2010-2011第一学期概率论试题

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东北大学考试试卷(A 卷) 2010 — 2011学年 第1学期

课程名称：《概率论》

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填空题（每小题3分，共15分） 1. 已知P (A)=1/4，P (B l A)=1/3, P (A l B)=1/2，则P (A ∪B)= . 2. 随机事件A,B 相互独立且不相容，则min{P (A), P (B)}= .

3. 设随机变量X ～f (x )=Ax 22

2

x

e -

，则A = ． 4. 设X 1,X 2,…,X n ,…是相互独立同分布的随机变量序列，且每个变量的期望为a ，方差为b ，则

P

n

i i

X n

→∑=1

22

. 5. 设随机变量X,Y 相互独立，分布律分别为 与

则Z =max{X , Y }的分布律为 .

二（每小题6分，共30 分）

1. 从十个数字0,1,……,9中任取四个（不重复），求排成一个四位偶数的概率.

2. 设第一、第二和第三种机床的台数之比为9:4:2，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3，当有一台机床需要修理时，求这台机床是第一种机床的概率.

3. 设随机变量X ～5, 0

()0, 0

x

Axe x f x x -?>=?≤?，（1）求常数A ；（2）求E (X ).

4. 对圆片直径进行测量，测量值X 服从区间(4,6)上的均匀分布，求圆片面积Y 的密度函数与E (Y ).

5. 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，随机变量Y =X 2，F (x,y )为(X,Y )的分布函数，求F (3,4).

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三

（每小题8分，共40分）

1.（1）设随机变量X 的分布函数

0, 1,()arc sin ,11,1, 1. x F x a b x x x ≤-??=+-<≤??>?

确定常数a ,b .

（2）设随机变量X 的密度函数为?????<<=,,0,

31,41)(其他x x x f 求X 的分布函数F (x ).

2. 设随机变量(X,Y )的密度函数为()3,01,0,,0, x x y x f x y <<<

求在Y =0.5条件下X 的条件密度函数.

3. 将一枚硬币连掷三次，若以X 表示三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面的次数与出

现反面的次数之差的绝对值，（1）求X,Y 的联合分布律；（2）求Cov (X,Y ).

4. 设随机变量(),X Y 的密度函数为()3,01,0,,0, x x y x f x y <<<

其他, 求Z =X +Y 的概率分布.

5. 设活塞的直径（单位：厘米）X ～N (22.40, 0.032)，气缸的直径（单位：厘米）Y ～N (22.50, 0.042)，

且X,Y 相互独立. 任取一只活塞和一只气缸，求活塞不能装入气缸的概率. （(1)0.8413,Φ=

(2)0.9772Φ=）

……………○……………密……………○…………

…

封……………○…………线…………

…

……………

……

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四、

（10分）（1）设随机变量X 1,X 2,…, X 2n 的期望均为0，方差均为1，且任意两个

变量的相关系数均为ρ，求Y 1=X 1+…+X n 与Y 2=X n +1+…+X 2n 的相关系数.

（2）设随机变量X 1,X 2,…, X n+m (n >m )相互独立同分布，且方差有限，求Y 1=X 1+…+X n 与Y 2=X m +1+…+X m+n 的相关系数.

（5分） 假定36次的测量结果是相互独立的随机变量，且均服从期望为8、方差

为0.36的同一分布，求测量结果的平均值介于7.9与8.2之间的概率.

（(1)0.8413,(2)0.9772Φ=Φ=）

……………○……………密……………○……………封……………○…………线………………………………