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二项式定理第一课时教学设计

二项式定理第一课时教学设计
二项式定理第一课时教学设计

二项式定理第一课时教学设计

广西北海市第五中学蒙旭芬

一、教材分析:

1、【教材的地位及作用】“二项式定理”是全日制普通高,结合新课标的理念,制订如下的教学目标和教学重,难点)。

教学目标:

1、知识目标:通过对二项式定理的学习,使学生理解二项式定理,会利用二项式定理求二项展开式。并理解和掌握二项展开式的规律,利用它能对二项式展开,进行相应的计算。还会区别“系数”、“二项式系数”等概念,灵活正用和逆用展开式。级中学教科书《数学第二册(下A)》的第十章第四节,它既是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块,也是初中学习的多项式乘法。它所研究的是一种特殊的多项式——二项式幂的展开式。它与后面学习的概率的二项分布有着内在的联系,利用二项式定理还可以进一步深化对组合数的认识。因此,二项式定理起着承上启下的作用,是本章教学的一个重点。本小节约需3个课时,本节课是第一课时。

【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能力,学生思维也较活跃,但创新思维能力较弱。在学习过程中,大部分学生只重视定理、公式的结论,而不重视其形成过程,因而对定理、公式不能做到灵活运用,更做不到牢牢记住。(根据以上分析

2、能力目标:在学

3、情感目标:通过“二项式定理”的学习,培养学生解决数学问题的兴趣和信心,让学生感受数学内在的和谐,对称美及数学符号应用的简洁美,进一步结合“杨辉三角”,对学生进行爱国主义教育,激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情,培养学生勇于探索,勇于创新的精神。

一、教学重点,难点,关键:

重点:

(1)使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程,理解和掌握二项展开式的规律。

(2)利用二项展开式的规律对二项式展开,进行相应的计算。

(3)区别“系数”、“二项式系数”等概念,灵活正用和逆用展开式。

难点:

(1)二项展开式的规律的理解和掌握。

(2)“二项式系数”和“系数”的区别。

突破难点的关键:(1)利用组合数及性质分析“杨辉三角”中各数的关系;(2)利用组合的知识归纳二项式系数;(3)充分利用二项展开式的规律。

二、教法、学法分析数学是一门培养人的思维发展的重要学科。因此,在教学中让学生自己发现规律、总结规律是最好的途径。正所谓“学问之道,问而得,不如求而得之,深固之。”本节课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习,积极探求为主,创设一个以学生为主体,师生互动,共同探索的教与学的情境,采用引导发现法,由学生熟悉的多项式乘法入手,进行分析,也可利用组合的有关知识加以分析,归纳,通过对二项式规律的探索过程,培养学生由特殊到一般,经过观察分析,猜想,归纳(证明)来解决问题的数学思想方法,培养了学生观察,联想,归纳能力。不仅重视知识的结果,而且注重了知识的发生,发现和解决的过程,贯彻了新课程标准的教学理念,培育了本节课内容最佳的“知识生长点”,这对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。

三、教学手段

制作多媒体课件,以增加课堂容量及知识的直观性,从而提高学生学习的兴趣,使学生进一步加深对定理,概念的理解。

四、教学过程设计

【复习引入:】

复习回顾:

[提问]初中学过的完全平方公式是什么?

你能写出(a+b)3,(a+b)4的展开式吗?

设计意图:通过复习旧知识,自然引入,在这里设计了层层递进多项式展开的问题,目的是为了让学生了解知识发生,发展的过程,激发学生在认知的冲突,让学生明白二项式展开实质上是多项式的乘法。

思路一:提问:(1)以(a+b)2=a2+2ab+b2为例,展开式中各项字母的形式是什么?展开式项的系数又是什么?有几项?

(2)展开式中各项的系数与展开式中各项的次数有没有关系?

(3)你能猜想(a+b)3、(a+b)4……(a+b)n展开式的形式吗?观察下面等式:

(a+b)=a+b

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab3+b4

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

【设计意图:】由特殊的二项式来分析猜想一般的二项式展开式,培养学生由特殊到一般的思维方式,培养学生大胆探索的精神和创新精神。

(1)展开式中各项是幂的形式,可按a(或b)的降幂排成:

(2)展开式中各项系数的规律:将上式中展开式的系数列成表如下:

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

…………

发现:

发现每行两端都是1,后一行其它各数是上一行肩上二数之和。再从一个数等于另二数之和联想到结合数及其性质:于是各项系数可写成表中形式:由此猜想展开式的各项系数:

【设计意图:】学生对各项是什么形式不难猜到,但对二项式系数不易想到,通过“杨辉三角”中的数字规律,联想到组合数及性质,进而可用组合数来表示表中的数,从而猜想各项系数为,让学生的思维从特殊到一般,由迷茫到大悟,使学生深深体会到数学内在的和谐,对称美。在此,适时对学生进行爱国主义教育,激发学生的民族自豪感和学习数学的热情,思路二:观察下式:(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)

由多项式乘法知,其展开式的每一项是由4个括号各取一项相乘而得,故每一项都是形式,即各项系数是由相同的项合并而成的,有几项其系数就是几,故含a4的项只能由每个括号取a不取b(或说取0个b)而得,即C40a4,系数为:C40含a3b的项只能由3个括号取a,余下的1个括号取b而得,即C41a3b,系数为:C41;含a2b2的项只能由2个括号取a,余下的2个括号取b而得,即C42a2b2,系数C42为;含的ab3的项只能由1个括号取a,余下的3个括号取b而得,即C43a3b,系数为C43,含b4的项只能由4个括号都取b而得,即C44b4,系数为C44;从而可得:

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

提问:的展开式怎么写呢?引导学生回答:可以对b分类::不取b,得取1个b,取得2个b,得…………取k个b,得…………取n-1个b,得取n个b,得将这n+1个式子相加,可得二项式定理

(a+b)n=C n0a n b0+ C n1a n-1b1+ C n2a n-2b2+……+ C n k a n-k b k+……+ C n n a0b n(n≥k,n,k∈N+)

【设计意图:】本环节以问题为中心,由浅入深地引导学生大胆猜想。利用

组合知识,充分揭示二项展开式的内涵和外延。帮助学生建构和完善自己的认知结构,既显得合情合理,又科学严谨。进一步强化学生的逻辑思维能力和归纳能力。

完善结论:把上述探索得到的结果叫做二项式定理,右边的多项式,共有n+1项,其中各项系数C n i(i=1,2,3……,n)叫做二项式系数,其通项公式为:T k+1=C-n

k a n-k b k(k=1,2,3……n)。说明:

(1)猜证法是数学中常用方法,本定理是由不完全归纳法得出,需加以证明。其证明因目前知识所限,留待以后完成,目前,只要求同学熟记并会应用。

(2)二项式定理是个恒等式,定理中字母a,b可表示数或式,其中式中a 与b是用“+”连接的。

(3)展开式共有n+1项,各项次数为n,它是按字母a降幂,b升幂排列。

(4)通项公式表示的是第k+1项,不是第k项,且a,b位置不能对换。

(5)二项式系数为C n k,注意与项的系数的区别。

例如:(1-x)3的第二项是-C31x,其二项式系数为:C31,第二项的系数为:-C31。

【设计意图:】对定理的特点加以说明,可使学生能熟练掌握定理的特点,以便今后在应用定理解决问题时能得心应手。

应用解析:例:(1)展开

b

a

x

x

x

?

?

?

?

?

-

?

?

?

?

?

+

1

2

,

1

1

(学生练习:)展开(a+b)5,(a+b)6

(2)求展开式的第3项(3),求展开式的第3项

【设计意图:】例(1)是对二项式定理的简单应用,目的在于对定理字母a,b所表示的数或式的领会及运用定理的能力;例(2),(3)二题着重于学生对通项公式的掌握,体会二项式定理的展开式中a与b位置不能对换,并注意到例(3)的结论正是例(2)展开式中的倒数第3项。应用解析:例(4)(a+2b+3c)7,的展开式中,a2b3c2项的系数是多少。

【设计意图:】

本题可先将其中的二项看成一个整体,再用二项式定理展开,进而求出其系数,这种解法体现了化归的意识,但本题如能根据二项式定理的形成过程中项的系数的探究,可得如下解法:从7个括号的2个时取“a”得,再从余下的5个括号中的3个取“2b”得,最后剩下的2个括号里取“3c”得:由分步计数原理得:通过本题的学习,有利于学生对知识的串联,累积,加工,使学生的思维有一个升华过程,从而达到举一反三的效果,加深学生对数学本质的理解。小结思路一:由特殊的二项式来分析猜想一般的展开式思路二:根据多项式乘法,结

合组合知识,通过猜想归纳得到二项式定理:

(a+b)n=C n0a n b0+ C n1a n-1b1+ C n2a n-2b2+……+ C n k a n-k b k+……+ C n n a0b n(n≥k,n,k∈N+)

及通项公式:T k+1=C n k a n-k b k(k=1,2,3……n)

注意事项(1),注意观察,分析,猜想,归纳(证明)的数学方法。

(b),二项式定理是个恒等式,定理中字母a,b可表示数或式,其中。

(c),展开式共有n+1项,各项次数为n,它是按字母a降幂,b升幂排列。

(d),通项公式表示的是第k+1项,不是第k项,且a,b位置不能对换。

(e),二项式系数为C n i(i=1,2,3……n),注意与项的系数的区别。

布置作业

课本作业:P109 1,(1),2(2),3(2),2,思考题:求的展开式中的系数3,研究性题:的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时x2展开式中的系数。

【设计意图:】(1),本节课从知识上学习了二项式定理及通项公式,从方法上通过二项式定理的形成过程,学会了观察,分析,猜想,归纳(证明)的数学方法,通过小结,使学生对本节课的知识脉络更加清晰。

(2),通过作业巩固所学知识,发现和弥补教学中的疏漏与不足,强化基本技能训练,培养学生良好的学习习惯和品质。

五、课后反思

本节课是二项式定理的第一节课,在教学中注意以下几点:

1,本节课以“二项式定理”的形成过程为主线,让学生思维由特殊到一般,演绎,归纳,得出定理。培养学生猜想,归纳,整节课以学生为主体,师生互动,体现了新课标的教学理念。

2,在例题,作业的配备上,我认为高中学习的特点是跨度大,思维能力要求高。因此,在题目的设置上,加大了思维的含量,如例4,让学生体会到二项式定理形成过程中的思维方式,培养了学生的知识迁移能力,因此,我认为习题的搭配应力求让学生处理每一个问题都必须有所思考,使学生体会到:数学不能生搬硬套,应该用数学的思想方法去学习数学,认识数学。

3,以学生为主体,让学生自己去探索,发现,再创造,最能调动学生的积极性,最有利于培养数学能力,特别是创造性能力,从数学教育对人的发展的意义看,有效理解,主动探索的认识过程必须伴随着学生心理意志,情感,品质的成长与完善,数学教学的最终目标并非唯一地指向数学具体知识本身,其潜在的也是最重要的恰是指向学生的人性品质,生命成长。

让数学与我们的学生靠得更近一点

[日期:2011-10-19 20:55:00] 来源:本站原创作者:佚名[字体:大中小]

关键字:论文

[内容提要]

“你觉得数学有趣吗?你觉得数学美吗?”你的学生会给你怎样的答案。在小学阶段,学生的思维是以具体形象思维为主的,而数学本身却带有抽象性,这便成了数学学习中的一对主要矛盾。解决这一矛盾的主要途径是利用直观,回归现实。数学知识来源于生活,生活本身又是一个巨大的数学课堂。数学教学要尽可能地接近学生的现实生活,让学生感觉到数学来源于生活,数学服务于生活,生活中处处有数学,数学中处处有生活。让数学与我们的学生靠得更近一点,让我们的学生感受数学无穷的魅力,去体味数学内在的美!

美国数学家克莱因曾说:音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得指挥,科学可以改善物质生活,但数学却可以提供以上一切。

每当我向学生发出:“你觉得数学有趣吗?你觉得数学美吗?”的问题时,学生总是一副茫然不知的神情,或者直接皱起了眉,摇起了头。作为一名小学数学教育工作者,我不禁要问:我们的数学教学怎么了?仔细思量,或许正如学生所感受到的那样。明显“数据老化”、“题材过时”,当学生辛辛苦苦、没完没了地解答完这些完全机械化习题后,对数学存有的一点兴趣也在不断地消殆。“难道数学学习就是这样的吗?”

在小学阶段,学生的思维是以具体形象思维为主的而数学本身带有抽象性的特征,这便成了数学学习中的一对主要矛盾。解决这一矛盾的主要途径是利用直观,回归现实。数学知识来源于生活,生活本身又是一个巨大的数学课堂。数学教学要尽可能地接近学生的现实生活,让学生感觉到数学来源于生活,数学服务于生活,生活中处处有数学,数学中处处有生活。

一、数学问题就在你的生活中产生

小学生由于缺乏日常生活和社会经验,以及心理、生理上的特点,往往会感到数学抽象、单调和枯燥。因此,教师一定要紧密联系学生的生活实际和他们所熟悉的社会实践进行教学,把抽象的知识具体化、形象化。

如,在教学“圆的认识”时,教师首先让学生观看多媒体演示:三只小熊乘三辆车轮分别是圆形、正方形、三角形的小车的运行情况,学生看得哈哈大笑。教师趁势提出了问题:“看了这段动画,你有什么想法?”学生说:“为什么圆形的车轮运行时既快又平稳?生活中的车轮为什么都是圆形的呢?”于是,学生带着浓厚的学习兴趣投入了新课的学习,当他们问成新课学习的时候,他们就找到了问题的答案。

数学可以作为人们交流信息的手段,也可以作为一门技术,帮助人们收集、整理、描述信息,建立模型,进而解决问题。数学教学应该努力让学生体会数学与自然及社会的联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和应用数学的信心。数学知识较为抽

象,教学中可以充分借助学生已有的生活经验已理解数学知识的真正意义。例如:我在讲“24时计时法中求经过时间的问题时”,没有利用书上的例题,而是从学生的生活实际中选取素材。先让学生说出上午上下学的时间,学生答出: 7:50上课 11:20下课紧接着我问学生想知道什么,有的学生提出想知道上午一共在学校呆了多长时间,这也正是这节课要解决的问题。我问学生自己能解决吗?学生回答能。于是我放手让学生自己来解决。经过几分钟的探究以后,学生们汇报,有的学生借助生活中计算时间的经验一个小时一个小时地数出来的;有的学生是用放学的时间—上学的时间求出来的。学生们借助生活的经验很容易得就解决了问题,顺利的完成了数学问题的生活化。如果直接利用书上的例题,可能就不会这么顺利。由此看来,数学问题生活化,既是学习和理解数学知识的需要,也是体会数学价值的需要。

L·H·克拉可、I·S·斯塔尔美在他们所著《中小学教学法》中指出:“要让你教的学科使人愉快,看起来是要把它包上糖衣,让它具有吸引力。”数学要有吸引力,也要换上一件“甜美的糖衣”,要让学生有一种“可亲可近”的感觉,而这种“亲近感”来源于学生的生活。

二、数学问题就在你的实践中解决

荷兰著名的数学教育家弗赖登塔尔强调:“学习数学的唯一正确的方法是实行‘再创造’,也就是学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来;教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造的工作,而不是把现成的知识灌输给学生。”

在教学“接近整百、整千数加减法的简便计算”时,一开始,教师把学生分成两大组,进行速算比赛,第一组计算A组题,第二组计算B组题。

A组:(1)256+500-1 (2)853-400+3 (3)3475-2000+1

(4)643+200-2

B组:(1)256+499 (2)853-397 (3)3475-1999

(4)643+198

结果第一组同学取胜,第二组同学很不服气:怎么一步计算反倒比两步计算做得更慢?这时教师提问:“两组题有什么特点?”通过观察分析,学生发现两组题中相对的题结果相同,B组中的一个加数或减数接近整百、整千。接着教师又提问:“B组的题怎样计算比较简便?”学生恍然大悟,原来A组中的题就是B组中的题的简便算法。这时,学生深切地感受到简便算法的优点,它不仅可以加快计算的速度,也可以提高计算的正确率,而这一点正是学生通过实践与分析的结果。

又如,教学“梯形的面积”一课时,学生通过已学知识的迁移,已经了解“转化”的基本思想方法,即把梯形转化为已经学过面积计算的图形来推倒出它的面积计算公式。教学中,大胆放手让学生去操作,让他们用课前准备好的多个梯形去剪、拼,去转化。结果,让人感到欣喜的事发生了:有的同学把两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形,完成了转化的目的;有的同学把一个梯形剪成了两个三角形,得到了计算梯形面积的方法;有的同学把一个梯形剪成了一个平行四边形和一个三角形,也可以推导出梯形的面积公式;还有的同学剪和拼把一个梯形转化为一个三角形……一时间,学生的学习积极性发挥到了极至,他们发现原来通过自己的实践能够找到如此多解决的途径!“数学太奇妙了!”学生们发出了由衷的感叹,而这种“奇与妙”必须在实践中才能感悟与收获。

“实践方能出真知!”数学是人的一种活动,如同游泳一样,要在水中学会,而数学必须在实践中学习。只有实践,学生才能更深得体会数学的美;只有实践,学生才能更好地学会创新!

三、数学问题就在你的应用中发展

新数学课程标准提出;要使数学教育面向全体,努力实现“人人学有价值的数学”。数学的价值在课堂上并不能充分地体现,而体现在日常生活的应用中。

波利亚说过:“数学教师的首要责任是尽一切可能来发展学生解决问题的能力。”过去的数学教学往往比较重视解答课本上已经经过处理的问题,而这些问题对实际生活中的复杂情况作了简化,便于学生解答,却不等同于实际。往往有些学生数学考试成绩十分理想,面对实际生活中一些问题却一筹莫展。因此,在教学中我们必须把应用性作为学习的目标。给学生提供自主探索的机会,让学生在观察、操作、猜测、推理、分析和交流的过程中去发现问题,理解问题,并能将实际问题转化为数学问题,构建数学与实际生活的桥梁。

如,学习了克、千克的知识后,让学生跟父母去集市买菜,感受1千克物品的重量和价格;学习了长方形、正方形的周长和面积后,让学生计算客厅、教室、操场等的周长和面积;学习了求经过时间的方法后,让学生到商店、银行、邮局等地去了解他们的营业时间;学习了统计表的知识后,调查了解一下全校各个年级学生的身高和体重,制作成统计表,分析一下本地区学生的健康状况……只有这样,学生在学习的过程中应用了数学,解决了生活中的实际问题,他们应用数学的能力才会增强,对于数学的亲切感才会越发强烈,学习数学的兴趣才会更加浓厚。

知识经济的时代已经到来,数学将成为人们日常生活交流的手段和工具。当我们的学生还沉溺在无休无止的题海中的时候,作为一名新时代的数学教育工作者,决不能再无动于衷了。我们要勇敢地从教科书中跳出来,把教材内容和学生的生活实践结合起来,让学生主动地获取知识,将感性与内心的感受、体验融为一体,在实践与应用中不断开拓与创新。

数学并不枯燥,数学并不单调与乏味,数学就在你我的身边。让数学与我们的学生靠得更近一点,让我们的学生感受数学无穷的魅力,去体味数学内在的美!论文《让数学与我们的学生靠得更近一点》一文来自斐斐课件园!/LunWen/ShuXueJXLW/76784. html

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(完整word)高中数学二项式定理练习题

选修2-3 1.3.1 二项式定理 一、选择题 1.二项式(a +b )2n 的展开式的项数是( ) A .2n B .2n +1 C .2n -1 D .2(n +1) 2.(x -y )n 的二项展开式中,第r 项的系数是( ) A .C r n B . C r +1n C .C r -1n D .(-1)r -1C r -1n 3.在(x -3)10的展开式中,x 6的系数是( ) A .-27C 610 B .27 C 410 C .-9C 610 D .9C 410 4.(2010·全国Ⅰ理,5)(1+2x )3(1-3x )5的展开式中x 的系数是( ) A .-4 B .-2 C .2 D .4 5.在? ?? ??2x 3+1x 2n (n ∈N *)的展开式中,若存在常数项,则n 的最小值是( ) A .3 B .5 C .8 D .10 6.在(1-x 3)(1+x )10的展开式中x 5的系数是( ) A .-297 B .-252 C .297 D .207 7.(2009·北京)在? ?? ??x 2-1x n 的展开式中,常数项为15,则n 的一个值可以是( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.(2010·陕西理,4)(x +a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10,则实数a 等于 ( ) A .-1 B.12 C .1 D .2

9.若(1+2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项,则x 的取值范围是 ( ) A.112<x <15 B.16<x <15 C.112<x <23 D.16<x <25 10.在? ????32x -1220的展开式中,系数是有理数的项共有( ) A .4项 B .5项 C .6项 D .7项 二、填空题 11.(1+x +x 2)·(1-x )10的展开式中,x 5的系数为____________. 12.(1+x )2(1-x )5的展开式中x 3的系数为________. 13.若? ?? ??x 2+1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52,则a =________(用数字作答). 14.(2010·辽宁理,13)(1+x +x 2)(x -1x )6的展开式中的常数项为________. 三、解答题 15.求二项式(a +2b )4的展开式. 16.m 、n ∈N *,f (x )=(1+x )m +(1+x )n 展开式中x 的系数为19,求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数. 17.已知在(3x -123x )n 的展开式中,第6项为常数项.

二项式定理

二项式定理 性质:说课稿 一、教材分析 1.教材的地位和作用 二项式定理一节,分四个课时.这里讲的是第一课时,重点是公式的推导,其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用,至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三、四课时. 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续,它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式,这一小节与不少内容都有着密切联系,特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于: (1)由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系,本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识. (2)由于二项式系数都是一些特殊的组合数,利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式,从而深化对组合数以及计数原理的认识. (3)基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用. (4)二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法. 2.教学的重点·难点 根据以上分析和新课标的教学要求确定了以下: 重点:二项定理的推导及运用 难点:二项式定理及通项公式的运用 二、三维教学目标分析 知识目标掌握二项式定理及二项展开式的通项公式,并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. 能力目标通过探索二项式定理,培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 情感目标激发学生学习兴趣、培养学生不断发现,探索新知的精神,渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点,并通过数学的对称美,培养学生的审美意识.

三、教法分析: 新的数学课程标准提出:掌握数学知识只是结果,而掌握知识的活动过程才是途径,通过这个途径,来挖掘人的发展潜能才是目的,结果应让位于过程.因此,在教学中,必须贯彻好过程性原则.也就是说,在教学过程中,充分揭示每一个阶段的思维活动过程,通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变,使教学活动成为思维活动的教学,由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”,变教师是传授者为组织者、合作者、指导者,在学习过程中,教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣,并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中,让学生在探究、发现中获取知识,发展能力.从而增强学生的主体意识,提高学生学习的效果. 四、教学过程: (一)创设情境,激发兴趣 提出问题:“今天是星期六,我能很快知道再过810天的那一天是星期几,你能想出来吗?” 设计意图:根据教学内容特点和学生的认识规律,给学生提出一些能引起思考和争论性的题目,即一些内容丰富、背景值得进一步探究的诙谐有趣的题目、给学生创造一个“愤”和“悱”的情境,利用问题设下认知障碍,激发学生的求知欲望. (二)问题初探 (1)、从具体问题入手,启发学生将这个问题转化成一个数学问题:“求810被7除的余数是多少?”因为8=7+1,82=(7+1)2=72+2﹡ 7+1,83=(7+1)3=73+3 72+3 ﹡7+1,那810=(7+1)10又如何展开呢?更一般的(a+b)10、(a+b)n 如何展开?从而产生研究问题从特殊到一般的转化. 1、先让学生自己动手运用多项式乘多项式的法则写出(a+b) 2、(a+b) 3、(a+b)4的展开式,然后提出用这种方法写出(a+b)10的展开式容易吗?(a+b)100、(a+b)n呢?对于这个问题,我们如何解决?

高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二

二项式定理(第1课时) 一、内容和内容解析 内容:二项式定理的发现与证明. 内容解析:本节是高中数学人教A版选修2-3第一章第3节的内容.二项式定理是多项式乘法的特例,是初中所学多项式乘法的延伸,此内容安排在组合计数模型之后,随机变量及其分布之前,既是组合计数模型的一个应用,也是为学习二项分布作准备.由于二项式定理的发现,可以通过从特殊到一般进行归纳概括,在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型,因此,这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值.教学中应当引起充分重视. 二、目标和目标解析 目标: (1)能通过多项式乘法,归纳概括出二项式定理内容,并会用组合计数模型证明二项式定理. (2)能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律,并能通过特例体会二项式定理的简单应用. (3)通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养,以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养. 目标解析: (1)二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式,因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律.但归纳概括的结论,如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求.因此,在归纳概括的过程中,用好组合模型不仅可以更自然地得到结论,还能为证明二项式定理提供方法. (2)由于二项展开式是一个复杂的多项式.如果不把其看成一个数列的和,引进数列的通项帮助理解与应用,学生很难短期内对定理有深入的认识.因此,通过一些特例,建立二项式展开式与数列及数列和的联系,是达成教学目标的一个重要途径.(3)数学核心素养是数学教学的重要目标,但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实.在二项式定理的教学中,从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会;同时利用组合计数模型证明二项式定理,以及利

(完整版)二项式定理典型例题解析

二项式定理 概 念 篇 【例1】求二项式(a -2b )4的展开式. 分析:直接利用二项式定理展开. 解:根据二项式定理得(a -2b )4=C 04a 4+C 14a 3(-2b )+C 24a 2(-2b )2+C 34a (-2b )3 +C 44(- 2b )4 =a 4-8a 3b +24a 2b 2-32ab 3+16b 4. 说明:运用二项式定理时要注意对号入座,本题易误把-2b 中的符号“-”忽略. 【例2】展开(2x - 223x )5 . 分析一:直接用二项式定理展开式. 解法一:(2x -223x )5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(-223x )+C 25(2x )3(-223x )2+C 35(2x )2(-2 23x )3+ C 4 5 (2x )(-223x )4+C 55(-2 23x )5 =32x 5-120x 2+x 180-4135x +78405 x -10 32243x . 分析二:对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开. 解法二:(2x -223x )5=105 332)34(x x =10321x [C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(-3)+C 25(4x 3)3(-3)2+C 35(4x 3)2(-3)3+C 45(4x 3)(-3)4+ C 55(-3)5 ] = 10 321 x (1024x 15-3840x 12+5760x 9-4320x 6+1620x 3-243) =32x 5-120x 2+x 180-4135x +78405 x -10 32243x . 说明:记准、记熟二项式(a +b )n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便. 【例3】在(x -3)10的展开式中,x 6的系数是 . 解法一:根据二项式定理可知x 6的系数是C 4 10. 解法二:(x -3)10的展开式的通项是T r +1=C r 10x 10- r (-3)r . 令10-r =6,即r =4,由通项公式可知含x 6项为第5项,即T 4+1=C 410x 6(-3)4=9C 410x 6. ∴x 6的系数为9C 410. 上面的解法一与解法二显然不同,那么哪一个是正确的呢? 问题要求的是求含x 6这一项系数,而不是求含x 6的二项式系数,所以应是解法二正确. 如果问题改为求含x 6的二项式系数,解法一就正确了,也即是C 4 10. 说明:要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项

二项式定理教学设计(沈琦)

《二项式定理(一)》教案设计 贵州省铜仁第一中学沈琦 一、教案内容解读 《1.3.1 二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书- 数学》选修2-3 第一章第三部分第一节的内容,这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续,也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理,一方面是因为它的证明要用到计数原理,可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。 二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值, 不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法,并能解释集合的子集个数问题;再者,二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展,它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例,在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用,因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教案,进一步提高学生的归纳演绎能力,让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。 教材中的二项式定理主要包括:定理本身,通项公式,二项式系数的性质等.通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识,同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用;重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。 二项式定理本身是教案重点,因为它是后面各种应用的基础.通项公式,二项式系数的性质,特殊化方法等意义重大而深远,所以也应该是重点。 二项式定理的证明是一个教案难点.这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。 二、学情分析学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识,已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够,研究问题的方法和能力有待提高,有些学生容易粗心,对细节知识的把握还不够好。本节课 二项式定理的推导运用了先猜想后证明,由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此 本堂课采用小组讨论学习,让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识 的产生、发展和演变过程,提高学生分析解决问题的能力。 在教案中,努力把表现的机会让给学生,以发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活

(推荐)高中数学二项式定理

二项式定理 【2011?新课标全国理,8】51()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( ). A .-40 B .-20 C .20 D .40 【答案】D 【最新考纲解读】 二项式定理 (1)能用计数原理证明二项式定理. (2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【回归课本整合】 1.二项式定理的展开式 011()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,其中组合数r n C 叫做第r +1项的二 项式系数;展开式共有n +1项. 注意:(1)项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1 时,系数就是二项式系数。如在()n ax b +的展开式中,第r+1项的二项式系数为r n C ,第

3.项的系数和二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等( m n m n n C C- = ). 【方法技巧提炼】

(2)()()n m a b c d ++结构:①若n 、m 中一个比较小,可考虑把它展开得到多个;②观察()()a b c d ++是否可以合并;③分别得到()()n m a b c d ++、 的通项公式,综合考虑. 例2 61034(1)(1)x x 展开式中的常数项为( ) A .1 B .46 C .4245 D .4246

答案: D 例3 5 )2 1 2 (+ + x x 的展开式中整理后的常数项为 .

答案: 632 例5 若对于任意实数x,有 323 0123 (2)(2)(2) x a a x a x a x =+-+-+- ,则2 a的值为()

二项式定理第一课时教学设计

二项式定理第一课时教学设计 广西北海市第五中学蒙旭芬 一、教材分析: 1、【教材的地位及作用】“二项式定理”是全日制普通高,结合新课标的理念,制订如下的教学目标和教学重,难点)。 教学目标: 1、知识目标:通过对二项式定理的学习,使学生理解二项式定理,会利用二项式定理求二项展开式。并理解和掌握二项展开式的规律,利用它能对二项式展开,进行相应的计算。还会区别“系数”、“二项式系数”等概念,灵活正用和逆用展开式。级中学教科书《数学第二册(下A)》的第十章第四节,它既是安排在排列组合内容后的自成体系的知识块,也是初中学习的多项式乘法。它所研究的是一种特殊的多项式——二项式幂的展开式。它与后面学习的概率的二项分布有着内在的联系,利用二项式定理还可以进一步深化对组合数的认识。因此,二项式定理起着承上启下的作用,是本章教学的一个重点。本小节约需3个课时,本节课是第一课时。 【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能力,学生思维也较活跃,但创新思维能力较弱。在学习过程中,大部分学生只重视定理、公式的结论,而不重视其形成过程,因而对定理、公式不能做到灵活运用,更做不到牢牢记住。(根据以上分析 2、能力目标:在学 3、情感目标:通过“二项式定理”的学习,培养学生解决数学问题的兴趣和信心,让学生感受数学内在的和谐,对称美及数学符号应用的简洁美,进一步结合“杨辉三角”,对学生进行爱国主义教育,激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的热情,培养学生勇于探索,勇于创新的精神。 一、教学重点,难点,关键: 重点: (1)使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程,理解和掌握二项展开式的规律。 (2)利用二项展开式的规律对二项式展开,进行相应的计算。 (3)区别“系数”、“二项式系数”等概念,灵活正用和逆用展开式。 难点:

二项式定理教学案设计

《二项式定理》教案设计 一、教学目标 1.知识与技能: (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理. 2.过程与方法: 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归的意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式. 3. 情感、态度与价值观: 培养学生的自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简洁和严谨. 二、教学重点、难点 重点:用计数原理分析3)(b a +的展开式,得到二项式定理. 难点:用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律. 三、教学过程 (一)提出问题,引入课题 引入:二项式定理研究的是n b a )(+的展开式,如:2222)(b ab a b a ++=+, ?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么? 【设计意图】把问题作为教学的出发点,直接引出课题.激发学生的求知欲,明确本课要解决的问题. (二)引导探究,发现规律 1、多项式乘法的再认识. 问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么?展开式有几项?每一项是怎样构成的? 问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的?展开式有几项? 【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题,明确每一项的特征,为后续学习作准备. 2、3)(b a +展开式的再认识 探究1:不运算3)(b a +,能否回答下列问题(请以两人为一小组进行讨论): (1) 合并同类项之前展开式有多少项? (2) 展开式中有哪些不同的项? (3) 各项的系数为多少? (4) 从上述三个问题,你能否得出3)(b a +的展开式? 探究2:仿照上述过程,请你推导4)(b a +的展开式. 【设计意图】通过几个问题的层层递进,引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考,分析 各项的形式、项的个数,这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法,使学生在后续的学习过程中有 “法”可依. (三) 形成定理,说理证明 探究3:仿照上述过程,请你推导n b a )(+的展开式. )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+-- ——— 二项式定理 证明:n b a )(+是n 个)(b a +相乘,每个)(b a +在相乘时,有两种选择,选a 或选b ,由分步计数原理 可知展开式共有n 2项(包括同类项),其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k =的形式,对于每一项k k n b a -, 它是由k 个)(b a +选了b ,n -k 个)(b a +选了a 得到的,它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个 b 的组合数k n C ,将它们合并同类项,就得二项展开式,这就是二项式定理.

二项式定理典型例题

二项式定理典型例题-- 例1 在二项式n x x ?? ? ??+421的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中所有有理项. 分析:本题是典型的特定项问题,涉及到前三项的系数及有理项,可以通过抓通项公式解决. 解:二项式的展开式的通项公式为: 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为:)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n , 由已知:)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t , ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T 为有理项,故r 316-是4的倍数, ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-. 例2 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数. 分析:62)1(x x -+不是二项式,我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+把它看成二项式展开. 解:方法一:[]6 262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=4 4256)1(15)1(6)1(x x x x x 其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-. 含5 x 项的系数为6. 例3 求证:(1)1212C C 2C -?=+++n n n n n n n ;

(2))12(1 1C 11C 31C 21C 1210 -+=++++++n n n n n n n n . 分析:二项式系数的性质实际上是组合数的性质,我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来,从而使用二项式系数性质 n n n n n n 2C C C C 210 =++++ . 解:(1)11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--?=--=-? =k n k n n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n =?=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边. (2))! ()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-?+=+ 11C 1 1)!()!1()!1(11+++=-++?+=k n n k n k n n . ∴左边112111C 1 1C 11C 11++++++++++= n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边. 例4 展开5 2232??? ? ?-x x . 例5 若将10)(z y x ++展开为多项式,经过合并同类项后它的项数为( ). A .11 B .33 C .55 D .66 分析:10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开. 解:我们把z y x ++看成z y x ++)(,按二项式展开,共有11“项”,即 ∑=-?+=++=++100101010 10)(])[()(k k k k z y x C z y x z y x . 这时,由于“和”中各项z 的指数各不相同,因此再将各个二项式k y x -+10)(展开, 不同的乘积k k k z y x C ?+-1010) ((10,,1,0 =k )展开后,都不会出现同类项. 下面,再分别考虑每一个乘积k k k z y x C ?+-1010)((10,,1,0 =k ). 其中每一个乘积展开后的项数由k y x -+10)(决定,

二项式定理公开课教案

二项式定理公开课教案 1、重点:二项式定理的发现、理解和初步应用。 2、难点:二项式定理的发现。 三、教学过程 1、情景设置 问题1:若今天是星期一,再过30天后是星期几?怎么算? 预期回答:星期三,将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少。 问题2:若今天是星期一,再过)(8*∈N n n 天后是星期几?怎么算? 预期回答:将问题转化为求“n n )17(8+=被7除后算余数”是多少,也就是研究)()(*∈+N n b a n 的展开式是什么?这就是本节课要学的内容,学完本课后,此题就不难求解了。 2、新授 第一步:让学生展开 b a b a +=+1)( 2222)(b ab a b a ++=+; 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+; 43223434464)()()(b ab b a b a a b a b a b a ++++=++=+ 5432234555510105)()()(b ab b a b a b a a b a b a b a +++++=++=+ 教师将以上各展开式的系数整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 问题1:请你找出以上数据上下行之间的规律。 预期回答:下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。 问题2:以5 )(b a +的展开式为例,说出各项字母排列的规律;项数与乘方指数的关系;展开式第二项的系数与乘方指数的关系。 预期回答:①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列,且两个字母的和等于乘方指数;②展开式的项数比乘方指数多1项;③展开式中第二项的系数等于乘方指数。

二项式定理教学设计

二项式定理 一、教学目标 1.知识目标:掌握二项式定理及其简单应用 2.过程与方法:培养学生观察、归纳、猜想能力,发现问题,探求问题的能力,逻辑推理能力以及科学的思维方式。 3.情感态度和价值观:培养学生勇于探索,勇于创新的个性品质,感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。 二、教学重点、难点 重点:二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式 难点:展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别 三、教学过程 创设问题情境: 今天是星期三,15天后星期几,30天后星期几,100 8 天后星期几呢? 前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了,最后一个问题大家都很迷惑,有些学生试图用计算器算,还是觉得很复杂,学习完这节课我们就知道答案了,并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几 新课讲解: 问题1 ()()a b c d ++的展开式有多少项?有无同类项可以合并? 由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的,所以学生能够快速的说出答案。 问题2 ()()a b a b ++的()2 a b +原始展开式有多少项?有几项是同类项?项是怎样构成的?有规律吗? 学生根据乘法展开式也很快得出结论 问题3 ()()()a b a b a b +++的 ()3 a b +原始展开式有多少项?经合并后又只能有几项? 是哪几项? 学生仍然根据乘法公式算出了答案 问题4 ()()()()a b a b a b a b ++++的()4 a b +的原始展开式有多少项? 问题5 你能准确快速地写出()4 a b +的原始展开式的16项吗?经合并后,又只能有哪几项? 此时,学生能说出其中的一两项,并不能全部回答出来所有的项,思维觉察到麻烦,困难,易出错——借此“愤悱”之境,有效的实现思维的烘热) 启发类比:4个袋中有红球a ,白球b 各一个,每次从4个袋子中各取一个球,有什么样的取法?各种取法有多少种? 在4个括号(袋子)中

二项式定理典型例题

二项式定理典型例题-- 典型例题一 例1 在二项式n x x ??? ? ?+421的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中所有有理项. 分析:本题是典型的特定项问题,涉及到前三项的系数及有理项,可以通过抓通项公式解决. 解:二项式的展开式的通项公式为: 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为:)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n , 由已知:)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t , ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项,故r 316-是4的倍数, ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-. 说明:本题通过抓特定项满足的条件,利用通项公式求出了r 的取值,得到了有理项.类似地,1003)32(+的展开式中有多少项是有理项?可以通过抓通项中r 的取值,得到共有 17页 系数和为n 3. 典型例题四 例4 (1)求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数;(2)求6)21(++x x 展开式中的常数项. 分析:本题的两小题都不是二项式展开,但可以转化为二项式展开的问题,(1)可以视为两个二项展开式相乘;(2)可以经过代数式变形转化为二项式. 解:(1)10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到,然后合并同类项:

二项式定理教学设计

今天是星期三,15 天后星期几,30 天后星期几, 8 (a + b )(a + b )的 (a + b ) (a + b )(a + b )(a + b )的 (a + b ) 原始展开式有多少项?经合并后又只能有几项? (a + b )(a + b )(a + b )(a + b )的 (a + b ) 问题 5 你能准确快速地写出 (a + b ) 的原始展开式的 16 项吗?经合并后,又只能有哪几 二项式定理 一、教学目标 1.知识目标:掌握二项式定理及其简单应用 2.过程与方法:培养学生观察、归纳、猜想能力,发现问题,探求问题的能力,逻辑推理 能力以及科学的思维方式。 3.情感态度和价值观:培养学生勇于探索,勇于创新的个性品质,感受和体验数学的简洁 美、和谐美和对称美。 二、教学重点、难点 重点:二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式 难点:展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别 三、教学过程 创设问题情境: 100 天后星期几呢? 前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了,最后一个问题大家都很迷惑,有些学生 试图用计算器算,还是觉得很复杂,学习完这节课我们就知道答案了,并且我们不用查日 历就能知道未来任何一天是星期几 新课讲解: 问题 1 (a + b )(c + d )的展开式有多少项?有无同类项可以合并? 由于这一节是在学生学习了两个计数原理和排列组合知识之后学习的,所以学生能够快速 的说出答案。 问题 2 2 原始展开式有多少项?有几项是同类项?项是怎样构成 的?有规律吗? 学生根据乘法展开式也很快得出结论 问题 3 3 是哪几项? 学生仍然根据乘法公式算出了答案 问题 4 4 的原始展开式有多少项? 4 项? 此时,学生能说出其中的一两项,并不能全部回答出来所有的项,思维觉察到麻烦,困难, 易出错——借此“愤悱”之境,有效的实现思维的烘热) 启发类比:4 个袋中有红球 a ,白球 b 各一个,每次从 4 个袋子中各取一个球,有什么样 的取法?各种取法有多少种? 在 4 个括号(袋子)中

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义 1.二项式定理: 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈, 2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数:共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序:注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数:a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数 (包括二项式系数)。 4.常用的结论: 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5.性质: ①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0n n n C C =, (1) k k n n C C -= ②二项式系数和:令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=, 变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=, 从而得到:02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和:

二项式定理的十一种考题解法

二项式定理的十一种考题解法 1.二项式定理: 2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数:共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用 1r n r r r n T C a b -+=表示。 3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序:注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数:a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n , 是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是 012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数(包括二项式系数)。 4.常用的结论: 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L

令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L 5.性质: ①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等, 即0n n n C C =,···1k k n n C C -= ②二项式系数和:令1a b ==,则二项式系数的和为 0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L , 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L , 从而得到:02421321 11 222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???=?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和: ⑤二项式系数的最大项:如果二项式的幂指数n 是偶数时,则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时,则中间两项的二项 式系数1 2n n C -,12n n C +同时取得最大值。 ⑥系数的最大项:求()n a bx +展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设 展开式中各项系数分别 为121,,,n A A A +???,设第1r +项系数最大,应有112 r r r r A A A A +++≥??≥?,

1.3.1二项式定理说课稿

1.3.1二项式定理说课稿 执教人:罗杰 一、 说教材 二项式定理一节,分三个课时.这里讲的是第一课时,重点是公式的推导,其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用,至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三课时. 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续,它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式,这一小节与不少内容都有着密切联系,特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于: (1) 由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系,本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识. (2) 由于二项式系数都是一些特殊的组合数,利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式,从而深化对组合数的认识. (3) 基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用. (4) 二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法. 因此,结合重点中学学生的实际情况,确定本节课的教学目标如下: 1、掌握二项式定理及二项展开式的通项公式,并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. 2、通过探索二项式定理,培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 3、激发学生学习兴趣、培养学生不断发现,探索新知的精神,渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点,并通过数学的对称美,培养学生的审美意识. 重点:二项定理的推导及运用 难点:二项式定理及通项公式的运用 二 、说教法、学法: 新的数学课程标准提出:掌握数学知识只是结果,而掌握知识的活动过程才是途径,通过这个途径,来挖掘人的发展潜能才是目的,结果应让位于过程.没有途径,学生无法达到目的,因此,在教学中,必须贯彻好过程性原则,既要重视学生的参与过程,又要重视知识的重现过程.也就是说,在教学过程中,充分揭示每一个阶段的思维活动过程,通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变,使教学活动成为思维活动的教学,由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”,变教师是传授者为组织者、合作者、指导者,在学习过程中,教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣,并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中,让学生在探究、发现中获取知识,发展能力.从而增强学生的主体意识,提高学生学习的效果. 三、 教学过程: (一)、复习引入: ⑴22202122 222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++; ⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++ ⑶4 ()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式,

(完整版)二项式定理典型例题

1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中所有有理项. 分析:本题是典型的特定项问题,涉及到前三项的系数及有理项,可以通过抓通项公 式解决. 解:二项式的展开式的通项公式为: 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为:)1(8 141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n , 由已知:)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t , ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项,故r 316-是4的倍数, ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-. 说明:本题通过抓特定项满足的条件,利用通项公式求出了r 的取值,得到了有理项.类 似地,100 3)32(+的展开式中有多少项是有理项?可以通过抓通项中r 的取值,得到共有 系数和为n 3. 2.(1)求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数;(2)求6)21 (++ x x 展开式中的常数项. 分析:本题的两小题都不是二项式展开,但可以转化为二项式展开的问题,(1)可以视为两个二项展开式相乘;(2)可以经过代数式变形转化为二项式. 解:(1)10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到,然后合并同类项: 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项,可以得到5 510C x ;用 3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-;

高中数学知识点总结---二项式定理

高中数学知识点总结---二项式定理 1. ⑴二项式定理:n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点: ① 项数:共有1+n 项; ② 系数:依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C ③ 每一项的次数是一样的,即为n 次,展开式依a 的降幕排列,b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项. n b a ) +(展开式中的第1+r 项为:),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+. ⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数.....最大. I. 当n 是偶数时,中间项是第 12 +n 项,它的二项式系数2 n n C 最大; II. 当n 是奇数时,中间项为两项,即第2 1+n 项和第 12 1++n 项,它们的二项式系数212 1+-=n n n n C C 最大. ③系数和: 1 314 201 2 2-=+ +=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C 附:一般来说b a by ax n ,()(+为常数)在求系数最大的项或最小的项........... 时均可直接根据性质二求解. 当11≠≠b a 或时,一般采用解不等式组1 111 1(,+-+-+???≤≤???≥≥k k k k k k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数 的绝对值)的办法来求解. ⑷如何来求n c b a )(++展开式中含r q p c b a 的系数呢?其中 , ,,N r q p ∈且 n r q p =++把 n n c b a c b a ] )[()(++=++视为二项式,先找出含有r C 的项r r n r n C b a C -+)(,另一方面在r n b a -+) (中含有q b 的项为 q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=,故在n c b a )(++中含r q p c b a 的项为 r q p q r n r n c b a C C -.其系数为r r q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --== ---?-= ! !!!)! (!)! ()!(!! . 2. 近似计算的处理方法.

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