第4章 静力学应用问题
第4章静力学应用问题
4.1 主要内容
4.1.1 平面静定桁架
（1）桁架的基本概念
桁架是由一些直杆彼此在两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构。
桁架中杆件与杆件相连接的铰链，称为节点。所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架．称为平面桁架；杆件轴线不在同一平面内的桁架，则称为空间桁架。
（2）桁架中的几种假设：
(a)各直杆两端均以光滑铰链连接；
(b)所有载荷在桁架平面内，作用于节点上；
(c)杆自重不计。如果杆自重需考虑时，也将其等效加于两端节点上。
满足以上假设条件的桁架称为理想桁架。理想桁架中的各杆件都是二力杆，仅在其两端铰链处受力。其内力性质是受拉还是受压尤为重要。
一般地说，桁架是由三根杆与三个节点组成一个基本三角形，然后用两根不平行的杆件连接出一个新的节点．依次类推而成，这种桁架称为简单桁架。
由几个简单桁架．按照几何形状不变的条件组成的桁架称为组合桁架。
桁架内力能由静力学平衡方程全部确定的称为静定桁架。
简单桁架与组合桁架都是静定桁架。
（3）桁架杆件内力计算的几种常用方法
（a）节点法
节点法是以各个节点为研究对象的求解方法。一般均假设杆的内力为拉力，如果所得结果为负值，即表示该杆受压。节点法适用于求解全部杆件内力的情况。
（b）截面法
截面法是假想用一截面截取桁架的其一部分作为研究对象。被截开杆件的内力成为该研究对象的外力，它适用于求桁架中某些指定杆件的内力，也可用于校核。
4.1.2 滑动摩擦
（1）两个相互接触的物体产生相对运动或具有相对运动的趋势时，彼此在接触部位会产生一种阻碍对方相对运动的作用。这种现象称为摩擦，这种阻碍作用，称为摩擦阻力。
·65·
·66·
（2）阻碍彼此间沿接触面公切线方向的滑动或滑动趋势的作用的摩擦，称为滑动摩擦，相应的摩擦阻力称为滑动摩擦力，简称摩擦力。
（3）当物体仍处于平衡状态时，这个阻碍物体运动的力就称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力。
（4）在临界平衡状态时，静摩擦力达到最大值，称为最大静摩擦力。静滑动摩擦力的大小满足下列条件，
m ax F F ≤≤0
（5）库仑静摩擦定律：最大静摩擦力的大小与接触物体之间的正压力成正比。即
N max fF F =
比例系数f 是无量纲的量，称为静滑动摩擦系数，简称静摩擦系数。
（6）法向反力F N 与静摩擦力F 合成为一全约束力F R ，简称全反力。全反力F R 与接触面法线的夹角?达到的最大值m ?，称之为两接触物体的摩擦角。
（7）通过全反力作用点在不同的方向作出在极限摩擦情况下的全反力的作用线，则这些直线将形成一个锥面，称为摩擦锥。
（8）当物体所受主动力的合力Q 的作用线位于摩擦锥以内时，无论主动力Q 的大小增至多大，当物体恒处于平衡状态时，这种现象称为自锁。m ?α≤≤0称为自锁条件。 （9）两接触物体之间存在相对滑动时，其接触面上产生阻碍对方滑动的阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力。
（10）库仑动摩擦定律：动摩擦力的方向与物体接触部位相对滑动的方向相反，大小与接触面之间的正压力成正比。
N F f F '=
即式中f '称为动滑动摩擦系数，简称动摩擦系数。 4.1.3 滚 动 摩 擦
（1）阻碍两物体在接触部位相对滚动或相对滚动趋势的作用的摩擦称为滚动摩擦，相应的摩擦阻力实际上是一种力偶，称之为滚动摩擦阻力偶，简称滚阻力偶。
（2）接触面之间产生的这种阻碍滚动趋势的阻力偶称为静滚动摩擦阻力偶，简称静滚阻力偶。
（3）当物体达到一种欲滚而未滚动的临界平衡状态时，其静滚阻力偶称为最大静滚阻力偶。静滚阻力偶应满足下述条件：
m ax f f M M ≤≤0
（4）最大静滚阻力偶与接触物体之间的法向反力成正比，方向与滚动趋势相反，即
·67·
N max F M f δ=
此式称为滚动摩擦定律。δ称为滚动摩阻系数。
对于需要考虑摩擦的平衡问题，除了需要列平衡方程外还应补充关于摩擦力的物理方程。
4.2 基本要求
1．理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法。 2．能区分滑动摩擦力与最大滑动摩擦力，对滑动摩擦定律有清晰的理解。
3．能熟练地计算考虑摩擦力时物体的平衡问题。理解摩擦角的概念和自锁现象，能用摩擦角解物体的平衡问题。
4．理解滚动摩阻定律，会解滑动摩擦和滚动摩擦同时存在的平衡问题。
4.3 重点讨论
4.3.1平面静定桁架问题
一般先求出桁架的支座反力。
在节点法中逐个地取桁架的节点作为研究对象。须从两杆相交的节点开始（通常在支座上），求出两杆未知力。再取另一节点，一般未知力不多于两个。如此逐个地进行，最后一个节点可用来校核。
在截面法中，如只需求某杆的内力，可通过该杆作一截面，将桁架截为两部分（只截杆件，不要截在节点上），但被截的杆数一般不能多于三根。研究半边桁架的平衡，在杆件被截处，画出杆件的内力。
在计算中，内力都假定为拉力 4.3.2考虑滑动摩擦的平衡问题
解决具有摩擦的平衡问题时，一般需要判断静摩擦力的方向，由于静摩擦力的方向和物体的相对滑动趋势相反，因此要首先判断相对滑动趋势的方向，一般来讲，先假定没有摩擦，然后分析在主动力作用下物体的滑动方向，该方向就是物体相对滑动趋势的方向，对于复杂的问题，静摩擦力的方向不易判定，只好用平衡方程来确定，一般来说，具有摩擦的平衡问题有三种类型：
1．求解物体处于临界状态时的平衡问题
正确确定最大摩擦力的方向，其大小由摩擦定律确定，然后利用静力学平衡方程式，可
得到唯一解答。
2．求解具有摩擦时物体能保持静止的条件
由于静滑动摩擦力的大小可以在一定范围内变化，所以物体有一平衡范围，这个平范围有时是用几何位置、几何尺寸来表示的，有时是用力来表示的。
3．判断物体所处的状态
它是处于静止、临界平衡或是滑动情况中的哪一种。当它们处于静止或临界平衡状态时，还必须分析其运动趋势，滑动摩擦力和滚阻力偶必须与相对滑动或相对滚动的趋势方向相反。
（１）静止状态：由静力平衡方程确定摩擦力。
（２）临界平衡状态：由静力平衡方程和摩擦定律联立求解，但必须正确分析摩擦力的方向。
（３）运动状态：当物体运动时，其滑动摩擦力为动滑动摩擦力。
4.4 例题分析
求解桁架平衡问题的解题思路是：
（1）一般先求出桁架的支座反力。
（2）在节点法中逐个地取桁架的节点作为研究对象。由于每个节点受平面汇交力系作用而平衡，只能确定两个未知量。所以必须从两杆相交的节点开始（这样的节点通常在支座上），用解析法求出两杆未知力的大小和方向。然后，取另—节点，该点的未知力同样不能多于两个，按同样方法求出这—节点上的未知力。如此逐个地进行，最后一个节点可用来校核所得结果是否正确。
（3）在截面法中，如只需求某杆的内力，可以通过该杆作一截面，将桁架截为两部分（只截杆件，不要截在节点上），但被截的杆数一般不能多于三根。研究半边桁架的平衡，在杆件被截处，画出杆件的内力。
（4）在计算中，内力都假定为拉力，所以计算结果若为正值，则杆件受拉力，若为负值，则杆件受压力。
例4-1平面构架的支承，受力及尺寸如图所示。试求杆1、2的内力。
·68·
·69·
(a) (b) (c)
图4-1
解：
取整体为研究对象：
?=0x
F
， 0s i n 1=-αF F
F F 21=
取节点A 为研究对象：
?=0y
F ， 0c o s c o s 1=--αα
AB F F F F AB 2-=
?=0x
F ， 1s i n s i n 0A B A D
F F F F αα-++=，AD F F = 取节点B 为研究对象：
?=0x
F ， 045cos 20=+'-F F AB
F F -=2
也可用截面法，选择图示的截面为研究对象，画受力图
?=0x
F
， 20AD F F --=
F F -=2
对于需要考虑摩擦的平衡问题，除了需要列平衡方程外还应补充关于摩擦力的物理方程（即F ≤f F N ，M f ≤δF N ）。由于静摩擦力的大小可在零与极限值F max 、F f max 之间变化，因而相应地物体平衡位置或所受的力也有一个范围，这是不同于忽略摩擦的问题之处。而为了确定平衡范围，要解不等式，或将把物体处于将要运动的临界状态（即F max ＝F N f 或F f max ＝δF N ）进行分析计算，解毕再对结果进行判断。
还须注意，极限摩擦力（或动摩擦力、滚动摩擦力）的方向总是与相对滑动或滚动趋势的方向相反，不可任意假定。但是，静摩擦力（未达极限值时），因为是由平衡条件决定的，也可象一般约束力那样假设其方向，而由最终结果的正负号来判定假设的方向是否正确。
图4-1(d)
图4-1(e)
F AD F 2
·70·
例4-2 图4-2 (a)示一挡土墙，自重为F P ，并受一水平土压力F 1的作用，力F 1与地面的距离为d ，其它尺寸如图所示。设墙与地面间的摩擦因数为f ；试求欲使墙既不滑动又不倾覆，力F 1的值所应满足的条件。
图4-2
解：（1）先分析挡土墙不滑动的条件
取挡土墙为研究对象。在土压力F 1作用下墙体有向右滑动的趋势，地基对挡土墙的摩擦力F 向左。挡土墙在力F 1、F P 、F N 、F 作用下处于平衡状态，写出平衡方程式
0=∑x F ， 01=-F F
0=∑y F ， 0P N =-F F
解得
P N 1F F ,F F ==
根据静摩擦力的特点知
N m fF F F =≤
因此，为了保证墙不滑动，力F 1值所应满足的条件为
F 1 ≤ f F P (a)
（2）再分析挡土墙不倾覆的条件
显然，当墙即开始倾覆时，力F N 与F 将作用在B 点，如图4-20(b)所示。力F 1使墙绕B 点倾覆的力矩，称为倾覆力矩，其值为F 1d ；同时，重力F P 阻止墙绕B 点倾覆，力F P 对B 点的力矩，称为稳定力矩，其值为F P c 。要使墙不倾覆，稳定力矩必须大于或等于倾覆力矩，即
F N
F 1
F P
F 1
F P
F N
·71·
F P c ≥F 1d
故墙不倾覆的条件为
d
c F F P
1≤ (b)
根据上面分析可知，要使墙既不滑动又不倾覆，力F 1的值必须同时满足(a)、(b)两个条件。
例4-3 某变速机构中滑移齿轮如图4-3(a)所示。已知齿轮孔与轴间的摩擦因数为f ，齿轮与轴接触面的长度为b 。问拨叉（图中未画出）作用在齿轮上的F 力到轴线的距离a 为多大，齿轮才不致于被卡住。设齿轮的重量忽略不计。
图4-3
解：齿轮孔与轴间总有一定的间隙，齿轮在拨叉的推动下要发生侧倾，此时齿轮与轴就在A 、B 两点处接触。
取齿轮为研究对象。画出受力图如图4-3(b)所示。列出平衡方程
0=∑x F ， 0=-+F F F B A 0=∑y F ， 0N N =+B A F F ()0=∑F O M ， 02
2N =+--d
F d F b F Fa B A
B 考虑平衡的临界情况（即齿轮将动而尚未动时），摩擦力达到最大值。根据静摩擦定律可列出：
B B A A fF F fF F N N ,==
联立以上五式可解得
f
b
a 2=
这是临界情况所要求的条件。
要保证齿轮不发生自锁现象（即不被卡住），条件是
·72·
B B A B A fF F F f F F F N N N 2)(=+=+>
将力矩方程
b F Fa B N =
代入上式得
B B fF F a
b
F N N 2>=
故须
f
b a 2<
例4-4 在图示机构中，已知：悬挂着的三脚架的重量是P ，重心在G ，轮轴重1P ，尺寸1l 、2l 、3l 、1r 、2r ，C 、D 处的静摩擦系数均为f ，且21l l >，滚动摩阻略去不计。试求机构平衡时水平拉力Q 的最大值。
(a)
(b)
(c)
题4-4图
解：（1）设C 处先滑 1）对三脚架
()0A M ∑=F ， 3N 120C C Pl F l F l -+=
又N C C F fF =
600N
F N D
F N D
F N C
F N C F Ax
F Ax
F Ay F Ay
·73·
有 )/(213fl l fPl F C -= 2）对轮
()0D M ∑=F ，21()20a C Q r r F r '--+?= C C
F F =' 有 )
)((2211232fl l r r P
fl r Q a --=
（2）设D 处先滑 1）对整体
()0A M ∑=F ，311N 121222()(2)0D b D Pl Pl F l Q l r r F l r +-+++-+= 又N D D F fF =
2）对轮
()0C M ∑=F ， 122()2
0b D Q r r F r +-?= 解得 ]m i n [)
()()
(22122111132b a b Q Q Q fl l r fl l r l P Pl f r Q ，，=-+++=
例4-5 在图示机构中，已知：P 、Q 、R 、θ，轮A 与斜面间的静摩擦系数和滚动摩阻系数分别为1f 和δ，滑块B 与斜面间的静滑动摩擦系数为2f ，试求保证系统不致向下运动的最大θ角（设1/f R <δ）。
(a) (b) (c)
图4-5
解：取轮A 为研究对象，滚动先达到极限 0y F ∑= N1cos 0F P θ-=
T1(F)0
sin 0K M F R M P R θ?=--+?=
补充方程N1max M F M δ==
F T1
F T2
F N1 F N2
·74·
解得 T1cos sin P F P R
δθ
θ=-
再取B 滑块
0x F ∑=，2T2sin 0F F Q θ--=
0y F ∑=，N 2cos 0F Q θ-=
补充方程 22N 22max F f F F ==
T1T22cos sin F F Qf Q θθ==?-
)
(tan 2Q P R Q
Rf P ++=
δθ
4.5 习题解答
4-1 试求题4－1图所示各桁架上标有数字的各杆的内力。图a)中各杆的长度相等。
解(a)：研究整体（设杆长l ） ()0
35
11420
22
8
E Iy Iy m
F l Fl Fl F F
∑=-?-==F
用截面mm 截断桁架，研究右半部分
220cos3000.432y Iy F F F F F F
∑=--==
3313213()000.38220
sin 300 2.598C Iy x m F l l F F
F F F F F F
∑=-==∑=---==-F
(a2) (a3)
题4-1图
(a1)
题4-1图
A
E
F
G
H
D
C
B 2F
F m
F Ex
n
I
F Ey
F Iy
1
2
3
F C
D
I
H
F 2
F 1
F 3
F
Iy
·75·
解(b)：研究整体
()0
cos 2(234)0
F A A m F a F a a a a F F
α∑=?-+++==F
1304sin 020
cos 0
5y Fy A Fy x Fx A Fx F F F F F F F F F F F
αα∑=-+==
∑=-==
研究A 点
110cos cos 0
5.590x A F F F F F αα∑=-+==
研究F 点
222330
cos 0 1.8030sin 0
4y Fy x Fx F F F F F F F F F F F
ββ∑=+==-∑=++==-
(b1) (b2)
(b3) (b4)
题4-1图
解(c)：研究整体
00()000
0x Ax Ax A By By y Ay By Ay F F F F F m aF aF F F F F F F F
∑=-+==∑=-+==∑=+==-F
A
F A
F 1
β
F 2
F 3
F
F Fx
F Fy
A
B
C
D
E
F F F F
α
α a a a a
F F Fy
2a
2
3
F Fx
F A
G
1 H I
·76·
研究△EDF （被mn 截断后上半部分）
33300()0022x E FB FB F F F F F
a F M F a F F ∑=-==∑=--?==-
F
研究B 点
221210
sin 00.8330cos 0
0.667y FB By y F F F F F F F F F F F
θθ∑=++==-∑=--==
(c1)
(c2)
(c3)
(c4)
题4-1图
解(d)：研究整体
00
()00
2
2
x Ax B Ay Ay F F a
F M F F a F ∑==∑=-?==
F 研究三角形FED ，受力图及几何关系如图(d3)示，其BK ⊥AC ，所以
00022()0(cos15)cos15sin1502G a
M F BG F DH F GH ∑=----=F
在△CGB 中，由正弦定理
E
F
F
F FB
F EA
F 3
D
θ
F 2
F 1
F FB
F By
B
E
a /3
a /3
a /3
F
F B A
C
D
m
n
a /2
a /2
F By
F Ay
F Ax
θ
2 3
·77·
120
sin 45sin 15sin CB
CG BG == 其中CB ＝a KD KH DH a
BG -==∴
120sin 15sin
即
cos 45tan15(233tan15)26a a
DH CG =-=-
22sin 1523
sin15sin 15sin120GH BG a a ===
代入上式得F 2＝-0.473F
120cos30cos75cos60cos300x Ay Ax F F F F F ∑=+-+= 解得 F 1=0.430P
(d1)
(d2)
(d3) (d4)
题4-1图
C
E
B
n
D F
A
F
a /2
a /2
F Ay F By
F Ax 2 1
P
x
30? 45?
30?
60? 15?
F Ax
F Ay
F 1
F AC
F 2
D C
E K l
F
F FB
H B
A
F 2
F EC A
·78·
4-2 用适当的方法求题4－2图所示各桁架中指定杆的内力。
(a1)
(a2)
解：(a)研究整体
()0
23202.5L Jy Jy m F a F a F a F F
∑=-?-?-?==-F 用mn 截面截桁架，研究左半边
1()030K Jy m F a F a ∑=-?-?=F
F 1＝0.833F
解：(b) 取整体为研究对象。画出受力图如图4-2(b2)所示。列出平衡方程
()0B M ∑=F ， 320Ay aF aF -=,2
3
Ay F F =
取节点C 为研究对象。画出受力图如图4-2(b3)所示。列出平衡方程
0=∑x F ， 10F =
取以ACDG 为研究对象。画出受力图如图4-2(b4)所示。列出平衡方程
0X F ∑=， 0
02
c o s 45s i n 45
c o s 45
Ay F F F --+= F 2＝
3
F
A
B
C
F
F
F
E
D
G H
m
a
a a I
L
a
a
F Jx F Jy
F Ly
K
J
n A
D
G
K
E F EB
F 1 F EH
F JK F Jy
F GH
F Jx
(a3)
题4-2图
·79·
取以ACEG 为研究对象。画出受力图如图4-2(b5)所示。列出平衡方程
0X F ∑=， 0
03
c o s 45c o s 45
c o s 45
Ay F F F -++= F 3＝3
F
-
(b1)
(b2) (b3)
(b4) (b5)
解：(c) 用mn 截面截桁架，取上边部分为研究对象。画出受力图如图4-2(c3)所示。
列出平衡方程
2()00A m F a F a ∑=?-?=F F 2＝F ，
取三角形BDC 为研究对象。画出受力图如图4-2(c4)所示。列出平衡方程
12
()002
D a
m F a F a F ∑=?+?+=F F 1＝－1.5F ，
取ABCE 为研究对象。画出受力图如图4-2(c5)所示。列出平衡方程
23()020H m F a F a F a F ∑=?-?-?+?=F F 3＝5F 。
F 1
F CA
F 2 F DE F GH
X
F Ay F EF
F 3 F GH
F Ay X
·80·
(c1) (c2) (c3)
题4-2图
4-3 题4－3图所示AB 杆的A 端放在水平面上，B 端放在斜面上，A 、B 处的摩擦因数都是0.25。试求能够支承荷重F 的最大距离a 。杆重不计。
答：a ＝0.195l 。
(a)
(b)
题4-3图
解：由题意分析，只有当F A max 、F B max 同时达到最大，a 的值才能达到最大。
N 0()0B A m F l F l a ∑=--= N A
F F a l F
-=? ① l
α
F
a
F N A
F A
α=60?
B
F B
F N B
F 1
F 2
F A 1 F A 2
F D 2 F D 1 F 2
F 1
·81·
m a x
m a x
N
0c o s s i n 0
x A B B F F F F
αα∑=+-= ② N N m a x 0
c o s s i n 0
y A B B F F F F F α
α∑=++-= ③
外加上补充式 max N B B F F f = ④
max N A A F F f =
⑤
则由①②③④⑤解得：
N 0.805A F F =
代入①得a ＝0.195l 。
4-4 棒料重F P ＝500 N 、直径D ＝24 cm ，棒料与V 型槽面间的摩擦因数f ＝0.2，如题4－4图所示。试求转动棒料的最小力偶矩m 。
解：研究棒料，其受力图如图示，列平衡方程：
1N 2P 2N1P 0120cos 4500sin 450()0
x y F F F F F F F F m F r F r m ∑=+-=∑=-+-=∑=?+?-=F
(a)
(b)
题4-4图
为求力偶矩m 的最小值，令棒料处于临界状态，有，
1N1
2N2F fF F fF ==
解以上方程式可得，
O m
y
x
F P
F N2
F N1
F 2
F
1
·82·
N1P 2
N2P 2
12N1N21cos 45407.9N 11cos 45272N 1()0.2679121631N cm
f
F F f f F F f m F r F r f F F r +=
=+-==+=+=+=??=?
4-5试确定题4－5图所示重267 N ，长2.44m 的杆能否放在两个台阶上保持平衡，设滑动摩擦因数f ＝0.5。若可以，试求A 、B 处的摩擦力。
(a)
(b)
题4-5图
解：取杆为研究对象。画出受力图如图4-5(b)所示。列出平衡方程
()0B M ∑=F ， 0N A P
0.70.09s i n 600
F F -= NA 29.86N F =
0AC F ⊥∑=， 0N N P sin 600A B F F F +-=，NB 202.43N F =
0AC F ∑=， 0
P c o s 6
00A B F F F +-=， 133.5N A B F F += 考虑平衡的临界情况，摩擦力达到最大值。根据静摩擦定律可列出，
m N m N ,A A B B F fF F fF ==
得到m m 14.93N,
101.15N A B F F ==。显然系统所能提供的最大滑动摩擦力为
m m 116.15N A B F F +=，小于杆平衡的临界值，所以杆滑动。
4-6 题4－6图所示摇臂钻床的衬套能在位于离轴心b ＝2.25 cm 远的垂直力F 在作用下，沿着垂直轴滑动，设滑动摩擦因数f ＝0.1。试求能保证滑动的衬套高度h 。
·83·
(a) (b)
题4-6图
解：衬套与轴间总有一定的间隙，衬套在垂直力F 的作用下要发生侧倾，此时衬套与轴就在A 、D 两点处接触。
取衬套为研究对象。画出受力图如图4-6 (b)所示。列出平衡方程 0=∑x F ， N N D 0A F F -= 0=∑y F ， m m 0A B F F F +-= ()0=∑F O M ， N D m m 022
A
D d d
Fb F h F F -+-+= 考虑平衡的临界情况，摩擦力达到最大值。根据静摩擦定律可列出：
m N m N ,
A A D D F fF F fF ==
联立以上五式可解得
2h fb =
这是临界情况所要求的条件。
要保证衬套不发生自锁现象（即不被卡住），条件是
m m N N N ()2A D A D D F F F f F F fF >+=+=
将力矩方程
N D Fb F h =
代入上式得
N N 2D D h
F F fF b =
> 故须
h >2 4.5cm fb =
4-7 两物块A 和B 重叠放在粗糙的水平面上如题4－7图所示，在上面的物块A 的顶上作用一斜向的力F 。已知：A 重1000 N ，B 重2000 N ，A 与B 之间的摩擦因数f 1＝0.5，B 与地面C 之间的摩擦因数f 2＝0.2。问当F ＝600 N
时，
F
N D
F D m F A F N A
·84·
是物块A 相对物块B 运动呢？还是A 、B 物块一起相对地面C 运动？
(a) (b) (c)
题4-7图
解：取整体为研究对象。画出受力图如图4-7(b)所示。列出平衡方程
0=∑x F ， 0c o s 3
00B F F -=522N
B F = 0=∑y F ， 0
N P P s i n 300B A B F F F F ---=N 3300N B F =
考虑平衡的临界情况，摩擦力达到最大值。根据静摩擦定律可列出，
m 2N 660N B B F f F == 所以A 、B 物块相对地面静止。
取A 物块为研究对象。画出受力图如图4-7(c)所示。列出平衡方程
0=∑x F ， 0c o s 3
00A F F -=522N
A F = 0=∑y F ， 0N A P s i n 300A F F F --=N 1300N
B F =
考虑平衡的临界情况，摩擦力达到最大值。根据静摩擦定律可列出，
m 1650N A AB F f F == 所以物块A 相对物块B 静止。
4-8 尖劈顶重装置如图示。尖劈A 的顶角为α，在B 块上受力F 1的作用，A 、B 块间的摩擦因数为f （其它有滚珠处表示光滑）。求（1）顶起重物所需力F 2之值；（2）撤去力F 2后能保证自锁的顶角α之值。
解：（1）以B 为研究对象，画出受力图如图4-8(b)所示。列出平衡方程
N max 10cos sin 0y F F F F αα∑=--= 以A 为研究对象，画出受力图如图4-8(b)所示。列出平衡方程
N max 221
0sin cos 0
sin cos cos sin x F F F F f F F f αααα
αα∑=+-=+=-解得 即有F 2≥F 1 tan(α+?m ), 其中 tan ?m =f 。
（2）以A 为研究对象，画出受力图如图4-8(c)所示。列出平衡方程
F A F N A
F P A
F
静力学练习题-黄慧春
一、基本要求 1、掌握静力学公理及其静力学基本概念 2、各种常见约束的约束力 3、物体受力图的画法 4、二力杆的判断 二、物体受力分析（要求解除约束、取分离体，画上所有作用力——主动力和约束力） 1、画出下列各图中物体A、AB、ABC的受力图。未画重力的物体的重量不计，所有接触处均为光滑
物体受力分析（要求解除约束、取分离体，画上所有作用力——主动力和约束力）1、画出下列每个标注字符的物体的受力图，各题的整体受力图。未画重力的物体的重量均不计
一、物体受力分析·受力图（要求取分离体，画上所有的主动力和约束反力） 画出下列每个标注字符的物体的受力图，各题的整体受力图。未画重力的物体的重量均不计，
平面力系（1） 班级 姓名 学号 一、基本要求 1．力投影的计算； 2．平面汇交力系合力的求法； 3．平面汇交力系的平衡条件和平衡方程； 4．解题步骤和要求 二、计算题 1、五个力作用于一点，如图所示。图中方格的边长为10mm 。求此力系的合力。 （以下平衡问题解题步骤要求：①确定研究对象画受力图；②列平衡方程；③解出结果，说明方向） 2、物体重P =20（kN ），用绳子挂在支架的滑轮B 上，绳子的另一端接在绞车D 上，如图所示。A 、B 、C 三处均为铰链连接，当物体处于平衡状态时，试求杆AB 和CB 所受的力。滑轮B 的大小略去不计。 答：)(64.54kN F AB = （拉） )(64.74kN F CB = （压）
3、工件放在V形铁内，如图所示。若已知压板夹紧力F = 400 N，不计工件自重，求工件对V形铁的压力。
工程力学(静力学部分)
工程力学作业（静力学） 班级 学号 姓名
静力学公理和物体的受力分析 一、是非题 1、在理论力学中只研究力的外效应。（） 2、在平面任意力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。（） 3、约束力的方向总是与约束所能阻止的被约束物体的运动方向一致的。（） 4、共面三力若平衡，则该三力必汇交于一点。（） 5、当刚体受三个不平行的力作用时，只要这三个力的作用线汇交于同一点，则该刚体一定处于平衡状态。（） 二、选择题 1、在下述原理，法则、定理中，只适用于刚体的有_______________。 ①二力平衡原理；②力的平行四边形法则； ③加减平衡力系原理；④力的可传性原理； ⑤作用与反作用定理。 2、三力平衡汇交定理所给的条件是_______________。 ①汇交力系平衡的充要条件； ②平面汇交力系平衡的充要条件； ③不平行的三个力平衡的必要条件。
3、人拉车前进时，人拉车的力_______车拉人的力。 ①大于；②等于；③远大于。 三、填空题 1、作用在刚体上的两个力等效的条件是：___________________________。 2、二力平衡和作用反作用定律中的两个力，都是等值、反向、共线的，所不同的是：____________________________________________ ______。 3、书P24，1-8题 4、画出下列各图中A、B两处反力的方向 （包括方位和指向）。 5、在平面约束中，由约束本身的性质就可以确定约束力方位的约束有 ____________________________________ ____，方向不能确定的约束有 ______________________________________ ___ (各写出两种约束)。
工程力学--静力学第4版_第四章习题答案
第四章习题 4-1 已知F1=60N，F2=80N，F3=150N，m=，转向为逆时针，θ=30°图中距离单位为m。试求图中力系向O点简化结果及最终结果。 4-2 已知物体所受力系如图所示，F=10Kn，m=，转向如图。 （a）若选择x轴上B点为简化中心，其主矩L B=，转向为顺时针，试求B点的位置及主矢R’。 （b）若选择CD线上E点为简化中心，其主矩L E=，转向为顺时针，α=45°，试求位于CD直线上的E点的位置及主矢R’。 4-3 试求下列各梁或刚架的支座反力。 解： （a）受力如图 由∑M A=0 F RB?3a-Psin30°?2a-Q?a=0 ∴FRB=（P+Q）/3 由∑x=0 F Ax-Pcos30°=0
∴F Ax=P 由∑Y=0 F Ay+F RB-Q-Psin30°=0 ∴F Ay=（4Q+P）/6 4-4 高炉上料的斜桥，其支承情况可简化为如图所示，设A 和B为固定铰，D为中间铰，料车对斜桥的总压力为Q，斜桥（连同轨道）重为W，立柱BD质量不计，几何尺寸如图示，试求A 和B的支座反力。 4-5 齿轮减速箱重W=500N，输入轴受一力偶作用，其力偶矩m1=，输出轴受另一力偶作用，其力偶矩m2=，转向如图所示。试计算齿轮减速箱A和B两端螺栓和地面所受的力。 4-6 试求下列各梁的支座反力。 (a) (b) 4-7 各刚架的载荷和尺寸如图所示，图c中m2＞m1，试求刚架的各支座反力。
4-8 图示热风炉高h=40m，重W=4000kN，所受风压力可以简化为梯形分布力，如图所示，q1=500kN/m，q2=m。可将地基抽象化为固顶端约束，试求地基对热风炉的反力。 4-9 起重机简图如图所示，已知P、Q、a、b及c，求向心轴承A及向心推力轴承B的反力。 4-10 构架几何尺寸如图所示，R=0.2m，P=1kN。E为中间铰，求向心轴承A的反力、向心推力轴承B的反力及销钉C对杆ECD 的反力。 4-11 图示为连续铸锭装置中的钢坯矫直辊。钢坯对矫直辊的作用力为一沿辊长分布的均布力q，已知q=1kN/mm，坯宽1.25m。试求轴承A和B的反力。 4-12 立式压缩机曲轴的曲柄EH转到垂直向上的位置时，连杆作用于曲柄上的力P最大。现已知P=40kN，飞轮重W=4kN。求这时轴承A和B的反力。 4-13 汽车式起重机中，车重W1=26kN，起重臂ＣＤＥ重Ｇ＝４.５kN，起重机旋转及固定部分重Ｗ2＝３１kN，作用线通过Ｂ
船舶静力学作业题答案
1-1 某海洋客船船长L=155m ，船宽B=，吃水d =,排水体积▽=10900m 3，中横剖面面积A M =115m 2，水线面面积A W =1980m 2，试求： （1）方形系数C B ；（2）纵向菱形系数C P ；（3）水线面系数C WP ；（4）中横剖面系数C M ；（5）垂向菱形系数C VP 。 解：（1）550.01 .7*0.18*15510900 ==???=d B L C B （2）612.0155*11510900 ==??=L A C M P （3）710.0155*0.181980 ==?=L B A C W WP （4）900.01 .7*0.18115 ==?=d B A C M M （5）775.01 .7*198010900 ==??= d A C W VP 1-3 某海洋客货轮排水体积▽=9750 m 3，主尺度比为：长宽比L/B=, 宽度吃水比B/d=，船型系数为：C M =，C P =，C VP =，试求：（1）船长L;（2）船宽B ；（3）吃水d ；（4）水线面系数C WP ；（5）方形系数C B ；（6）水线面面积A W 。 解： C B = C P* C M =*= 762.0780 .0594 .0=== VP B WP C C C d B L C B ??? = 又因为 所以：B= L== d=B/= 762.0=WP C C B = 06.187467 .6*780.09750==??= d C A VP W m 2
1-10 设一艘船的某一水线方程为：()?? ? ???-±=225.012L x B y 其中：船长L=60m ，船宽B=，利用下列各种方法计算水线面积： （1） 梯形法（10等分）； （2） 辛氏法（10等分） （3） 定积分，并以定积分计算数值为标准，求出其他两种方法的相对误差。 解：()?? ????-±=225.012L x B y 中的“+”表示左舷半宽值，“-”表示右舷半宽值。因此船首尾部对称，故可只画出左舷首部的1/4水线面进行计算。 则：?? ????-=90012.42x y ， 将左舷首部分为10等分，则l =30/10=3.0m 。 梯形法：总和∑y i =，修正值(y 0+y 10)/2=，修正后∑`= 辛氏法：面积函数总和∑=
第4章 静力学应用问题
第4章静力学应用问题 4.1 主要内容 4.1.1 平面静定桁架 （1）桁架的基本概念 桁架是由一些直杆彼此在两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构。 桁架中杆件与杆件相连接的铰链，称为节点。所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架．称为平面桁架；杆件轴线不在同一平面内的桁架，则称为空间桁架。 （2）桁架中的几种假设： (a)各直杆两端均以光滑铰链连接； (b)所有载荷在桁架平面内，作用于节点上； (c)杆自重不计。如果杆自重需考虑时，也将其等效加于两端节点上。 满足以上假设条件的桁架称为理想桁架。理想桁架中的各杆件都是二力杆，仅在其两端铰链处受力。其内力性质是受拉还是受压尤为重要。 一般地说，桁架是由三根杆与三个节点组成一个基本三角形，然后用两根不平行的杆件连接出一个新的节点．依次类推而成，这种桁架称为简单桁架。 由几个简单桁架．按照几何形状不变的条件组成的桁架称为组合桁架。 桁架内力能由静力学平衡方程全部确定的称为静定桁架。 简单桁架与组合桁架都是静定桁架。 （3）桁架杆件内力计算的几种常用方法 （a）节点法 节点法是以各个节点为研究对象的求解方法。一般均假设杆的内力为拉力，如果所得结果为负值，即表示该杆受压。节点法适用于求解全部杆件内力的情况。 （b）截面法 截面法是假想用一截面截取桁架的其一部分作为研究对象。被截开杆件的内力成为该研究对象的外力，它适用于求桁架中某些指定杆件的内力，也可用于校核。 4.1.2 滑动摩擦 （1）两个相互接触的物体产生相对运动或具有相对运动的趋势时，彼此在接触部位会产生一种阻碍对方相对运动的作用。这种现象称为摩擦，这种阻碍作用，称为摩擦阻力。 ·65·
4静力学第四章习题答案
静力学第四章部分习题解答 4-1力铅垂地作用于杆AO 上,115,6DO CO BO AO ==。在图示位置上杠杆水平，杆DC 与DE 垂直。试求物体M 所受的挤压力M F 的大小。 解： 1.选定由杆OA ，O 1C ，DE 组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为M F F ,。 2.该系统的位置可通过杆OA 与水平方向的夹角θ完全确定，有一个自由度。选参数θ为广义坐标。 3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆OA 有一个微小的转角δθ，相应的各点的虚位移如下： δθδ?=A O r A ，δθδ?=B O r B ，δθδ?=C O r C 1 δθδ?=D O r D 1，C B r r δδ=，E D r r δδ= 代入可得：E A r r δδ30= 4.由虚位移原理0)(=∑i F W δ有： 0)30(=?-=?-?E M E M A r F F r F r F δδδ 对任意0≠E r δ有：F F M 30=，物体所受的挤压力的方向竖直向下。 4-4如图所示长为l 的均质杆AB ，其A 端连有套筒，又可沿铅垂杆滑动。忽略摩擦及套筒重量，试求图示两种情况平衡时的角度θ。 解：4a 1.选杆AB 为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。 2.该系统的位置可通过杆AB 与z 轴的夹角θ完全确定，有一个自由度。选参数θ为广义坐标。由几何关系可知：θ tan a h = 杆的质心坐标可表示为： θθ cos 2 tan ?-= l a z C 3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB 逆时针旋转一个微小的角度δθ，则质心C 的虚位移： δθ δr A δr C δr B δr D δr E
2静力学应用问题作业
重心作业 1．在半径R的圆面积内挖去一半径为r的圆孔。试求剩余面积的重心。 2．已知正方形OADB的边长为l，试在其中求出一点E，使此正方形在被截去等腰三角形OEB 后，E点即为剩余面积的重心。 3．图示机械元件由匀质材料所制成。尺寸为h1=0.5cm，h2=0.75cm，r=0.95cm，R=1.5cm，l=2.55cm。试求其重心的y坐标。 R
桁架作业 1．桁架如图示。已知：F=3kN，l=3m。试用节点法计算各杆的力。 2．桁架如图示。已知力F，尺寸l。试求杆件BC、DE的力。
摩擦作业（1） 1．楔块顶重装置如图示。已知：重块B的为Q，与楔块之间的静摩擦因数为f S，楔块顶角为θ。试求：（1）顶住重块所需力F的大小；（2）使重块不向上滑所需力F的大小；（3）不加力F能处于自锁的角θ的值。 2．半径为r、重力为Q的匀质圆盘如图示，其与固定面间的静摩擦因数均为f S。试求保持圆盘静止不动的最大力偶矩M max。
3．匀质矩形物体ABCD如图示，已知：AB宽b=10cm，BC高h=40cm，其重力P=50N，与斜面间的静摩擦因数f S=0.4 ，斜面的斜率为3/4，绳索AE段为水平。试求使物体保持平衡的最小Q 。 min
摩擦作业（2） 1．图示一制动系统。已知：l=6cm，r=10cm，静滑动摩擦因数f S=0.4，在鼓轮上作用有一力偶矩M=500N·cm 的力偶。试求鼓轮未转时，B处液压缸施加的最小力：（1）施加的力偶为顺时针转向；（2）施加的力偶为逆时针转向。 2．物块A的重力PA=300N，匀质轮B的重力PB=600N，物块A与轮B接触处的静摩擦因数fS1=0.3，轮与地面间的静摩擦因数f S2=0.5 。试求能拉动轮B的水平拉力F的最小值。
理论力学-刚体静力学专门问题
第四章 刚体静力学专门问题 一、是非题 1．摩擦力的方向总是和物体运动的方向相反。 （ ） 2．摩擦力是未知约束反力，其大小和方向完全可以由平衡方程来确定。 （ ） 3．静滑动摩擦系数的正切值等于摩擦角。 （ ） 4．在任何情况下，摩擦力的大小总等于摩擦力系数与正压力的乘积。 ( ) 5．当考虑摩擦时，支承面对物体的法向反力N 和摩擦力的合力与法线的夹角φ称为摩擦角。 （ ） 6．只要两物体接触面之间不光滑，并有正压力作用，则接触面处摩擦力一定不为零。 （ ） 7．在求解有摩擦的平衡问题（非临界平衡情况）时，静摩擦力的方向可以任意假定，而其大小一般是未知的。 （ ） 8．滚阻力偶的转向与物体滋动的转向相反。 （ ） 二、选择题 1．五根等长的细直杆铰接成图示杆系结构，各杆重量不计 若P A =P C =P ，且垂直BD 。则杆BD 的内力S BD = 。 ① -P （压）； ②P 3-（压）； ③P 3-/3（压）； ④P 3-/2（压）。 2．图示（a ）、（b ）两结构受相同的荷载作用，若不计各杆自重，则两结构A 支座反力 ，B 支座反务 ，杆AC 内力 ，杆BC 内力 。 ① 相同； ② 不同。 3．若斜面倾角为α，物体与斜面间的摩擦系数为f ， 欲使物体能静止在斜面上，则必须满足的条件 是 。 ① tg f ≤α； ② tg f ＞α； ③ tg α≤f ； ④ tg α＞f 。 4．已知杆OA 重W ，物块M 重Q 。杆与物块间有摩擦，而物体 与地面间的摩擦略去不计。当水平力P 增大而物块仍然保持平衡 时，杆对物体M 的正压力 。 ① 由小变大；
②由大变小； ③不变。 5．物A重100KN，物B重25KN，A物与地面的摩擦系数为 0.2，滑轮处摩擦不计。则物体A与地面间的摩擦力 为。 ① 20KN；② 16KN； ③ 15KN；④ 12KN。 6．四本相同的书，每本重G，设书与书间的摩擦系数 为0.1，书与手间的摩擦系数为0.25，欲将四本书一起提起， 则两侧应加之P力应至少大于。 ① 10G；② 8G； ③ 4G；④ 12.5G。 三、填空题 1．图示桁架中，杆①的内力为；杆②的内力为。 2．物体受摩擦作用时的自锁现象是指 。 3．已知砂石与皮带间的摩擦系数为f=0.5，则皮带运输机 的输送送带的最大倾角α。 4．物块重W=50N，与接触面间的摩擦角φm=30°，受水平 力Q作用，当Q=50N时物块处于（只要回答处于静止 或滑动）状态。当Q= N时，物块处于临界状态。 5．物块重W=100KN，自由地放在倾角在30°的斜面上，若物 体与斜面间的静摩擦系数f=0.3，动摩擦系数f‘=0.2，水平力 P=50KN，则作用在物块上的摩擦力的大小 为。 6．均质立方体重P，置于30°倾角的斜面上，摩擦系数 f=0.25，开始时在拉力T作用下物体静止不动，逐渐增大力T， 则物体先（填滑动或翻倒）；又，物体在斜面上保持 静止时，T的最大值为。 四、计算题 1．图示桁架中已知P1=P2=P=1000KN，试求AC、BC、BD三杆的 内力。
静力学学生版
物理竞赛《静力学》专题 补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对任意转动点都平衡。 一、力学中常见的三种力 1.重力、重心 ①重心的定义： ++++=g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。 ②重心与质心不一定重合。如很长的、竖直放置的杆，重心和质心不重合(g 随高度变化，重力不同)。 如将质量均匀的细杆AC （AB =BC =1m ）的BC 部分对折,求重心。 以重心为转轴，两边的重力力矩平衡（不是重力相等）： （0.5-x ）2G =(x +0.25)2 G ,得x =0.125m （离B 点）. 或以A 点为转轴：0.5?2G +(1+0.5)2 G =Gx ', 得x '=0.875m ，离B 点x =1-x '=0.125m. 2.巴普斯定理： ①质量分布均匀的平面薄板：垂直平面运动扫过的体积等于面积剩平面薄板重心通过和路程。 如质量分布均匀的半圆盘的质心离圆心的距离为x ， 绕直径旋转一周，2321234R x R πππ?=，得π 34R x = ②质量分布均匀的、在同一平面内的曲线：垂直曲线所在平面运动扫过的面积等于曲线长度剩曲线的重心通过路程。 如质量分布均匀的半圆形金属丝的质心离圆心的距离为x ， 绕直径旋转一周，R x R πππ?=242，得π R x 2= 1. （1）半径R =30cm 的均匀圆板上挖出一个半径r =15cm 的内切圆板，如图a 所示，求剩下部分的重心。 （2）如图b 所示是一个均匀三角形割去一个小三角形AB 'C '，而B 'C '//BC ，且?AB 'C '的面积为原三角形面积的4 1，已知BC 边中线长度为L ，求剩下部分BCC 'B '的重心。 2. 完全相同的4块砖，每块砖的长都为0.3m ，叠放在水平桌面上， 如图所示。求它的最大跨度（即桌边P 点离最上面一块砖右边的 Q 点的水平距离）。 3. 一薄壁圆柱形烧杯,半径为R ,质量为m ,重心位于中心线上,离杯 底的高度为H ,今将水慢慢注入烧杯中,问烧杯连同杯中的水共同重心最低时水面离杯底的距离是多少？(设水的密度为ρ)
船舶静力学作业题答案
1-1 某海洋客船船长L=155m ，船宽B=18.0m ，吃水d =7.1m,排水体积▽=10900m 3，中横剖面面积A M =115m 2，水线面面积A W =1980m 2，试求： （1）方形系数C B ；（2）纵向菱形系数C P ；（3）水线面系数C WP ；（4）中横剖面系数C M ；（5）垂向菱形系数C VP 。 解：（1）550.01 .7*0.18*15510900 ==???=d B L C B （2）612.0155 *11510900 ==??=L A C M P （3）710.0155*0.181980 ==?=L B A C W WP （4）900.01 .7*0.18115 ==?=d B A C M M （5）775.01 .7*198010900 ==??= d A C W VP 1-3 某海洋客货轮排水体积▽=9750 m 3，主尺度比为：长宽比L/B=8.0, 宽度吃水比B/d=2.63，船型系数为：C M =0.900，C P =0.660，C VP =0.780，试求：（1）船长L;（2）船宽B ；（3）吃水d ；（4）水线面系数C WP ；（5）方形系数C B ；（6）水线面面积A W 。 解： C B = C P* C M =0.660*0.900=0.594 762.0780 .0594 .0=== VP B WP C C C d B L C B ??? = 又因为 所以：B=17.54m L=8.0B=140.32m d=B/2.63=6.67m 762.0=WP C
C B =0.594 06.187467 .6*780.09750==??= d C A VP W m 2 1-10 设一艘船的某一水线方程为：()?? ? ???-±=225.012L x B y 其中：船长L=60m ，船宽B=8.4m ，利用下列各种方法计算水线面积： （1） 梯形法（10等分）； （2） 辛氏法（10等分） （3） 定积分，并以定积分计算数值为标准，求出其他两种方法的相 对误差。 解：()?? ????-±=225.012L x B y 中的“+”表示左舷半宽值，“-”表示右舷半宽值。因此船首尾部对称，故可只画出左舷首部的1/4水线面进行计算。 则：?? ????-=90012.42x y ，将左舷首部分为10等分，则l =30/10=3.0m 。 梯形法：总和∑y i =30.03，修正值(y 0+y 10)/2=2.10，修正后∑`=27.93 辛氏法：面积函数总和∑=84.00
用摩擦角巧解静力学问题
用摩擦角巧解静力学问题 摘要：在高中物理竞赛中常遇到静力学问题，计算量比较大，将常规方法与应用摩擦角和全反力解题进行比较，便体现应用摩擦角解题的优势。关键词：摩擦角；全反力；物体的平衡什么是摩擦角？当两物体相互接触，如图1，接触面之间有摩擦时，支持面对物体具有支持力N和摩擦力f的作用，这两个力的合力称为全反力，其作用线与支持面的垂线即支持力的作用线之间形成的偏角为？渍，当达到临界平衡状态时，静摩擦力达到最大值，偏角j也达到了最大值？渍m，如图2所示，全反力与支持力之间夹角的最大值被称为摩擦角，由图可知tan ？渍m== μ，？渍m 与μ表明物体之间的摩擦性质。由摩擦角的定义可以知道，全反力的作用线不可能超出摩擦角之外，必在摩擦角之内。因此，一定存在0≤？渍≤？渍m 。下面通过例题来说明全反力和摩擦角在解决静力学问题中的优势。例题：如图3所示，质量为m的物体恰好能在倾角为α的固定斜面上匀速下滑，如在物体上施加一个力使物体沿斜面匀速上滑，为了使力取得最小值，这个力与斜面的倾斜角为多大？这个力的最小值是多少？解：物理情境I：由物体恰好能在斜面上匀速下滑，受力分析如图4，列方程mg sin a =μmg cos α可得μ= tan α。物理情境II：对物体施加力F，使物体沿斜
面匀速上滑，求F的最小值，可有两种方法。方法一：数学极值法：受力分析如图5所示，设力F与斜面之间的夹角为θ，因为物体是匀速运动，处于平衡状态，物体所受的合外力为0。列平衡方程如下：沿斜面方向：F cos θ= mg sin α+f ①垂直于斜面：F sin θ+N = mg cos α ② f= μN ③由①、②、③得：F = mg 要使F取最小值，只要使表达式取最大值，该表达式可以表示为：cos θ+μsin θ= sin （？渍+θ） ④其中取sin ？渍= ，cos ？渍= 由④式可得，当时sin（？渍+θ）=1时，即？渍+θ= 90°时，F为最小，此时tan ？渍= ，？渍= arctan，即：当θ= 90°-？渍= arctan μ=α时，F具有最小值，其最小值为：F=mgsin（θ+α）=mgsin2a，F= mg =（sin αsin ？渍+ cos αcos ？渍）mg =2 sin αcos ？渍mg = mg sin 2α。方法二：受力分析如图6所示，物体受重力mg、全反力F反（支持力N与摩擦力f的合力，且摩擦角？渍= arctan = arctan μ= α）和F，相当于物体在三个力的作用下处于平衡状态，F反、F的合力与mg大小相等方向相反，画出平行四边形。
2静力学应用问题作业 (2)
1．在半径R的圆面积内挖去一半径为r的圆孔。试求剩余面积的重心。 2．已知正方形OADB的边长为l，试在其中求出一点E，使此正方形在被截去等腰三角形OEB 后，E点即为剩余面积的重心。 3．图示机械元件由匀质材料所制成。尺寸为h1=0.5cm，h2=0.75cm，r=0.95cm，R=1.5cm，l=2.55cm。试求其重心的y坐标。 R
1．桁架如图示。已知：F=3kN，l=3m。试用节点法计算各杆的力。2．桁架如图示。已知力F，尺寸l。试求杆件BC、DE的力。
摩擦作业（1） 1．楔块顶重装置如图示。已知：重块B的为Q，与楔块之间的静摩擦因数为f S，楔块顶角为θ。试求：（1）顶住重块所需力F的大小；（2）使重块不向上滑所需力F的大小；（3）不加力F能处于自锁的角θ的值。 2．半径为r、重力为Q的匀质圆盘如图示，其与固定面间的静摩擦因数均为f S。试求保持圆盘静止不动的最大力偶矩M max。 3．匀质矩形物体ABCD如图示，已知：AB宽b=10cm，BC高h=40cm，其重力P=50N，与斜面间的静摩擦因数f S=0.4 ，斜面的斜率为3/4，绳索AE段为水平。试求使物体保持平衡的最小Q 。 min 摩擦作业（2） 1．图示一制动系统。已知：l=6cm，r=10cm，静滑动摩擦因数f S=0.4，在鼓轮上作用有一力偶矩M=500N·cm 的力偶。试求鼓轮未转时，B处液压缸施加的最小力：（1）施加的力偶为顺时针转向；（2）施加的力偶为逆时针转向。 2．物块A的重力PA=300N，匀质轮B的重力PB=600N，物块A与轮B接触处的静摩擦因数fS1=0.3，轮与地面间的静摩擦因数f S2=0.5 。试求能拉动轮B的水平拉力F的最小值。 3．一旋转轴受轴向力F=10kN，轴的r=25mm，R=75mm，其上的力偶矩M=150N·m。试求静摩擦因数。 4．一轮半径为R，轮与水平面间的滚阻系数为δ。试问水平力F使轮只滚动而不滑动时，轮与水平面间的静摩擦因数f S需满足什么条件？
静力学专题二 摩擦力(六)
静力学专题二摩擦力 一、知识要点和典型例题： 1．摩擦力的产生： 摩擦力发生在相互接触且挤压而又发生相对运动或是具有相对运动趋势的两物体间，其效果 总是起着阻碍两物体间相对运动的作用，它分滑动摩擦力与静摩擦力两种． ★注意：总是起着阻碍相对运动的作用，并不等于起着阻碍运动的作用，木箱放在汽车的平板上，当汽车向前加速带动时，无论木箱对汽车是静止或打滑，汽车对木箱的摩擦力都是向前的，此时摩擦力对木箱起着动力的作用，对物体做正功． 2．判断静摩擦力方向的方法： 根据“摩擦力与物体相对运动的趋势方向相反”来判断．此法关键是先利用“假设法”判断出物体相对运动趋势的方向，即先假定没有摩擦力存在（即光滑）时，看两物体会发生怎样的相对运动． 【例题1】如下图所示，物体A、B在力F作用下一起以相同 速度沿F方向匀速运动，关于物体A所受的摩擦力，下列说法正 确的是( ) A．甲、乙两图中A均受摩擦力，且方向均与F相同 B．甲、乙两图中A均受摩擦力，且方向均与F相反 C．甲、乙两图中A物体均不受摩擦力 D．甲图中A不受摩擦力，乙图中A受摩擦力，方向和F相同 解析用假设法分析：甲图中，假设A受摩擦力，与A做匀速运动在水平方向受力为零不符，所以A不受摩擦力，乙图中，假设A不受摩擦力，A将相对B沿斜面向下运动，从而A受沿F方向的摩擦力，正确答案应选D 答案D 3．摩擦力大小的计算 在计算摩擦力大小之前，必须先分析物体的运动状态，判断物体受到的是滑动摩擦力，还是静摩擦力． (1)若是滑动摩擦，可用来计算．公式中N指两接触面的正压力，并不总是等于物体重力． (2)若是静摩擦，则不能用来计算．只能根据物体所处的状态(平衡或加速)，由平衡条件或牛顿定律求解． ★注意：不能绝对地说静止的物体受到的摩擦力必是静摩擦力，运动的物体受到的摩擦力必是滑动摩擦力，静摩擦力是保持相对静止的两物体间的摩擦力，收静摩擦力作用的物体不一定静止．滑动摩擦力是具有相对滑动的两个物体间的摩擦力，受到滑动摩擦力作用的两个物体不一定滑动．【例题2】如图2—9，一木块放在水平面上，在水平方向共受到三个力即F1 ＝10N、F2=2N和摩擦力作用，木块处于静止状态．若撤去力F1，则木块在水平 方向受到的合力为： A．10N，方向向左；B．6N，方向向右； C．2N，方向向左；D．零． 说明：静摩擦力可以是个变量，其大小、方向都与物体所受外力的情况有关．故在受力分析中凡涉及静摩擦力时，应特别的注意，切忌把静摩擦力当成恒力．
竞赛作业2(静力学)
竞赛作业2(静力学)姓名______________ 1．如图所示，在半径为R的两个铁球内各挖一个半径为R/2的球腔C1和C2，两球腔与各球内切，两球心相距d，求两球间引力的大小（设铁球的密度为ρ）。 2．一薄壁烧杯，半径为R，质量为m，重心位于中心线上，离杯底为H，今将水慢慢注入杯中，问烧杯连同杯内的水共同重心最低时，水面离杯底的距离等于多少？为什么？（设水的密度为ρ） 3．如图所示，用铰链接在竖直墙上，悬挂物的重量为500N，轻杆OA，OB的长度都是50cm，AB=60cm，且A和B等高，均匀杆ＯＣ的倾角600，杆重２00Ｎ，铰链C在AB中点正下方，CO⊥DO。求（1）杆AO对墙作用力（2）OC对墙的作用力。 4.半径为R、质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重物分别用细绳AD和ACE悬挂于同一点A，并处于平衡状态，如图所示.已知悬点A到球心O的距离为L，不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB间的夹角θ.(第十届全国中学生物理竞赛预赛试题)【15】
5．AO，CO，AD，BC，BO”，DO”为均匀钢片，可绕O，A，C，O’， B，D，O”转动．由它们组成如图状铰链，AB与CD两端分别用绳连 接，下挂重物M，若知钢片条AO，CO，BO”，DO”质量均为m，AD， BC的质量为2 m．问静止时绳子中的张力为多大? 6.半径为r、质量为m的三个相同的刚性球放在光滑的水平桌面上，两两互相接触。用一个高为1.5r的圆柱形刚性园筒（上下均无底）将此三球套在筒内，园筒的半径取适当值，使得各球间以及球与筒壁之间均保持无形变接触。现取一质量亦为m、半径为R的第四个球，放在三球上方的正中。设四个球的表面、园筒的内壁表面均由相同物质构成，其相互之间的最 大静摩擦系数均为μ=（约等于0.775），问R取何值时，用手轻轻竖直向上提起园筒 即能将四个球一起提起来？
静力学
1．20N ，30N 和40N 的三个力作用于物体的同一点，它们之间的夹角都是120o ，求合力的大小和方向． 2．如图所示，在半径为R 的两个铁球内各挖一个半径为R/2的球腔1C 和2C ，两球腔与各球内切，两球心相距d ，求两球间引力的大小．设铁球的密度为ρ． 3．如图所示，用两段直径为d=0.02m 且相互平行的小圆棒A 和B 水平地支起一根长为L=0.64m 、质量均匀分布的木条．设木条与两圆棒之间的静摩擦因数00.4μ=，滑动摩擦因数02μ=．．现使A 棒固定不动，并对B 棒施以适当的外力，使木棒B 向左缓慢移动．试讨论分析木条的移动情况，并把它的运动情况表示出来．设木条与圆棒B 之间最先开始滑动． 4．一薄壁烧杯，半径为r ，质量为m ，重心位于中心线上，离杯底的距离为H ，今将水慢慢注入杯中．问烧杯连同杯内的水共同重心最低时，水面离杯底的距离等于多少? 为什么?(设水的密度为ρ) 5．一根弹簧的劲度系数为k ，若剪去原长的1/3，则剩下部分的劲度系数为多少? 6．有两个轻弹簧，劲度系数分别为1k ，2k ，按图所示连接，并在下面悬挂一重物G ，滑轮质量不计．把滑轮和两个弹簧等效一个弹簧，求等效弹簧的劲度系数． 7．如图所示，质量为M 的方铁块放置在倾斜的粗糙斜面上，斜面的AD 边平行BC 边．铁块与斜面的动摩擦因数为μ．斜面的倾角为α．如果在铁块上作用一水平力，与BC 边平行，此力由零逐渐增大，问铁块开始运动时：(1)力F 的大小?(2)铁块运动的方向与边AB 的夹角多大?
8．有一半径r=0.2m 的圆柱体绕竖直轴OO ’以角速度9/rad s ω=匀速运动，现用力F 把质量m=1kg 的物体A 压在圆柱体的侧面，由于受光滑挡板的作用，物体A 在水平方向上不能随圆柱体转动，而以024/v m s =．的速率匀速下滑，如图所示．若物体A 与圆柱体的摩 擦因数025μ=．，210/g m s =．求物体A 受到的力F 的大小． 1．如图所示，将水槽支于O 点，当木块A 浮在左边时，水槽恰好平衡，则( ) A ．用力向下压木块时，木块受到的浮力增大，槽的左端向上倾斜 B ．用力向下压木块时，木块受到的浮力增大，槽的左端向下倾斜 C ．木块向右漂浮时，水槽仍能平衡 D ．木块向右漂浮时．水槽的右端向下倾斜 3．如图所示，半径为R 的圆柱水平横架空中，有质量为1m 与2m (122m m =)的两个小木块，用长为 2 R π细绳相连，木块大小可以忽略，与圆柱面间的静摩擦因数1μ<，设线无 质量，柔软不可伸长，与圆柱面无摩擦，1m 在右边．
工程力学--静力学(北京科大、东北大学版)第4版_第四章习题答案
第四章习题 4-1 已知F 1=60N，F 2 =80N，F 3 =150N，m=100N.m，转向为逆时针，θ=30°图中距 离单位为m。试求图中力系向O点简化结果及最终结果。 4-2 已知物体所受力系如图所示，F=10Kn，m=20kN.m，转向如图。 （a）若选择x轴上B点为简化中心，其主矩L B =10kN.m，转向为顺时针，试求B 点的位置及主矢R’。 （b）若选择CD线上E点为简化中心，其主矩L E =30kN.m，转向为顺时针，α=45°，试求位于CD直线上的E点的位置及主矢R’。 4-3 试求下列各梁或刚架的支座反力。 解： （a）受力如图 由∑M A =0 F RB ?3a-Psin30°?2a-Q?a=0 ∴FRB=（P+Q）/3 由∑x=0 F Ax -Pcos30°=0 ∴F Ax = 3 2P
由∑Y=0 F Ay +F RB -Q-Psin30°=0 ∴F Ay =（4Q+P）/6 4-4 高炉上料的斜桥，其支承情况可简化为如图所示，设A和B为固定铰，D为 中间铰，料车对斜桥的总压力为Q，斜桥（连同轨道）重为W，立柱BD质量不计，几何尺寸如图示，试求A和B的支座反力。 4-5 齿轮减速箱重W=500N，输入轴受一力偶作用，其力偶矩m 1 =600N.m，输出轴 受另一力偶作用，其力偶矩m 2 =900N.m，转向如图所示。试计算齿轮减速箱A和B两端螺栓和地面所受的力。 4-6 试求下列各梁的支座反力。
(a) (b) 4-7 各刚架的载荷和尺寸如图所示，图c 中m 2＞m 1，试求刚架的各支座反力。 4-8 图示热风炉高h=40m ，重W=4000kN ，所受风压力可以简化为梯形分布力，如图所示，q 1=500kN/m ，q 2=2.5kN/m 。可将地基抽象化为固顶端约束，试求地基对热风炉的反力。 4-9 起重机简图如图所示，已知P 、Q 、a 、b 及c ，求向心轴承A 及向心推力轴承B 的反力。 4-10 构架几何尺寸如图所示，R=0.2m ，P=1kN 。E 为中间铰，求向心轴承A 的反力、向心推力轴承B 的反力及销钉C 对杆ECD 的反力。
静力学问题和动力学问题
静力学问题和动力学问题 几个互相平衡的力对物体的作用，因它们的合力等于零，物体没有加速度，所以物体处于静止或匀速直线运动平衡状态。上节中列举过的4个例子，就是根据力的平衡条件来分析物体的受力情况的，一般我们称为静力学问题。高中力学所涉及的静力学问题都很简单，大家也比较习惯于解决这类问题。但是，当物体受到几个不平衡的力的作用下，它们的合力将引起物体作变速运动；分析物体作变速运动的物体受力情况和运动情况时，必须应用动力学定律，这跟应用平衡的概念解 决静力学问题有所不同，这类问 题我们叫它为动力学问题。常常 有同学用静力学观念来对待动力 学问题，结果导出了错误的结论。 譬如对如下的一个问题：图一中 m 1=110g ，m 2=20g ，如果不计 算摩擦力，那么，物体m 1和m 2各受哪几个力的作用？物体沿m 1沿桌面移动的加速度是多少？ 有的同学这样考虑：对m 1来说，在竖直方向上所受的重力P 和支承力N 互相平衡；在水平方向上，如果不考虑摩擦，那末它只受到一个绳子的拉力(也即是m 2, 对它的拉力)，这个拉力就等于物体m 2的重量20克，所以m 1的加速度222110.02102/0.1 P m g a m s m m ?====。对m 2来说，它只受到竖直向上两个力的作用：一个是地球对它的引力0.2N ，另一个是绳子对它的拉力（即m 1对它的拉力），因m 1对m 2的拉力是m 2对m 1拉力的反作用力，所以m 1对m 2的拉力在数值上也等于0.2N 。这样，m 2所受到的两个力应该是璴平衡的力，合力为零，因此，m 2应该保持静止或匀速直线运动。 图一
显然，这样得出的结论是不符合实际情况的，因为m 2并不是处于不稳状态，而是跟m 1一样，以同样大小的加速度作加速运动的。 那么问题到底出在什么地方呢？ 稍经思考，同学们不难想到：既然m 2是向下作加速运动，这说明它受到的两个力—重力和绳子对它的拉力并不互相平衡，而重力P 2必大于绳子对它的拉力，因为只有这样才能使我合力方向向下而使m 2作向下的加速运动。可见物体m 1所受绳子的拉力（即m 2对它的拉力）在数值上并不等于m 2的重量，它必然比m 2的重量小些。 这个拉力到底多大呢？这必须应用动力学定律来解决。 设拉力为T ，加速度为a ，对m 1来说，应有11T m a =。对2m 来说，因所受的合外力为2m g T -，所以应有21m g T m a -=。解联立方程式： 122T m a m g T m a =-= 得：22120.0210 1.63/0.10.02 m g a m s m m ?===++ 210.1 1.63/0.163T m a kg m s N ==?= 应该注意：这里是假定绳子本身没有质量的。如果考虑到它有质量，问题就要复杂得多。 如果m 1又受到桌面摩擦力作用而使它处于静止状态或匀速直线运动的平衡状态，那末m 2当然也是静止或匀速下降，在这种情况下，就可应用力的平衡概念求得绳子的拉力（m 1对m 2的拉力或m 2对m 1的拉力）在数值上刚好等于m 2的重量。因为这时它已变为一个静力学问题了。 为了防止在分析动力学问题时被静力学观念混淆起来，下面我们讨论几个问题。 例一：一条绳子跨过定滑轮，在绳子的两端各挂上一个质量为10克的小盘。现在两个盘中分别放上质量为200克和150克的砝码（图二）。 求两个盘所受砝码对它们的压力各是
生活中的典型力学应用问题
生活与工程中的典型力学应用 摘要：工程地质力学以工程为自身的方向，地质为研究对象，通过很过相关的力学方面的手段和方法来研究我们没有解决的各种问题。因而这是涵盖了很多方面和学科的学科，是地质学、力学、以及相关工程学科的综合学科，是力学在生活与工程中的经典应用。 关键词：力学；工程；地质体；工程地质力学。 力学作为一个贯穿各类学科的基础学科，在工程和实际生活中都承担着举足轻重的角色。力学结构的完美构造才能保证一个工程或者一个物品的正常使用，反观，如果最基础的力学结构出了问题，会对我们的整体结构造成很严重的影响，甚至会有无法挽回的巨大损失。只有保证最基础的力学结构，我们所构建的整体才能更加完美。而在我们的实际生活和实际工程中，工程地质力学又是一个很典型的力学应用，它是地学和力学的结合，是需要我们不断开拓、不断创新、不断发展的一门学科，但是它在目前的研究中又有着些许难以解决的复杂问题。 那么何为地质力学呢？地质体是由赋存于一定地质环境中并按照某种结构排列的岩石、土和水组成的。它具有非连续、非均匀、流–固耦合以及未知“初始”状态的特性。【1】工程地质力学以工程为自身的方向，地质为研究对象，通过很过相关的力学方面的手段和方法来研究我们没有解决的各种问题。因而这是涵盖了很多方面和学科的学科，是地质学、力学、以及相关工程学科的综合学科，但主要还是研究工程地质力学的相关问题。在实际的工程中，对很多课题的研究过程中也遇到了很多难以解决的问题，例如，关于地质力学特征和几何特性的勘测和研究。在我国的工程地质力学中，研究的内容主要包括三方面，分别是相关的仪器、力学参数的测量以及对参数的研究方法。【2】 工程地质力学主要着眼于解决地下工程问题和地面工程问题。前者，即地下工程问题，主要面临的问题就是高地应力下的地质体因卸荷而发生的破坏。【3】后者，即地面工程力学，主要面临的问题大部分都是在重力和水力等自然力的作用下，所导致的地质体破坏【4】。地质工程在建造之前必须对当地的地质情况进行准确的勘测吗，在确定各方面数据都没有问题的时候才能进行工程建造，但是在当前的实际工程中，会有很多情况因为资金问题缩减在最开始的勘测方面的支出，以至于会造成数据的不精确性，在后面的工程中，会对有些项目的进行造成一定的阻碍，而工程地质力学应该着眼于更好地解决这些问题，最大化及最优质地解决包括地上地质问题以及地下地质问题在内的各种基础问题。目前我们进行这种勘测最常用的就是直接钻孔开挖法和位移监测法【5】。但在现在的实际建设中，仅仅用这两种方法是不能满足的，新的地质力学勘测方法需要替代这种传统的方法。而工程地质力学的研究方法又有以下几个步骤：上、下限解定理与解析解，包括模型试验、模拟实验以及岩体力学性能测量的室内实验研究，现场地质调查与现场监测和最后的数值模拟。 以上对工程地质力学以及应用中的各种问题的分析与简单研究讨论，可以明显看出地质体的复杂性，而它的复杂性决定了我们对工程地质力学的研究方法必须要创新，只有这样我们目前面临的各种复杂、难以解决的问题最后才会迎刃而解，并且这样的创新可以不断提高我国地质工程建设的水平。我相信随着我们国家科学家们的共同努力我们会在这方面取得更加瞩目的成绩，会走在世界前列。然而，影响这种力学与地学结合的因素主要包括与力学相关的基本理论的发展、
静力学练习题
第一章 静力学基础和物体的受力分析 练习题 一、填空题 1、理论力学的任务是研究物体作 的规律。 2、平衡是指 或 状态。 3、力是物体之间相互的 作用。 4、刚体是受力作用而 的物体。 5、刚体受到两个力作用而平衡的充分必要条件是 。 6、约束是指限制 的周围物体。 7、对刚体而言，力的三要素是 、 、 。 二、单项选择题 1、图示系统受力F 作用而平衡。欲使A 支座约束力的作用线与AB 成60o角，则斜面 的倾角α应为______________。 （A ） 0o （B ） 30o （C ） 45o （D ） 60o 题1图 题2图 2、如图所示的两个楔块A 、B 在m -m 处光滑接触，现在其两端沿轴线各加一个大小相 等、方向相反的力，则两个楔块的状态为 。 （A ）A 、B 都不平衡 （B ）A 平衡、B 不平衡 （C ）A 不平衡、B 平衡 （D ）A 、B 都平衡 3、三力平衡定理是 。 （A ）共面不平行的三个力互相平衡必汇交于一点 （B ）共面三力若平衡，必汇交于一点 （C ）三力汇交于一点，则这三个力必互相平衡。 （D ）此三个力必定互相平行
4、作用和反作用定律的适用范围是。 （A）只适用于刚体（B）只适用于变形体（C）只适用于处于平衡状态的物体（D）适用于任何物体三、作图题 作出下列系统中指定对象的受力图 1、杆AB 2、圆柱A 3、杆AB、整体 4、刚架AB 5、杆AB 6、整体
7、曲杆AB、曲杆BC、整体8、每个物体；整体 9、每个物体，整体10、每个物体；整体
11、杆AB、杆BC；整体12、杆AB、杆BC；整体 13、杆AC、杆CB、销钉C、整体