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1994考研数四真题及解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)

222x x

dx x -+=+?_____________.

(2) 已知0()1f x '=-,则0

00lim

(2)()

x x

f x x f x x →=---_____________.

(3) 设方程2cos xy e y x +=确定y 为x 的函数,则

=_____________. (4) 设121000

000,0000

0n n

a a A a a -??

???

?=????????

其中0,1,2,,,i a i n ≠=则1A -=_____________.

(5) 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,从中随意取出一件,结果不是三等

品,则取到的是一等品的概率为_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)

(1) 曲线2

arctan (1)(2)

x x x y e x x ++=+-的渐近线有 ( )

(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 (2) 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,且()0f x >,则方程

()0()

f t dt dt f t +=?

在开区间(,)a b 内的根有 ( ) (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷多个

(3) 设A 、B 都是n 阶非零矩阵,且0AB =,则A 和B 的秩 ( )

(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n ,一个等于n (D) 都等于n (4) 设有向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),

ααα=-==4(1,2,2,0),α=-

5(2,1,5,10),α=则该向量组的极大线性无关组是 ( )

(A) 123,,ααα (B) 124,,ααα

(5) 设0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B <<<<+=,则 ( ) (A) 事件A 和B 互不相容 (B) 事件A 和B 相互对立 (C) 事件A 和B 互不独立 (D) 事件A 和B 相互独立

三、(本题满分5分)

求极限2

1lim[ln(1)]x x x x

→∞

-+.

四、(本题满分5分)

已知2

(,)arctan arctan y x f x y x y x y =-,求2f x y

???.

五、(本题满分6分)

已知

sin x x

是函数()f x 的一个原函数,求3

()x f x dx '?.

六、(本题满分8分)

某养殖场养两种鱼,若甲种鱼放养x (万尾),乙种鱼放养y (万尾),收获时两种鱼的收获量分别为(3)x y x αβ--和(42)x y y βα-- (0)αβ>>,求使产鱼总量最大的放养数.

七、(本题满分8分)

已知曲线0)y a =>与曲线y =00(,)x y 处有公共切线,求: (1) 常数a 及切点00(,)x y ；

(2) 两曲线与x 轴围成的平面图形的面积S .

八、(本题满分7分)

设函数()f x 有导数,且10(0)0,()()x

n n n

f F x t f x t dt -==-?.证明：

()1

lim

(0)2n x F x f x n

→'=.

九、(本题满分8分)

设123,,ααα是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系.证明122331

,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系.

十、(本题满分8分)

设0011100A x y ????=??????

有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件.

十一、(本题满分7分)

假设随机变量X 的概率密度为

2,01,

()0,

x x f x <

?其他. 现在对X 进行n 次独立重复观测,以n V 表示观测值不大于0.1的次数.试求随机变量n V 的概率分布.

十二、(本题满分8分)

假设由自动线加工的某种零件的内径X (毫米)服从正态分布(,1)N μ,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润T (单位:元)与销售零件的内径X 有如下关系:

1,10,20,1012,5,12.X T X X -

=≤≤??->?

问平均内径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大?

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】ln 3 【解析】利用被积函数的奇偶性,当积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数时,积分为 0,当被积函数为偶函数时,可以化为二倍的半区间上的积分.所以有

原式2

222

2220022222x x x dx dx dx x x x -=+=+++??? 2

2dx x

ln (2)ln 6ln 2ln 3.x =+=-=

(2)【答案】1

【解析】由此题极限的形式可构造导数的定义的形式,从而求得极限值.由于

000(2)()

lim

x f x x f x x x

→---

00000(2)()()()lim x f x x f x f x x f x x

→----+= 00000000(2)()()()

(2)lim lim 2()() 1.

2x x f x x f x f x x f x f x f x x x →→----''=-+=-+=--所以原式0

001

lim

1(2)()1

x x f x x f x x →===---.

【相关知识点】导数的定义：0000

()()

()lim

x f x x f x f x x

?→+?-'=?.

(3)【答案】sin 2xy xy

ye x

y xe y

+'=-+ 【解析】将方程2

cos xy

e y x +=看成关于x 的恒等式,即y 看作x 的函数. 两边对x 求导,得

sin ()2sin 2xy xy

ye x

e y xy yy x y xe y

+'''++=-?=-+. 【相关知识点】两函数乘积的求导公式：

[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+?.

(4)【答案】1

100010001

0n n a a a a -?????????????

??????????????

【解析】由分块矩阵求逆的运算性质,有公式1

00A B B A

---????=???

?????

, 且 1

112

1n n a a a a a a -????????

???

?=????

????

??????

所以,本题对A 分块后可得11

100010001

100

0n n a a A a a --?

????????????

?=?????????????

. (5)【答案】

【解析】设事件i A =“取到的是第i 等品”,1,2,3i =,则由题意有

1{}0.6P A =, 2{}0.3P A =, 3{}0.1P A =.

应用条件概率公式得

3113133()()0.62

(|).1()0.93

()P A A P A P A A P A P A =

===-

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B)

【解析】本题是关于求渐近线的问题.由于

21lim arctan (1)(2)4

x x x x e x x π

→∞++=+-,

故4

y π

为该曲线的一条水平渐近线.

又 2

lim arctan (1)(2)

x x x x e x x →++=∞+-.

故0x =为该曲线的一条垂直渐近线,所以该曲线的渐近线有两条.

故本题应选(B).

【相关知识点】水平渐近线：若有lim ()x f x a →∞

=,则y a =为水平渐近线；

铅直渐近线：若有lim ()x a

f x →=∞,则x a =为铅直渐近线；

斜渐近线：若有()

lim

,lim[()]x x f x a b f x ax x

→∞

→∞==-存在且不为∞,则y ax b =+为斜渐

近线.

(2)【答案】(B)

【解析】方法1：令1

()(),[,]()

F x f t dt dt x a b f t =

+∈?

, 则1

()()0.()

F x f x f x '=+

> 故()F x 在区间[],a b 内是单调递增的. 又 1

1()0()

()a

b b

a F a dt dt f t f t =

?, ()()0.b a F b f t dt =>?

由介值定理知()0F x =在(),a b 内仅有一个根.应选(B). 方法2：排除法.由题设条件,可令()1f x =,此时方程

()0()

f t dt dt f t +=?

变为 ()()0x a x b -+-=,即2()0x a b -+=.该方程在(),a b 内仅有一个实根

a b

+,则(A)、(C)、(D)均不正确.故本题应选(B).

【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：

若()

()

()()t t F t f x dx βα

?,()t α,()t β均一阶可导,则

[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=?-?.

(3)【答案】(B)

【解析】本题主要考查矩阵秩的概念和性质,还涉及到矩阵运算、可逆,齐次方程组解的概念与性质等知识点.

在中学的代数里,若0ab =,我们知道至少有一个数为0,而作为矩阵运算0AB =就不能说其中至少有一个矩阵是零矩阵,这种差异要搞清楚.例如

1222000.241100-??????

?==??????-??????

即由0AB =不能得出0A =或0B =,那么再按矩阵秩的定义就知(A)错误.

又()0r A n A =?≠A ?可逆.因此对于0AB =,若其中有一个矩阵的秩为n ,例如设()r A n =,则有1

00.B A AB A --===与已知0B ≠相矛盾.从而可排除(C)、(D).

对0AB =,把矩阵B 与零矩阵均按列分块

1212(,,

,)(,,,)(0,0,

,0),n n AB A A A A ββββββ===

于是0(1,2,

,)i A i n β==,即i β是齐次方程组0Ax =的解.

因此,0AB =,0B ≠表明0Ax =有非零解,从而()r A n <. 可以继续用非零解的观点来处理秩()r B ,方法如下：

()00,T T T T B A AB ===

从T A 非零,知()T

r B n <,故()r B n <.

当然,本题最简单的方法是用命题：

若A 是m n ?矩阵,B 是n s ?矩阵,0AB =,则()()r A r B n +≤. 再由A ,B 均非零,按秩得定义有()1r A ≥,()1r B ≥,也就不难看出应选(B). (4)【答案】(B)

【解析】这是一道常规题,按一般方法求解即可.

方法一：对()12345,,,,T

ααααα作初等行变换,并记下每次变换的式子,有

1231241512

112411

2411

24031

2031

233071403120000122001040104221

1003

200

0αααααααααα---??????

???????

??????→→--?

------????????????--?????? 现在已经可以看出秩为3,极大线性无关组是124,,ααα.

方法二：用列向量()

12345,,,,T T T T T

ααααα作行变换,有

103121

03121

031213021033130110101101217250

110103313000104

2140100

224

0000????????????????---???

?????→→→????????-???

?????--????????

每行第1个非0数在第1,2,4列,故124,,ααα是极大线性无关组. 故此题应选(B). (5)【答案】(D)

【解析】事实上,当0()1P B <<时,(|)(|)P A B P A B =是事件A 与B 独立的充分必要条件,证明如下：

若(|)(|)P A B P A B =,则

()()

()1()

P AB P AB P B P B =

-, ()()()()()P AB P B P AB P B P AB -=, ()()[()()]()()P AB P B P AB P AB P B P A =?+=,

由独立的定义,即得A 与B 相互独立.

若A 与B 相互独立,直接应用乘法公式可以证明(|)(|)P A B P A B = .

(|)1(|)(|)P A B P A B P A B =-=.

由于事件B 的发生与否不影响事件A 发生的概率,直观上可以判断A 和B 相互独立. 所以本题选(D).

三、(本题满分5分)

【解析】根据本题极限式的特点,用换元法,令

t x

=,x →∞换为0t →,则原式220011ln(1)lim ln(1)lim t t t t t t t t →→-+??

+=????

, 现在已化为“

”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,运用洛必达法则,有原式0

1111lim

lim .22(1)2

t t t t t →→-

+===+

四、(本题满分5分)

【解析】由复合函数求导法,首先求

??,由题设可得

222212arctan 11f y x y y x x x

x y y x x y ???

=+?--? ????????++ ? ????? 2322222arctan 2arctan y x y y y

x x y x x y x y x

=--=-++.

再对y 求偏导数即得

2222

2212111f

x x y x y

x x y x y y x ?-=-=-=??++??

+ ???. 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数(,),(,)u x y v x y ?ψ==都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数

((,),(,))z f x y x y ?ψ=在点(,)x y 的两个偏导数存在,且有

12z z u z v u v f f x u x v x x x

???????''=+=+???????； 12z z u z v u v f f y u y v y y y

???????''=+=+???????.

五、(本题满分6分)

【解析】由于sin x x 是函数()f x 的一个原函数,则sin ()x f x x '??= ???

cos sin x x x

x -=,利用不定积分的分部积分法求解本题.

332()()()3()x

f x dx x df x x f x x f x dx '==-???

2sin sin ()3()32sin x x x f x x d x f x x xdx x x ????=-=-?-

???????

? 32

cos sin 3sin 6cos x x x

x x x x C x

-=?

--+ 2cos 4sin 6cos x x x x x C =--+,

其中C 为任意常数.

注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验.

【相关知识点】分部求导公式：假定()u u x =与()v v x =均具有连续的导函数,则

,uv dx uv u vdx ''=-?? 或者 .udv uv vdu =-??

六、(本题满分8分)

【解析】设产鱼总量为z ,则产鱼总量的函数为

22(3)(42)3422z x y x x y y x y x y xy αββαααβ=--+--=+---.

由二元函数求极值的方法,为求驻点,令

3220,4240.z

x y x

x y y

αββα??=--=??????=--=??? 由于0αβ>>,知其系数行列式224(2)0αβ?=->.故方程组有惟一解,即

22223243,22(2)

x y αβαβ

αβαβ--=

=--. 容易验证000,0x y >>,且

0000000003(,)(3)(42)2.2

x z x y x y x x y y y αββα=--+--=

+ 因为是实际问题,又由于驻点惟一,且实际问题必有最大值,故0x 和0y 分别为所求甲和乙两种鱼的放养数.

七、(本题满分8分)

【解析】利用00(,)x y 在两条曲线上及两曲线在00(,)x y 处切线斜率相等列出三个方程,由此,可求出00,,a x y ,然后再求平面图形的面积S .

(1) 过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,其中,当0()y x '存在时,

0()k y x '=.

由y =

y '=

由y =12y x

. 由于两曲线在00(,)x y 处有公共切线,

2x =

,得021x a =. 将021x a =

分别代入两曲线方程,

有001y y ==?==.

于是 20211

,a x e e a

==, 从而切点为2(,1)e .

(2) 两曲线与x 轴围成的平面图形的面积S 为

0()y

S e e y dy =-?1

22301123y e e y ??

=- ???211.6

2e =-

八、(本题满分7分)

【解析】应用换元法,令n

x t u -=,则

1()()()()().n

x n n

n n F x t

f x t dt f u du F x x f x n --'=-=?=??

由于20

()lim

x F x x → 为“0

”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,运用洛必达法则,得

122121

000()()()

lim lim lim 22n n n n n x x x F x F x x f x x nx nx ---→→→'==

001()1()(0)

lim lim 220

n n n n x x f x f x f n x n x →→-==-, 由导数的定义有原式1

(0)2f n

. 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：

若()

()

()()t t F t f x dx βα

?,()t α,()t β均一阶可导,则

[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=?-?.

九、(本题满分8分)

【解析】由1212()000,A A A αααα+=+=+=知12αα+是0Ax =的解.同理知

2331,αααα++也都是0Ax =的解.

若112223331()()()0k k k αααααα+++++=,即

311122233()()()0k k k k k k ααα+++++=.

由于123,,ααα是基础解系,知123,,ααα线性无关.故知

131223

0,0,0.k k k k k k +=??

+=??+=? 因为系数行列式 101

1020011

=≠, 所以方程组只有零解1230k k k ===.从而122331,,αααααα+++线性无关.

由已知,0Ax =的基础解系含三个线性无关的解向量,所以122331,,αααααα+++也是0Ax =的基础解系.

【相关知识点】1.解的结构:若12,ηη是Ax b =对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,则

Ax b =的通解形式为1122,k k ηηξ++其中ξ是Ax b =的一个特解.

2.解的性质：如果12,ηη是0Ax =的两个解,则其线性组合1122k k ηη+仍是0Ax =的解；如果ξ是Ax b =的一个解,η是0Ax =的一个解,则ξη+仍是Ax b =的解.

十、(本题满分8分)

【解析】由A 的特征方程,按照第二列展开,有

201

1(1)(1)(1)0110E A x y λλλλλλλλ

---=---=-=-+=--,

得到A 的特征值为1231,1λλλ===-.

由题设有三个线性无关的特征向量,因此,1λ=必有两个线性无关的特征向量,

从而()1r E A -=.这样才能保证方程组()0E A X -=解空间的维数是2,

即有两个线性无关的解向量.

由初等行变换,将E A -第一行加到第三行上,第一行乘以x 后加到第二行上有

10110

1000101000E A x y x y --????????-=--→--????

????-????

由()1r E A -=,得x 和y 必须满足条件0x y +=.

十一、(本题满分7分)

【解析】已知随机变量X 的概率密度,依题意有概率

0.1

0{0.1}20.01P X xdx ≤==?.

求得二项分布的概率参数后,在n 次独立重复观测中,事件{0.1}X ≤出现的次数n V 服从二项分布(,0.01)B n .所以有概率函数为

{}(0.01)(0.99)m

m n m n n P V m C -== (0,1,)m n =.

【相关知识点】二项分布的概率计算公式：

若(,)Y B n p ~,则{}(1)k k

n k n P Y k C p p -==-, 0,1,

,k n =.

十二、(本题满分8分)

【解析】依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法,有

{}{}{}()10201012512E T P X P X P X =-<+≤≤->

(10)20[(12)(10)]5[1(12)]μμμμ=-Φ-+Φ--Φ---Φ- 25(12)21(10) 5.μμ=Φ--Φ--

此时数学期望依赖于参数μ,为使其达到最大值,令其一阶导数为0,有

(10)(12)2

()25(12)21(10)25],

dE T e e

d μμ?μ?μμ---

=--+-=-

令 ()0dE T

d μ=,2

(10)(12)

220μμ----=, 即2

(10)(12)2

μμ---

解上面的方程得 012511ln 10.9.221

μμ==-

≈ 得到唯一驻点010.9μμ=≈,因为此问题是实际问题,所以平均利润函数必然有最大值,而且这个最大值是唯一的.

由题意知,当010.9μμ=≈毫米时,平均利润最大.

1994考研数学一真题及答案详解

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 0 11 limcot ( )sin x x x x →-=_____________. (2) 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________. (3) 设sin x x u e y -=,则2u x y ???在点1(2,)π处的值为_____________. (4) 设区域D 为2 2 2 x y R +≤,则22 22()D x y dxdy a b +=??_____________. (5) 已知11(1,2,3),(1,,)23 αβ==,设T A αβ=,其中T α是α的转置,则n A =_________. 二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设42 22 sin cos 1x M xdx x π π-=+?,3422(sin cos )N x x dx ππ-=+?,23422(sin cos )P x x x dx π π-=-?, 则 ( ) (A) N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N << (2) 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数0λ>,且级数 21 n n a ∞=∑收敛, 则级数1 (1)n n ∞ =-∑ ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (4) 2 tan (1cos )lim 2ln(12)(1) x x a x b x c x d e -→+-=-+-,其中220a c +≠,则必有 ( ) (A) 4b d = (B) 4b d =- (C) 4a c = (D) 4a c =- (5) 已知向量组1234αααα、、、线性无关,则向量组 ( ) (A) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα+线性无关

1994考研数二真题及解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 若2sin 21 ,0,() , 0ax x e x f x x a x ?+-≠? =??=? 在(,)-∞+∞上连续,则a =＿＿＿＿＿＿. (2) 设函数()y y x =由参数方程32 ln(1),x t t y t t =-+??=+? 所确定,则22d y dx =＿＿＿＿＿＿. (3) cos30()x d f t dt dx ??=? ????＿＿＿＿＿＿. (4) 2 3x x e dx =? ＿＿＿＿＿＿. (5) 微分方程2(4)0ydx x x dy +-=的通解为＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设22 0ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=,则 ( ) (A) 5 1,2a b ==- (B) 0,2a b ==- (C) 5 0,2 a b ==- (D) 1,2a b ==- (2) 设3 22,1 ()3 , 1x x f x x x ?≤?=??>? ,则()f x 在点1x =处的 ( ) (A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在,但右导数不存在 (C) 左导数不存在,但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 (3) 设()y f x =是满足微分方程sin 0x y y e '''+-=的解,且0()0f x '=,则()f x 在 ( ) (A) 0x 的某个领域内单调增加 (B) 0x 的某个领域内单调减少 (C) 0x 处取得极小值 (D) 0x 处取得极大值 (4) 曲线1 21arctan (1)(2) x x x y e x x ++=-+的渐近线有 ( ) (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条

1994考研数三真题及解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) 2 x + x | (1) [——x = 2 +x 2 ------- ⑵已知f(X)二-1,则lim _ J 0 f (怡—？X)- f(X 。—X) ⑶设方程0 -护=°Cosx 确定定y |0 0 32 L 0 (4)设 A= M M M M 0 0 0 L a n i ⑸设随机变量X 的概率密度另命n 0 0 L F 二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) 12 x 2 +x +1 (1) 曲线y 二e x arctan 的渐近线有() (x+1)(x-2) (A)1 条(B)2 条(C)3 条(D)4 条 00 2 00 n |an | ⑵设常数■ 0,而级数a 2收敛,则级数(-1)n 」2 () (A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与'有关 ⑶设A 是m n 矩阵,C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r,矩阵B 二AC 的秩为*，则 ( ) (A) r r 1 (B) r ::片 (C) r = r 1 (D) r 与*的关系由C 而定 (4)设 0 vp(A) *1,0 ￡P(B) ￡1,P(A B) +P(AB)=1,贝 U () (A)事件A 和B 互不相容(B)事件A 和B 相互对立为x 的函数，则dy = ___________ dx ,其中 a 仔0,i=1,2,L ,n,则丄 2x, 0：：x ：1, f(x)二 10,其他，『、以丫表示对X 的三次独立重复观察中事件 X 乞-出现的次数,则 I 2J

1994考研数四真题及解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1) 2 222x x dx x -+=+?_____________. (2) 已知0()1f x '=-,则0 00lim (2)() x x f x x f x x →=---_____________. (3) 设方程2cos xy e y x +=确定y 为x 的函数,则 dy dx =_____________. (4) 设121000 000,0000 0n n a a A a a -?? ??? ? ? ?=???????? 其中0,1,2,,,i a i n ≠=则1A -=_____________. (5) 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%,从中随意取出一件,结果不是三等品,则取到的是一等品的概率为_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1) 曲线2 1 21 arctan (1)(2) x x x y e x x ++=+-的渐近线有 ( ) (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 (2) 设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,且()0f x >,则方程 1 ()0() x x a b f t dt dt f t +=? ? 在开区间(,)a b 内的根有 ( ) (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷多个 (3) 设A 、B 都是n 阶非零矩阵,且0AB =,则A 和B 的秩 ( ) (A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n ,一个等于n (D) 都等于n (4) 设有向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14), ααα=-==4(1,2,2,0),α=- 5(2,1,5,10),α=则该向量组的极大线性无关组是 ( ) (A) 123,,ααα (B) 124,,ααα

1994考研数三真题与解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 2 222x x dx x -+=+?_____________. (2) 已知()1f x '=-,则0 00lim (2)() x x f x x f x x →=---_____________. (3) 设方程2cos xy e y x +=确定y 为x 的函数,则 dy dx =_____________. (4) 设121000000,000000n n a a A a a -???? ?? ??=???????? L L M M M M L L 其中0,1,2,,,i a i n ≠=L 则1A -=_____________. (5) 设随机变量X 的概率密度为 2,01, ()0,x x f x <,而级数 21 n n a ∞ =∑收敛, 则级数 1 (1) n n ∞ =-∑ ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (3) 设A 是m n ?矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r ,矩阵B AC =的秩为1r ,则 ( ) (A) 1r r > (B) 1r r < (C) 1r r = (D) r 与1r 的关系由C 而定

1994年考研英语真题及答案解析(卷二)

考研资料1994年全国研究生入学考试（二）及参考答案（精校版）英语

1994年全国硕士研究生入学统一考试英语试题 Section ⅠUse of English The first and smallest unit that can be discussed in relation to language is the word. In speaking, the choice of words is 1 the utmost importance. Proper selection will eliminate one source of 2 breakdown is in the communication cycle. Too often, careless use of words __3 a meeting of the minds of the speaker and listener. The words used by the speaker may ___4 unfavorable reactions in the listener 5 interfere with his comprehension; hence, the transmission-reception system breaks down. 6__, inaccurate or indefinite words may make ___7 difficult for the listener to understand the 8 which is being transmitted to him. The speaker who does not have specific words in his working vocabulary may be 9 to explain or describe in a 10 that can be understood by his listeners. 1. [A] of [B] at [C] for [D] on 2. [A] inaccessible [B] timely [C] likely [D] invalid 3. [A] encourages [B] prevents [C] destroys [D] offers 4. [A] pass out [B] take away [C] back up [D] stir up 5. [A] who [B] as [C] which [D] what 6. [A] Moreover [B] However [C] Preliminarily [D] Unexpectedly 7. [A] that [B] it [C] so [D] this 8. [A] speech [B] sense [C] message [D] meaning 9. [A] obscure [B] difficult [C] impossible [D] unable 10. [A] case [B] means [C] method [D] way Section ⅡReading Comprehension Passage 1 The American economic system is organized around a basically private-enterprise, market- oriented economy in which consumers largely determine what shall be produced by spending their money in the marketplace for those goods and services that they want most. Private businessmen, striving to make profits, produce these goods and services in competition with other businessmen; and the profit motive, operating under competitive pressures, largely determines how these goods and services are produced. Thus, in the American economic system it is the demand of individual consumers, coupled with the desire of businessmen to maximize profits and the desire of individuals to maximize their incomes, that together determine what shall be produced and how resources are used to produce it. An important factor in a market-oriented economy is the mechanism by which consumer demands can be expressed and responded to by producers. In the American economy, this mechanism is provided by a price system, a process in which prices rise and fall in response to relative demands of consumers and supplies offered by seller-producers. If the product is in short supply relative to the demand, the price will be bid up and some consumers will be eliminated from the market. If, on the other hand, producing more of a commodity results in reducing its cost, this will tend to increase the supply offered by seller-producers, which in turn will lower the price and permit more consumers to buy the product. Thus, price is the regulating mechanism in the American economic system.

1994年全国统一高考数学试卷(文科)

1994年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共15小题，1-10每小题4分，11-45每小题5分，满分65分） 1．（4分）设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则（?I A）∪（?I B）等于． A．{0} B．{0，1} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3， 4} 2．（4分）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（） A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1） 3．（4分）（2012?北京模拟）点（0，5）到直线y=2x的距离为（） A．B．C．D． 4．（4分）θ为第二象限的角，则必有（） A．＞B．＜C．＞D．＜ 5．（4分）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（） A．511个B．512个C．1023个D．1024个 6．（4分）在下列函数中，以为周期的函数是（） A．y=sin2x+cos4 x B．y=sin2xcos4x C．y=sin2x+cos2 x D．y =sin2xcos2x 7．（4分）已知正六棱台的上，下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（） A．32B．28C．24D．20 8．（4分）设F1和F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2 的面积是（） A．1B．C．2D． 9．（4分）如果复数Z满足|Z+i|+|Z﹣i|=2，那么|Z+i+1|最小值是（） A．1B．C．2D． 10．（4分）某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有（） A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种 11．（5分）对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（）

1994考研数学一真题及参考包括答案详解.docx

精心整理 1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题 ( 本题共 5 个小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 .) (1)limcot x(11 _____________. ) x 0sin x x (2)曲面 z e z2xy3在点(1,2,0)处的切平面方程为 _____________. (3)设 u e x sin x ,则2 u 在点 (2, 1 ) 处的值为_____________. y x y 22 (4)设区域 D 为x2y2R2, 则( x 2y2 ) dxdy_____________. D a b (5)已知(1,2,3),(1,1,1) ,设 A T, 其中T 是的转置 , 则A n_________. 23 二、选择题 ( 本题共 5 个小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 .) (1)设 M 2 sin x4 ,N 2 (sin 3 x 4 x)dx , P 22 sin 3 x 4 , 2 1 x2 cos xdx 2 cos 2 (x cos x)dx 则() (A)N P M (B) M P N (C)N M P (D) P M N (2) 二元函数 f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处两个偏导数 f x (x0 , y0 ) 、 f y ( x0, y0 ) 存在是 f ( x, y)在该点连续的() (A)充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C)充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数0 ,且级数a n2收敛,则级数( 1)n | a n | () n 1n 1 n2 (A)发散 (B) 条件收敛 (C)绝对收敛 (D) 收敛性与有关 (4) a tan x b(1 cos x) 2 ,其中 a2c20 ,则必有 () lim 2x) d (1 e x 2 ) x 0 c ln(1 (A) b4d (B)b4d (C) a4c (D)a4c (5)已知向量组1、 2 、 3 、 4线性无关 , 则向量组 () (A)1 2 、 2 3 、 3 4 、 41线性无关 (B)1 2 、2 3 、3 4 、4 1 线性无关 (C)1 2 、 2 3 、 3 4 、 4 1 线性无关 (D)1 2 、2 3 、3 4 、4 1 线性无关

1994年全国初中数学联赛第一试和第二试试题及答案

1994年全国初中数学联赛试第一试一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分. 2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z A．都不小于0B．都不大于0 C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0 3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB 的长 A．等于4B．等于5 C．等于6D．不能确定 A．1 B．-1 C．22001D．-22001 5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD 相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角 A．4对B．8对C．12对D．16对 7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是 A．1001B．1001,3989 C．1001,1996D．1001,1996,3989

二、填空题（本题满分32分，每小题8分）各小题只要求在所给横线上直接填写结果. 3．在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE=______. 4．把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于______. 第二试一、（本题满分20分）如图所示，在△ABC中，AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ.求证： △ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。二、（本题满分20分）周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？三、（本题满分20分）某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,……,15)个题的人数的一个统计. n0123 (12131415) 做对n个题的人数781021 (15631) 如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人？

1994年数二真题及解析

1994年理工数学二试题 -、?空■（本■共5小分.翼分"分?把答案填在■中横tt 上）远工+严-1 “0 工在（一 8, + OO ）上连续，则a = X = 0 X = r -加仃+ t ）卫" （2）设afty = >（x ）由參?方程< 所《定，则岁=■ ty = ,3 + 2 (4)宀 dx = (5)徽分方程ydx + (工2 - 4x)dy - 0的通II 为二本■共S 小■，毎小113分??分15分?在毎小■给出的四个堆项中?只* 合■目要求?把所选項《的字母填在■后的括号内）咎 J? X < 1 3 .Wf （工）在点工二1处的工2 X > 1 （A ）左.右导??存在（L ）若于（丄） ⑴设Um Ml + ￡-(" + 2) = 2,W (A) a = 1?6 ? - y (C)a = 0,6 = - y (B) a ■ 0>6 ? - 2 (D)a = Ifb = - 2 (￡)dr) ?

(B)左导ft 存在■但右辱数不存在 (C) 左导数不存在?但右导?存在 (D) 左、右导《稲不存在 (3)设 y = f(x)是《足?分方程 y + y - = 0 的IL 且/(xo) = 0,團 /(x) (A)刊的某个邻域内单调增加 (B)工0的某个邻域内单少 (C)Ho 处取得极小值 (D)xJ 处取得极大值 ⑷曲线y = Harcun (上;)7畀石的渐近钱有 (B)2 条 (03 条 (5)设 M ■ J ： j^^^oaei*xdx,N ■ j &(aiiAz + oQB°j：)dx ?P = J (x^ain?x -OQfl*x)dx, -J 1 + "2 *5 三■(本■共5小■■?小?5分??!分25分) (1)设y = /(X +，),其中/具有二阶导数,且其一阶导?不^?于1,求豊? ⑵计对:也 (3)计算 limtan ?(Y + —) 4 71 dx 8in2x + 28inx * (A)l 条 (D)4 条則有 (A)N< P V M (B)M< P< N (ON V M < P (D)P < M < N ?? y ⑷

2018年全国二卷理数高考真题及答案解析

绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 12i 12i +=- A ．43i 55 -- B ．43i 55 -+ C ．34i 55 -- D ．34i 55 -+ 2．已知集合(){} 2 23A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数()2 e e x x f x x --=的图像大致为 4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>3 A ．2y x =± B ．3y x = C ．2 y = D ．3y = 6．在ABC △中，5 cos 2C = 1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30C 29 D ．5

7．为计算11111123499100 S =- +-++-…，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ． 112 B ． 114 C ． 1 15 D ． 118 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC == ，1AA ，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B C D 10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是 A ． π4 B ． π2 C ． 3π4 D ．π 11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则 (1)(2)(3)(50)f f f f ++++=… A ．50- B ．0 C ．2 D ．50 12．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为 A ． 2 3 B ． 12 C ．13 D ． 14 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 14．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥?? -+≥??-≤? ，，，则z x y =+的最大值为__________． 15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________．

1994年、1995年、1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题合集

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)= _____________. (2)曲面在点处的切平面方程为_____________. (3)设则在点处的值为_____________. (4)设区域为则=_____________. (5)已知设其中是的转置,则=_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设则有 (A) (B) (C) (D) (2)二元函数在点处两个偏导数、存在是在该点连续的 (A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数且级数收敛,则级数 (A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性与有关 (4)其中则必有 (A) (B) (C) (D) (5)已知向量组线性无关,则向量组 011 limcot ()sin x x x π→-e 23x z xy -+=(1,2,0)e sin ,x x u y -=2u x y ???1(2,)π D 2 2 2 ,x y R +≤22 22()D x y dxdy a b +??11 [1,2,3],[1,,],23 ==αβ,'=A αβ'ααn A 434234222 2222 sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x π ππ πππ--- ==+=-+???N P M <2 1 n n a ∞ = ∑1 (1) n n ∞ =-∑λ2 tan (1cos )lim 2,ln(12)(1) x x a x b x c x d e -→+-=-+-220,a c +≠4b d =4b d =-4a c =4a c =-1234,,,αααα