|||2 x x x x --≤?-≤?- 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤-- 3411 80.11610 6.10102522 0.007057-==??+≤?? 1212112243|()|||11 |10100.0005522 |x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+- 3、一个园柱体的工件,直径d 为10.250.25mm,高h 为40.00 1.00mm,则它的体 积V 的近似值、误差和相对误差为多少。 解： ()() 22222222 4 314210254000000330064 221025400002510251002436444 3300624362436 0073873833006 , .....; ()()()......, ..().()..% .r d h V d h V mm d h V dh d d h V mm V V V πππππεεεεε= ≈=??===+=???+?==±====第二章： 1、分别利用下面四个点的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式N 3(x )， 计算L 3(0.5)及N 3(-0.5) x －2 －1 0 1 f (x ) －1 1 2

数值分析试卷及其答案2

1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为

数值分析第四版习题及答案

数值分析第四版习题及答案

第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****1 2 3 4 5 1.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给 的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设0 28,Y =按递推公式 11 783100 n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .若取78327.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字78327.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 11N dx x +∞ +?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能

使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设212 S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1 101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 21)f =,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 63 22)70 2. (21)(322)--++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =-,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x -=-+ 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 {101012121010;2. x x x x +=+=假定只用 三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1 sin ,2 s ab c = 其中c 为弧 度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令

数值分析习题集及答案[1].(优选)

数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若

数值分析第四版习题及答案

第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?

数值分析试题及答案

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%

数值分析1-4习题及答案

1、 0.1％,要取几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 2、若* 12.30x =是经过四舍五入得到的近似数，则它有几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 3、已知n ＋1个互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1),…, (x n ,y n )和过这些点的拉格朗日插值基函数l k (x )(k =0,1,2,…,n )，且ω(x )=(x －x 0) (x －x 1)… (x －x n )．则n 阶差商f (x 0,x 1,…, x n )= ( ) (a) ∑=n k k k y x l 0 )( (b) ∑='n k k k k x l y 0)( (c) ∑=n k k k x y 0)(ω (d) ∑='n k k k x y 0)(ω 4、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3），（2，2）构造出的三次插值多项式 33()6 P x x y 的 的系数是，则 等于 （ ） (a) -1.5 (b) 1 (c) 5.5 (d) 4.25 5、设(0,1,2,3,4)i x i =为互异结点，()i l x 为拉格朗日插值基函数,则 4 2 () ()i i i x x l x =-∑等于 （ a ） (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4 4()[,],()()(),()(),( )(), ' () ' (),22 ()()_________________________f x C a b H x a b a b H a f a H b f b H f H a f a f x H x ∈++====-=设是满足下列插值条件的三次多项式：则插值余项 1、 是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=-2,c=3 2、 已知(1)0,(1)3,(2)4,f f f =-=-=写出()f x 的牛顿插值多项式 2()P x =___2537 623x x +-__,其余项表达式 R(x)=__() (1)(1)(4) [1,4]6 f x x x ξξ'''-+-∈-_______________________ 3、 确定求积公式1 0121 ()(1)(0)'(1)f x dx A f A f A f -≈-++? 中的待定参数，使其代数精度 尽量高,则A 0=_ 29__________, A 1=__169________, A 2=_29 _______,代数精度=__2_________。

数值计算第四章课后习题答案

()()()()()()()()()收敛较慢 代入上式得：将解： 收敛速度次并分析该迭代公式的迭代的根求方程 取试用迭代公式∴≠<<*'*+++-='∴+*+*=*∴=+?+?? ? ??===++= =∴++= ==-++=++=++014.01022220||10 2202613381013202132020 132010212010220. 2.0 20102110220 4.1222 222212012123021x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k k k k k k ?????? )))()()()[]()()[])49998.0cos 215.0cos 2 1,022,00cos 2 102 12,0210,2,0.cos 2 10sin 2 11,cos 2 113cos 2 12; 1.0cos 2 12.4120101==== ==->-=<-=-=>+='-===-+x x x x x x x f f x x x f x x f x x x f x x x x k k 则 取上有一个根在所以上在为单调递增函数故则令解： 位有效数字求出这些根，精确到用迭代公式分析该方程有几个根给定方程ππππ

500 .0105.0102.0||3412≈*?

数值计算方法试题集及答案要点

《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公